初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法(1)
初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法
一、解答题（共15小题，满分150分）
1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．
3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为，其中t=0，±1，±2，±3，…．
4、求11x+15y=7的整数解．
5、求方程6x+22y=90的非负整数解．
6、求方程7x+19y=213的所有正整数解．
7、求方程37x+107y=25的整数解．
8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．
10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
11、求下列不定方程的整数解：
（1）72x+157y=1；
（2）9x+21y=144；
（3）103x﹣91y=5．
12、求下列不定方程的正整数解：
（1）3x﹣5y=19；
（2）12x+5y=125．
13、求下列不定方程的整数解：
（1）5x+8y+19z=50；
（2）39x﹣24y+9z=78．
14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．
15、求不定方程组的正整数解．
答案与评分标准初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法
一、解答题（共15小题，满分150分）
1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？考点：二元一次方程的应用。
分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这一等量关系，可以列出方程求解作答．
解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔，
则根据题意得方程：
3x+11y=50．
这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，
所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，
即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．
若y=0，则x=，不是整数，不合题意；
若y=1，则x=13，是整数，符合题意；
若y=2，则x=，不是整数，不合题意；
若y=3，则x=，不是整数，不合题意；
若y=4，则x=2，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即或；
答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．
故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．
点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别注意，实际问题实际分析．
2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．
考点：解二元一次方程。
分析：根据原方程，xy的关系可以得到x、y的一个等式关系，由于方程的解是正整数，则只要y取自然数，x取比y大2的数即可，原方程有无数组解．
解答：解：我们知道：3﹣1=2，4﹣2=2，5﹣3=2，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是
，
其中n可以取一切自然数．
因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．
点评：本题考查了二元一次方程的解和求不定方程的整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为，其中t=0，±1，±2，±3，…．
考点：解二元一次方程。
分析：把x0，y0代入原方程中可得到一个方程，设方程的任一组解可得到第二个方程，联立两个方程求解，再根据a，b是互质的正整数，c是整数，即可得到原方程解的表示形式，即可证明结论．
解答：证明：因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②
因此a（x0﹣bt）+b（y0+at）=ax0+by0=c．
这表明x=x0﹣bt，y=y0+at也是方程①的解．
设x′，y′是方程①的任一整数解，则有
ax′+bx′=c．③
③﹣②得
a（x′﹣x0）=b′（y′﹣y0）．④
∵a，b是互质的正整数即（a，b）=1，
∴即y′=y0+at，其中t是整数．将y′=y0+at代入④，即得x′=x0﹣bt．
∴x′，y′可以表示成x=x0﹣bt，y=y0+at的形式，
∴x=x0﹣bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解．
点评：本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解．当没有条件限制时，二元一次方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
4、求11x+15y=7的整数解．
考点：二元一次不定方程的整数解。
分析：首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可．
解答：解：方法1：将方程11x+15y=7变形得：x=，
∵x是整数，
∴7﹣15y应是11的倍数．
由观察得x0=2，y0=﹣1是这个方程的一组整数解，
∴方程的解为：（t为整数）．
方法2：先考察11x+15y=1，
通过观察易得：11×（﹣4）+15×（3）=1，
∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）=7，
可取x0=﹣28，y0=21．
∴方程的解为：（t为整数）．
点评：此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．
5、求方程6x+22y=90的非负整数解．
考点：二元一次不定方程的整数解。
分析：首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可．
解答：解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：
3x+11y=45．①
由观察知，x1=4，y1=﹣1是方程3x+11y=1②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
（t为整数），
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
180﹣11y≥0 ③，
﹣45+3t≥0 ④，
由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．
当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．
所以原方程的非负整数解是
，．
点评：本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
6、求方程7x+19y=213的所有正整数解．
考点：解二元一次方程。
分析：首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值．
解答：解：用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x==30﹣2y+②
因为x，y是整数，故3﹣5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y=③，
令=v，则2u+5v=3．④
由观察知u=﹣1，v=1是方程④的一组解．将u=﹣1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，
所以它的一切解为，
由于要求方程的正整数解，所以，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：
和．
点评：本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．
7、求方程37x+107y=25的整数解．
考点：解二元一次方程。
专题：计算题。
分析：先把107，37，33，表示成：107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1，再用37与107表示1，然后求解即可．解答：解：107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．
为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得
1=33﹣8×4=37﹣4﹣8×4=37﹣9×4
=37﹣9×（37﹣33）=9×33﹣8×37
=9×（107﹣2×37）8×37=9×107﹣26×37
=37×（﹣26）+107×9．
由此可知x1=﹣26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是
x0=25×（﹣26）=﹣650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．
所以原方程的一切整数解为：，t是整数．
点评：本题考查了解二元一次方程，难度较大，关键是先把107与37分解，然后用37和107表示1．
8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
考点：二元一次方程的应用。
专题：应用题。
分析：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142分，可列出一元二次方程讨论求解．
解答：解：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142，于是
7x+5y=142．①
所以y==28﹣x+=28﹣x﹣
由于7x≤142，所以x≤20，并且x，y为整数，从而x=1，6，11，16，
①的非负整数解为，，，．
所以，共有4种不同的支付方式．
点评：说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程
9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．
考点：二元一次不定方程的整数解。
专题：计算题。
分析：设出参数9x+24y=3t，根据9x+24y﹣5z=1000，得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点，即可得方程有无数组整数解．
解答：解：设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t﹣5z=1000．
于是原方程可化为，
用前面的方法可以求得①的解为：，u是整数；
②的解为，v是整数．
消去t，得，u，v是整数．
即当u、v取不同整数的时候，会得到相应的x、y、z的整数值．
点评：此题考查了用参数法求一元三次不定方程的整数解，将每个未知数用相应的参数表达是解题的关键．
10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
考点：三元一次方程组的应用。
专题：应用题。
分析：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，根据用100个钱买100只鸡列方程组，再根据未知数应是正整数进行分析讨论求解．
解答：解：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组
，
①化简，得15x+9y+z=300③，
③﹣②，得14x+8y=200，
即7x+4y=100．
y=25﹣x．
由题意知，0＜x，y，z＜100，且都是整数，
所以可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
点评：能够根据题目中的等量关系列方程组，注意方程组的解应是正整数的条件．
11、求下列不定方程的整数解：
（1）72x+157y=1；
（2）9x+21y=144；
（3）103x﹣91y=5．
考点：解二元一次方程。
分析：首先将方程做适当变形，根据解为整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得方程的另一个解．
解答：解：（1）由原方程得x==①，
∵原方程的解为整数，
∴当y=﹣11时，x=24，是原方程的一组解，故y=72t﹣11，代入①式得x=24﹣157t（t为整数），
故原方程的解为（t为整数）．
（2）由原方程得：x==16﹣2y﹣y①，
∵方程的解整数，16﹣2是整数，
∴满足是整数即可，令y=t（t为整数），则y=3t，代入①式得，x=16﹣7t．
故原方程的解为（t为整数）．
（3）由原方程得x==①，
∵原方程的解为整数，
∴当y=9时，x=8，是原方程的一组解，
故y=103t+9，代入①式得x=91t+8（t为整数），
原方程的解为（t为整数）．
点评：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
12、求下列不定方程的正整数解：
（1）3x﹣5y=19；
（2）12x+5y=125．
考点：解二元一次方程。
专题：计算题。
分析：求不定方程的正整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值即可．
解答：解：（1）3x﹣5y=19，移项得：3x=5y+19，化系数为1得；
x=，
∵0＜y＜，即y只能在1，2，3，4，5，6中取值，
当y=1时，x=8，
当y=2时，x=不符合题意；
当y=3时，x=不符合题意；
当y=4时，x=13；
当y=5时，x=不符合题意．
故符合题意的正整数解为：，．
（2）12x+5y=125，移项得：5y=125﹣12x，化系数为1得：
y=25﹣x，
∵0＜x＜，故x只能在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中取值，
又∵y=25﹣为正整数，故符合条件的x为：5，10．
当x=5时，y=13；
当x=10时，y=1；
故不定方程的正整数解为：，．
点评：本题考查了解二元一次方程，难度适中，关键是先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值即可．
13、求下列不定方程的整数解：
（1）5x+8y+19z=50；
（2）39x﹣24y+9z=78．
考点：解三元一次方程组。
专题：计算题。
分析：先令x=0，y=0，计算出z的值，如果符合条件就是不定方程的整数解，然后再依次计算x=1，2…，y=1，2…，求出z的值，看是否符合条件即可．
解答：解：（1）经验算5x+8y+19z=50的整数解为；
（2）经计算39x﹣24y+9z=78的整数解为，，，，，，，，
．
点评：本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握不定方程的解法．
14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．
考点：非一次不定方程（组）。
专题：方程思想。
分析：先将方程转化为x=5﹣2y﹣3z﹣t﹣，可设k=﹣，因为x是整数，所以k也是整数，得到t=﹣2k
﹣y﹣z，令y=m，z=n，代入即可求得t和x，从而得解．
解答：解：2x+5y+7z+3t=10，
x=5﹣2y﹣3z﹣t﹣，
设k=﹣，
因为x是整数，所以k也是整数
t=﹣2k﹣y﹣z
令y=m，z=n，
则t=﹣2k﹣m﹣n，
∴x=5+3k﹣m﹣2n．
故x=5+3k﹣m﹣2n，y=m，z=n，t=﹣2k﹣m﹣n，其中k，m，n是整数，此方程有无数组整数解．
点评：本题考查了多元一次不定方程，可以通过设参数进行转化求解，有一定的难度．
15、求不定方程组的正整数解．
考点：非一次不定方程（组）。
专题：计算题。
分析：先用加减消元法把三元一次方程组化为两元，根据x、y是正整数求出x、y的值，再求出z的对应值，由z 是正整数舍去不符合条件的未知数的值即可．
解答：解：，
①×2得，10x+14y+4z=48…③，
③+②得13x+13y=52，即x+y=4，
∵x、y、z是正整数，
∴x=1，y=3或x=2，y=2或x=3，y=1，
把x=1，y=3代入②得，3﹣3﹣4z=0，z=0，不合题意；
把x=2，y=2代入②得，6﹣2﹣4z=0，z=，不合题意；
把x=3，y=1代入②得，9﹣1﹣4z=0，z=2，符合题意．
故答案为：．
点评：本题考查的是不定方程组的解，解答此类题目时要根据解方程组的方法，化“三元”为“二元”，化“二元”为“一元”进行解答．
专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
专训4 二元一次方程组的五种特殊解法 名师点金：解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知”为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组的变形的技巧，选用较简便的方法来解． 引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ?????x 3＋y 4＝0，① 2（x ＋y ）－3（2y －x ）＝62.② 特殊消元法解二元一次方程组 类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 2．解方程组：? ????2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.② 类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 3．解方程组：? ????13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②
利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组?????3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4 －x －y 2＝0. 同解交换法解二元一次方程组 5．已知关于x ，y 的方程组?????ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组?????ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1 的解相同，求(a －b)2 018的值． 运用主元法解二元一次方程组
6．已知?????4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0 (x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．
答案 1．解：由①，得x 3＝－y 4 . 设x 3＝－y 4 ＝k ，则x ＝3k ，y ＝－4k. 将x ＝3k ，y ＝－4k 代入方程②，得2(3k －4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62. 解这个方程，得k ＝2.所以x ＝6，y ＝－8. 所以原方程组的解是?????x ＝6，y ＝－8. 技巧点拨：本题利用引入参数法解方程组．当方程组中出现x a ＝y b 的形式时，常考虑先用参数分别表示出x ，y 的值，然后将x ，y 的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解． 2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③ 由③，得x ＝1－y.④ 把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y ＝2 017. 解这个方程，得y ＝2. 把y ＝2代入方程③，得x ＝－1. 所以原方程组的解为? ????x ＝－1，y ＝2. 点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便． 3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③ ①－②，得－x ＋y ＝－1.④ ③＋④，得2y ＝2，y ＝1. ③－④，得2x ＝4，x ＝2. 所以这个方程组的解是? ????x ＝2，y ＝1. 点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的． 4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则原方程组可转化为?????3m ＋4n ＝20，m 4－n 2 ＝0，解得?????m ＝4，n ＝2.
二元一次方程及其解法
一、问题引入 问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可 列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！ 解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 （与分式区分开来） 想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=?? +=?，5(2)6x y xy +=?? =?， 7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=
特殊法解二元一次方程组优秀教学设计
特殊法解二元一次方程组专题 命题人：易晓萍 班级：________姓名：__________ 学习目标：掌握整体代入法、换元法、轮换对称方程、含参方程等特殊的方法解方程 一、整体代入法 例1、对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 变式练习：（1）???=+=+11325y x y x （2）?????=--=-12264532y y x y x 归纳总结：在运用消元法解二元一次方程组时，要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性。 二、换元法 请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组 ，若设x +y ＝m ，x ﹣y ＝n ，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 ． 变式练习：（1）???=-++=--+11)(2)(35)()(2n m n m n m n m （2）???????=-++=-++1732)(3732y x y x y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据
其特征，适当进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以更快更准确。 三、轮换对称方程 定义：在解方程组 时，我们可以先①+②，得x +y ＝1，再②﹣①，得x ﹣y ＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． 变式练习：（1）???=+=+13 341 43y x y x （2） ???=+=+15151491494951y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据 其特征，将两个方程相加相减得出新的方程，会大大减低计算量。（依据是等式的性质） 四、含参方程 例、解方程组 ???-=+=14 434:3:2::c b a c b a 变式练习：已知x 、y 的值满足等式 54321y x y x +=+=+，求式子32123++++y x y x 的值 归纳总结：连比或者连等，通常利用设参法，先将连比或连等中的未知数设参数表示，再求解，以达到消元的目的。
二元一次方程及其解法
. .. . . 一、问题引入 问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可 列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！ 解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 （与分式区分开来） 想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3x y y z +=?? +=?，5(2)6 x y xy +=?? =?， 7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，2132 57m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=
初一 二元一次方程组及其解法(学生版)
3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组. 4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 注意： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个． 题型1：二元一次方程 【例1-1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)． 举一反三： 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．=y+5x B ．3x+2y=2x+2y C ．x=y 2 +1 D ． 题型2：二元一次方程的解 【例2-1】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【例2-2】已知二元一次方程 ． ?? ?=-=+5 20 13y x x x a y b =??=? 25 26 x y x y +=?? +=?1 222 x y x y +=-?? +=-?102x +=2 51x y +=132x y +=280x y -=462x y +=3 142 x y +=
(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ； (3)用适当的数填空，使是方程的解． 举一反三： 1、若方程的一个解是，则a= . 2、已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ． 题型3：二元一次方程组及方程组的解 【例3-1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【例3-2】判断下列各组数是否是二元一次方程组的解． （1） （2） 举一反三： 2 _______ x y =-??=?24ax y -=2 1x y =??=? 4221 x y x y +=?? +=-?①② 35x y =??=-?2 1x y =-??=?
解二元一次方程组的两种特殊方法
解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x
（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x
二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解
像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 （三）另类换元 例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程的”特殊解“
二元一次方程的“特殊解” 我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。例如二元一次方程5 2= +y x 的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是 1, 3 x y = ? ? = ? 和 2, 1; x y = ? ? = ? 自然数解有 3个，分别是 1, 3, x y = ? ? = ? 2, 1, x y = ? ? = ? 0, 5. x y = ? ? = ? 二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可 以助你一臂之力。 例12008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下： 某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。 ⑴列出二元一次方程； ⑵写出各种购票的方案。 析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程12000 800 1000= +y x。 ⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程12000 800 1000= +y x 的自然数解的问题，方程12000 800 1000= +y x经过整理可以化为60 4 5= +y x， 易得出其自然数解为 0, 15, x y = ? ? = ? 4, 10, x y = ? ? = ? 8, 5, x y = ? ? = ? 12, 0. x y = ? ? = ? 所以有以下购票方案：购男 篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。 例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能 1 / 2
二元一次方程组及其解法
3.3 二元一次方程组及其解法（5）教学目标： 知识与技能：综合运用两种基本的消元方法解二元一次方程组。 过程与方法：通过对两种消元方法的对比和选择，体会消元的本质，领悟消元、转化思想在解方程组中的作用。 情感、态度与价值观：通过解方程组时的方法选择，培养学生多角度思考问题的良好习惯，提高学生灵活运用知识的能力，并且在与他人合作交流的过程中体验成功探索的快乐，发展合作意识。 教学重点：消元法解方程组。 教学难点：根据方程组的特点灵活选择消元方法；化归思想的渗透。内容分析：本节课为综合运用两种基本的消元方法解二元一次方程组的探究学习，一方面是对同一个方程组作出解决方法的选择的学习，另一方面是化复杂的方程组为简单方程组的探索，并最终将“消元”“化归”思想共同作用于对多元方程组解法的迁移。 教学过程： 一、新课引入 前面几节课我们已经学习了二元一次方程组的解法，请同学们回忆下解二元一次方程组有哪两种方法?这两种方法的数学思想都是什么? 二、讲授新课 1.思考：解二元一次方程组什么情况下用代入法，什么情况下用加减法比较简便呢? 例.解下列方程组应先消哪个元，用哪一种方法较简便，为什么?
（1) (2) (3) (4) 从上面几个例题，你能不能总结一下一般什么情况用代入法，什么情况用加减法较简便呢？ 总结：当二元一次方程组中的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。 练习1：请说出下列各方程组应先消哪个元，用哪一种方法简便，为什么？ （1） （2） （3） （4） 例．解方程组: 分析：本题方程①和②都比较复杂，解题的关键在于能否对这两个方程进行正确的化简整理，因为方程①和②都含有分母，所以第一步应先去分母。 4m+3n=11 5m-3n=7 3x+2y=7 5x-y=3 2x+3y=1 4x+5y=1 4x+5y-31=0 3x-4y=0 ???=+=+5b 3a 710b 8a 7???=-=+9y 3x 513y 2x 3 ???=-=+1y x 27y 4x 3???=+=++0 y 3x 207y 4x 5?????=-+-=+++253y 23 2x 735y 23x
(计算题)二元一次方程组练习题-直接打印版
萌学教育 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6 251023x y x y 3、 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ? ?=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、?? ?=+=+10232556y x y x 13、???=+=+2.54.22.35 .12y x y x 14、? ????=-+-=+6 )(3)1(26 1 32y x x y x 15、 16 17、 18、 带入消元法： （5） 请用X 表示Y 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 请用Y 表示X 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 ???=-=+1572532y x y x 3216,31;m n m n +=??-=??? ?? ?=--=+-4 323 122y x y x y x 523,611; x y x y -=??+=?234,443; x y x y +=??-= ?
二元一次方程组解法练习题精选(含答案)精选
解下列方程组 （1）（2）（3）（4）． 考点：解二元一次方程组． 分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可； （3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2， 解得x=2， 把x=2代入①得，2+y=1， 解得y=﹣1． 故原方程组的解为． （2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39， 解得，y=3， 把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5， 解得x=2． 故原方程组的解为． （3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣．所以原方程组的解为． （4）原方程组可化为：， ①×2+②得，x=， 把x=代入②得，3×﹣4y=6， y=﹣． 所以原方程组的解为． 点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法： ①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．
3．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法． 解答： 解：原方程组可化为， ①×4﹣②×3，得 7x=42， 解得x=6． 把x=6代入①，得y=4． 所以方程组的解为． 点评：；二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法． 4．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单． 解答： 解：（1）原方程组化为， ①+②得：6x=18， ∴x=3． 代入①得：y=． 所以原方程组的解为． 点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法． 5．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题；换元法． 分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解． 解答： 解：， ①﹣②，得s+t=4， ①+②，得s﹣t=6， 即， 解得．
第1讲 二元一次方程的解法
二元一次方程的解法及其应用题 ㈠ 二元一次方程：含有两个未知数，且未知项最高次数为1的整式方程叫二元一次方程方程。 注意：①在方程中的“元”是指未知数，“二元”就是方程中有且只有两个未知数。 ②“未知项的最高次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，切不可理解为两个未知数的次数都是1，如3xy-2=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但未知项“3xy ”的次数是2，所以它不是二元一次方程。 ③二元一次方程的左边和右边都是整式,例如：11x y -=不是二元一次方程,因为它的左边不是整式. ㈡ 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的解。 ㈢ 二元一次方程的解法：通常求二元一次方程的解的方法是先用含有其中一个未知数的代数式表示另外一个未知数，例如，欲求二元一次方程y-2x=1的解，可先将其变形为y=2x+1，然后给出x 的一个值，就能相应地求出y 的一个值，这样得到的每一对对应值，就是二元一次方程y-2x=1的解。 注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值 ②一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么可能只有有限个解。 ㈣二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 二元一次方程组的解法： 注意：方程组的解满足方程组中的每一个方程。 由于方程组需要用大括号“｛”表示，所以方程组的解也要用大括号“{”表示 怎样检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，：通常是将这对数值分别代入方程组中的每一个方程，只有当这对数值同时满足所有的方程时，才能说这对数值时此方程的解 消元法： （1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用含x 的代数式表示出来，也就是写成y=ax+b 的形式； （2）将y=ax+b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程 （3）解这个一元一次方程，求出x 的值； （4）把求得的x 的值代入y=ax+b 中，求出y 的值，从而得到方程组的解。 例1 2237x y x y -=??+=?2326 x y x y +=??+=? 加减法： （1） 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数间既不互为相反数又不相等，就可 用适当（通常用两个系数的最小公倍数）的数乘以方程的两边，使一个未知数的系
数学人教版七年级下册二元一次方程组的特殊解法
二元一次方程组的特殊解法教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能：二元一次方程组的常规解法是代入法和加减法， 但对一些系数结构比较特殊的方程组应灵活选择适当的方法求解。 2、过程与方法:通过观察、思考、讨论使学生掌握解方程组的特 殊方法 3、情感态度价值观;培养学生合作交流的意识和勇于探究的精神 二、教学重点:根据方程组的特点选择适当的方法求解。 三、教学难点：对特殊方法的探究 四、教学流程： （一）温习旧知，激发思维 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、消元的方法有哪些？ 3、什么情况下用代入法简单？什么情况下用加减法简单？ （二）思考探究 第一组 运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练孩子们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后的数学学习，
以至工作中都会有所帮助。 第二组 21x+23y=243 23x+21y=241 5x-9y=24 仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x ，y 的系数，刚好是第二个方程中y 和x 的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程。 （第三组） 第三组一题为设参数法解二元一次方程组，此解法另辟蹊径，避繁就简，新颖独特，广开解题思路，更有利于开发学生的智力，培养学生的创造性思维能力。 二题按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.根据题目的特点，适时进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组的解。 （三）趁热打铁，及时巩固 解方程组 对新的方法予以巩固提升 ???????=-=-8524076y x y x
(完整word版)二元一次方程组特殊解法
二元一次方程组的特殊解法 1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。 这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。 2、灵活消元 （1）整体代入法 5. 解方程组y x x y +=+-=?????142 3231 解：原方程组可变形为435 231x y x y -=--=??? 继续变形为232512312x y x x y -+=-<> -=<>??? <2>代入<1>得：125+=-x x =-3 解得：y =-7 3 方程组的解为x y =-=-?????3 7 3 （2）先消常数法 例6. 解方程组433132152x y x y +=<> -=<>??? 解：<1>×5－<2>得：17170x y += x y =-<> 3 <3>代入<1>得：y =-3 把y =-3代入<3>得：x =3 所以原方程组的解为x y ==-???3 3 （3）设参代入法 例7. 解方程组x y x y -=<> =<>???321432::
解：由<2>得： x y 43= 设x y k 43 ==，则x ky k ==<>433， 把<3>代入<1>得：492 k k -= 解得：k =-25 把k =-25代入<3>，得：x y =-=-8565 ， 所以原方程组的解是x y =-=-????? ??8565 （4）换元法 例8. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-???? ?23 634 解：设x y a x y b +=-=，，则原方程组可变形为 3236340a b a b -=-=???，解得a b ==???2418 所以x y x y +=-=??? 2418 解这个方程组，得：x y ==???213 所以原方程组的解是x y ==??? 213 （5）简化系数法 例9. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<> ??? 解：<1>＋<2>得：777 x y -= 所以x y -=<> 13 <1>－<2>得：xy +=-<> 14
二元一次方程解法大全.
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法 云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝 【摘要】 解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法，但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新意识。 【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法 二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一元。消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本方法。解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富有规律性。此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运算，找到较为简便的解法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 整体代入法 例1 解方程组y x x y +=+-=?????1423231 解：原方程组可变形为435231 x y x y -=--=??? 继续变形为 2 x －3y+2 x=－5
2 x －3y=1 （2）代入（1）得：125+=-x x =-3 解得：y =-73 方程组的解为x y =-=-?????373 再如： 2a ＋b ＝3 (1) 3a ＋b ＝4 (2) 解： （2）式变形为（2a ＋b ）＋a ＝4 (3) ,ax by m bx ay n +=??+=? 把（1）代入(3)得 3＋a ＝4 ∴ a ＝1 把a ＝1代入（1）得b ＝1 ∴原方程组的解是 a ＝1 b ＝1 二、直接加减法 a x+by ＝m 当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于 bx + ay=n 的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法． 例2 解方程组 4x －3y ＝3 (1) 3x －4y ＝4 (2) 解： （1）＋（2）得 7x －7y ＝7
二元一次方程的特殊解法
二元一次方程方程的解法 一整体法 1整体变换 已知关于x、y的方程组的解是 （1）把x换成m，y换成n，得到方程组，则这个方程组的解是；（2）把x换成2x，y换成4y，得到方程组，则，所以这个方程组的解是； （3）参照以上方法解方程组 2．整体计算 先阅读，然后解方程组． 材料：解方程组． 解：设=n，将原方程组化为解得即 ∴原方程的解为．此种方法叫做“换元法”，请用这种方法解方程组 ． 3整体代入 先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入② 得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得．这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组： 4整体法的应用 （2009?烟台）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两 行驶1小时，平均速度比平时快5千米/小时，则比平时多行驶70千米，若他一天内少行驶 样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1 元，或购甲种零件4件，乙种零件10件，丙种零件1件，共需420元．问购甲、乙、丙各1件共需多少元？ ：某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋、3个鹅蛋共用去了3.20元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 购买五种教学用具A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表： 那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 二连续加减法特点同一未知数的系数和或差相等或相反 1阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入 消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②﹣①得：3x+3y=3，所以x+y=1③ ③×14得：14x+14y=14④ ①﹣④得：y=2，从而得x=﹣1 所以原方程组的解是 （1）请你运用上述方法解方程组 （2）请你直接写出方程组的解是； （3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
用合适的方法解二元一次方程组
???=+=-16 4354y x y x 用合适的方法解二元一次方程组 教学目标 知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法。 过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。 情感态度与价值观：通过学生比较几种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一方法。 教学重点：选用合适的方法解二元一次方程组。 教学难点：会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。 教学过程： 一、复习导入，初步认识 1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、 消元的方法有哪些？ 3、不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴ ???=+=924y x y x ⑵ （3） ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 二、思考探索，获取新知 1、学生自主学习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 ???=-=+6 341953y x y x ?-=?+=?33234x y x y
???=+=-16 4354y x y x （1） （2）???=+=-,1225423y x y x 2、 合作探究：几种解二元一次方程组的特殊方法。 （一）整体代入法 分析:方程①及②中均含有2x + 3y 。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y 。 学生练习：用整体代入消元法解下列方程组。 （二）换元法 学生练习： （三）化繁为简法
学生练习 三、当课练习 四、课堂小结 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、本节课我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？ 五、课后作业布置 3.1 一元一次方程及其解法（学生版+教师版） 专题拔高 1．解下列方程： (1)4x －3(20－2x )＝10； (2)3(2x ＋5)＝2(4x ＋3)－3； (3)3x －7(x －1)＝3－2(x ＋3)． ()2018x-2017y=404012017x-2018y=4030???()()2x+y -2y=03222x+y -5=7y ?????()x y =3363x+y=-15?????
解二元一次方程组的两种特殊方法
1 解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 3x 2y 2 ① 例 5y 12 4x ② 解：（①+②）÷7x y 2 ③ ③×3－①x 2 ④ ④代③y 4 ④ （1）6x5y 10 ①17 x11y 6 ① （2）5 4 5x 6y 10② 2 1 3 ② x y 5 4
（3）7m13n79 ①（4）19s11t 74 ①13m7n 61 ②11s19t 106 ② （5）（）（） 17 ① 22x 9 32018y 2017 （）（ 2017) 42 ② 52x 9 72018y
二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消 元比较麻烦，这时可以用换元法。 3x y y 2x ① 例 5 2 3 3x y y 2x ② 5 2 3 解：考虑到两式中代数式3x y 和 y2x 相同，所以可以设 5 3 m 3x y ,n y 2x 。原方程变为 5 3 m n 2 ③ m n 2 ④ 解得m 2 ⑤ n ⑥ 3x y 2 ⑦ 即 5 y 2x ⑧ 3 3x y 10 ⑨ 2x y ⑩ 解⑨⑩组成的方程组得 x 2,y 4. 方程组得解为 练习B ： x 2 y 4 5(x y) 4(xy) 2① 3(x y) 4(x y)14 ① （） y x 2 3 3 1 xy （） 6 ② 2 xy y x 14 3 2 ② 3 2 3
4 x 1 y 9 1 ① （）3 4 ） 3 （ x ）（ 4 1 3y 9 ② 3 10 4 5p 2q 3(3pq) 4 ① 7 2 （） ） 6 （ ）（ 45p 2q33p q ② 7 2 1