对称轴：___________
h x >时，y 随x 增大而_______ h x <时，y 随x 增大而_______ h x =时，=)(最大y _______
（活动设计） 教师启发、引导，学生探索，然后教师板书来完成。
基础性题组练习 （投影2）
1． 用配方法把下列函数式化成k h x a y +-=2
)(的形式，
并指出开口方向，对称轴和顶点坐标
（1）342
--=x x y （2）x x y 422
+-=
2． 画出下列函数的大概图象，并说出x 为何值时y 随x 增大
而增大，x 为何值时，y 随x 增大而减小。
（1）322+-=x x y （2）132
12
++-
=x x y ①了解学生对二次函数知识已有的认知水平；②帮助学生巩固解二次函数基本问题的一般方法；③为进一步研究二次函数应用打下基础。
应用性习题
探究（目标助
达） （投影3）
例1（2002年安徽省中考试题）：心理学家发现学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足
函数关系436.21.02
++-=x x y （300≤≤x ），y 值越大表示接受能力越强。
（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强
x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强
教师引导：
1． 化归迁移：题目中三问实质上
就是：
（1）x _______时，y 随x 的增大而增大
x _______时，y 随x 的增大
①通过例1
发展学生
的化归迁
移的数学
思维，培养
学生的转
化能力，体
会二次函
数应用的
广泛性。
而减小
（2）10=x 时，=y _______ （3）=x _______时，y 最大
2． 提问：解决问题（1）必须知道什么 解决问题（2）必须知道什么 解：（1）436.21.02
++-=x x y
9.59)13(1.02
+--=x ………（4分） 所以：当130≤≤x 时，学生接受能力逐步增强 当3013≤≤x 时，学生接受能力逐步下降 ………（6分） （2）当10=x 时，599.59)1310(1.02
=+--=y 第10分钟时，学生的接受能力为59 ………（9分） （3）13=x 时，y 取最大值
所以13=x （分）学生的接受能力最强 ………（12分）
（投影4） 巩固性题组演练（目标自
测）
（练习1）某地要建造一个圆形喷水池，在游泳池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线如图甲所示，如图乙，建立直角坐标系，水流喷出的高度ym 与水平距离xm 之间的关系式是4
5
22
+
+-=x x y ，请回答下列问题：
（1） 柱子OA 的高度为多少米
（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米
（3） 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使
喷出的水流不至于落在池外 （4）
教师引导，学生分析，师生共作，实现知识化归迁移。 解：（略）
②通过练习1进一步认识到数学源于生活，服务于生活的辩证观点。
板书设计：
数学二次函数的图象与性质教案(华东师大版九年级下)
教学内容 27.2.1二次函数的图象与性质 本节共需7课时 本课为第1课时 主备人： 教学目标 会用描点法画出二次函数2 ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程 初 备 统 复 备 情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数 x y 3= x y 3 =的图象分别是 、 ，那么二次函数2 x y =的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2 x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2 x y =的图象，你能得出什么结论？ 实践与 探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）22x y = （2）2 2x y -= 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：2 2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边， 曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最 高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探 索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图象如 图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周 长是4cm． （3）根据图象得， 当C≥8cm时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作 业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P4 习题1～4 家庭作业： 《数学同步导学九下》P4 随堂演练 教学后记：
华师大版二次函数试卷(可编辑修改word版)
华师大第二十六章二次函数单元试题9.二次函数y =ax2+bx +c 的图象如图，则下列关于a，b，c 间的函数关系判断正确的是（）一、精心选一选（每题2 分，共18 分） A.ab < 0 B.bc < 0 C．a +b +c > 0 D．a -b +c < 0 1.．下列函数中，是二次函数的是（） 1 x2- 2x 1 二、细心填一填（每题 2 分，共20 分） 10.若y = (2 -m)x m2 -4 是二次函数，则m= 。 A．y =-x x2 B．y =x2- (x -1)2C．y = 2 D．y =x2+ x 11.二次函数y =-x 2- 2x 的开口，对称轴是。 2．抛物线 y =x 2 - 4 的顶点坐标是（） A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）12．抛物线y =1 x 2+x - 3 的最低点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大。 2 2 3．若（2，5）、（4，5）是抛物线y =ax 2+bx +c 上的两个点，则它的对称轴是（） A、x= - b/a B、x = 1 a C、x = 2 D、x = 3 13．已知二次函数y =ax 2- 2 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为，它与x 轴的交点的个数为个。 4．已知反比例函数y = (a ≠ 0) ，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，则函数y =ax 2+a 的图象经 x 14.若y 与x 2成正比例，当x=2 时，y=4，那么当x= -3 时，y 的值为。 过的象限是（） A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 15.抛物线y =x 2+ 3x - 4 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是。 5．抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y =-2x 2相同，16．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x 的取值范围为。 则y =ax 2+bx +c 的函数关系式为（）17．已知抛物线y =ax 2+x +c 与x 轴交点的横坐标为–1，则a +c = 。 A 、y =-2x 2-x + 3 B 、y =-2x 2+ 4x + 5 C 、y =-2x 2+ 4x + 8 D、18．已知抛物线的开口向上，并且以y 轴为对称轴，试写出这条抛物线的关系式（任写两个）、。 y =-2x 2+ 4x + 6 6．抛物线y= 1 x2 的图象向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，则所得抛物线的解析式为 2 （） A .y= 1 x2+2x－2 B. y= 1 x2+2x+1 C. y= 1 x2－2x－1 D .y= 1 x2－2x+1 19．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙， 其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m 的栅栏， 设每间羊圈的一边长为x (m)三，间羊圈的总面积s (m2),则s 关于x 的函数关系式是x,的取值范围,当 x= 时，s 最大. 三、认真答一答（第20—21 题7 分，其余各8 分，共62 分） 2 2 2 2 7.下列判断中唯一正确的是( ) A.函数y=ax2 的图象开口向上,函数y= -ax2 的图象开口向下 B.二次函数y=ax2,当x<0 时,y 随x 的增大而增大 C.y=2x2 与y= -2x2 图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同 D.抛物线y=ax2 与y=-ax2 的图象关于x 轴对称 8.在同一直角坐标系中，函数y =ax 2+b 与y =ax +b(ab ≠ 0) 的图象大致如图（） 20．（7 分）已知二次函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）。 （1）求这个二次函数的关系式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0 时，求使y≥2 的x 的取值范围。 21．（7 分）如图二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过A 、B、C 三点， C （1）观察图象，写出A 、B、C 三点的坐标，并求出抛物线解析式， （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x 取何值时，y<0？y=0？y>0? x
九年级数学下册26_1二次函数教案新版华东师大版
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简 单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ． 解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的 函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
华师版数学九年级下册解码专训：二次函数(1)
华师版数学九年级下册解码专训 2 1.1 二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.) 3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系? (下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0华师大版数学九下二次函数的图象与性质word教案
教学设计 科目 任课教师 任教班级 授课时间： 年 月 日 课题 27.2二次函数的图象与性质（1） 课型 新 课时 1 教学目标 会用描点法画出二次函数2 ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质 重、难点 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 教法学法 读书指导法 课前准备 画好直角坐标系的小黑板 教 学 过 程 教学过程： 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x y 3 =的图象分别是 、 ，那么二次函数2 x y =的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2 x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2 x y =的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）2 2x y = （2）2 2x y -= 解 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= … -18 -8 -2 -2 -8 -18 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1． 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：2 2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向 右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左 向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知4 2 )2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大． （1）求k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 （1）由题意，得? ??>+=-+022 42k k k ， 解得k=2． （2）二次函数为2 4x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(16 12 >=C C S ． 列表： C 2 4 6 8 (2) 161C S = 41 1 4 9 4 … 描点、连线，图象如图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
华师大版九年级下册二次函数单元测试及答案
华师大版九年级（下）二次函数学习评价 （时间90分钟， 满分100） 一、精心选一选（每题4分，共16分） 1．抛物线y=2 1x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式 为（ ） A .y=2 1x 2+2x －2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=2 1x 2－2x －1 D .y=21x 2－2x+1 2．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．直线y=ax+b 与抛物线y=ax 2+bx+c 中，a 、b 异号 ，b c<0, 那么 它们在同一坐标系中的图象大致为（ ） 4．已知h 关于t 函数关系式为h=2 1gt 2（g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为( ) 二、耐心填一填（每题4分，共40分） 5．函数y=(m+3)4 2 -+m m x ，当m= 时，它的图象是抛物线. 6．抛物线y=2 1(x －3)2－1开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 7．已知以x 为自变量的二次函数y=(m －2)x 2+m 2－m －2的图象经过原点，则m= ，当 x 时y 随x 增大而减小. 8．函数y=2x 2－7x+3顶点坐标为 . 9．抛物线y=x 2+bx+c ，经过A （－1，0）、B （3，0）两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为 . 10．抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为（2，3），则b= ，c= . 11.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=—2，且开口方向，形状与抛物线y=—2 3x 2 相同，且过原点，那么a= ，b= ，c= . 12．直线y=－3x+2与抛物线y=x 2－x+3的交点有 个，交点坐标为 13．抛物线的顶点是C(2，3)，它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程x 2－4x+3=0
九年级下册数学(华师大版)教案：26.2 二次函数的图象与性质(1)
二次函数的图象与性质 第一课时y=ax2 的图象与性质 一、教学目标 知识与技能：使学生会用描点法画出y=ax2 的图象，理解抛物线的有关概念。 过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2 图象性质的过程。 情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。二、重点： 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax的图象2 三、难点： 用描点法画出二次函数y=ax的图象以及探索二次函数性质。 2 四、教具准备： 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程： （一）、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? （二）、范例 2 例1、画二次函数y=ax的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x…－3－2－10123… y…9410149… (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点2 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． （三）、做一做 22 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x与y=-x的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 22
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x与y=-2x的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。 交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，22 顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x的图象开口向上，函数y=-x的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． (四)、归纳、概括 222222222函数y＝x、y=-x、y=2x、y=-2x是函数y=ax的特例，由函数y＝x、y=-x、y＝2x、y=-2x的图象的共同特点，可猜想： 2 函数y=ax的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是 ______。 2 如果要更细致地研究函数y=ax图象的特点和性质，应如何分类？为什 么?22 让学生观察y＝x、y＝2x的图象，填空；
华师大版二次函数教案
华师大版二次函数教案 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少 （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数为什么如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值
九年级数学下册26_2二次函数的图象与性质教案2新版华东师大版
26．2 二次函数的图象与性质 教学目标： 1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点 1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗? [实践与探索] 例1．求下列函数的最大值或最小值． （1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0， 因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值． 因为5322--=x x y =8 49)43 (22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是8 49-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值． 因为432+--=x x y =4 25)23 (2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是4 25．
华师大版二次函数说课稿
课题：二次函数图象与性质（第四课时） 各位领导、老师：下午好！ 今天，我说课的课题是《二次函数的图象与性质》（第四课时），下面我从教材分析，教法分析、学法指导、教学过程、教学效果评价五个方面进行说课。 教材分析： 从日常生活，参加生产和进一步学习的需要看，有关函数的知识是非常重要的。例如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，函数的内容在其中有相当的地位，二次函数更是重中之重。而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质。因此本课的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h≠0，k≠0)的图象。从特殊到一般，最终得到二次函数y=ax2+bx+c的图象。这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。 设计理念： 根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题—探究—反思—提高”的教学理念。特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探索与合作交流，引导学生观察，实验，猜测，验证、推理与交流等数学活动。关注学生个体差异，使不同的学生得到不同程度的发展，及时施与鼓励性评价；注意教师自身角色的转变，让学生主动参与，在活动中感悟，在问题中创造，在讨论中生成、发展。努力呈现有利于学生理解和掌握相关的知识和方法，形成良好的数学思维。 教学目标： 1、知识目标：使学生掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法及性质，进一步了解 二次函数y=a(x-h)2+k (h≠0，k≠0)与二次函数y=ax2图象的位置关系； 2、能力目标：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、分析、归 纳概括能力；进一步向学生渗透数形结合的数学思想方法。 3、情感、态度和价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；通 过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，渗透二次函数的图象可互相转化的和谐的数学美。 重点和难点： 重点：掌握二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0，k≠0)图象的作法和性质 难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0，k≠0)的图象的转化过程 难点的突破：设计问题情景——动手操作——探索问题——归纳结论——应用结论教法分析：
(完整版)华师版二次函数最经典的知识点归纳
二次函数知识点归纳 1.表达式：①一般式：2y ax bx c =++（0a ≠）； ②顶点式：()2 y a x h k =-+（0a ≠） ③交点式：y =a (x –x 1)(x –x 2) （a ≠0） 2.顶点坐标：①（2b a -，244ac b a -） ②（h ，k ） 3.顶点意义：①当2b x a =-时，0a >，y 有最小值为244ac b a -；0a <，y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时，0a >，y 有最小值为k ；0a <，y 有最大值为k 4.a 的意义：0a >，图象开口向上；0a <，图象开口向下； 12a a =±两函数图象大小形状相同.（即a 相等的抛物线为全等型抛物线） 5.对称轴：①2b x a =-；②h x =；③122 x x x +=（其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标） 6.对称轴位置分析：①0b =，对称轴为y 轴； ②0ab <，即a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧； ③0ab >，即a 、b 同号，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异） 7.增减性：①0a >，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而增大；2b x a <-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而减小； ②0a <，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而减小；2b x a <-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而增大 8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为（0，c ），c 值为抛物线在y 轴上的截距. 9.抛物线与x 轴的交点：①240b ac ?=-=时，抛物线与x 轴有一个交点；②240b ac ?=->时，抛物线与x 轴有两个交点；③240b ac ?=-<时，抛物线与x 轴没有交点. 10.图象的平移：化成顶点式()2y a x h k =-+，左加右减自变量；上加下减常数项。 11．设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，则AB a =或12AB x x =-=12．抛物线上重要的点：抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到， 所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.
华师大版二次函数图象及其性质复习课教案
课题二次函数图象及其性质 教学目标： 1．知识目标：复习巩固二次函数的图象及其性质 2．能力目标：提高学生应用能力和知识迁移能力 3．情感目标：使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。 教学重点：把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。 教学难点：学生转化能力的培养 教学方法：启发引导、观察、探索 学法引导：化归迁移 课型：复习课 教具准备：投影仪、胶片，常用画图工具 教学过程： 环节内容及活动设计（师生问答，师生共作）设计意图 知识回顾（投影1）二次函数及其性质 1．解析式：c bx ax y+ + =2（a、b、c是常数且0 ≠ a）， 配方： a b ac a b x a y 4 4 ) 2 ( 2 2 - + + =即k h x a y+ - =2) ( 2．图象：抛物线 ①0 > a②0 < a 3．性质： （1）0 > a，开口向上，顶点_______， 对称轴：___________ h x>时，y随x增大而_______ h x<时，y随x增大而_______ h x=时，= ) (最小 y_______ （2）0 < a，开口向下，顶点_______ 对称轴：___________ 帮助学生 梳理有关 知识
h x >时，y 随x 增大而_______ h x <时，y 随x 增大而_______ h x =时，=)(最大y _______ （活动设计） 教师启发、引导，学生探索，然后教师板书来完成。 基础性题组练习 （投影2） 1． 用配方法把下列函数式化成k h x a y +-=2 )(的形式， 并指出开口方向，对称轴和顶点坐标 （1）342 --=x x y （2）x x y 422 +-= 2． 画出下列函数的大概图象，并说出x 为何值时y 随x 增大 而增大，x 为何值时，y 随x 增大而减小。 （1）322+-=x x y （2）132 12 ++- =x x y ①了解学生对二次函数知识已有的认知水平；②帮助学生巩固解二次函数基本问题的一般方法；③为进一步研究二次函数应用打下基础。 应用性习题探究（目标助 达） （投影3） 例1（2002年安徽省中考试题）：心理学家发现学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系436.21.02 ++-=x x y （300≤≤x ），y 值越大表示接受能力越强。 （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 教师引导： 1． 化归迁移：题目中三问实质上 就是： （1）x _______时，y 随x 的增大而增大 x _______时，y 随x 的增大 而减小 （2）10=x 时，=y _______ （3）=x _______时，y 最大 2． 提问：解决问题（1）必须知道什么？ 解决问题（2）必须知道什么？ ①通过例1发展学生的化归迁移的数学思维，培养学生的转化能力，体会二次函数应用的广泛性。
华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质(2)》参考教案
《二次函数的图象与性质（2）》参考教案 y＝ax2＋k的图象与性质 【教学目标】 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象； 2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。 【重点难点】 重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。 难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y ＝ax2的关系是教学的难点。 【教学过程】 一、提出问题 1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2＋1和函数y＝2x2的图象，并加以比较) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象； 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象； 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。
(华师大版九年级下) 教案27.2二次函数的图象与性质(3)
27．2 二次函数的图象与性质（3） 教学目标： 1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点 会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数22 1x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(2 1-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 221x y = (2) 9 2 21 0 21 2 29 ... 2)2(21+=x y (2) 1 0 21 2 225 8 225 … 2)2(21-=x y … 225 8 29 2 21 0 2 1 …
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(2 1+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+= x y 和抛物线2)2(2 1-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗? 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线2 )1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． [本课课外作业] A 组 1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(2 1--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
华师大版九年级下册数学全册教案
九年级数学下册教案(华师大版)
实践与探索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图 象如图26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2时，正方 形的周长是4cm． （3）根据图象 得，当C≥8cm 时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P4 习题 1～4 家庭作业： 《数学同步导学九下》P4 随堂演练 教学后记： 教学内容26．2 二次函数的图象与性 质（2） 本节共需7 课 时 本课为第2课时 主备人： 教学目会画出k ax y+ =2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数
标的性质． 教学重 点 通过画图得出二次函数性质 教学难 点 识图能力的培养 教具准 备 投影仪，胶片．课型新授课教学过 程 初备统复备 情境导 入 同学们还记得一次函数x y2 =与1 2+ =x y的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2x y=与1 2+ =x y的图象之间的关系吗？，那么2 x y=与2 2- =x y的图象之间又有何关系？． 实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出函数2 2x y= 与2 22+ =x y的图象． 解列表． 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示． 回顾与反思：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？ 反映在图象上，相应的两个点之间的位置又 有什么关系？ 探索观察这两个 函数， 它们的开口方向、对 称轴 和顶点坐标有那些 是相同 的？又有哪些不 同？你 能由此说出函数2 2x y=与 2 22- =x y的图象之间的关系吗？ x … - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 … … 1 8 8 2 0 2 8 1 8 … … 2 1 4 2 4 1 2 …
华东师大版九年级数学下册教学设计 二次函数
《二次函数》教学设计 本章是在学习了函数，一次函数，反比例函数的基础上进一步研究二次函数的性质，本节是本章的第一节， 学习二次函数的概念，本节要求从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。本节的重点是二次函数的概念和解析 式，体会数学模型在解题中的应用。 【知识与能力目标】 1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式； 2 、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围； 3、会用待定系数法求二次函数的解析式。 【过程与方法目标】 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 【情感态度价值观目标】 通过二次函数的知识的学习，提高数学学习的兴趣，培养爱国主义思想和情操。 【教学重点】【教学难点】 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 三角板、小黑板。 一、复习引入
1、一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 2、一次函数的定义是什么？ 形如y=kx+b(其中k ,b为常数且k≠0)的函数叫做x 的一次函数。 3、观赏几幅风景画，体会上面有什么共同点。 二、合作学习，探索新知 探究问题1 要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？ 1、设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2． 能用含x的代数式来表示y吗？ 2、试填下面的表 3、x的值可以任意取？有限定范围吗？ 4、我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。 探究问题2 某商店将每商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 1、设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？
