高考数学复习-指数函数
指数函数 A 组
1．(2010年模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．
解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b
＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.
解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－ 3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33
－3.
答案：33－3
3．函数y ＝(1
2
)2x －x 2的值域是________．
解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，
∴(12)2x －x 2≥12.答案：[1
2
，＋∞) 4．(2009年高考卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数
a 的取值围是________．
解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x
与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)
5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数
a 等于________．
解析：由题意知???
0 a 0 －1＝2 无解或??? a >1 a 0－1＝0 a 2 －1＝2 ?a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b＝ 1. 从而有f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知 －2＋1 4＋a ＝－ － 1 2 ＋1 1＋a ，解得a ＝2. (2)法一：由(1)知f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ＝－ 1 2 ＋ 1 2x＋1 ， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0?f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－1 3 . 法二：由(1)知f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ，又由题设条件得 －2t2－2t＋1 2t2－2t＋1＋2 ＋ －22t2－k＋1 22t2－k＋1＋2 <0 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0 整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－1 3 . B组 1．如果函数f(x)＝a x＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①0 解析：当0 2．(2010年模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值围是________． 解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数， 又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需?? ? a ≤1 a ＋1>1 ?0 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝ a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若 f (1) g (1)＋f (－1)g (－1)＝5 2 ，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52?a ＋a －1＝5 2 ，解得a ＝2或12.答案：2或1 2 4．(2010年模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1 (1 3 )＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2 ＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝1 3 ，∴x ＝－1， 故f －1 (13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(1 3 )＋f (1)＝2.答案：2 5．(2010年质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对 应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________． 解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(1 3)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R) 6．(2009年高考卷改编)函数y ＝e x ＋e －x e x －e －x 的图象大致为________． 解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －x e x －e －x ＝－ f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④. 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2 e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都 是减函数，排除②、③.答案：① 7．(2009年高考卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4 时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1 24 8．(2009年高考卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝?? ? f (x )，f (x )≤K ， K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝1 2 时，函 数f K (x )的单调递增区间为________． 解析：由f (x )＝2 －|x | ≤ 1 2 得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝??? 2－|x |，x ≥1或x ≤－1， 12 ，－1 则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________． 解析：函数y ＝2|x |的图象如图． 当a ＝－4时，0≤b ≤4， 当b ＝4时，－4≤a ≤0，答案：② 10．(2010年模拟)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a >0， 且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，数a 的值． 解：f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]， (1)当0 a 时，f (x )取得最大值． ∴(1a ＋1)2 －2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13 . (2)当a >1时，1 a ≤a x ≤a ，∴当a x ＝a 时，f (x )取得最大值． ∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为1 3或3. 11．已知函数f (x )＝ －2 2x －a ＋1 .(1)求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称； (2)若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，数a 的取值围． 解：(1)证明：设f (x )的图象C 上任一点为P (x ，y )，则y ＝－ 2 2x －a ＋1 ， P (x ，y )关于点M (a ，－1)的对称点为P ′(2a －x ，－2－y )． ∴－2－y ＝－2＋22x －a ＋1＝－2·2x －a 2x －a ＋1＝－21＋2－(x －a )＝－2 2(2a －x )－a ＋1 ， 说明点P ′(2a －x ，－2－y )也在函数y ＝－2 2x －a ＋1的图象上，由点P 的任意性 知，f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称． (2)由f (x )≥－2x 得 －22x －a ＋1≥－2x ，则22x －a ＋1 ≤2x ，化为2x －a ·2x ＋2x －2≥0，则有(2x )2＋2a ·2x －2·2a ≥0在x ≥a 上恒成立．令g (t )＝t 2＋2a ·t －2·2a ，则有g (t )≥0在t ≥2a 上恒成立．∵g (t )的对称轴在t ＝0的左侧，∴g (t )在t ≥2a 上为增函数． ∴g (2a )≥0.∴(2a )2＋(2a )2－2·2a ≥0，∴2a (2a －1)≥0，则a ≥0.即实数a 的取值围为a ≥0. 12．(2008年高考)若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R，p 1、p 2为常数，且 f (x )＝?? ? f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )， f 2(x )，f 1(x )>f 2(x ). (1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充 要条件(用p 1、p 2表示)；(2)设a ，b 是两个实数，满足a f (a )＝f (b )，求证：函数f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a 2 (闭 区间[m ，n ]的长度定义为n －m )． 解：(1)f (x )＝f 1(x )恒成立?f 1(x )≤f 2(x )?3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|?3|x －p 1|－|x － p 2| ≤2 ?|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)?0≤log 32，显然成立；若 p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|，当p 1>p 2时，g (x )＝ ??? p 1 －p 2 ，x －2x ＋p 1 ＋p 2 ，p 2 ≤x ≤p 1 ，p 2 －p 1 ，x >p 1 . 所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32. 当p 1 时，g (x )＝??? p 1 －p 2，x ； 2x －p 1－p 2 ，p 1 ≤x ≤p 2 ； p 2 －p 1 ，x >p 2 . 所以g (x )max ＝p 2－p 1，故 只需p 2－p 1≤log 32. 综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p 1－p 2|≤log 32时，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b ])，则 由f (a )＝f (b )及a 2.再由f 1(x )＝??? 3p 1－x ，x 3x －p 1 ，x ≥p 1， 的单调性 可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为b － a ＋ b 2＝ b －a 2 . ②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1 log 32.于是，当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x <3p 2－x 当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2>3log 32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )． 当p 1 f 1(x )与f 2(x )图象交点的横坐标为x 0＝ p 1＋p 22 ＋12 log 32.① 显然p 1 2[(p 2－p 1)－log 32] 由①易知f (x )＝?? ? f 1(x )，p 1≤x ≤x 0， f 2(x )，x 0 综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝?? ? f 1(x )，a ≤x ≤x 0， f 2(x )，x 0 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 指数运算和指数函数 1. 根式的性质 (1)正整数指数捋：a n = g ?a ? a ............. c i(n G N*) s --------- v -------- ' n ⑵零指数幕=1(GH 0) (3)负整数指数幕a'p =厶@北0.〃丘N*) a p m __ (4) 正分数指数幕 a n 二“> 0,加,” w N*,口〃 > 1) -- 1 (5) 负分数指数幕 a n =一丁(a >0,ww N*,月力>1) a" (6) 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕无意义 3. 有理指数幕的运算性质 (3) (ab)r = a r a s ,(a > 0,& > 0, r G Q) 4.指数函数定义：函数y = a x (a>0^a^l)叫做指数函数。 5.指数函数的图象和性质 y = a x 0 < c? < 1 日> 1 图 象 V y 二 a% 1 (0,1) y y=i y=a x 丿 y-i (0,1) X x 性 质 定义域 R 值域 (0 , +8) 定点 过定点(0, 1),即* = 0时，y - 1 (1) 自〉1,当 x > 0 时，y > 1；当力 V 0 时，0 v y < L (2) 0 < < 1,当 x>0 吋，0 < y < 1；当 xvO 时，y>l 。 单调性 在斤上是减函数 在斤上是增函数 对称性 y = a x 和y = a~x 关于y 轴对称 ?指数函数定义 (1)当n 为奇数时，有”泗=a d,(d > 0) 一 (3)负数没有偶次方根 2.幕的有关概念 (4)零的任何止次方根都是零 (1) a r ? a s = a r+5,(a > 0,r,5G Q) ⑵(N )' = a rs , (a > 0,r,5G Q) (2)当n 为偶数时, 提高篇 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 姓名： 学校： 指数函数 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． (4)正分数指数幂：m n a ＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (5)负分数指数幂：m n a ＝_____＝______ (a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)； (6)0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂___________． 指数函数的图象和性质 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 图象 0＜a ＜1a ＞1 图象 特征 在x 轴______，过定点_____ 1.函数y ＝0.3|x |(x ∈R)的值域是 A ．R ＋ B ．{y |y ≤1} C ．{y |y ≥1} D ．{y |0＜y ≤1} 2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A ．a ＞1，b ＜0 B ．a ＞1，b ＞0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3.．函数y ＝32x －1－127 的定义域是________． 4.(2013·泰安模拟)已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，给出下列五个关系式中：①00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 6. ．若函数f (x )＝a |x －1|(a >0，a ≠1)满足f (3)＝19 ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：指数与指数函数 教材分析： 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析： 学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。关键是对知识理解的不够透彻。只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。 教学目的： 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、知识梳理： 1．根式的定义 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . ⑶根式的基本性质： n m np m p a a =， （a ≥0） 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 5 52510 )(a a a a === ②3 124 334312 )(a a a a === ③3 23 3 3 23 2 )(a a a == 高考数学指数与指数函数 指数与指数函数 一、填空题 1. 已知f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________． 2. (－1.8)0 ＋(1.5)－ 2 × 23 338?? ??? －(0.01) － 0.5 ＋32 9＝ ________. 3. 指数函数y ＝? ?? ???b a x 的图象如图所 示，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的顶点横坐标的取值范围是________． 4. 已知0≤x ≤2，则y ＝12 4325x x --?+的最大值为________． 5. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则g (x )＝a x ＋b 的图象是________． 6. (2011·新沂一中模拟)已知f (x )＝ ()11,02,0x a x a x a x ? -++?? ，则f (2 010)＝ ________. 二、解答题 10. 计算： ÷ 3 a －7 3 a 13； (2) 23 338- ??- ??? ＋12 0.002- －10(5－2)－1＋ 第8讲 指数与指数函数 考试要求 1.有理指数幂的含义及运算，B 级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A 级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B 级要求． 知 识 梳 理 1．根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正 数的负分数指数幂的意义是 ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指 数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质 a >1 0 当x >0时，y>1；当x<0时，0 ２.９ 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1．理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； ２.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (１)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2）正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>; (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* = = >∈> (4)0的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质: ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数,a 叫被开方数。 (２)根式的性质: ①当n 是奇数,a a n n =; 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数: （1)定义:y=a x (a >0且ａ≠1),叫指数函数,x 是自变量,y 是ｘ的函数。 （2）图象： 高考数学专题：指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，1 3的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝???a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指 数幂的意义是a － m n ＝1 (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指 数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 R 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)2 4＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x 2＋1 (a >1)的值域是(0，＋∞).( ) 解析 (1)由于4（－4）4＝4 44＝4，故(1)错. (2)(－1)2 4＝4 （－1）2＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x 2＋1 ≥a .故y ＝a x 2＋1 (a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A.－ 9 B.7 C.－10 D.9 解析 原式＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案 B 3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) 解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1 a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当01，平移距离大于1，所以C 2019高考数学：指数函数、函数奇偶性知识 点 指数函数 (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图：(1)为奇函数(2)为偶函数 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到， 指数函数 A 组 1．(2010年模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________． 解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________. 解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－ 3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33 －3. 答案：33－3 3．函数y ＝(1 2 )2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[1 2 ，＋∞) 4．(2009年高考卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数 a 的取值围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞) 5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数 a 等于________． 解析：由题意知??? 01 a 0－1＝0 a 2 －1＝2 ?a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； 2020年全国高考数学 第08讲 指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n =a m +n (m ,n ∈R )； (2)m m n n a a a -=( m ,n ∈R)； (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )； (4)(ab )m =a m b m (m ∈R )； (5)p p a a -=1 (p ∈Q ) (6)m m n n a a =(m ,n ∈N +) 二、指数函数 (1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0且a ≠1)的图像和性质如表2-6所示. y =a x a >1 00 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)0 高考数学专题:指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，1 3的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)概念:式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质:(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝???a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数 幂的意义是a － m n ＝1 (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数 幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质 (1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 R 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)2 4＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x 2＋1 (a >1)的值域是(0，＋∞).( ) 解析 (1)由于4（－4）4＝4 44＝4，故(1)错. (2)(－1)2 4＝4 （－1）2＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x 2＋1 ≥a .故y ＝a x 2＋1 (a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A.－9 B.7 C.－10 D.9 解析 原式＝(26)1 2－1＝8－ 1＝7. 答案 B 3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) 解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1 a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当01，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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