第11章 轴对称问题的有限元分析

第11章轴对称问题的有限元分析

第1节基本知识

本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。

一、轴对称问题的定义

轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。

二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定

用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。

求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。

在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。

常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。

在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。

后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。

可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地

观察总体模型的各项结果。

第2节 2D 轴对称问题有限元分析实例

图11-1 圆柱筒壳示意图 一、案例1——圆柱筒的静力分析

问题 如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受1000 N/m 的压力作用，其厚度为0.1 m ，直径12 m ，高度为16 m ，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、

径向应力和轴向应力。

条件

弹性模量为2.0×1011 N/m 2，泊松比为0.3。

解题过程

以圆柱筒底部中心为坐标原点，建立直角坐标系如图11-1所示，标出主要点（1点和2点）的坐标，为实体造型做好准备。

制定分析方案。分析类型为线弹性性材料，结构静力分析，轴对称问题，由于受力题为圆柱壳，选用Shell51单元，筒的厚度为0.1 m 为单元的实常数；边界条件为圆柱筒下部施加轴线方向固定支撑，2点的受力为1000*12*π等于37699 N 。

1．ANSYS 分析开始准备工作

p=1000 N/m

（1）清空数据库并开始一个新的分析选取Utility>Menu>File>Clear & Start New，弹出Clear database and Start New对话框，单击OK按钮，弹出Verify对话框，单击OK按钮完成清空数据库。

（2）指定新的工作文件名指定工作文件名。选取Utility>Menu> File>Change Jobname，弹出Change Jobname对话框，在Enter New Jobname项输入工作文件名，本例中输入的工作文件名为“yuanzhutong”，单击OK按钮完成工作文件名的定义。

（3）指定新的标题指定分析标题。选取Utility>Menu>File>Change Title，弹出Change Title对话框，在Enter New Title项输入标题名，本例中输入“shell problem”为标题名，然后单击OK按钮完成分析标题的定义。

（4）重新刷新图形窗口选取Utility>Menu>Plot>Replot，定义的信息显示在图形窗口中。

（5）定义结构分析运行主菜单Main Menu>Preferences，出现偏好设置对话框，赋值分析模块为Structure结构分析，单击OK按钮完成分析类型的定义。

2．定义单元

运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/ Delete命令，弹出Element Types对话框，单击“Add”按钮新建单元类型，弹出Library of Element Types对话框，先选择单元大类为Shell，接着选择2D axisSymmetr 51（Shell51），单击OK按钮，完成单元类型选择，单击Close按钮完成设置，如图11-2所示。

图11-2 定义单元类型Shell

3．定义实常数

运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Real Constants Add/Edit/Delete命令，弹出实常数定义对话框，单击Add按钮进入实例常量输入对话框，在TK（I）项输入板厚（实例常数）0.1米，单击OK按钮完成实例常量输入。回到实例常量对话框，此时显示出新建编号为1的实例常量，单击Close按钮完成输入，如图11-3所示。

4．定义材料属性

运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models命令，系统显示材料属性设置对话框，在材料属性对话框中依次选择Structure、Linear、Elastic、Isotropic，如图11-4所示。

完成选择后，弹出材料属性输入对话框，分别输入弹性模量2e11，泊松比0.3，如图11-5所示，单击OK按钮完成材料属性输入并返回图11-4。

完成材料属性设置后，单击对话框右上方“X”按钮离开材料属性设置。

图11-3 定义实常量

1

2

3

4

图11-4 进入材料属性设置

图11-5 定义材料属性

5．建立几何图形

（1）创建关键点运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In active CS命令弹出创建关键点对话框，在对话框中分别输入关键点编号1，X=6，Y=0，Z=0，

单击Apply按钮定义第一点，如图11-6所示。

在对话框中分别输入关键点编号2，X=6，Y=16，Z=0，单击OK按钮定义第二点，如图11-7所示。

（2）创建圆柱筒母线运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>lines> Lines>Straight Line命令，在弹出的拾取对话框中分别拾取1点和2点，单击OK按钮完成圆柱筒母线绘制，图11-8所示。

图11-6 定义关键点1

图11-7 定义关键点2

图11-8 圆柱筒母线绘制

6．划分网格

运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool（网格划分工具）命令，出现MeshTool菜单，单击Lines中的Set按钮，出现选择拾取对话框，单击Pick All按钮选择所

有线，在单元尺寸控制对话框中的No. of element divisions项中输入线的等分数为8，其它项默认，单击OK按钮确定。单击Mesh按钮划分网格，在出现的Mesh Lines对话框中单击Pick All按钮，系统将自动完成网格划分。

运行菜单Utility Menu> PlotCtrls> Numbering弹出Plot Numbering Controls选择对话框，显示单元编号，设置如图11-9所示，单击OK按钮完成设置，划分网格结果如图11-10所示。

图11-9 设置显示单元编号

图11-10 划分网格结果

7．加载

（1）施加约束运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Displacement>On Keypoints命令，出现拾取菜单，选择关键点1，单击OK按钮出现约束定义对话框，如图11-11所示，选择UY约束Y方向自由度，在Displacement Value选项输入0，其它项默认，再单击OK按钮，完成约束定义。

（2）施加载荷运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Force/Moment>On Keypoints命令，出现拾取菜单，拾取关键点2，单击OK按钮出现载荷定义对话框，如图11-12所示，载荷类型为FY，载荷数值为-37699 N，再单击OK按钮完成载荷的施加，结果如图11-13所示。

图11-11 施加约束

图11-12 施加载荷

图11-13 施加约束和载荷结果

8．求解

运行主菜单Main Menu>Solution>Current LS命令，出现Solve Current Load Step对话框，单击/STAT Command窗口菜单/STAT Command>File>Close关闭/STAT Command窗口，然后单击Solve Current Load Step菜单中OK按钮确定，计算机开始进行求解，求解完成后出现“Solution is done”提示表示求解完成，单击Close按钮完成求解。

选择菜单路径Main Menu>Finish退出求解器。

8．查看分析结果

（1）扩展获得360度模型运行下拉菜单Utility Menu> PlotCrls>Style> Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric弹出轴对称扩展设置对话框，选择Full expansion，单击OK 按钮完成操作，图形窗口将显示扩展后的图形。

（2）打开单元形状显示开关运行下拉菜单Utility Menu> PlotCrls>Style> Size and Shape弹出Size and Shape对话框，将Display of element shapes based on real constant descriptions设置为On即打开状态，将Replot upon OK/Apply设置为Replot，单击OK按钮完成操作，图形窗口将显示图形的截面形状。

（3）显示节点（单元）位移云图运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择DOF Solution>Displacement Vector sum 合位移，单击OK按钮，节点位移云图如图11-14所示。

（4）显示径向应力（SX）运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择Stress>X-Component stress径向应力，单击OK按钮，节点应力云图如图11-15所示。

（5）显示环向应力（SZ）运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot> Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择Stress> Z-Component stress环向应力，单击OK按钮，节点应力云图如图11-16所示。

图11-14 显示变形图

图11-15 径向应力（SX）等值云图

二、案例2——飞轮的静力分析

如图11-17所示是一飞轮的截面图。飞轮角速度为62.8 rad/s，飞轮边缘受压力作用，压

力p 为1MPa ，飞轮轴孔固定，飞轮尺寸如图（单位为mm ），试进行静力分析。

条件

弹性模量为210GPa ，泊松比为0.27，密度为7800kg/m 3。

图11-17 飞轮截面图

解题过程

建立直角坐标系如图11-17所示，算出1—7点的坐标为实体造型做好准备。

制定分析方案。分析类型为线弹性性材料，结构静力分析，轴对称问题，采用板单元，选用Plane82单元；边界条件飞轮的角速度引起的惯性和飞轮边缘受的压力。

1．ANSYS 分析开始准备工作

（1）清空数据库并开始一个新的分析 选取Utility>Menu>File>Clear & Start New ，弹出Clear database and Start New 对话框，单击OK 按钮，弹出Verify 对话框，单击OK 按钮完成清空数据库。

（2）指定新的工作文件名 指定工作文件名。选取Utility>Menu> File>Change Jobname ，弹出Change Jobname 对话框，在Enter New Jobname 项输入工作文件名，本例中输入的工作文件名为“feilun ”，单击OK 按钮完成工作文件名的定义。

（3）指定新的标题 指定分析标题。选取Utility>Menu>File>Change Title ，弹出Change Title 对话框，在Enter New Title 项输入标题名，本例中输入“axisymmetric problem ”为标题名，然后单击OK 按钮完成分析标题的定义。

（4）重新刷新图形窗口 选取Utility>Menu>Plot>Replot ，定义的信息显示在图形窗口中。 Y

O

2．确定分析类型

运行主菜单Main Men>preferences弹出分析类型设定对话框，选择分析模块为Structural 结构分析，然后单击OK按钮完成分析类型定义。

3．定义单元及材料属性

（1）新建单元类型运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/ Delete命令，弹出Element Types对话框，单击Add按钮新建单元类型，弹出Library of Element Types对话框，先选择单元大类为Solid，接着选择Quad 8node 82（plane82），单击OK按钮，完成单元类型选择，如图11-18所示。

接着单击Option按钮进入单元设置选项，在Element behavior（K3）栏中更改选项为Axisymmetric（轴对称），在单击OK按钮返回Element Type对话框，单击Close按钮完成设置，如图11-19所示。

（2）定义材料属性运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models命令，系统显示材料属性设置对话框，在材料属性对话框中依次选择Structure、Linear、Elastic、Isotropic，如图11-20所示。

完成选择后，弹出材料属性对话框图11-21，分别输入弹性模量210e9，泊松比0.27，单击OK返回图11-20，选择Densiy，弹出密度定义对话框图11-22，输入密度7800，单击OK按钮返回。完成材料属性设置后，单击对话框右上方“X”按钮离开材料属性设置。

图11-18 定义单元类型plane82

图11-19 设置单元配置项

1

2

3

4

图11-20 进入材料属性设置

图11-21 设置材料属性

图11-22 定义材料密度

4．建立几何图形

（1）建立关键点关键点1—7各点的坐标见表11-2。

（2）绘制矩形运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rec- tangle>By Dimensions命令，在对话框中分别输入1点坐标X1=50，Y1=0，2点坐标X2=55，Y2=50，，单击Apply按钮完成第一个矩形绘制；同理，输入3点坐标X1=55，Y1=24，6点坐标X2=75，Y2=16，，单击Apply按钮完成第二个矩形绘制；输入4点坐标X1=75，Y1=40，5点坐标X2=80，Y2=5，，单击OK按钮完成第三个矩形绘制，如图11-23所示。

图11-23 绘制矩形

（3）布尔操作合并图形运行主菜单Main Menu>Preprocessor> Modeling>Operate> Booleans>Add出现选择拾取对话框，单击Pick All按钮选择所有面，完成布尔加操作。

（4）设置显示方式为了下一步倒圆角方便，设置显示图中的各直线编号。运行菜单Utility Menu> PlotCtrls> Numbering弹出Plot Numbering Controls选择对话框，设置Line Numbers为On，其它项默认，设置如图11-23所示，单击OK按钮完成设置。

运行菜单Utility Menu>Plot>Line，设置显示方式为直线，以便下一步为直线倒圆角，为如图11-24所示。

（5）倒圆角运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Line Fillet 弹出拾取对话框，操作如下：

拾取L7、L18，单击OK按钮，出现圆角半径设置对话框，Fillet Radius项输入5，其它项默认，单击Apply按钮完成第一个圆角绘制，如图11-25所示；同理，拾取L7、L20，单击OK按钮，出现圆角半径设置对话框，Fillet Radius项输入5，其它项默认，单击Apply 按钮完成第二个圆角绘制；拾取L5、L17，单击OK按钮，出现圆角半径设置对话框，Fillet

Radius项输入5，其它项默认，单击Apply按钮完成第三个圆角绘制；拾取L5、L19，单击OK按钮，出现圆角半径设置对话框，Fillet Radius项输入5，其它项默认，单击OK按钮完成圆角绘制，如图11-26所示。

图11-23 设置显示方式

图11-24 显示各直线编号

图11-25 设置圆角半径

图11-26 绘制圆角

（6）生成面运行菜单Utility Menu> Plot>Line设置直线显示方式，运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>By lines，出现选择拾取对话框，拾取L2、L8、L6单击Apply按钮完成第一个面的生成，如图11-27所示；同理，完成其它三个

面的生成，单击OK按钮结束。

图11-27 生成面

（7）布尔运算，完成几何图形创建运行主菜单Main Menu>Preprocessor> Modeling>Operate> Booleans>Add出现选择拾取对话框，单击Pick All按钮选择所有面，完

成几何图形创建，如图11-28所示。

图11-28 创建的几何图形

5．划分网格

运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool（网格划分工具）命令，出现MeshTool菜单，单击Areas中的Set按钮，在单元尺寸对话框中的Element edge length项中输入单元尺寸，本例中输入1，单击OK按钮确定.。在MeshTool菜单中设置Mesh下拉框为Areas，Shape项选择Quad（四边形单元网格）,选中Free（使用自由网格划分器）。单击Mesh按钮划分网格，在出现的Mesh Areas对话框中单击Pick All按钮，系统将自动完成网

格划分，划分网格结果如图11-29所示。

6．加载求解

（1）显示线段运行下拉菜单Utility Menu> Plot>Lines，把图形显示为线，同时图形显示各线段的编号。

（2）施加约束运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Displacement>On Lines命令，出现拾取菜单，选择如图11-29中的L4直线，单击OK按钮确定，出现约束定义对话框，如图11-30所示，选择All DOF约束所有自由度，在Displacement Value选项输入0，再单击OK按钮，完成约束定义。

图11-29 选择约束直线

图11-30 定义约束

（3）施加载荷运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Pressure>On Lines命令，出现拾取菜单，选择如图11-31的直线L9、L10、L11，单击OK 按钮确定，出现载荷（压力）定义对话框，如图11-32所示，输入1e6，单击OK按钮完成。

（4）施加角速度运行主菜单MainMenu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Inertia>Angular Volec>Globe弹出施加角速度对话框，如图11-33所示，在OMEGY项输入62.8，单击OK按钮完成。

图11-31 施加载荷

图11-32 输入压力值

图11-33 输入角速度

7．求解

运行主菜单Main Menu>Solution>Current LS命令，出现菜单中单击OK按钮确定，计算机开始进行求解，求解完成后出现“Solution is done”提示表示求解完成，单击Close按钮完成求解。

8．查看分析结果

（1）改变观察输出结果坐标系在总体柱坐标系下观察应力分布和变形比较方便，因此，把结果坐标系转换到体柱坐标系下：执行Main Menu>General Postproc>Options for Outp 出现结果坐标系设置对话框，设置为柱坐标系，如图11-34所示，单击OK按钮完成设置。

图11-34 设置结果观察坐标系

（2）显示节点（单元）径向位移云图运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择DOF Solution> X-Component of Displacement 径向位移（如果观察周向位移，该项选择为Y-Component of Displacement），单击OK按钮，节点径向位移云图如图11-35所示。

（3）显示节点（单元）应力云图运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot> Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择Stress>X-Component stress径向应力（周向应力为Stress>Y-Component stress），单击OK按钮，节点应力云图如图11-36所示。

（4）三维扩展结果运行下拉菜单Utility Menu> PlotCrls>Style> Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric弹出轴对称扩展设置对话框，选项如下：

● 1/4 expansion 1/4圆周扩展；

● 1/2 expansion 1/2圆周扩展；

● 3/4 expansion 3/4圆周扩展；

● Full expansion 整个圆周扩展；

● No expansion 恢复不扩展状态。

本例选择Full expansion，单击OK按钮，扩展后等轴侧显示如图11-37所示。

图11-35 节点径向位移云图

图11-36 节点径向应力云图

图11-37 三维扩展结果—节点应力云图

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》 一、知识点归纳 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

非线性有限元分析

轨道结构的非线性有限元分析 姜建华 练松良 摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。 关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析 1 引言 实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。 本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。 2 轨道结构的有限元接触模型 对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为 : 图1 轮轨系统的对称性模型简图 [K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。它们 36 姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092

第13章《轴对称》专项练习

第13章轴对称 一、选择题（共9小题） 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（） A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2） 2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（） A．（﹣4，6）B．（4，6） C．（﹣2，1）D．（6，2） 3．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（） A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 4．点（3，2）关于x轴的对称点为（） A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（） A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3）D．（3，﹣2） 6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（） A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3） 7．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）

A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 8．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（） A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2） D．（1，2） 9．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共16小题） 10．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为______． 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（______， ______）． 12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是______． 13．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=______． 14．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=______． 15．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为 ______． 16．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是______． 17．点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是______． 18．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为______． 19．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为______． 20．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是______．

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点二、线段垂直平分线的性质 4．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。 BC 5．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分 6．如图,DE是?ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米

第7讲轴对称最值模型(原卷版)

中考数学几何模型7：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山

B' Q D A' A P B C

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为． 变式练习>>> 1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）

A．B．C．D． 例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值. 变式练习>>> 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）

A．140°B．100°C．50°D．40° 例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是． 变式练习>>> 3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小

值是（） A．3B．2C．D．4 例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为． 变式练习>>> 4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：

第13章 轴对称(知识归纳)

第13章轴对称（知识归纳） 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【知识讲解】 知识点一：轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点二：作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

完整word版有限元分析轴对称问题

思考题 5-1 轴对称问题的定义 答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。 5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义 答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r，θ，z。 各位移分量是那几个自变量的函轴对称问题中每个点有几个位移分量？ 5-3 数？的函数，与θ无关。都只是rz答：位移分量u, w, 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。5-4 4答：个应力分量； 5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数 答：4个应变分量 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单5-6

元？作图说明等于零。因此轴对称问题是二维问v答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移平面（子午面）正交的截面r z题；三角形环单元。（三角形轴对称单元，这些圆环单元与是三角形） 写出三角形环单元的位移函数。满足完备性要求吗？5-7 答：满足完备性要求。 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。5-8 三角形环单元的应力和应变的特点。其单元刚度矩阵是几阶的？5-9 个正应力分量均随位置变化；答：应力分量：剪应力为常量，其他3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单应变分量：面内（子五面）3 元中各点的位置有关。单元刚度矩阵为六阶。有限元方法求解对称问题的基本步骤？5-10 结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相1. 连； {F}(e){Φ}(e)[K](e) 2.求出各单元的刚度矩阵：[K](e)是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);{Φ}集成总体刚度矩阵 3.[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量，此即为总体平衡方程。{F}= [K] {Φ} 的转移矩阵，其关系式为沿某个方向n4.引入支撑条件，求出各节点的位移：节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为一给定值。的位移为零，另一种是节点n 求出各单元内的应力和应变 5. 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边

数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版

数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word 版 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板 45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00) 45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问： ()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由， ()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00 )45(a ≤≤时，探索 DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ； （2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C ∠=∠+∠， 30C ∠=?， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=?，即可利用三角形内角和求出答案. 【详解】 ()1当a 为15时，//AB CD ， 理由：由图()2，若//AB CD ，则30 BAC C ∠=∠=， 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-?=?， 所以，当a 为15时，//AB CD ． 注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15， 第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ， 这两种解法都是正确的． ()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105? 证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=?, 30FEM CAM ∴∠=∠+?, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠, 180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=?, 3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+?+?=?, 1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=?--=?, 所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105. 【点睛】 此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键. 2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2253m n +-化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

第13章轴对称知识点

第13章 轴对称知识点总结 一、定义 1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。 2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能 够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系： 区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对 称关系”； 轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关 系”。 联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称； 把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与对应点连结的线段垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 二、.线段的垂直平分线 （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）垂直平分线判定： ∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 三、等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 注意：等腰三角形底角只能是锐角。 2.等腰三角形性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②等边对等角。 ③三线（垂线、中线、角平分线）合一。 3.等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 m C A B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰C B A

轴对称问题有限元法分析报告

轴对称问题的有限元 模拟分析

一、摘要： 轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。 轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。分析完成之后用ABAQUS软件建模以及分析得出结果。 关键字：有限元法轴对称问题ABAQUS软件 二、前言: 1、有限元法领域介绍： 有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的

数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。 由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。 2、研究报告目的: 我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为

第十三章轴对称单元测试卷及答案

数学试卷 第十三章 《轴对称》单元测试卷 (时间：60分钟 满分：100分) 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）． A 、 B 、 C 、 D 、 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）． A 、21：10 B 、10：21 C 、10：51 D 、12：01 3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A 、8 m B 、4 m C 、2 m D 、6 m 4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A 、90° B 、 75° C 、70° D 、 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A 、直角三角形 B 、长方形 C 、等边三角形 D 、等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 8.如图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A 、20° B 、 40° C 、50° D 、 60° 9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A 、AD DH AH ≠= B 、AD DH AH == C 、DH A D AH ≠= D 、AD DH AH ≠≠ 10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ 二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共16分）． 11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A （x ， －4）与点B （3，y ）关于x 轴对称，那么x ＋y 的值为____________. 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ． 14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2 ，则图中阴影部分的面积是 ___ cm 2 . 15 ．如图,在△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 16．如图，在等边ABC △中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且AD CE =，则B C D C B E ∠+∠= 度． 17．如图：在△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为 ； 18．在直角坐标系内，已知A 、B 两点的坐标分别为A （－1，1）、B （3，3），若M 为x 轴上一点，且MA ＋MB 最小，则M 的坐标是___________. 校名 班级 姓名 学号 密 封 线 装 订 线 内 不 要 答 题 第2题图 第3题图 第4题图 F E D C B A B M N P 1A P 2 O P 第7题图 第8题图 第9题图 M A N C Q P B N M D C H E B A D C 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 B C E D A B F E D C A

利用轴对称模型求线段和的最小值

利用轴对称模型求线段和的最小值 近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。 学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模 型，解决实际问题。 能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力， 进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。 情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学 的能力。 引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。 分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。 首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。 解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。 （1）A B A

总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。 例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。 图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值， 图5 图6 由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 3 22 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3 。 跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径

八年级数学第13章轴对称知识点

第十三章 轴对称知识点总结及常见题型 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3， ∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：底角顶角?-=2180ο 顶角顶角底角2 1 -902180?=-?= 可见，底角只能是锐角。 （2）性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。 （3）判定方法： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 ②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形： （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质： ①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。 ②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 ③等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C=60°。 （3）判定方法： 图6 m C A B D'D C' B'A' K J I H 图1 图2 m C A B P 图3 底边 底角底角顶角 腰 腰 D C B A 图5 A B C 图4

第十三章轴对称单元测试卷及答案

第十三章《轴对称》单元测试卷 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各时刻是轴对称图形的为（）． A、B、C、D、 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）． A、21：10 B、10：21 C、10：51 D、12：01 3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（）． A、8 m B、4 m C、2 m D、6 m 4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）． A、90° B、 75° C、70° D、 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）． A、直角三角形 B、长方形 C、等边三角形 D、等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）． A．9 B．12 C．9或12 D．5 7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB 的对称点、 ，连接交OA于 M，交OB于N ，若＝6，则△PMN的周长为（）． A、4 B、5 C、6 D、7 8.如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是( )． A、20° B、 40° C、50° D、 60° 9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）． A 、 B 、 C 、 D 、 10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）． A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ 二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共16分）． 11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A（x，－4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x＋y的值为____________. 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ． 14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2， 则图中阴影部分的面积是 ___ cm2. 15 ．如图,在△ABC中, AB=AC, D为BC上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 16．如图，在等边中，分别是上的点，且，则 度． 17．如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥ AB交AE的延长线于点F，则DF的长为； 18．在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（－1，1）、B（3，3），若M为x轴上一点， 且MA＋MB最小，则M的坐标是___________. 校 名 班 级 姓 名 学 号 密 封 线 装 订 线 内 不 要 答 题 第2题图第3题图第4题图 F E D C B A B M N P1 A P2 O P 第7题图第8题图第9题图 M A N C Q P B N M D C H E B A D C 第14题图第15题图第16题图第17题图 B C E D A B F E D C A

八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习(word解析版)

八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习（word 解析版） 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解： （1）如图1，在ABC ?中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小； （2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ?的“好好线”； 在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； 应用： （3）在ABC ?中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ?的“好好线”，点D 在BC 边上，点 E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数. 【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42° 【解析】 【分析】 （1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数． （2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形； （3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值； 【详解】 解：（1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∵BD=BC=AD ，

八年级上十二章轴对称知识点总结

轴对称知识点 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画岀关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称. 联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等：反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.（证明是必须有两个点）因此线段的垂宜平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. （四）用坐标表示轴对称 1、点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（-x, y）； 2、点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（x, -y）； 3、点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x, -y）。 关于谁谁不变，关于原点都相反

人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题复习

人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题复习 一．分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1. 当顶角或底角不确定时，分类讨论 例：若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100° 解：选D （解答略） 对应训练：(1).已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝1 2 BC ，则等腰三角形ABC 的底角的度数为( ) A ．45° B ．75° C ．45°或75° D ．65° (2).若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为____ 2.当底和腰不确定时，分类讨论 例：已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A ．8或10 B ．8 C ．10 D ．6或12 解：选C （解答略） 对应训练：(1).等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为_____． (2)若实数x ，y 满足|x －5|＋y －10＝0，则以x ，y 的值为边长的等腰三角形的周长为_． 3.当高的位置关系不确定时，分类讨论 例：等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数． 解：设AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D. (1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∴∠A ＝180°－2×65°＝50°.

(2)当高与另一腰的夹角的为25°时， 如图②，当高在△ABC的内部时， ∠ABD＝25°，∠A＝90°－∠ABD＝65°， ∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°； 如图③，当高在△ABC的外部时，∠ABD＝25°， ∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°， 故三角形各内角的度数分别为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°. 对应训练：(1).等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长。 ∠ACB900在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则 (2)如图，在Rt△ABC中,AB＝2BC,= 符合条件的点P共有()A．7个.B．6个 .C．5个.D．4个 (3)如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数 二．等腰三角形中常用作辅助线的方法 1.作“三线”中的“一线” 例：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF. 证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF. 又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF. ∴DE＝DF.