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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题及评分标准

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

一、填空(共8小题,每小题7分,共56分) 1. 若函数(

)f x =且()()()n n

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题及评分标准

f x f f f f x ??=?????? ,则()()991f = . 【答案】

1

10

【解析】 ()()(

)1f x f x ==

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()

()(

)2f

x f f x =

=

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????……

()

(

)99f

x =

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故()()991110

f =

2. 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=,点A 在直线L 上,B ,

C 为圆M 上两点,在A B C ?中,45BAC ∠=?,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围为 .

【答案】 []36, 【解析】 设()9A a a -,,则圆心M 到直线A C 的距离sin 45d AM =?,由直线A C 与圆M 相

交,得2

d ≤

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解得36a ≤≤.

3.

在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为0

2y y x y x ??

??-?

≥≤≤,N 是随t 变化的区域,它由

不等式1t x t +≤≤所确定,t 的取值范围是01t ≤≤,则M 和N 的公共面积是函数()f t = .

【答案】 2

12

t t -++

【解析】 由题意知

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()f t S =阴影部分面积

A O

B O

C D

B

S S S ??

?

=-- ()2

21

1112

2

t t =--- 212

t t =-++

4. 使不等式

11112007

1

2

21

3

a n n n +

++

<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数

a 的值为

【答案】

2009

【解析】 设()1111

2

21

f n n n n =

+

++

+++ .显然()f n 单调递减,则由()f n 的最大值

()1

12007

3

f a <-,可得2009a =.

5. 椭圆

222

2

1x y a

b

+

=()0a b >>上任意两点P ,Q ,若OP OQ ⊥,则乘积OP OQ ?的

最小值为 .

【答案】

2

22

2

2a b

a b

+

【解析】 设()cos sin P O P O P θθ,,

ππcos sin 22Q OQ OQ θθ?????

?±± ? ? ??????

?,.

由P ,Q 在椭圆上,有 2

2

2

2

2

1cos sin a

b

O P

θθ=

+

① 2

2

2

2

2

1sin cos a

b

O Q

θθ=

+

①+②得 2

2

2

2

1111a

b

OP

OQ

+

=

+

于是当OP OQ ==

OP OQ 达到最小值

222

2

2a b

a b

+.

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6. 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .

【答案】

0k <或4k = 【解析】 ()20

10

1kx x kx x ?>??

+>??=+??

当且仅当 0kx >

① 10x +>

② ()2

210

x k x +-+=

对③由求根公式得

1x

,2122x k ?

=

-±?

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2

400k k k ?=-?≥≤或4k ≥.

(ⅰ)当0k <时,由③得

121220

10

x x k x x +=-

=>? 所以1x ,2x 同为负根. 又由④知121010

x x +>??

+

所以原方程有一个解1x . (ⅱ)当4k =时,原方程有一个解112

k x =-=.

(ⅲ)当4k >时,由③得12122010

x x k x x +=->??

=>?

所以1x ,2x 同为正根,且12x x ≠,不合题意,舍去. 综上可得0k <或4k =为所求.

7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)

【答案】 98

1012? 【解析】 易知:

(ⅰ)该数表共有100行;

(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为

11d =,22d =,232d =,…,98

992d = (ⅲ)100a 为所求.

设第()2n n ≥行的第一个数为n a ,则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+

32

22222n n n a ---??=++??

24

223222222n n n n a ----??=++?+??

32

3232

n n a --=+?

……

()1

2

12

12

n n a n --=+-?

()2

12n n -=+

故981001012a =?.

8. 某车站每天800~900∶∶,900~1000∶∶都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随

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一旅客820∶到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).

【答案】 27 【解析】 旅

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候车时间的数学期望为

111111030507090272336

12

18

?

+?

+?

+?

+?

=

二、解答题

1. (本小题满分14分)设直线:l y kx m =+(其中k ,m 为整数)与椭圆

2

2

1

16

12

x

y

+

=交于不同两点A ,B ,与双曲线

2

2

1412

x

y

-

=交于不同两点C ,D ,问是否存在直

线l ,使得向量0AC BD +=

,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请

说明理由.

【解析】 由2211612

y kx m x y =+??

?+=?

?消去y 化简整理得

()2

2

2

3484480k x

kmx m +++-=

设()11A x y ,,()22B x y ,,则122

834km x x k

+=-

+

()()()2

2

2

184344480

km k

m

?=-+->

① ………………………………………………4分

由221412

y kx m x y =+??

?-=??消去y 化简整理得

()2

2

2

32120k x

kmx m ----=

设()34C x y ,,()44D x y ,,则342

23km x x k

+=

-

()()()2

2

2

2243120

km k

m

?=-+-+>

② ………………………………………………8分 因为

A C

B D += ,所以()()42310x x x x -+-=,此时()()42310y y y y -+-=.由

1234x x x x +=+得 2

2

82343km km k

k

-

=

+-.

所以20km =或2

2

41343k

k

-

=

+-.由上式解得0k =或0m =.当0k =时,由①和②

得m -

m =,由①和②

得k <.因k 是整数,所以1k =-,0,1.于是满足条

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件的直线共有9条.………14分

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2. (本小题15分)已知p ,()0q q ≠是实数,方程20x px q -+=有两个实根α,β,

数列{}n a 满足1a p =,22a p q =-,()1234n n n a pa qa n --=-= ,, (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式(用α,β表示); (Ⅱ)若1p =,14

q =

,求{}n a 的前n 项和.

【解析】 方法一: (Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠,又p αβ+=,所以

()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-,()345n = ,,,

整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-

令1n n n b a a β+=-,则()112n n b b n α+== ,,.所以{}n b 是公比为α的等比数列. 数列{}n b 的首项为:

()()2

2

2

121b a a p q p ββαβ

αββαβα

=-=--=+--+=.

所以21n n n b ααα

-+

=?=,即11n n n a a βα++-=()12n = ,,.所以

1

1n n n a a βα

++=+()12n = ,,.

①当

2

40

p q ?=-=时

αβ=≠,

12a p ααα

==+=,

1

1n n n a a βα++=+()12n = ,,变为11n n n a a αα++=+()12n = ,,.整理得,

1

1

1n n

n n

a a α

α

++-

=,()12n = ,,.所以,数列n n a α??

?

???

成公差为1的等差数列,其

首项为

1

22a α

αα

==.所以

()2111n

n

a n n α

=+-=+.

于是数列{}n a 的通项公式为

()1n

n a n α

=+;……………………………………………………………………

………5分

②当240p q ?=->时,αβ≠, 11n n n a a βα++=+

1

n n a βαβα

βα

+-=+-

1

1

n n n a βαβα

α

βα

βα

++=+

-

--()12n = ,,.

整理得

2

1

1

n n n n a a α

α

ββαβα+++??+=+ ?--?

?,()12n = ,,

. 所以,数列1

n n a α

βα+??+??-??

成公比为β的等比数列,其首项为

2

2

2

1a α

α

βαββα

βα

βα

+

=++

=

---.所以1

2

1

n n n a α

β

β

βα

βα

+-+

=

--.

{}

n a 的

通项公

1

1

n n n a β

α

βα

++-=

-.………………………………………………10分 (Ⅱ)若1p =,14

q =

,则240p q ?=-=,此时12

αβ==

.由第(Ⅰ)步的结果得,数

列{}

n a 的通项公式为()11122n

n n n a n +??

=+= ???,所以,{}n a 的前n 项和为

2

3

1

23412

2

2

2

2n n n

n n s -+=+++++ 2

3

4

1

123412

2

2

2

22n n n

n s n ++=

++++

+

以上两式相减,整理得1

1332

2

2

n n n s ++=-

332

n n

n s +=-

.………………………………………………………………………

……15分

方法二: (Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠,又p αβ+=,所以

1a αβ

=+,222a αβαβ=++.

特征方程20p q λλ-+=的两个根为α,β.

①当0αβ=≠时,通项()()1212n n a A A n n α=+= ,,由12a α=,223a α=得

()()1222

12223A A A A αα

αα

+=???+=?? 解

121

A A ==.故

()1n

n a n α

=+.……………………………………………………5分

②当αβ≠时,通项()1212n n n a A A n αβ=+= ,,.由1a αβ=+,

22

2a αβαβ=++得

122

2

22

12A A A A αβαβαβ

αβαβ

+=+???

+=++?? 解得1A α

βα-=-,2A ββα

=

-.故

1

1

1

1

n n n n n a α

β

β

α

βα

βα

βα

++++--

=

+

=

---.…………………………………………………

………10分 (Ⅱ)同方法一.

3. (本小题满分15

分)求函数y =的最大和最小值.

【解析】 函数的定义域为[]013,.因为

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y =

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=

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当0x =时等号.

y

的最

小值为

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13

……………………………………………5分

又由柯西不等式得

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2

2

y =

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()()()1112273131212

3x x x ??

++

+++-= ???

≤ 所

11y ≤. ……………………………………………………………………………

…10分

由柯西不等式等号成立的条件,得()491327x x x =-=+,解得9x =.故当9x =时

等号成立.因此y 的最大值为

11. (15)