两角和与差的正弦余弦正切公式练习题含答案

两角和差的正弦余弦正切公式练习题

一、选择题

1．给出如下四个命题

①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ

αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2

Z k k ∈+≠ππα且)(2

Z k k ∈+≠ππβ；

④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是

（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是

（ ）

A ．21+

B ．12-

C ．2

D ． 2 3．当]2

,2[π

π-

∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的

（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2

1-

C ．最大值为2，最小值为－2

D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3

2

tan tan ,7)tan(βαβαβα-=

?=+则的值 （ ）

A ．2

1 B ．

2

2 C ．2

2-

D ．2

2±

5．已知

=-=+=-<<<αβαβαπαβπ

2sin ,53

)sin(,1312)cos(,432则 （ ）

A ．6556

B ．－6556

C ．5665

D ．－56

65

6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于

（ ）

A ．

4

3 B ．

8

3 C ．8

1

D ．

4

1 7．函数)4

cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=

+=π

π其中为相同函数的是 （ ）

A ．)()(x g x f 与

B ．)()(x h x g 与

C ．)()(x f x h 与

D ．)()()(x h x g x f 及与

8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===

则,8

1

tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．

3

π

B ．

4

π C ．π65 D ．π4

5

9．设0)4

tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπ

θ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）

A ．p+q+1=0

B ．p －q+1=0

C ．p+q －1=0

D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是

（ ）

A ．

4

12

--a a

B ．－

4

12

--a a

C ．2

14a a --±

D ．4

12

--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ?与1的关系为

（ ）

A ．1tan tan >+

B A B ．1tan tan

C ．1tan tan =?B A

D ．不能确定

12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是

（ ）

A ．4

1

B ．

2

3

C ．2

1

D ．4

3

二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）

13．已知m =-?+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2?= 则∠B=

.

15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,2

2

sin sin +=

+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--?ππ)34sin(x +?π

．

18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02

1

50sin 50sin 222=-

+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值. 19．求证：y

x x

y x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=

-++．

20．已知α，β∈（0，π）且7

1

tan ,21)tan(-==

-ββα，求βα-2的值. 21．证明：x x x

x x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.

22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，

B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2

cos C

A -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案

一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D

(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.

《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的

和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程

两角差的余弦公式详细教案

§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计 主讲教师：卫金娟教学目标 1、知识目标： 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标： 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标： 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 学情分析： 1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备； 但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习； 从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点：两次探究过程的组织和引导。 教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式 教学准备：多媒体、圆规，三角板 教学流程：

《两角和与差的余弦》说课稿

《两角和与差的余弦》说课稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 ㈡、教学目标： 1、知识目标： （1）使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； （2）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； （3）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）㈢、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节 的一个难点。

（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是‘两角和余弦公式推导’的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于‘两角和与差的余弦公式的推导和应用’对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。） 二、教学方法： 1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中‘平面内两点间距离公式’虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。） 三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别 是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程： 教学程序

两角和与差的正弦、余弦公式及其应用

一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+

[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.

两角差的余弦公式练习

3.1.1两角和与差的余弦公式 一、选择题 1．[2014·哈尔滨高一检测]cos195°的值为( ) A. 6＋24 B. －6＋24 C. 6－24 D. 2－64 1．B [解析] cos195°＝cos(180°＋15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－(22×32＋22×12)＝－6＋24 . 2．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 3．cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是( ) A ．1 B.22 C.32 D.12 4．已知cos α＝513，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π4 )的值等于( ) A.5226 B ．－2213 C ．－7226 D.3213 5．cos ????α＋π4sin α－cos α的值是( ) A. 2 B. － 2 C. 22 D. －22 6．[2014·天津三校高一模拟]在△ABC 中，若sin A sin B

两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。

三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课

两角差的余弦公式教学设计

两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 45=3cos 30=()cos15cos 4530?=-=猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？ （二）探讨过程： 思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ （1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. ()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-= ?-= ()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+= ?+=例2、4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ??∈=- ??? 是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-

两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易得到对应的差 角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与, 的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 函数值的等式。 1. 和角余弦公式 使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法( 于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交 于点。从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为 ,。, , 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和 终边交于点。, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而 。的坐标为B, A点,． 由两点间距离公式得 。 由余弦定理得 。 从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此, 还需 的情形。容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。

高中数学_3.1.1两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1 直线与平面平行的判定定理 教学目标 1.知识与技能 理解两角差的余弦公式的推导过程；掌握两角差的余弦公式的初步应用。 2.过程与方法 通过提出问题，揭示知识背景，引发学生学习兴趣，并经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 3.情感态度与价值观 体会探索的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题。创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和数形结合、转化、向量等数学思想方法。 教学重点：掌握两角差的余弦公式及其初步应用。 教学难点：正确使用两角差的余弦公式求值，并能根据具体的问题灵活的使用拆角、变角等方法。 教学方法： （1）自主性学习方法； （2）探究式学习方法； （3）反馈练习法； 教学用具：电脑、实物投影仪。 教学过程设计：

学情分析 基于前两章所学内容：三角函数和平面向量，学生已经积累并掌握的差角余弦公式推导所需要的基础知识，这为公式推导过程的顺利开展奠定的基础。但是我所教授的学生普遍基础较差，大部分学生对于知识的应用能力还有待提高。 我设计教案时，根据学生的情况，循序渐进。通过带领学生探索问题——回顾旧知——应用知识解决问题的过程，帮助学生理解并掌握差角余弦公式的推导及其使用公式解决简单问题。在设计变式时选择了比较简单的题，符合学情。 效果分析 通过本节课的学习，学生基本达成了学习目标，多数同学理解差角余弦公式的推导过程，会用差角余弦公式解决简单的化简、求值问题，会正向、逆向使用差角余弦公式，部分同学能当堂针对具体的问题结合之前学习的诱导公式，以及拆角、变角技巧解决较难的题目。 通过例一的学习，掌握了如何应用差角余弦公式求值，结合练习题再次加强的对公式的记忆及正确使用。当然课堂训练里设计的题目由于用到之前的知识，所以个别同学做起来有点吃力；在例二的学习中，掌握了如何使用条件里给的角所在象限这一条件求所需三角函数值。在紧接着例二的课堂训练里，找的两位同学在黑板上展示自己的解题步骤，能看出他们都能根据所求找所需，只是其中一位在代入求

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】

1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈.

《两角差的余弦公式》教学设计1

《两角差的余弦公式》教学设计 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想： （一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302 =，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构. 思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--????，再利用两角差的余弦公式得出 ()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-???? （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. ()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224-=+=-=?-?= ()232162cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224 +=-=+=?+?= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用. 例2、已知4sin 5α= ，5,,cos ,213παπββ??∈=- ??? 是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得2 243cos 1sin 155αα??=--=--=- ??? 又因为5c o s ,13 ββ=-是第三象限角，所以22512sin 1cos 11313ββ??=--=---=- ??? 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????-=+=-?-+?-=- ? ? ???????

两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0

教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°

两角差的余弦公式的说课稿

两角差的余弦公式说课稿 教材分析 1、教材所处的地位和作用： 《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点容之一。 2、重点，难点以及确定的依据： 对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用； 教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与,独立探索。教学目标设计 （1）知识与技能： 本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系． （2）过程与方法： 创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力． （3）情感、态度与价值观： 体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事的科学态度和科学精神． 教法设计 1、学情分析：

两角差的余弦公式-教学设计

两角差的余弦公式 一、设计理念 1、教学内容分析： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（人教A 版）第三章《三角恒等变换》，两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第一课时，是在高一学生学习了三角、向量等知识之后，两角差的余弦公式是对三角和向量数量积知识的一个应用；同时，对于得到两角和差的正弦、正切公式起着重要作用，对于在计算中的化简和实际中的运用也十分必要；因而公式本身的应用十分广泛。 作为一名没有上过本节内容的新教师，根据教学的设想，两角差的余弦公式这部分内容共分为三个层次：第一层次教师根据所学的特殊的三角函数值提出问题，设置悬念，激起学生对于??)cos(=-βα的兴趣；第二层次学生带着质疑和好奇心，在老师的指引下，探索并利用“三角函数线”、“向量法”、“三角形全等法”证明得到两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-； 第三层次运用或逆用公式解决课本的例题和相应的练习，体会公式的实用性。学生通过对两角差的余弦公式的探索和证明过程，感受“提出问题、质疑——探索得到结果的方法——得到结果——进行应用” 这一思维方法，养成善于思考的品质和勇于求真的精神。 2、学情分析： 对与高一的学生来说，已学了三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，对于两角和差的余弦、正弦和正切公式有着浓厚的兴趣；但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师通过设置悬念激起学生的兴趣并进行恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生参与分析问题、解决问题并对得到的结果进行应用。 3、设计思想： 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境和悬念，以“??)cos(=-βα”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，通过生生互动、师生互动等形式，学生通过3种途径得到 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。使得学生在知识的形成、发展过程中 展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ? ???α±π4.

4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α ＋φ)? ????其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)? ? ???其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2 ＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－1 3，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－15 C.15 D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2 θ＝4 5 . 答案 D 3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1 2 ，则tan β等于( )

两角和与差正弦公式与余弦公式

【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】

3.1.1-两角差的余弦公式教学设计

“§3.1.1 两角差的余弦公式”教学设计 朔州市一中李燕一、内容和内容解析 （1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。 （2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。二、目标和目标解析 （1）目标： ①经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，培养从已有知识出发探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 ②探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式，体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。 ③掌握两角差的余弦公式的结构特征、变形以及应用，培养运用数学知识的能力以及逆用思维的能力。 （2）目标解析： ①联系已经学过的三角函数线探索三角函数问题是很自然的，鉴于学生独立的运用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式存在一定困难，我采用动画课件

的形式把这一探究过程逐步展示出来。让学生对公式的结构特征进行直观感知，使他们对公式有一个基本了解，并引起寻找适当方法推出公式的欲望。所以这种方法只要求理解。 ②向量工具的引入，使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。所以这一过程，鼓励学生独立探索和讨论交流，推导过程不要求一步到位，先抓住主要问题进行探索，然后再引导学生反思完善。这也是处理一般探索性问题应遵循的原则。在学生思维的困惑处，教师作简要提示。 ③为了体现“数学是有用的”，我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用，两角差的余弦也不例外。通过公式的正用、逆用，达到掌握公式的目的。 三、教学问题诊断分析 1、学生初次遇到两角差的余弦这个概念，会感到陌生。我采用联系诱导公式的方法，让学生思维过渡自然。而且通过一组诱导公式还可以看出两角差的余弦与哪些值有关，为公式的得出做第一步铺垫。 2、如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦？我采用：一是让学生联系相关已学知识，二是联系数学思想方法（数形结合思想）来处理问题，把学生的思维引到三角函数线上。 3、用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，绝大多数学生的思维没达到这个高度。所以这个内容以我制作的课件为主，学生做到理解就可。 4、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识，努力使数学思维显得自然、合理． 5、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的预习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。 6、鉴于学生的水平不同，我采用分层作业。有必做题和选做题两部分。 四、教学支持条件分析

两角差的余弦公式

一、教学目标 1、知识与技能： （1）理解两角差的余弦公式式意义； （2掌握两角差的余弦公及运算律； 2、过程与方法 掌握用两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 3、情态与价值观 通过两角差的余弦公式解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题， 还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学过程： （一）新课导入： 我们在初中时就知道，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 （二）新课讲授： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。 思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ （1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式： β α αsin β β α + ? - = cos(? ) cos sin cos （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求、的值. 解：分析：把构造成两个特殊角的差.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础知识归纳 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ????α±π 4. 基础题必做 1． 若tan α＝3，则sin 2α cos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos α cos 2α ＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )