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高考数学压轴题归类100题(66页)

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点 P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷）（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。

例3已知函数)(x f 满足2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥

1)(，求b a )1(+的最大值。

例4已知函数ln ()1a x b

f x x x

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

+-，求k 的取值范围。

例5设函数2

()1x

f x e x ax =---（2010全国新课标）

(1)若0a =，求()f x 的单调区间； (2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

例6已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

例7（构造函数，最值定位）设函数()()2

f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ??

∈ ???

时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .

例8（分类讨论，区间划分）已知函数32

11()(0)32

f x x ax x b a =

+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数.

(1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;

(2)若函数()'()ax

g x e f x -=?,求函数()g x 的单调区间.

例9（切线）设函数.

a x x f -=2

)(

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交

于点求证：.

例10（极值比较）已知函数

其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率；

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().x

f x x

g x e ==

⑴若函数φ (x ) = f (x )－

，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．

例12（最值问题，两边分求）已知函数. ⑵ 时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

1=a )()(x xf x g =]1,0[0>a )(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>2122()(23)(),x

f x x ax a a e x =+-+∈R a ∈R 0a =()(1,(1))y f x f =在点2

3a ≠

()f x 1

x x +-1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R 1

a ≤

()f x 2()2 4.g x x bx =-+1

a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b

例13（二阶导转换）已知函数

⑴若

，求的极大值；

⑵若

在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.

例14（综合技巧）设函数

⑴讨论函数的单调性；

⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,

问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

②交点与根的分布

例15（切线交点）已知函数在点处的切线方程

为． ⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

例16（根的个数）已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.

（I ）求的最大值；

（II ）若

上恒成立，求t 的取值范围；

（Ⅲ）讨论关于x 的方程的根的个数．

例17（综合应用）已知函数

x x f ln )(=)()()(R a x a

x f x F ∈+=

)(x F kx x f x G -=2

)]([)(1

()ln ().f x x a x a R x =-

-∈()f x ()f x 12,x x 11(,()),A x f x 22(,())

B x f x k a 2k a =-a ()()3

3,f x ax bx x a b R =+-∈()()

1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m x x f =)(x x f x g sin )()(+=λλ]1,1[1)(2

-∈++

ex x x f x

+-=2)(ln 2.23)32ln()(2

x x x f -

⑴求f (x )在[0,1]上的极值；

⑵若对任意成立，求实数a 的取值

范围；

⑶若关于x 的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.

③不等式证明

例18(变形构造法)已知函数

，a 为正常数． ⑴若，且a

，求函数的单调增区间；

⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，

线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．

⑶若

，且对任意的，，都有

，求a 的取值范围．

例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.

（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，设函数

，若，求证

例20（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=2

3)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处

取得极大值．

（I ）求实数a 的取值范围；

]3)(ln[|ln |],31

,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式b x x f +-=2)(1)(+=

x a

x ?)(ln )(x x x f ?+=29

)(x f 0=a )(x f y =()11,y x A ()22,y x B AB ),(00y x C AB k )(0x f k '

(ln )(x x x g ?+=(]2,0,21∈x x 21x x ≠1

)

()(1

212-<--x x x g x g )0)(ln()(2

>=a ax x x f 2

)('x x f ≤0>x a 1=a x x f x g )()(=

),1,1

(,2121<+∈x x e x x 42121)(x x x x +<

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

例21（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，

求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）当2

0e y x <<<且e x ≠时，试比较

x y ln 1ln 1--与

的大小．

例22（前后问联系法证明不等式）已知

，直

线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为

1。

（I ）求直线的方程及m 的值；

（II ）若，求函数的最大值。（III ）当时，求证：

例23(整体把握，贯穿全题)已知函数．（1）试判断函数的单调性；

（2）设，求在上的最大值；

（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．

例24(化简为繁，统一变量)设,函数.

217

()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==

f a b f a a -+-<

ln ()1x

f x x

=-()f x 0m >()f x [,2]m m *n ∈N 11ln()e n n

n n

++<

e a R ∈()ln

f x x ax =-

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若无零点,求实数的取值范围；

（Ⅲ）若有两个相异零点,求证: .

例25（导数与常见不等式综合）已知函数，其中为正常

数．

（Ⅰ）求函数在上的最大值；（Ⅱ）设数列满足：，

，

（1）求数列

的通项公式

；（2）证明：对任意的

，

；

（Ⅲ）证明：．

例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=e x -ax(e 为自然对数的底数).

(I )求函数f(x)的单调区间；

(II)如果对任意，都有不等式f(x)>x + x 2成立，求实数a 的取值范围；

(III)设,证明：

+++…+<

例27已知函数()2

(0)2

f x ax x c a =+

+≠.若函数()f x 满足下列条件: 2a =()y f x =()1,2P -()f x a ()f x 12,x x 212x x e ?>

①()10f -=;②对一切实数,不等式()211

f x x ≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的表达式;

(Ⅱ)若21f t at ≤-+2

（

x ）对[]1,1x ?∈-,[]1,1a ?∈-恒成立,求实数t 的取值范围; (Ⅲ)求证:()()()*1112()122

n n N f f f n n ++???+>∈+.

例28（数学归纳法）已知函数，当时，函数取得极大值.

（１）求实数的值；

（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且

，则存在，使得.试用这个结论证明：

若，函数，则对任意，都有；

（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有

④恒成立、存在性问题求参数范围

例29（传统讨论参数取值范围）已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x

g x xe

-=(,a R e ∈为自然对数的底数)

（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）对任意的1(0,),()02

x f x ∈>恒成立，求a 的最小值；

（3）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，

x ()ln(1)f x x mx =++0x =()f x m ()ln(1)f x x mx =++(,)a b 1a >-0(,)x a b ∈0()()

()f b f a f x b a

-'=

-121x x -<<121112

()()

()()()f x f x g x x x f x x x -=

-+-12(,)x x x ∈()()f x g x >12,,,n λλλL 121n λλλ+++=L 2n ≥n N

∈1-12,,,n x x x L 1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L

使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围。

例30已知函数.|

|1)(x a x f -

= （1）求证：函数),0()(+∞=在x f y 上是增函数.

（2）若),1(2)(+∞<在x x f 上恒成立，求实数a 的取值范围.

（3）若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是)](,[n m n m ≠，求实数a 的取值范围.

例31已知函数.

(1)若为的极值点,求实数的值;

(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;

(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.

例32（分离变量）已知函数

(a 为实常数). (1)若，求证：函数在(1,+∞)上是增函数；

(2)求函数在[1,e ]上的最小值及相应的值；

(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围.

例33（多变量问题，分离变量）已知函数，.

（１）若函数依次在处取到极值．

①求的取值范围；②若，求的值．（２）若存在实数

，使对任意的

，不等式恒成立．求正

整数的最大值．

2()ln(21)2()3

x f x ax x ax a R =++--∈2x =()f x a ()y f x =[)3,+∞a 12a =-()3

1(1)3x b f x x

--=+b x a x x f ln )(2

+=2-=a )(x f )(x f x ],1[e x ∈x a x f )2()(+≤32()(63)x

f x x x x t e =-++t R ∈()y f x =,,()x a x b x c a b c ===<

2a c b +=t []

0,2t ∈[]

1,x m ∈()f x x ≤m

例34（分离变量综合应用）设函数.

⑴若函数在处与直线相切：

①求实数的值；②求函数在上的最大值；

⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实

数的取值范围.

例35（先猜后证技巧）已知函数（Ⅰ）求函数f (x )的定义域

（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x >0时恒成立，求正整数k 的最大值.

例36（创新题型）设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).

(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；

(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离；

(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．

()ln f x a x bx =-()f x 1x =1

y =-,a b ()f x 1[,]e e

0b =()f x m x +2

3[0,],[1,]2

a x e ∈∈m x

x n x f )

1(11)(++=

)(+>x k

x f

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；