高中数学竞赛教材讲义 第八章 平面向量讲义

平面向量第八章

一、基础知识既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示定义1

向量的模。向量的符用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意a. |a|黑体表示向量，如的向量称为单位向量。的。零向量和零不同，模为1，规定零向量与任意一个非方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量）定义2

零向量平行和结合律。向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满定理1

足交换律和结合律。??.?b f a, b共线的充要条件是存在实数，使得a=0定理2 非零向量，c定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是x, y存在唯一一对实数，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。作为3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j定义c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得

c=xi+yi，则（x, y）叫做基底，任取一个向量c 坐标。?记作，则a, b为的数量积定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角??上的投影（注：ab，也称内积，其中|b|cos在叫做

a·b=|a|·|b|cos|b|cos=|a|·。投影可能为负值），, y)平面向量的坐标运算：若a=(x, y), b=(x定理4 2112 )，), a-b=(x-x, y-y, y1．a+b=(x+x+y21112122，·(b+c)=a·b+ac2．λa=(λx, λy), a·11y?yxx2121?0),

, cos(a, b)=(a, b．a·b=xx+yy322112222yx??y?x2121???=0.

x1x2+yb4. a//byxy=xy, a221121?PPP?P，，使的一点，则存在唯一实数，pλP是直线PP上异于p定义5 若点221121?OPOP?21PP?OP，PP分为平面内任意一点，则。由此可得若所成的比，若O

λ叫121??1??xx?21?x?yy?x?x???1?11.??. )，则P，P的坐标分别为(x, y), (x, y), (x, y?21122y?xyx??yy??2221?y???1?的方向，平移a=(h, k)F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量定义6 设22k?hF'F'平移到上任意一点，设p(x, y)个单位得到图形是F|a|=，这一过程叫做平移。x'?x?h?p'(x',y')，则上对应的点为称为平移公式。?y'?y?k?定理5 对于任意向量a=(x, y), b=(x, y), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 2121222222222)x?y(x?y)(，又0≥|a|【证明】因为x·|b|-(x-|a·b|=+yy))=(xy-xy121112222211，≥0|a·b|≥0, |a|·|b|b|.

|a·所以|a|·|b|≥|a|+|b|.

|a+b|≤由向量的三角形法则及直线段最短定理可得，同, b=(y, y…, y)…n注：本定理的两个结论均可推广。1）对维向量，a=(x, x,,x)，n2112n222222? y??y)?)(??(xx ?xy |a|b|样有|a·≤·，化简

即为柯西不等式：|b|n2112n2，0≥|b|·0, |a|≥y…+y+xy(x+xb|·|a，又0≥)nn2211．

b|.

·所以|a||b|≥|a·|a|+|b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤，同样, y), y, x）对注：本定理的两个结论均

可推广。1n维向量，a=(x,…,x), b=(y, …n122n1：|b|有|a·b|≤|a|·，化简不西等式即为柯2222222?) ??y(x ?x??x)(y?y )+xy(xy+x+…y。n221n1n1n122。…≤| a|+|a|++|a||，有, a2）对于任意n 个向量，, a…,a| a, a, …,a n11n221n2二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运

用。.??OAO?OAOA? 的中心，求证：AA是正1 例设On边形A…

n12n12?2OS?OAS?OAOA?? ?旋转记O n，则将正，若边形绕中心【证明】n21nS.OS? n 边形重合，所以不变，这不可能，所以后与原正.GBGA??GC?O ABC重心的充要条件是，求证：△ABCG是△例2 给定，则DP=GDP，延长AD至，使F【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，.GP2AG?GD?

又因为BC互相平分，与GP.GB?CP// PC所以BPCG为平行四边形，所以BG，所

以.OPG???GAGB?GCGC?CP?所以.O?PGGAGA?GB?GC?则，，连结CP，充分性。GP=AG 于延长若AG交BCD，使OPC?PG?GC?PC?GB// AG，则平分BC，所以GB因为。CP，所以CA 平分。同理BG 为重心。G所以的中点，求证：中，例3 在凸四边形ABCDP和Q和AC分别为对角线BD2222222 +BD+4PQ+DAAB=AC+BC+CD。如图所示，结结BQ，QD。【证明】DQPQ???PQ?BQ,DPBP因为，2222)?(PQDP?PQ?BQ?DQ(BP?)所以

222PQ2DP??PQBPPQ??2?DP2BP =·222222.PQ?2?PQBP?DP)(2BP?DP?PQ?2BP?DP?①=

,?,QA?BAQA?QCO??BQ?QCBC,BQ又因为22222BQ?2QCBCBA??QA?②，同理22222QDQA?2QC?DACD??③，

222222)(BQ?QD2?BC?CD4BA?QA?由①，②，③可得

222222PQ(2BP?24?ACBD?PQ)?AC??2。得证。

．证利用定理2证明共线。2 2。：，。求证：，垂心为△例4 ABC外心为OH，重心为GO，GH 为共线，且OGGH=1：2AM?AGOG?OA??OA【证明】首先

311(AB?AC?OA)?OA?(2AO?OB?OC) =33．

1).OC?(OA?OB?3.?BC CE后得BO交外接圆于另一点E，则连结CE其次设? BC，所以AH//CE 又AH。??为平行四边形。，所以AB，CHAHCEAB又EA,AH?EC所以

OCOBOAOH??AH?OA?EC?OA?EO?OC?OA??所以，OG?3OH所以，OHOG共线。所以，与H共线，所以O，G 2。：所以OG：GH=1 3．利用数量积证明垂直。?b.

a例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是222222?????b. aab+b=a·【证明】

|a+b|=|a-b|-2a(a+b)·=(a-b)b+bab=0+2a·? OE。CDACD为AB中点，E为△重心。求证：，例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=ACD caOA?,OB?b,OC?【证明】，设1??(ab)OD则，211111??.b?b)c?a?cOE?a??(a???32632??1c??(a?b)CD又，211111????c?a?b??OE?CDa?c?b????所以

22362????11111222c??c?a?b?a?a?b33412312222? =|b|=|OH|=|c|）a·(b-c). （因为|a|3的中垂线。又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC? aCD。·(b-c)=0. 所以OE所以4．向量的坐标运算。，FEC的延长线交BA的延长线于点是正方形，例7 已知四边形ABCDBE//AC，AC=CE，。求证：AF=AE为原点建立直角坐标系，设正方形x轴，以C 【证明】如图所示，以CD所在的直线为BE=(x, y-1),

，边长为1，则A，B坐标分别为（-11）和（0，1），设，则点的坐标为（x, y）

E ACBE//)?(1AC,1?-x-(y-1)=0.

，所以，因为22|||CE|?AC=2.

，所以x+y又因为313?1??.x,y?由①，②解得22??3?3?3?1??2?AE3.,AE|?4?2|,

所以??22??3?11?3.0?'x?CECF),1'F(x)?CF(x,1'，则设和。由共线得

22)'x?2?(,3?2?()3?1，F，即所以．

22|||AE2AF|3?，所以所以=4+AF=AE。三、基础训练题②|a|=|b|；，且a//ba=b的是__________.

①的充要条件是题1．以下命中正确的充要条xa+yb=ma+nbb·；③若ab=a·c，则b=c；④若a, 不共线，则·(a·b)c=(a·c)·b b,CD?AB?a b=(-3, 在，共线，则A件是x=m, y=n，；⑤若B，CD

共线；⑥a=(8, 1)，且a, b -44)上的投影为。DC?2BC?BCECCD? 2．已知正六边形ABCDEF；③；

②，在下列表达式中：①ACFA2ED?FE?ED__________.

，相等的有；④与|x|+|y|=__________. b=0，则3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·__________. a和b的夹角为|sa+tb|=|ta-sb|设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若，则4．MNMP__________的P共线”是“kl-1=0”“M5．已知a, b，不共线，N=a+kb, ，=la+b，则.

条件NA2BN?，交于DBM，与中，6．在△ABCM是AC中点，N是ABCN的三等分点，且

?BMBD?=__________.

λ，则若??AB OBOA?OC?OBOA,则，不共线，点C分，所7．已成的知比为2????__________.

OB,?OAa__________. 与b的夹角为当8．b=|a-b|=2，已知△AOB面积最大时，a=b, a·22b?a，，c·9．把函数y=2xa-4x+5的图象按向量平移后得到y=2xb=4的图象，c=(1, -1), 若__________.

则b的坐标为?绕原点按逆时针方向旋转．将向量__________. 10a=(2, 1)的坐标为得到向量b，则b4BC PQ的与的线段PQ以点A为中点，试问中，已知11．在Rt△BACBC=a，若长为2a?CQ?BP 的值最大？并求出这个最大值。夹角取何值时dcCD?,DA?aAB?,BC?b,，a·d=d·b=b，如果ABCD12．在四边形a··c=c中，ABCD的形状。试判断四边形

四、高考水平训练题满足PC1．点O是平面上一定点，A，B，是此平面上不共线的三个点，动

????????OP0,??.,?OA?心。________的轨迹一定通过则点P△ABC的??

点??ACAB

||AC|AB|??bAB?a,BC?__________.

的形状是，则△ABC2．在△ABC，且中，a·b<0OA b,OB?OA?a则，点对称的为B，若点关非3．零向B量于所在直线1OB=__________.

1OOCOB(?OC)?(OB??2OA)?的形状为，则ABC 的内心，且△ABC O4．若为△__________. O??OA2OB?3OC的面积比为，则△5．设O点在ABC △AOB与内部，且△AOC__________. PA?PC??PA?PBPB?PC的所在平面上一点，若△ABC ，则△P6．是ABCP是.

__________心??????])[?0,?sin1?sin?OP(cos,),OQ(?,1cos)(PQ|．已知7的取值范围，则

|__________.

是

__________. b，若a与的夹角为锐角，则λ的取值范围是8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1))OCOA?(OB?的最小值为，则AM上的一个动点，若AM=2ABC9．在△中，O为中线__________.

},mj λ(4, 5), λ∈Rλ．已知集合M={a|a=(1, 2)+ (3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+

10 N=__________.

M，已知Q分别交于OBP和11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB?y?xOA,OQOP，OPQ的面积分别为S和T，△OAB与△T的解析式及定义域；（2）求的取值范围。1（）求y=f(x) SPN?,NM??MN,PMPNMP成公，有一点P使得，12．已知两点M（-10），N（1，0）差小于零的等差数列。??PNPM的夹角，. 为),

2）若点P坐标为(x, y求tan与（1）试问点P的轨迹是什么？（00

五、联赛一试水平训练题满足p, q，（02），当实数A，B坐标分别为（1，0），1．在直角坐标系内，O为原点，点111??OBOC?pOA,ODq?恒过CDy轴上，且，则直线D时，若点C，分别

在x轴，qp___________.

一个定点，这个定点的坐标为为平面内任意一点，c. OC所对边长分别为a, b, 内心，角p为△ABCA，B，2．OP.OAx,OB?y,OC??z.

则a, b, c, x, y, z=___________（用表示）0若120角均为，向量，且两两的夹c．已知平面上三个

向量a, b, 均为单位3___________.

的取值范围是R)，则k|ka+b+c|>1(k∈BD?AC9|??|,|DA7,|CD|AB|?113,|BC|?的4．平面内四

点A，满足，则，C，DB.

个取值有___________上任意一点，则A5．已知AAAA是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙

O5124322222|?|PA|?|PA||?||PA|PA|PA?___________.

取值的集合是53421若，一．O为△ABC所在平面内点，A，B，C为△ABC 的角6OAO?OCOB. 的·___________心为，则点sinA·O+sinB△·ABC +sinC?.

___________条件7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的bc,CA?,AB?aBC?ABC △3，则：，又(c·b)ABC 8．在△：(b·中，a)(a·c)=1：2：|c|=____________.

：：|b|三边长之比|a|.DP?O?PC2PA?PB?3PC求证：，CP内一点，9．已知P为△ABC交AB于D且，，令，OO，O△ABC的垂心为H，△HBC，HCA，△HAB的外心分别为△10．已知

312pHO?,HC?c,HA?a,HB?b，求证：的外心。O（（1）2p=b+c-a；2）H为△OO3121'V到V中的一个单位向量，已知从)11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a, a为V21确定，·a)a(x∈V)的变换T，由T(x)=-x+2(x ；T(y)=x·y）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·（1 ，计算T[T(x)]-x；（2）对于V的任意向量x?(0,1)T(uV)?V，求）设u=(1, 0)；，若a. 3（六、联赛二试水平训练

题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线APARAMPNRT???为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，上的两点，BYRS上的点，

BQBCMBNQTS三点的位置关系如何？证明你的结论。T，N，M为另一定比，试问

：分别内分AC，CE，使得AMABCDEF2．已知AC，CE是正六边形的两条对角线，点M，Nr.

N三点共线，求B，M，CE=rAC=CN：，如果是，SQ，R，3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取

一个不同于顶点AB的点M，点P，互相垂直。PQ与RS，M分别在直线ADAB，BC，CD上的射影，求证：直线ABG是的中点，BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC内，设4．在△ABCD 及E是HG。的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和5 垂直？?中不同的AOA，这里的i, j

为1至nA6．已知点O在凸多边形A…A内，考虑所有的j2ni1自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。交于点AB和H，直线ED，7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高ADBE，CF交于点???，OC）DE，（2OH。MN1交于点，MFD和ACN，求证：（）OBDF作和，字母排列顺序一致，过平面上一点O△ABCC△8．平面上两个正三角形AB221121C?CBB,OC?AOA?A,OB为正三角形。△ABC，求证221211O的向量a, b, c, d9，任何两个不共线，求证：．在平面上给出和为

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.