2018版高中数学第一章集合1.1.1集合的概念学业分层测评新人教B版必修120170801127

集合的概念

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列对象能构成集合的是( )

①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤莘县第一中学所有聪明的学生．

A ．①②④

B ．②⑤

C ．③④⑤

D ．②③④

【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．

【答案】 D

2．已知集合M 中的元素a ，b ，c 是△ABC 的三边，则△ABC 一定不是( )

【导学号：97512000】

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形

【解析】 因为集合中元素具有互异性，所以a ，b ，c 互不相等，因此选D. 【答案】 D

3．下面有三个命题：①集合N 中最小的数是1；②若－a ?N ，则a ∈N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2.

其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个

D ．3个

【解析】 因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a ＝2，则－2?N ，2?N ，所以②错；对于③，a ＝0，b ＝0时，a ＋b 取得最小值是0，而不是2，所以③错．

【答案】 A

4．下列正确的命题的个数有( )

①1∈N ；②2∈N *

；③12∈Q ；④2＋2?R ；⑤42?Z .

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确；∵2不是正整数，∴2?N *

，故②不正确；

∵12是有理数，∴1

2∈Q ，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴4

2∈Z ，故⑤不正确． 【答案】 B

5．给出下列说法，其中正确的个数为( )

(1)由1，32，64，??????－12，1

2这些数组成的集合有5个元素；

(2)方程(x －3)(x －2)2

＝0的解组成的集合有3个元素；

(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素． A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

【解析】 (1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意两个元素都是不同的，而32与64相同，??????－12与1

2

相同，故这些数组成的集合只有3个元素．

(2)不正确．方程(x －3)(x －2)2

＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．

(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．

【答案】 B 二、填空题

6．由m －1,3m ，m 2

－1组成的3个元素集合中含有－1，则m 的值是________.

【导学号：60210002】

【解析】 当m ＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当m ＝－13时，三个数分别为－43，－1，－89，符合题意，即m 只能取－1

3

.

【答案】 －1

3

7．设集合A 是由1，k 2

为元素组成的集合，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 ∵1∈A ，k 2

∈A ，结合集合中元素的性质可知k 2

≠1，解得k ≠±1. 【答案】 k ≠±1

8．由实数t ，|t |，t 2

，－t ，t 3

所构成的集合M 中最多含有________个元素． 【解析】 由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素． 【答案】 4

三、解答题

9．设非空数集A 满足以下条件：若a ∈A ，则1

1－a ∈A ，且1?A .

(1)若2∈A ，你还能求出A 中哪些元素？ (2)“3∈A ”和“4∈A ”能否同时成立？ 【解】 (1)若2∈A ，则

11－2＝－1∈A ，于是11－－

＝12∈A ，而1

1－1

2

＝2. 所以集合A 中还有－1，1

2

这两个元素．

(2)若“3∈A ”和“4∈A ”能同时成立，则11－a ＝3且11－a ＝4，由11－a ＝3解得a ＝2

3，

由

11－a ＝4解得a ＝3

4

，矛盾，所以“3∈A ”和“4∈A ”不能同时成立． 10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？

【解】 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

[能力提升]

1．已知集合A 是由0，m ，m 2

－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3

C ．0或3

D ．0,2,3均可

【解析】 法一：由2∈A 可知，m ＝2或m 2

－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2

－3m ＋2＝0，此时集合A 中的三个元素是0,2,0不满足题意，若m 2

－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，集合A 中的三个元素是0,0,2，不满足题意；当m ＝3时，集合A 中三个元素是0,3,2，满足题意．

法二：根据集合中的元素是互异的，m ≠0，排除C ，D ，当m ＝2时，m 2

－3m ＋2＝0，也不满足互异性，所以答案只能是B.

【答案】 B

2．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2

【解析】 ∵x ∈N ，且2

3．集合A 中的元素y ∈N 且y ＝－x 2

＋1，若t ∈A ，则t 的值为________.

【导学号：97512001】

【解析】 依题意A ＝{y ∈N |y ＝－x 2

＋1}＝{y ∈N |y ≤1}＝{0,1}．又t ∈A ，∴t ＝0或1.

【答案】 0或1

4．已知由1，x ，x 2

三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件．

【解】 根据集合元素的互异性，得?????

x ≠1x 2

≠1

x ≠x 2

，

所以x ≠±1，x ≠0，

所以x 应满足的条件是x ∈R ，且x ≠±1，x ≠0.