(完整版)数学公式大全

三角函数公式 1.正弦定理：

A a sin =

B b sin =C

c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos

bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

3.S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin

=A

C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---

(其中)(2

1

c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)

4.诱导公试

三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注释：x

x tan 1

cot =

5.和差角公式

①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+

④β

αβ

αβαtan tan 1tan -tan )tan(?+=

-

6.二倍角公式：(含万能公式)

①θθθcos sin 22sin =

公式七：

②θθθθθ2

2

2

2

sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-==θ

θ

2

2tan 1tan 1+- ③θ

θ

θ2

tan 1tan 22tan -=

④ 2

2cos 1sin 2θ

θ-= ⑤ 2

2cos 1cos 2θ

θ+=

⑥ Sin 2x+cos 2x=1 ⑦ 1+tan 2x=sec 2x ⑧ 1+cot 2x=csc 2x

7.半角公式：（符号的选择由2

θ

所在的象限确定）

①2cos 12

sin

θθ

-±

= ②2

cos 12sin 2θ

θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12

cos 2

θθ

+=

⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2

cos 2cos 12θθ=+ ⑦2

sin

2

cos )2

sin 2

(cos sin 12θ

θθθθ±=±=±

8.积化和差公式：

[])sin()sin(21

cos sin βαβαβα-++=

[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2

1

sin sin

9.和差化积公式：

①2cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ ②2

sin

2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2

sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-

高等数学必备公式

1、指数函数（4个）： 幂函数5-8

（1）n

m n m a

a a +=? （2）n

m n m a a

a -=

（3）n

m

n m

a a

= （4）m m a

a 1=

- （5） n

m n m x

x x +=?

2、对数函数（4个）：

（1）b a ab ln ln ln += （2）b a b a ln ln ln -=

（3）a b a b

ln ln = （4）N N e e N ln ln ==

3、三角函数（10个）：

（1）1cos sin 2

2

=+x x （2）x x x cos sin 22sin = （3）x x x x x 2

2

2

2

sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= （4）21cos 2sin 2

x x -= （5）21cos 2cos 2

x

x +=

（6）x x 22sec tan 1=+ （7） x

x 2

2

csc cot 1=+

（8）x x csc 1sin = （9）x x sec 1

cos =

（10）x

x cot 1

tan =

4、等价无穷小（11个)：

（等价无穷小量只能用于乘、除法）

2

333

0sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~ 1~ln(1)~ 1cos ~1~

20tan sin ~ tan ~ sin ~

236e n

x x x x x x x x x x →-+-→---W

W W W W W W W W W

W W

W W W W 当时： 当时：

幂函数：

（1）)('c =0 （2）1

)(-='μμ

μx x

（3）

2

11x x '??=-

???

（4）'指数对数：

（5）a a a x

x ln )(=' （6）x x e e =')(

（7）

a x x a ln 1)(log =

' （8）x x 1)(ln =

'

三角函数：

（9）x x cos )(sin =' （10）x x sin )(cos -='

（11）x x 2sec )(tan =' （12）x x 2csc )(cot -='

（13）x x x tan sec )(sec =' （14）x x x cot csc )(csc -='

反三角函数：

（15）2

11)(arcsin x x -=

' （16）2

11)(arccos x x --

=' （17）

2

11)(arctan x x +=

' （18）

2

11)cot (x x arc +-

='

求导法则： 设u=u(x),v=v(x)

1. (u —

+v )’=u ’—

+v ’ 2. (cu)’=cu ’(c 为常数) 3. (uv)’=u ’v+uv ’ 4. (v

u )’=

2

'

'u v uv v -

幂函数：

（1）?+=C kx kdx （2）?-≠++=+)

1(11

μμμμ

C x dx x

（3）

2

11dx C x x

=-+? （4）

C =

（5）C x dx x +=?ln 1

指数函数：（6）C a a dx a x

x

+=?ln （7）?

+=C e dx e x x

三角函数：

（8） ?+-=C x xdx cos sin （9） ?+=C x xdx sin cos （10） tan ln cos xdx x C =-+? （11）cot ln sin xdx x C =+? （12）?+=C x xdx x sec tan sec （13）?+-=C x xdx x csc cot csc （14）??+==C

x xdx x

dx

tan sec cos

22

（15）

??+-==C

x xdx dx x cot csc sin 12

2

（16）sec ln sec tan xdx x x C =++? （17）csc ln csc cot xdx x x C =-+?

（18）C

x dx x +=-?

arcsin 112

（19）

arcsin

x C a

=+

（20）C

x dx x +=+?arctan 11

2 （21）2

211arctan x

dx C a

x a a =++?

（22）C

a x x dx a x +++=+?2222ln 1 （23）

C

a x x dx a

x +-+=-?

222

2

ln 1 （24）

2

211ln 2x a dx C x

a a x a

-=+-+?

补充：

完全平方差：222)(b ab a b a +-=- 完全平方和：222)(b ab a b a ++=+ 平方差：))((22b a b a b a +-=- 立方差：))((2233b ab a b a b a ++-=- 立方和：)

)((2233b ab a b a b a +-+=+

常见的三角函数值

奇/偶函的班别方法：

偶函数：f(-x ）= f(x) 奇函数：f(-x)= -f(x)

常见的奇函数：

Sinx , arcsinx , tanx , arctanx , cotx , x

2n+1

常见的有界函数：

Sinx , cosx , arcsinx , arccosx , arctanx , arccotx

极限运算法则：

若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则有：

1. lim [f(x)—

+g(x)]=lim f(x)—+lim g(x)=A —

+B 2. lim [f(x).

g(x)]=lim f(x)

.—

+lim g(x)=A .B

3. 又B 不等于0，则B

A

x g x f x f ==)(lim )(lim g(x

))(lim

两个重要极限：

11sin lim 0=→x x x 1)

()(sin lim 0)(=??→?→x g x g x g 推广 2.e x g e x e x

x g x x

x x x =+??→?=+=+∞→∞→∞→)

(11

))(1(lim )1(lim )11(lim 推广

；；.

无穷小的比较： 设：lim α=0,lim β=0

1. 若

lim αβ=0,则称β

是比

α

较高价的无穷小量

2. 若

lim αβ=c ，（c 不等于0）,则称β是比

α

是同阶的无穷小量

3. 若

lim αβ=1,则称β

是比

α

是等价的无穷小量

4. 若lim αβ=∞,则称β

是比

α

较低价的无穷小量

抓大头公式：

m

m m m

n n n n b x b a x a a x

x x

x +??++++??++----11

1011

10b b a lim

=

｛

m

n m n m

n b >∞<=,,0,a 0

积分：

1.直接积分（带公式）

2.换元法：

① 简单根式代换

a. 方程中含n

b ax +，令n

b ax +=

t b.

方程中含n

d

cx b ax ++，

令n

d

cx b ax ++=t

c. 方程中含

n

b ax +和m

b ax +，令p

b ax +（其中

p 为n,m 的最小公倍数）

② 三角代换： a. 方程中含2

2a x -,令X=asint; t ?(-2π,2π)

b. 方程中含22a x +,令X=atant; t ?(-2π,2π

)

c. 方程中含22x a -,令X=asect; t ?(0,2

π

)

③ 分部积分

∫uv ’ dx=uv-∫u ’v dx

反（反三角函数）对幂指三,谁在后面，谁为v ’，根据v ’求出v.

无穷级数：

1. 等比级数：∑∞

=1

n n aq ，｛

发散

收敛,1q ,1q ≥<

2. P 级数：∑

∞

=11

n p

n

，｛发散

收敛,1p ,1p ≤>

3. 正项级数：n

n n u

u 1

0lim +→=ρ

，｛判别法

，无法判断，改用比较发散收敛

1,1,1=><ρρρ

4.

比较判别法：重找一个V n （一般为p 级数），

敛散性一致与，∑∑∞

=∞=∞

→=1

n 1

n n lim n n v u A n

n

v u

5. 交错级数：)0()1(1

>-∑∞

=n n n n u u ，莱布尼茨判别法：｛0

lim 1

=∞

→+≥u n n n u u ，

则级数收敛。

幂级数收敛半径的求法：

n

n a a n 1lim +=∞

→ρ ｛处收敛

，仅在，，）上收敛

，，（，0x 01

-0==∞==

=∞∞∞==R A

R A R ρρρ

级数的性质：

1)

K 不等于0，

敛散性一致

与∑∑∞

=∞

=1n 1

n n n

ku u 。

2) 若

收敛收敛，则收敛，)(1

1

1

n ∑∑∑∞

=∞=∞=±n n n

n n

n

v u

v u

3) 若

发散发散，则收敛，∑∑∑∞

=∞=∞=±1

11

)(n n n

n n

n n

v u

v u

4) 若

不确定

均发散，则和∑∑∑∞

=∞

=∞=±1

1

1

)(n n n

n n n

n

v u

v u

微分方程：

（一）可分离变量：

标准型：)()(y g x f dx

dy

= 分离变量：

dx x f y g dy

)()

(=

两边通知积分：

?

?

=dx x f dy y g )()

(1

（二）其次微分方程：

u dx

du x x y x y +===）（则令u ,u ),(dx dy ?? 分离变量：｛

dx

x

du u u x

dx

u u ??

=-=-1

)(1.2,

)(du .

1??两边积分：

（三）一阶线性微分方程：

标准型：)()(dy

x y x p dx ?=+ 通解：

])([y )()(c dx e x e dx x p dx

x p +??=?-?

（四）二阶线性微分方程： 标准型：y ’’+py ’+qy=0 解：令r 2+pr+q=0 解r 1,r 2=

2

4p -2q p -±

向量：

a x

b =

c ｛b c a c b a ⊥⊥=,sin c θ

a x b= a ∥

b ?

z

z

y y x x b a b a b a b a ==?=*,0

00a =++?=??⊥z z y y x x b a b a b a b a b

面面关系：

1.面面垂直，两个面的法向量也垂直；

2.面面平行，两个面的法向量也平行。

线面关系：

1、直线垂直平面，直线的方向向量平行平面的法向量。

2、直线平行平面，直线的方向向量垂直平面的法向量。

平面方程：

点法式：A （x-x 0）+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 法向量n=(A,B,C) 一般式：Ax+By+Cz+D=0

截距式：)0,,(1x ≠===c b a c z

b y a

概率论：

如果事件A 、B 互斥，（A I B=Φ），则p(A Y B)=P(A)+P(B). 如果A 为任意事件，则)(p -1)(p A A =一

如果B ?A ，则平（A-B ）=P(A)-P(B)

A ，

B 是任意两个事件则：p(A Y B)=P(A)+P(B)-P(AB).

条件概率：

()())0)(()

()

(p 0)()()(p ≠=≠=B P B P AB p B A A P A P AB p A B ）

（

连续性随机变量：

?

+∞

∞

=-1)(f dx x

?=<

dx x f b a P ξ

期望：

E （x ）=X 1P 1+X 2P 2+……+X n P n

?+∞

∞-?=dx x f x E )(x ）（?+∞

∞

-?=??→?dx x f x E )()(x ??））（（推广

方差：

D(X)=E(x 2)-[E(x)]

2

期望和方差的性质：