第12章 电磁感应 电磁场要点
第十二章 电磁感应 电磁场
问题
12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转.
解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向
里，并且由2I
B r
μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定．
（1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向．
（2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零.
12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？
解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生.
12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］．
C
I
解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d L
ε=
??v B l ?，
在图(a)与(c)中的运动情况中，
?v B 的方向与d l 方向垂直，铜棒中没有感应电动势．在图(b)中，铜棒绕中心轴运动，左右两段产生的感应电动势大小相等，方向相反，所以铜
棒中总的感应电动势为零．
12-4 有一面积为S 的导电回路，其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为何值时，回路中i ε的值最大；角θ为何值时，回路中i ε的值最小？请解释之．
解 由i d d d cos S S dt dt
εθ=-
-?B B
S =?，可得当0θ=时，回路中i ε的值最大，当90θ=时，回路中i
ε的值最小.
12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁，那么，当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后，由于电磁感应，线圈中会产生时间间隔为t ?的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗？如0.1m r =，4
=210s t -??，炮弹的速度为多少？
解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈，线圈中会产生感应电流， 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为
1500m s r
v t
-=
=??
12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中，线圈中是否产生感应电流？并指出其方向．（１）把线圈拉扁时；
（２）把其中
(a)(b)
(c)
B
一个磁极很快地移去时；（３）把两个磁极慢慢地同时移去时．
解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.
12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问: 在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零？各点的k E 是否均为零？
1
k d L ??
E l 和2
k d L ??E l 各为多少？
解 由于磁场只存在于圆柱体内，在回路1L 上各点d d B t 为常量，在回路2L 上各点d B t 为零.
空间中各点的感生电场分布为
r R < k d 2d r B
E t
=
r R > 2k d 2d R B
E r t
=
可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.
对于在回路1L
11k d d d d d d L L S S t t ?=-=-??
B B E l S ? 对于回路2L 2
2
k d d 0d L t
Φ?=-
=?E l
12-8 一根很长的铜管铅直放置，有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．
解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成，当磁棒下落，每通过一个线圈，线圈中的磁通量都会发生变化，在下落过程中，铜管中始终会有感应电流产生，并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反，因此，磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.
12-9 有一些矿石具有导电性，在地质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来发现它，这叫电磁勘探．在示意图中，A 为通有高频电流的初级线圈，Ｂ为次级线圈，
并连接电流计Ｇ，从次级线圈中的电流变
2
化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时，技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗？利用问题12-9图相似的装置，还可确定地下金属管线和电缆的位置，你能提供一个设想方案吗？
解 该检测方法利用的原理是电磁感应。通有高频电流的初级线圈A 产生的交变磁场在导电矿石内产生涡电流，由涡电流产生的变化磁场，使其附近的次极线圈中B 产生感应电流，引起电流计Ｇ中指针偏转。（在探测中要使初、次级线圈的相对位置不变，以保证次级线圈B 中感应电流的变化由导电矿石中涡电流产生的磁场引起。）
要确定地下金属管线和电缆的位置，可以将通有高频电流的初级线圈A 和接有电流计的次级线圈Ｂ组成一个探测仪，使探测仪沿地面运动。当靠近金属管线时，管线中由于初级线圈的作用会产生感应电流，同时使得线圈B 中产生感应电动势，电流计指针发生偏转，当电流计指针变化最大时，可以判断出管线在探测仪正下方.
12-10 如图所示，一个铝质圆盘可以绕固定轴
OO 转动．为了使圆盘在力矩作用下作匀速转动，常在圆盘的边缘处放一永久磁铁．圆盘受到力矩作用后先作加速运动，当角速度增加到一定值时，就不再增加，试说明其作用原理．
解 我们可以把铝质圆盘看作许多根从盘中心到边缘的铝棒，当圆盘绕轴转动时，通过磁场的铝棒切割磁力线，铝棒中产生感应电动势，其方向由盘心指向边缘，同时在盘内闭合回路中产生感应电流，圆盘受到与外力矩相反的安培力力矩的作用.最初，外力矩大于安培力矩，圆盘做加速运动，角速度增大，同时安培力矩增大，导致圆盘加速度减小，当安培力力矩等于外力矩时，圆盘角加速度等于零，角速度增加到最大，安培力矩不再增加，圆盘匀速转动.
12-11 如图所示，设有一导体薄片位于与磁感强
度B 垂直的平面上．（１）如果B 突然改变，则在点P 附近B 的改变可不可以立即检查出来？为什么？（２）若导体薄片的电阻率为零，这个改变在点P 是
始终检查不出来的，为什么？（若导体薄片是由低电
阻的材料做成的，则在点P 几乎检查不出导体薄片下侧磁场的变化，这种电阻率很小的导体能屏蔽磁场变化的现象叫做电磁屏蔽）
解 （1）不能立即检测出来．电磁场改变，在导体薄片内产生涡电流，会有电磁场产生，而电磁场在导体中衰减很快，不能通过导体，即大部分电磁场都会被导体屏蔽掉，所以对于导体一边电磁场的突变，在导体另外一边不能立即检测出来. （2）导体电阻率越小，即电导率越高，电磁场在其中的衰减越快，导体电磁屏蔽的效果越显著，当导体薄片的电阻率为零时，电磁场能被完全屏蔽，因此，导体一边电磁场突变，在导体另外一边始终检测不出来.
B
P
12-12 如果要设计一个自感较大的线圈，应该从哪些方面去考虑？
解线圈的自感只与线圈匝数、线圈大小和线圈中磁介质有关，要设计自感较大的线圈，需要用较细的导线绕制，以增加单位长度内的匝数，并选取较大磁导率的磁介质防于线圈内．
12-13有的电阻元件是用电阻丝绕成的,为了使它只有电阻
而没有自感,常用双绕法(如图).试说明为什么要这样绕.
解将电阻丝双绕成一组线圈，当通入电流，相邻两根线圈
中的电流流向相反，它们产生的磁场方向相反，通过回路线圈中总
的磁通量为零，因此没有自感.
12-14有两个线圈,长度相同,半径接近相等,试指出在下列三
种情况下,哪一种情况的互感最大？哪一种情况的互感最小？(1)两个线圈靠得很近,轴线在同一直线上；(2)两个线圈相互垂直,也是靠得很近；(3)一个线圈套在另一个线圈的外面.
解互感的大小表示了两线圈的耦合程度，两线圈的互感除了跟线圈大小，形状、匝数有关，还与它们的相互位置有关. 若一线圈中电流所产生的磁场贯穿另一个线圈的部分越大，它们之间的互感越大. 在本题所述的三种情况中，第三种情况的互感最大，第二种情况中的互感最小.
12-15试从以下三个方面来比较静电场和有旋电场：(1)产生的原因；(2)电场线的分布；(3)对导体中电荷的作用.
解（1）静电场是由空间中的静止电荷所激发的，有旋电场是由变化的磁场产生的；
（2）静电场中电场线是有源场，始于正电荷，终止于负电荷；有旋电场的电场线是闭合的；
（3）它们对导体中的电荷都有作用力，但有旋电场对电荷的作用力不是库仑力，它对电荷作用促使电荷积累，形成电势差.
12-16变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间发生？变化磁场所产生电场，是否也一定随时间发生变化？
解不一定．当电场随时间变化恒定时，它所产生的磁场恒定；当磁场随时间变化恒定时，它所产生的电场也是恒定的．
习题
12-1一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为
5sin100t
Φ=-
8.0?10π，式中Φ的单位为Wb，t的单位为s.求在2
=?
t-
1.010s 时，线圈中的感应电动势.
解 线圈中总的感应电动势为 ()()1d 2.51V cos 100s d N t t
Φ
ε-=-=π 在21.010s t -=?时，
()()
1
2.51V cos 100s 2.51V t ε-=π=
12-2 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆. 使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R ,求感应电流的表达式和最大值.
解 由于导线的转动，通过面积为2
12
S r =
π的半圆形导线的磁通量发生改变，导线中会产生动生电动势．取初始时刻0t =时，导线平面的法线与磁场的夹角0θ=. 经过时间t 导线平面转过的角度为
2f t θ=π 所以穿过回路的磁通量随时间的变化式为 ()2
1cos cos 22
t BS r B f t Φθ==
ππ 由法拉第电磁感应定律可知，回路中感应电动势为 22d sin 2d r f B f t t
Φ
ε=-=ππ 回路中感应电流为
22sin 2r f B
I f t R
π=
π 感应电流的最大值为 22max r f B I R
π=
12-3 有一测量磁感强度的线圈,其截面积2
4.0cm S =,匝数160N =匝,电
阻50R =Ω.线圈与一内阻30i R =Ω的冲击电流计相连.若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从
冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=?.问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？
解 线圈平面转动前后，通过线圈的磁链变化为
21NBS ψψψ?=-=
此过程中流过导体截面的电量为 ()i i
NBS
q I t t R R t R R ψ?=?=?=
+?+ 由上式可知，磁感强度为 ()
i 0.05T q R R B NS
+==
12-4 如图所示,一长直导线中通有 5.0A I =的电流,在距导线9.0cm 处,放一
面积为2
0.10c m ,10匝的小圆线圈,线圈中的磁场可看作是均匀的.今在2
1.010s
-?内把此线圈移至距长直导线10.0cm 处. 求:(1)线圈中平均感应电动势；（2）设线圈的电阻为
21.010-?Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．
解 带电直导线激发的磁场为非均匀磁场，由于线圈面积较小，我们可以认为穿过线圈的磁场为均匀磁场.
当线圈在19.0cm r =、210.0cm r =处，通过线圈平面的磁链分别为
01112N IS NB S r μψ==
π 0222
2N IS
NB S r μψ==π 所以线圈中平均感应电动势为 8
021
2111 1.1110V 2N IS t
t r r μψψε-??-=
=
-=? ??π???
（2）通过线圈横截面的感应电荷为
I
821
1.1110C q R
ψψ--=
=?
12-5 如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线OP 以匀速率v 向右移动时，求导线中感应电动势的大小．哪一端电势较高？ 解 如图所示，连接导线OP 两端，使导线构成一闭合回路，此闭合回路由直导线OP 、半圆形导线OAP 组成，由于磁场分布均匀，所以此闭合回路中的感应电动势为零，0ε=.
所以半圆形导线中的感应电动势的大小与直导线OP 中的感应电动势大小相等,即 2OAP OP BRv εε=-= 由?v B 可知, P 端电势较高.
12-6 长度为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，并以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动．设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差.
解 以支点为原点O ，在棒上距原点l 处取一小段线元d l , 其速度为v ，则它产生的电动势为
d ()d ε=?v B l ? 将上式积分可得
1
d (2)2
L r
AB r
B l l BL L r εωω--=-=--?
12-7 如图所示，长度为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO '轴以角速度ω旋转，棒与转轴夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行. 求OP 棒在图示位置处的电动势.
解 如图，在棒上距O 点为l 处取一小段线元d l ，其速度为sin v l ωθ=，所以导体棒产生的电动势为 d OP OP
ε=
??
v B l ?
sin cos(90)d L
l B l εωθθ=-?
B R O P
A
v
A
O
21
(sin )2
B L ωθ=
12-8 如图所示，金属杆AB 以匀速率12.0m s v -=?平行于一长直导线移动，此导线通有电流40A I =．问：此杆中的电动势为多大？杆的哪一端电动势较高？
解 如图所示，建立坐标系，在x 处取一小段线元
，此处的磁感强度为 2I
B x
μ0=π
所以，杆中电动势为
1.0m
50.1m
d d 3.8410V 2AB AB
I
v
x x
με-0=?-=-?π??
v B x =?
电动势方向由B 指向A ，A 端电动势较高．
12-9 如图所示，在一“无限长”直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框．该线框在垂直于导线方向以匀速率v 向右移动．求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向．
解 矩形线框中的感应电动势为各边框
导线产生的感应电动势之和．
由l
d ε=??
v B l ?可知，矩形线框中AB 、CD 与导线垂直，它们产生的感应电动势为零，所以线框的电动势为DA 、BC 两边所产生的电动势之和．
在图示位置处，导线DA 、BC 中产生的感应电动势分别为
222DA Il v
Bl v d
με0==
π
()
212BC Il v
d l με0=-
π+
这两边导线中电动势方向相反，此时线框中总的感应电动势为
I
I x I v
()
1212DA BC Il l v
d d l μεεε0=-=
π+
其方向为顺时针．
12-10 如图所示，一长为l 、质量为m 的导体棒CD ，其电阻为R ，沿两条平行的导电轨道无摩擦的滑下，导轨的电阻可不计，导轨与导体构成一闭合回路．导轨所在的平面与水平面成θ角，整个装置放在均匀磁场中，磁感强度B 的方向为铅直向上．求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD 的最大速
度m v ．
解 （1）导体在重力的作用下，沿轨道下滑，回路中磁通量发生变化，导体中有感应电动势产生，其大小为cos Blv εθ=，导体中有感应电流通过，从而受到水平向左的安培力作用，最初，导体棒的速度较小，导体沿轨道加速运动，速度增大，同时安培力也增大，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导体加速度为零，速度达到最大值．导体达到最大速度由安培定律可得，导体受到的安培力大小为
22cos B l v F IBl Bl R R
ε
θ
===
所以导体下滑的动力学方程为
d sin cos d v
mg F m t
θθ-= 由上两式可得
222
d d cos sin v
t B l v g mR
θ
θ=-
将上式积分可得t 时刻导体棒的速度为
22
2
cos 222sin 1cos B l t mR
mgR v e B l θθθ??=- ? ???
- （2）由上问中分析可知，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导
N F
体加速度为零，速度达到最大值，即
222max cos sin B l v mg R
θ
θ= max 222sin cos mgR v B l θ
θ
=
另外，由上问中速度与时间的关系可知，当t →∞，222cos 0B l t mR
e θ
→-
速度达到最大 max 222
sin cos mgR v B l θ
θ
=
12-11 有一磁感强度为B 的均匀磁场，以恒定的变化率
d d B
t
在变化．把一块质量为m 的铜拉成截面半径为r 的导线，并用它做成半径为R 的圆形回路，圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为 d 4d m B
I d t
ρ=
π
式中ρ为铜的电阻率，d 为铜的密度．
证明 由电磁感应定律可知，圆形回路中的感应电动势为 2d d d d R t t ΦB
ε==π 又圆形回路总电阻为
22l R R R S r r
ρρ
ρ2π2'===π 所以回路中的感应电流为
2d 2d Rr B
I R t
ε
ρπ==
' 又由导体总的质量22
2m dV r Rd ==π可知2
2m
Rr d
π=
π，代入上式可得 d 4d m B
I d t
ρ=π
12-12 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与圆柱轴线平行．如图所示有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率d d B
t
为常量．试证棒上的感应电动势的大小为
ε=
证明 变化的磁场会产生感生电场k E ，感生电场的方向与d d t
-
B
遵从右手螺旋定则．如图，连接OA ，OB ，使OAB 成为一闭合回路，回路中的感应电动势大小为为 k k k k d d d d d d OAB
OABO
OA
AB
BO
t
Φε=
?=?+?+?=
?
???E l E l E l E l 又OA ，OB 沿半径方向，与感生电场k E 垂直，所以OA ，OB 中感应电动势为零，所以AB 段，即金属棒上的感应电动势的大小为
k d d d d d OAB OAB AB
B
S t t
Φε=?=
=?E l
=
12-13 一半径为R ，电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中，B 的方向与盘面垂直，B 的值为()0
t
B t B τ
=，式中0B 和τ为常量，t 为时间．（1）求盘中产生的
涡电流的电流密度；（2）若0.20m R =，8
6.010m ρ-=?Ω?，0 2.2T B =，
18.0s τ=，计算圆盘边缘处的电流密度．
解 （1）变化的磁场会产生感生电场，从而在金属薄圆盘中产生涡电流．取圆盘中心为O ，圆盘上的感生电场线为一组以O 为圆心的同心圆，各点场强方向沿切线方向，圆盘上半径为r 的点感生电场强度大小为0
d 2d 2rB r B E t τ
==，该点电流密度大小为
2B E
j r ρ
ρτ
=
=
其方向与该点电场强度的方向一致．
B
（2）在边缘处，即0.20m r R ==处的电流密度为
520
2.0410A m 2B j R ρτ
-=
=??
12-14 截面积为长方形的环形均匀密螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．
解 设螺绕环中线圈电流为I ，以螺绕环中心为圆点O ，取半径为r 12()R r R <<的圆形回路，由安培定律可得，12R r R <<区域内的磁感强度为 02NI
B r
μ=π
穿过螺绕环上线圈中总的磁链为 2
1
2001d d d 22R S
S
R NI
N Ih
N
N S r r
r
μμψ===
ππ
?
?
?
B S ? 202
1
ln
2N Ih
R R μ=π
螺绕环的自感为
202
1
ln 2N h R L I R μψ==π
12-15 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为1S 和2S ，磁导率分别为1μ和2μ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感（设管的截面很小）．
解 设螺线管中线圈电流为I 由于螺线管截面很小，我们可以利用
N
B nI I l
μμ
==来求管内的磁感强度，其中μ为管内介质磁导率．本题中螺线管内由两种不同的介质填充，通过磁导率分别为1μ、2μ的介质截面的磁感强度分别为 11
N B I l μ= 22N B I l
μ=
22
,S N
则通过螺线管截面的总的磁链为
()21211221122N I
NB S NB S S S l
ψψψμμ=+=+=+
螺线管的自感为
()21122N L S S I l
ψ
μμ==+
12-16 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l 的
一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．
解 长为l 、相距为d 的两平行直导线可以看作无限长、宽为d 的矩形回路的一部分，设回路中
通有顺时针电流I ．如图所示，建立坐标轴Ox ，
则在两平行导线间的磁感强度为 ()
0022I
I
B x
d x μμ=
+
ππ-
则通过两导线之间的矩形（宽为d 、长为l ）面积
的磁通量为
0d d ln
d a
S
a
Il
d a
Bl x a
μΦ--===
π
??
B S ? 所以长为l 的两平行导线的自感为
0ln
l
d a
L I
a
μΦ
-=
=
π
12-17 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A B ''，每个线圈的自感均为L ，求：（1）A 和A '相接时，B 和B '间的自感1L ，（2）A '和B 相接时，A 和B '间的自感2L ．
解 （1）设当只有一组线圈中通有电流I 时，它穿过自身线圈回路的磁通量为LI Φ=；则当两组线圈中都通有相同的电流时，穿过两组线圈回路中总的磁通量为4Φ．
当A 和A '相接，线圈AB 和A B ''中的电流方向相反，通过线圈的磁通量也相反，
总的磁通量为1Φ=0，所以B 和B '间的自感10L =.
（2）A '和B 相接时，线圈AB 和A B ''中的电流方向相同，通过两线圈总的磁
l
通量为2ΦΦ=4，所以A 和B '间的自感24L L I
Φ
4==．
12-18 如图所示，一面积为24.0cm 共50匝的小圆形线圈Ａ，放在半径为20cm 共100匝的大圆形线圈Ｂ的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈Ａ内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --?时，线圈Ａ中感应电动势的大小和方向．
解 （1）设线圈Ｂ中通有电流I ，则它在中心处的磁感强度为0B
2I
B N R
μ=，
则通过小线圈的磁链为
0B 2A A A A A I
N BS N N S R
μψ==
则两线圈的互感为
60
B
6.2810H 2A
A A M N N S I
R
μψ-=
==?
（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为1
50A s --?时，1d 50A s d I
t
-=-?，则线圈Ａ中的感应电动势为
4d 3.1410V d A I
M
t
ε-=-=? 其方向与线圈Ｂ中的电流方向相同．
12-19 如图所示，两同轴单匝圆线圈Ａ、Ｃ的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ，若r 很小，可认为线圈Ａ在线圈Ｃ处产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈Ｃ的匝数为N 匝，则互感又为多少？
解 设线圈Ａ中通有电流I ，它在线圈Ｃ处产生的磁感强度为 ()
2032
2
22IR
B R d μ=
+
则穿过线圈Ｃ中的磁链为
()
22
032
222C C IR r BS R d μψπ==
+
所以两线圈的互感为 ()
22
032
2
22C
R r M I
R d
ψμπ==
+
12-20 一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面，圆心到长直导线间的距离为d ，求它们之间的互感．
解 如图所示，以取圆形回路中心为原点O ，建立坐标轴Oxy ．设长直导线中通有电流I ，它在线圈平面内的磁感强度为
()
02I
B d x μ=
π+
在圆形回路上取平行于长直导线、宽为d x 的面元d S ，d 2sin d S R x θ=，则穿过此面元的磁通量为
()
0d 2sin d 2I
R x d x μΦθ=
π+
又cos x R θ=，代入上式有 22
0d cos d cos I d R d R d R μΦθθθ??
-=-+ ?π+??
将上式积分可得
2200cos d cos I
d R d R d R μΦθθθπ
??
-=-+ ?π+??
?
(0I d μ=
所以，导线与圆形线圈之间的互感为
(0M d I
Φ
μ=
=
12-21 一个直径为0.01m ，长为0.10m 的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Ω．求：（1）如把线圈接到电动势 2.0V ε=的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电路时算起，要使线圈
储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？
I
解 （1）密绕螺线管的自感为20N S
L l
μ=，当接上电动势 2.0V ε=的电池
后，线圈中的电流为I R
ε
=
，则线圈中所储存的磁能为
2225
0m 2
1W 3.2810J 22N S LI lR
με-===? 螺线管内磁能密度为
3m
m W 4.17J m Sl
-==?w
（2）线圈接上电池ε后，线圈内的电流变化规律为
1R t L
I e R ε-?
?=
- ??
?
当电流稳定后可达最大值m I R
ε
=，设线圈储存磁能为最大储存磁能的一半时，电
流为I ，则有
22m 111222LI LI =?，
此时2
m I I =，将其代入电流变化规律式可得此时经过的时间为
4ln(1 1.5610s L t R -=-
=?
12-22 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I ，试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为2
16I
μπ．
解 设导体半径为R ，则在导体内部磁感强度为 02
2Ir
B R
μ=π
因此导体内部的磁能密度为
2
2B μ=w m 则单位长度导线内所贮藏的磁能为
2
200m m 20
1
W d 2d 2216R
V Ir I V r r R μμμ??
==
π= ?ππ??
??
w
12-23 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一0.50T 的均匀磁场中的能量密度相等，该电场的电场强度为多少？
解 0.50T 的
均匀磁场中的能量密度为 2
2B μ=w m 设均匀电场中电场强度为E ，则其中电场能量密度为 201
2
E ε=
w e 由题可知 =w w m e 则电场强度为 81
1.5110V m E -==??
第九章电磁感应电磁场(一)答案
一．选择题 [ D ]1.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为 的正方向，则代表线圈内自感电动势 随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解答】 dt dI L L -=ε， 在每一段都是常量。dt dI [ D ]2. （基础训练5）在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的均匀 磁场，如图所示．B 的大小以速率d B /d t 变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等． (D) AB 导线中的电动势小于导线中的电动势 【解答】 连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=?= =? → →l d E ob ob εε oab ob d dB S dt dt φεε==- =- o ab oab d d dt dt ??∴< [ B ]3.（基础训练6）如图12-16所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场 中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动 时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) 0ε= 2 2 1l B U U c a ω=- (B) 0ε= 221l B U U c a ω-=- (C)2 B l εω=221l B U U c a ω=- (D) 2B l εω= 221l B U U c a ω-=- 【解答】 ab 边以匀速转动时 0=- =dt d abc φ ε 22 l B l d B v U U U U L c b c a ω-=???? ? ??=-=-?→→→ [ B ]4.（自测提高2）真空中一根无限长直细导线上通电流I ，则距导线垂直距离为a 的空间 t t t t t (b) (a) B a b c l ω图12-16
第十二章 电磁感应电磁场(一)作业答案
第十二章 电磁感应 电磁场（一） 一．选择题 [ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60?时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是： (A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】 [ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】 dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。dt dI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ? 平 行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应 电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =22 1l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =2 2 1l B ω (D) =2l B ω，U a – U c =22 1 l B ω- 【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中 0d d =Φ t ，所以0=ε。 2012c L a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→ ??-=-=-=-??=-=- ??? ?? ［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经 为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为： (A))1 1(220r a a R Ir +-πμ (B) a r a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：t d d Φ = ε B ? a b c l ω a I r o R q 2 1 φφ-=
电磁感应++习题解答
第八章电磁感应电磁场 8 －1一根无限长平行直导线载有电流I，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（） （A）线圈中无感应电流 （B）线圈中感应电流为顺时针方向 （C）线圈中感应电流为逆时针方向 （D）线圈中感应电流方向无法确定 分析与解由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B）． 8 －2将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（） （A）铜环中有感应电流，木环中无感应电流 （B）铜环中有感应电流，木环中有感应电流 （C）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 （D）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 分析与解根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等，但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A）． 8 －3有两个线圈，线圈1 对线圈2 的互感系数为M21，而线圈2 对线圈1的互感系数为
M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且t i t i d d d d 21<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε= （B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε< （D ）2112M M = ，1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 12121=；t i M εd d 21212=．因而正确答案为（D ）． 8 －4 对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ） （A ） 位移电流的实质是变化的电场 （B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 （C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 （D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理 分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）． 8 －5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场 （B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线 （C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）．
工程电磁场基本知识点讲课教案
工程电磁场基本知识 点
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。 12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。 13 旋度的物理含义是。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??= A。 15 矢量场A在一点沿 e方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关 l 系为。 16 斯托克斯定理。
17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????g g 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点 P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。
第十二章电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波 12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且 t i t i d d d d 2 1<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε= （B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε< （D ）2112M M = ，1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 1 2121=；t i M εd d 21212=．因 而正确答案为（D ）． 12－5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场 （B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线 （C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）． 12－7 载流长直导线中的电流以 t I d d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t Φ d d - =ξ ，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用??= S S B Φd 来计算. 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量
工程电磁场复习基本知识点
第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
高中物理第二章 电磁感应与电磁场单元测试题及解析
第二章电磁感应与电磁场章末综合检测 (时间：90分钟；满分100分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．下列过程中一定能产生感应电流的是( ) A．导体和磁场做相对运动 B．导体一部分在磁场中做切割磁感线运动 C．闭合导体静止不动，磁场相对导体运动 D．闭合导体内磁通量发生变化 2．关于磁通量的概念，下列说法中正确的是( ) A．磁感应强度越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 B．磁感应强度越大，线圈面积越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 C．穿过线圈的磁通量为零时，磁感应强度不一定为零 D．磁通量发生变化时，磁感应强度一定发生变化 3．如图2－3，半径为R的圆形线圈和矩形线圈abcd在同一平面内，且在矩形线圈内有变化的磁场，则( ) 图2－3 A．圆形线圈有感应电流，矩形线圈无感应电流 B．圆形线圈无感应电流，矩形线圈有感应电流 C．圆形线圈和矩形线圈都有感应电流 D．圆形线圈和矩形线圈都无感应电流 4．以下叙述不正确的是( ) A．任何电磁波在真空中的传播速度都等于光速 B．电磁波是横波 C．电磁波可以脱离“波源”而独自存在 D．任何变化的磁场都可以产生电磁波 5．德国《世界报》曾报道过个别西方发达国家正在研制电磁脉冲波武器——电磁炸弹．若一枚原始脉冲波功率10 kW、频率5千兆赫的电磁炸弹在不到100 m的高空爆炸，它将使方圆400 m2～500 m2地面范围内电场达到每米数千伏，使得电网设备、通信设施和计算机中的硬盘与软盘均遭到破坏．电磁炸弹有如此破坏力的主要原因是( ) A．电磁脉冲引起的电磁感应现象 B．电磁脉冲产生的动能 C．电磁脉冲产生的高温 D．电磁脉冲产生的强光 6．在图2－4中，理想变压器的原副线圈的匝数比为n1∶n2＝2∶1，A、B为完全相同的灯泡，电源电压为U，则B灯两端的电压有( ) 图2－4 A．U/2 B．2U
大物B课后题08-第八章 电磁感应 电磁场
习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b m a i il I l b b ldx t x a a μμμφωπππ===? 由法拉第电磁感应定律有 00ln cos 2m d I l b t dt a φμωεωπ=- =- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt ，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 2 0m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率 15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式
第12章 电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场 问题 12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由2I B r μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定． （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零. 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生. 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］． C I
大学物理期末复习第八章电磁感应及电磁场
第八章 电磁感应与电磁场 §8-1电磁感应定律 一、电磁感应现象 电磁感应现象可通过两类实验来说明： 1．实验 1）磁场不变而线圈运动 2）磁场随时变化线圈不动 2．感应电动势 由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。 3．电动势的数学定义式 定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即 () ??=l K l d K ：非静电力 ε （8-1） 说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为 表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正 极时，非静电力所做的功。 （2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：() ??=l K l d K ：非静电力 ε （3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经 电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。 二、电磁感应定律 1、定律表述
在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式： 在SI 制中，1=k ，（S t V Wb :;:;:εΦ），有 dt d i Φ- =ε （8-2） 上式中“-”号说明方向。 2、i ε方向的确定 为确定i ε，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dt d i Φ -=ε计算i ε。 三、楞次定律 此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。 楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。 说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表 述。 （2）楞次定律是能量守恒定律的反映。 例8-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，AB 边也可以左右滑动，设 以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。 解：取回路顺时针绕行，l AB =,x AD =, 则通过线圈磁通量为 由法拉第电磁感应定律有： “-”说明：i ε与l 绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知，i ε沿逆时针方向。 讨论：（1）如果回路为N 匝，则?=ΦN （?为单匝线圈磁通量） （2）设回路电阻为R （视为常数），感应电流 dt d R R I i i Φ-==1ε 在1t —2t 内通过回路任一横截面的电量为 可知q 与（12ΦΦ-）成正比，与时间间隔无关。 例8-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。
大学物理(少学时)第9章电磁感应与电磁场课后习题答案
9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场 () ()2 2 003 3 2 2 2 22IR IR B x R x R x μμ= ≈ >>+ 3 2 202x r IR BS πμφ= = v x r IR dt dx x r IR dt d 4 22042202332πμπμφ ε=--=-= 9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ? 的方向垂直于金属架 COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ?向右滑动，v ? 与 MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ? 不随时间改变，框架内的感应电动势i ε． 解：12m B S B xy Φ=?=?,θtg x y ?=,vt x = 22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg ε?θθ=-=-=?，电动势方向：由M 指向N 9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。 解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产 生动生电动势。当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02() I B a d μπ= + AC 中产生的动生电动势大小为： x r I R x v C D O x M θ B ? v ?
第八章电磁感应 电磁场习题解答
第八章电磁感应 电磁场习题解答 8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为 58.010sin100(Wb)t π-Φ=?，求在21.010s t -=? 时，线圈中的感应电动势． 分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成d d d d N t t εΦψ =-=- ，其中N ψ=Φ称为磁链． 解 线圈中总的感应电动势 d 2.51cos(100)d N t t επΦ =-= 当2 1.010s t -=? 时， 2.51V ε=． 8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以 dI dt 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求线圈中的感应电动势． 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律d d t εΦ =- 来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用Φ=S d ?? B S 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1 与B 2 之和）． 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即()B B x =，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx 、长为d 的面元ｄS ，如图中阴影部分所示，则d d S d x =，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元d d dy S x =，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式d d M l E M t =-求解．
解1 穿过面元ｄS 的磁通量为 0012d d d d d d 2() 2Φ=d x d x x d x μμππI I ???- +B S =B S +B S = 因此穿过线圈的磁通量为 220003 d d d 2() 224 Φ=Φ=d d d d d d d x x ln x d x μμμπππI I I -=+?? ? 再由法拉第电磁感应定律，有 0d 3dI =d 24d d ln t t μεπ??- =??? ?Φ 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 03 24 Φ= dI ln μπ 线圈与两长直导线间的互感为 0324 Φ=d M ln I μπ= 当电流以 d d I t 变化时，线圈中的互感电动势为 0d 3d 24d I M ln t μεπ??=-=??? ? 8 －10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？ 分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由d d t ε=- Φ 求解外（必须设法
第十二章 电磁感应-电磁场(二)作业答案
一. 选择题 [ C ] 1 (基础训练8)、 如图12-21，平板电容器 (忽略边缘效 应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H 的 环流两者，必有： (A) > '??1 d L l H ??'2d L l H . (B) = '??1 d L l H ??'2 d L l H . (C) < '??1 d L l H ??'2d L l H . (D) 0d 1 ='??L l H . 【提示】全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。另，在忽略边界效应的情况下，位移电流均匀分布在电容器两极板间，而环路L 1所包围的面积小于电容器极板面积，故选（C ）。 即0d I I =，20L H dl I ?=? ，1 S d d L I H dl J S S ?==? 极板，其中S 是以L 1为边界的面积。 [ A ] 2 (自测提高3)、对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确． (A) 位移电流是指变化电场． (B) 位移电流是由线性变化磁场产生的． (C) 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律． (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理． [ B ] 3 (自测提高6)、如图12-27所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表 面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零． 【提示】 如图所示的载流圆筒等同于一长直螺线管。在筒内产生的时变磁场是空间均匀的，在筒外无磁场，所以（C ）错； 筒内的时变磁场将产生涡旋感生电场，涡旋电场在筒内不是均匀分布的（d 2d r B t ），所以（A ）错； 涡旋电场沿任意闭合回路的积分为感生电动势≠0，所以（D ）错； 磁场（无论是变化的还是稳恒的）与感生电场都是涡旋场，其相应的场线都是一些闭合 图12-21 图12-27
第十二章 电磁感应及电磁场基本方程习题解
第十二章 电磁感应及电磁场基本方程 12–1 如图12-1所示，矩形线圈abcd 左半边放在匀强磁场中，右半边在磁场外，当线圈以ab 边为轴向纸外转过60o过程中，线圈中 产生感应电流（填会与不会），原因是 。 解：线圈以ab 边为轴向纸外转过60o过程中，尽管穿过磁感应线的线圈面积发生了变化，但线圈在垂直于磁场方向的投影的面积并未发生变化，因而穿过整个线圈的磁通量并没有发生变化，所以线圈中不会产生感应电流。因而应填“不会”；“通过线圈的磁通量没有发生变化”。 12–2 产生动生电动势的非静电力是 力，产生感生电动势的非静电力是 力。 解：洛仑兹力；涡旋电场力（变化磁场激发的电场的电场力）。 12–3 用绝缘导线绕一圆环，环内有一用同样材料导线折成的内接正方形线框，如图12-2所示，把它们放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，当匀强磁场均匀减弱时，圆环中与正方形线框中感应电流大小之比为___________。 解：设圆环的半径为a ，圆环中的感应电动势1E 大小为 2111 d d d πd d d ΦB B S a t t t = ==E 同理，正方形线框中的感应电动势2E 大小为 2212 d d d 2d d d ΦB B S a t t t = ==E 而同材料的圆环与正方形导线的电阻之比为12 R R = = 。所以 圆环与正方形线框中的感应电流之比为 12 π 2I I a == 12–4 如图12-3所示，半径为R 的3/4圆周的弧形刚性导线在垂直于均匀磁感强度B 的平面内以速度v 平动，则导线上的动生电动势E = ，方向为 。 c 图12–5 图12–4 a b d c 图12–1 B a 图12–2 图12–3
习题9 电磁感应与电磁场
习题9 9-1在磁感应强度B 为0、4T 的均匀磁场中放置一圆形回路,回路平面与B 垂直,回路的面积与时间的关系为:S ＝５t 2＋3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解:根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε ９-2 如题9－２图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环Ｍe Ｎ与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a 、设半圆环以速度ｖ平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小与方向及MN 两端的电压U M -ＵN 、 题９-2 解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ?+-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向, 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势,即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9－3
9-３ 如题9-3图所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈、两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以错误!的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (２)线圈中的感应电动势、 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-４ 9-４ 如题９-4图所示,长直导线通以电流Ｉ=5 A,在其右方放一长方形线圈,两者共面、线圈长ｂ=0．06 m,宽a ＝0.04 m,线圈以速度v ＝0.0３ m ／s 垂直于直线平移远离、求:d ＝0．05 ｍ时线圈中感应电动势的大小与方向、 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势 ?==??=A D I vb vBb l B v d 2d )(01πμε BC 产生电动势 ) (π2d )(02d a I vb l B v C B +-=??=? με ∴回路中总感应电动势 8021106.1)11 (π2-?=+-= +=a d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针、 9-5 长度为l 的金属杆ａb 以速率v 在导电轨道a ｂｃｄ上平行移动、已知导轨处于均匀磁场Ｂ中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示),Ｂ的大小为Ｂ＝kt (k 为正常数)、设t ＝０时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小与方向. 题9－5图 解: ?==?=?=2 22 12160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ ∴ klvt t m -=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向.
第十二章电磁感应电磁场
第12章电磁感应 内容：1 . 法拉第电磁感应定律 2 . 动生电动势和感生电动势 3 . 互感 4 . 自感 5 . RL电路的暂态过程 6 . 自感磁能磁场的能量密度 7 . 位移电流电磁场基本方程的积分形式 重点：法垃第电磁感应定律 难点：感生电动势和感生电场
12.1 法拉第电磁感应定律 12.1.1 电磁感应现象 G v 演示动画：现象1演示动画：现象2 G k （1）线圈固定，磁场变化
当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，不管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流。这就是电磁感应现象。 G B ω 演示动画：现象3 （2）磁场不变，线圈运动 演示程序：在磁场中旋转的线圈? ?? ?? ? ?? ? G S B
思考：仅一段导体在磁场中运动，导体内有无感 生电流？有无感应电动势？ 有感生电动势存在，而无感生电流。 12.1.2 法拉第电磁感应定律 在电磁感应现象中，导体回路出现感应电流，这表明回路中有电动势存在。 因回路中磁通量的变化而产生的这种电动势叫感应电动势 （1）法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时间的变化率成正比。
t Φk m d d -=ε单位: 1V=1Wb/s 国际单位制中k =1 负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化 磁链数:m N ΦΨ=若有N 匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为Φm t N t m d d d d Φψε-=- =（2）感应电动势方向 由于电动势和磁通量都是标量，它们的“正负”相对于某一指定的方向才有意义。 t d d m Φ- =ε
电磁感应与电磁场
滚动检测2电磁感应与电磁场 一、单项选择题Ⅰ：本大题共20小题，每小题1.5分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．如图1所示，闭合的矩形线圈abcd放在范围足够大的匀强磁场中，下列哪种情况下线圈中能产生感应电流() 图1 A．线圈向左或向右平移 B．线圈向里或向外平移 C．线圈以ad为轴旋转 D．线圈不动 【答案】C 【解析】线圈以ad为轴旋转时，磁通量发生减小的变化，因此，会产生感应电流．2．如图2所示，三角形线圈abc放在范围足够大的匀强磁场中并做下列运动，能产生感应电流的是() 图2 A．向上平移B．向右平移 C．向左平移D．以ab为轴转动 【答案】D 【解析】题中所给的条件是磁感应强度B和线圈面积S不变，根据产生感应电流的条件，可以判断D项正确． 3．如图3所示，蹄形磁铁置于水平桌面上，当开关闭合时，以下分析正确的是() 图3 A．导体ab在磁场中因受力而运动 B．导体ab中有感应电流产生 C．如导体ab水平向左运动，电流表指针发生偏转
D．如导体ab竖直向上运动，电流表指针发生偏转 【答案】C 【解析】如导体ab水平向左运动，则闭合回路中有磁通量的变化，因此，电流表指针发生偏转． 4．关于电磁感应现象，下列说法正确的是() A．导体的一部分在磁场中做切割磁感线运动一定产生感应电流 B．闭合电路的一部分在磁场中运动一定有感应电流产生 C．电动机是根据电磁感应的原理制成的 D．只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生 【答案】D 【解析】只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生． 5．如图4所示，绕在铁芯上的线圈与电源、滑动变阻器和电键组成闭合回路，在铁芯的右端套有一个表面绝缘的铜环A，下列各种情况中铜环A中没有感应电流的是() 图4 A．线圈中通以恒定的电流 B．通电时，使变阻器的滑片P做匀速移动 C．通电时，使变阻器的滑片P做加速移动 D．将电键突然断开的瞬间 【答案】A 【解析】线圈中通以恒定的电流时，铜环A中没有磁通量的变化． 6．把一条形磁铁插入同一个闭合线圈中，第一次是迅速的，第二次是缓慢的，两次初、末位置均相同，则在两次插入的过程中() A．磁通量变化率相同 B．磁通量变化量相同 C．产生的感应电流相同 D．产生的感应电动势相同 【答案】B 【解析】两次初、末位臵均相同，磁通量变化量相同；插入的时间不同，导致磁通量的变化率不同，产生的感应电动势也不相同，电阻不变，因此产生的感应电流也不相同．7．下列关于电磁感应现象的有关说法，正确的是() A．只要穿过闭合电路中的磁通量不为零，闭合电路中就一定有感应电流产生
第八章电磁感应电磁场习题解答-感生电场习题
第八章电磁感应电磁场习题解答 8 —6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为 G =8.0 10^5sin100二t（Wb）,求在t =1.0 10 2 s时，线圈中的感应电动势. 分析由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数 d①dΨ 和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成；=-N d d,其中弓-NG称为dt dt 磁链. 解线圈中总的感应电动势 dΦ ；-- N 2.51cos（100二t） dt 当t =1.0 102s 时，；：-2.51V . 8 —7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流 均以W 的变化率增长?若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所dt 示.求线圈中的感应电动势. 题8-7 ≡ d① 分析本题仍可用法拉第电磁感应定律来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁 dt 通量就需用①= B d S来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 S 与B 2之和）. 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B仅与X有关，即B=B（X）,故取一个平 行于长直导线的宽为d X、长为d的面元d S,如图中阴影部分所示，贝U dS =ddx ,所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS =dxdy ,则上述积分实际上为二重积分）.本题 在工程技术中又称为互感现象，也可用公式E^- -M ~~求解. dt tlx
解 1 穿过面元 d S 的磁通量为 再由法拉第电磁感应定律，有 dΦP od I 3 [di ；= —In dt ]2兀4_dt 解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为 线圈与两长直导线间的互感为 ① M= —： I ?d3 = In 2 二4 当电流以d~变化时，线圈中的互感电动势为 dt IKfl di j 0d 3 ；--M —0 In dt 2 二4 8 - 10如图（a）所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中, 当导线以速率V水平向右平动时，求导线中感应电动势E的大小，哪一端电势较高？ ^S-IO 圈 分析本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由 构造一个闭合回路），还可直接用公式；=I（V B） d 1求 解. dΦ = B d S = B1d S + B2J√? d S = 0ddx 2兀（x + d） %： ddx 2二X 因此穿过线圈的磁通量为 dx 一严。Id 2二（X d）d dx 2二X ?；：=-dφ求解外（必须设法 dt 2 二
第十二章电磁感应电磁场(二)作业答案
第十二章电磁感应电磁场(二)作业答案
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第十二章 电磁感应 电磁场（二） 一. 选择题 [ C ] 1 (基础训练8)、 如图12-21，平板电容器(忽略边缘效 应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H 的环流两者，必有： (A) >'??1d L l H ??'2 d L l H . (B) ='??1 d L l H ??'2 d L l H . (C) < '??1 d L l H ??'2 d L l H . (D) 0d 1 ='??L l H . 【提示】全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。另，在忽略边界效应的情况下，位移电流均匀分布在电容器两极板间，而环路L 1所包围的面积小于电容器极板面积，故选（C ）。 即0d I I =， 2 0L H dl I ?=?，1 S d d L I H dl J S S ?== ?极板 ，其中S 是以L 1为边界的面积。 [ A ] 2 (自测提高3)、对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确． (A) 位移电流是指变化电场． (B) 位移电流是由线性变化磁场产生的． (C) 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律． (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理． [ B ] 3 (自测提高6)、如图12-27所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表 面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零． 【提示】 如图所示的载流圆筒等同于一长直螺线管。在筒内产生的时变磁场是空间均匀的，在筒外无磁场，所以（C ）错； 筒内的时变磁场将产生涡旋感生电场，涡旋电场在筒内不是均匀分布的（d 2d r B t ），所以（A ）错； 涡旋电场沿任意闭合回路的积分为感生电动势≠0，所以（D ）错； H L 1 L 2 图12-21 i (t ) 图12-27