球的体积与表面积 优秀教案

1.3.2球的体积与表面积

【课题】：§1.3.2球的体积与表面积A 【教学目标】：

１． 知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝

3

4

πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 ３． 情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】：

1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。

2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：

练习与测试：

1. 球的体积是

32

3

π，则此球的表面积是 ( ) A. 12π B. 16π C. 16

3

π D. 643π

2. 两个球的表面积之比为1：9， 则此两球的体积之比为 （ ）

A. 1: 729

B. 1: 27

C. 1: 9

D. 1: 3

3. 一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为 （ ） A. 1: B. 1: 3 C. D. 1: 2

4. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则此几何体的表面积是 ；体积是 。

5．两个球的表面积之和为20π，且这两个球的大圆周长之和为6π，则这两个球的半径分

别为 ； 6．三个球的半径之比为1：2：3，那么半径最大的球的体积是另两个球的体积之和的（ ） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 8倍

7．棱台的上、下底面的面积分别为4和9，则这个棱台的高与截的棱台的原棱锥的高的比为（ ）

A. 1：2

B. 1：3

C. 2：3

D. 3：4

8球面上有三个点A 、B 、C ，且AB ＝3，BC=4, AC=5,球心到平面ABC 的距离为球的半径的

1

2

，那么这球的半径是 （ ）

A.

3 B. 53

C. 3

D. 10

3

9. 求棱长都为1的正四面体的外接球的半径。

10．在棱长为1的正方体中，有两个球相外切并且分别与正方体的面相切 （1）求这两个求的半径之和；

（2）当两个求不半径是多少是，这两个求的体积之和最大？ 参考答案： 1.B 2. B 3. B 4. 4π,43

π

5.1和2

6. C

7. B

8. C

9.解一：（利用截面图） 由图可得，

AC==BC=2,

BD=2323

?=

AB=1

∴

3= 则由OB 2=BD 2+OD 2

得，即

2

2

2r r ?=+??????

4

r ∴=

解二：可以把正四面体还原为正方体，则棱长为正方体的面对角线，

故正方体的棱长

a=2,

则正方体的体对角线长2l == ∴正四面体的棱长b

＝

124

l =

10．解：（1）如右图所示，ABCD 为过球心和对棱AB,CD 的截面图形，

A

B

,设两求的半径分别为R, r.

则AC=AO1+O1O2+O2

3

2

r R

∴+==

（2）设两求的体积之和为V，则

332

444

()[()3]

333

V R r r R r R Rr

πππ

=+=++-

2

2

2(33(3(3

3

322

R R

π??

??

??

=-+ ?

?

??

??

??

故当

3

4

R

-

=时，V

有最大值，此时

3

4

r

-

=，

故两球半径相等时，两球的体积最大。

C

表面积的变化教学设计和说明

江苏省丹阳经济开发区中心小学杨溢芳 教学内容：苏教版小学数学六上第36-37页：实践操作活动（表面积的变化）教材简析： 本节课主要是研究几个相同的正方体（或长方体）拼起来，得到的立体图形与原来几个正方体（长方体）表面积之和的关系，发现并理解其中的变化规律，培养空间观念。 教材分为两个大的版块：拼拼算算和拼拼说说。拼拼算算中三个活动，第一个活动是引导学生用两个相同的正方体拼出长方体，体验到两个正方体拼成长方体后表面积减少了原来两个面的面积。第二个活动，是引导学生用3个、4个甚至更多个相同的正方体摆成一行，拼成长方体，探索拼成后的长方体的表面积的变化规律。第三个活动用两个相同的长方体拼成大长方体，体验到不管怎么拼，每次都会减少两个长方形面的面积；而减少的面积越少，拼成的大长方体的表面积就越大。三个活动都是通过学生动手操作、观察、直观思考、合作交流等活动，让学生体验并发现物体拼摆过程中表面积的变化规律，提高空间观念的积累水平，发展数学思考。拼拼说说，主要是引导学生应用前面发现的规律，解决实际问题。 教学目标： 1.使学生通过把几个相同的正方体或长方体拼成较大的长方体的操作活动，探索并发现拼接前后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。 2.使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 3.培养学生的合作能力、空间想象能力和思维能力。 4.使学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。 教学重难点： 通过操作，比较拼成的长方体的表面积与原来两个正方体的表面积的和究竟发生了什么，发现规律，学会分析。 教学准备：课件、正方体小块、香皂盒 教学过程： 一、创设情境，导入新课

球的体积与表面积教案设计(参考)

球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标 知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道， 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了 小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们 知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．

表面积的变化

表面积的变化教学反思 本课《表面积的变化》是在学生认识并掌握了长方体、正方体特征及会计算长方体与正方体表面积的基础上教学的,主要研究几个相同的正方体排成一行拼起来,得到的长方体与原来几个正方体表面积之和的关系,发现并理解其中的变化规律,培养学生的空间观念。我在传授新知时主要以学生活动为主,让学生在操作活动中 发现规律,解决问题。 新课标强调,教学是教与学的交往、互动,师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充,在这个过程中教师与学生分享彼此的思考、经验和知识,交流彼此的情感、体验与观念,丰富教学内容,求得新的发现,从而达到共识、共享、共进,实现教学相长和共同发展。为了达成这一目标,我在授课这一环节中安排了2个活动。活动一:探索2个棱长是1厘米的正方体拼成长方体的表面积变化情况,通过让学生动手拼一拼、看一看、指一指、想一想这些活动,让学生体会表面积发生了变化,

体验两个正方体拼成长方体后表面积减少了原来两个面的面积。通过学生自己动手操作,让多种感官协同活动,使具体事物形象在头脑中得到全面的反映。活动二:探索3、4、5个棱长是1厘米的正方体拼成长方体的表面积变化规律,进而加深到用n个棱长为1厘米的小正方体呢?教材对这节课的要求没有明确的规定。比如在活动:学生很容易发现,每增加一个正方体,表面积就减少两个拼接面。找到“减少的面的个数”与“正方体的个数”之间的关系才是最关键的。为了让学生发现这些规律,安排了活动二,学生发现这些规律还是有些困难的,因此我在修改教案时增加了一个环节:我就直接提出问题“拼接条数”、“正方体的个数”与“减少的面的个数”之间有什么关系吗?再进一步就举例,五个正方体拼在一起,有4个拼接处,6个、7个……n个呢?每个拼接处减少两个面,所以可以用公式(正方体的个数-1)×2来表示减少的面的个数。在寻找“减少的面数”与“减少的面积数”、“拼成的长方体的表面积”有什么关系吗?学生在用棱长为1厘米的小正方体时,很快找出规律,但接着将棱长加深到棱长是a时,表面积减少和拼成的长方体的表面积时,找出这个环节上的表现不佳,这是本节课的难点,

面积的变化教学反思

《面积的变化》教学反思 ◆您现在正在阅读的《面积的变化》教学反思文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!《面积的变化》教学反思《面积的变化》是利用学生对长方体、正方体表面积计算的已有认识，通过把几个相同的正方体或长方体拼成新的长方体的操作活动，探索发现拼接前后表面积的变化规律，感受数学学习的趣味性和挑战性，发展空间观念和总结、归纳数学规律的能力。为了使学生教好地理解表面积的变化，我加强动手操作，按照情境导入，唤醒意识拼拼算算，体验规律拼拼说说，运用规律的教学流程进行教学。结合本课的教学实际情况，谈几点反思： 一、情境导入，唤醒意识 导入部分，我创设了以下情境： 出示3盒包装的面纸。提问：面纸为什么这样包装？ 生1：这样包装比较省包装纸。。 生2：携带方便。 师：今天我们就来研究与包装有关的数学问题。 这一情境设置，引发了学生的思考，刺激了学生产生学习的好奇心，唤醒了学生强烈的参与意识，产生了学习的需要，为探索正方体和长方体在拼摆过程中表面积的变化打下了

良好的基础。 二、拼拼算算，体验规律 页 1 第 《新课标》明确指出：数学的学习过程不是让学生被动的吸收教材和教师给出的现成结论，而是由一个学生亲自参与的、生动活泼的、主动的和富有个性的过程。本节课，在体验规律中，我安排了3次拼拼算算：活动一：两个正方体拼成长方体后表面积的变化情况。活动二：用若干个相同的正方体拼成大长方体，表面积的变化情况。活动三：用两个相同的长方体拼成大长方体，表面积的变化情况。每次操作完后，我又安排了小小组进行了讨论：如（1）比较一下拼成的长方体的表面积与原来两个正方体的表面积之和，是否相等？（2）将3个、4个甚至更多个相同的正方体摆成一行，拼成一个长方体，表面积比原来减少几个正方形面的面积？其中有什么规律吗？并对猜测进行了验证。（3）将两个长方体拼成一个大长方体，可能有几种不同的拼法？哪种拼法表面积最大？哪种拼法表面积最小？为什么？等问题在小组里 讨论、交流各自的想法。并让学生通过计算验证用两个相同的长方体拼成大长方体的讨论结果是否正确，验证时出现了两种方法：方法1：用拼成长方体的长、宽、高分别求三个长方体的表面积。方法2：计算拼成的三种长方体分别比原来两个长方体的表面积减少的面的面积。减少的面积越多，

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形

如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等

分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

球的体积和表面积公式具体推导过程精编版

1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π

球的体积与表面积 优秀教案

1.3球的体积与表面积 【课题】：§1.3.2球的体积与表面积B 【教学目标】： １． 知识与技能 ⑴通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导； ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法 通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式 Ｖ＝ 3 4 πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法。 ３． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 【教学难点】：在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】： 1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。 2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：

233R R R R ππ-=， 所以 这个结论可以通过“倒沙实验”得到． 设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥 这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径......的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积向于球的体积12311RS RS RS +++ (1) RS =

人教版数学五年级下册长方体切割引起表面积的变化

《长方体切割引起表面积的变化》教学设计 萃始小学潘樟 教学目标： 1、通过把一个长方体切割成两个完全一样的小长方体的操作活动，探索并发现切割后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。 2、培养学生的动手操作能力、小组合作能力、空间想象能力和逻辑思维推理能力。 3、学生进一步体会数学来源生活用于生活，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。 教学重点：通过操作，比较切割后的两个小长方体的表面积与原来大长方体的表面积发生了什么，发现规律，学会分析。 教学难点：经过动手操作，增强学生的空间观念，能运用知识解决生活中的数学问题 教学准备：橡皮泥、小刀、长方体、多媒体课件 教学过程： 一、谈话激趣、导入新课。 师：我以前跟你们上过数学课吗？ 生：没有 师：那你们知道我叫什么老师？ 生：叫潘老师，大屏幕上写了的 师：上课提几点要求（1、上课要专心听讲2、勤于思考3、发言要积极大胆） 二、动手切割、体验规律 1、回顾旧知 师：出示课题，引出长方体表面积该怎样计算，需要什么条件。 师：课件出示两个长方体（少了宽或长）让学生求表面积。

生：不能求，少了条件。 师：课件出示一道求长方体表面积的应用题（长、宽、高都有）让学生计算表面积。 生：汇报计算结果。 2、动手操作，感受切割表面积的变化。 （1）从垂直于长的方向切割 师：把这个长方体切成两个完全一样的小长方体，可以怎样切割？ 师：拿出你们准备好的长方体，现在就动手切下。 生：动手操作。 生：汇报（电脑出示其中的一种切法） 师：电脑演示这种切法，并提问长、宽、高怎么变化。 生：长是10cm、宽是8cm、高是6cm 师：这种切法叫做从垂直于长的方向切割 师：切割以后什么变了，什么没有变? 生: 表面积变了，体积没有变。 师：变面积为什么变了？ 生：增加了两个面 师：增加了两个面，表面积也就增加了，现在自己去求下表面积增加了多少？ 生：独立解答 师：课堂巡视，个别指导。 师：指明学生上台演示 师;讲解两种不同的解法，让学生比较哪种方法更简单， 生：回答

高中数学 球的体积和表面积教案 新人教A版

高中数学人教A 版精品教案集：球的体积和表面积 教学目标 １． 知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ 34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法， 体现了极限思想。 ３． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 １． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 ２． 教学用具：投影仪 四. 教学设计 （一） 创设情景 ⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割 如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些 等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 n R ，底面是“小圆片”的底面。 如图：

球的体积和表面积附答案

球的体积和表面积附答 案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝4 3 πR3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S＝4πR2. 思考球有底面吗球面能展开成平面图形吗 答球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积 例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积.

解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积V＝4 3 πR3＝ 4 3 π·43＝ 256 3 π. (2)设球的半径为R，则4 3πR3＝ 500 3 π，解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) π π 答案D 解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的 半径为2，体积V＝4 3 πR3＝ 32 3 π. 题型二球的截面问题 例2 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) π π π π 答案B 解析如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点， 则OO′＝2，O′M＝1.

球的体积和表面积(附答案)

球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4 3πR 3(其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一 球的表面积和体积 例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256 3 π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500 3π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π 3 答案 D 解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4 3πR 3 ＝323 π. 题型二 球的截面问题 例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B.43π C.46π D.63π 答案 B 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝4 3 π(3)3＝43π. 跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________.

球的体积和表面积附答案

球的体积和表面积 [学习目标］ 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝错误!πＲ3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S=4πR２. 思考球有底面吗?球面能展开成平面图形吗？ 答球没有底面，球的表面不能展开成平面． 知识点二球体的截面的特点 １．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积 例1 （1）已知球的表面积为6４π，求它的体积; （2)已知球的体积为＼f(50０,3)π，求它的表面积. 解(１)设球的半径为R，则4πＲ2=64π，解得R＝４， 所以球的体积V＝4 ３πＲ３= 4 3 π·4３＝错误!π. (２)设球的半径为R，则错误!πR3=错误!π，解得R=5,

所以球的表面积S =4πR 2 ＝4π×52 =100π． 跟踪训练1 一个球的表面积是１６π，则它的体积是（ ) A ．64π B.＼f(６４π，3) C ．3２π D ．＼ｆ（３2π，3) 答案 D 解析 设球的半径为R ,则由题意可知4πR ２ ＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2,体积V =错误!πＲ3 ＝错误!π. 题型二 球的截面问题 例２ 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为错误!，则此球的体积为( ) A ．＼r(6）π B.４错误!π C.４错误!π D.6错误!π 答案 B 解析 如图,设截面圆的圆心为Ｏ′, M 为截面圆上任一点， 则ＯO ′＝错误!，Ｏ′M =１． ∴ＯM =错误!=错误!． 即球的半径为＼r(3). ∴V =43 π(3）3 =4错误!π． 跟踪训练２ 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为＼r(3),＼ｒ(５）,＼r(１5)，则它的外接球表面积为_______＿． 答案 9π 解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面,设长方体有公共顶

球的表面积和体积

球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积． 若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积． 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？ 圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

有关球的切、接问题 求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积． 有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.1 2 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π 5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25π B．50πC．125π D．都不对 4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( ) A．R B．2R C．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.7 3 πa2C. 11 3 πa2D．5πa2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11

1.3.2球体的体积和表面积教案

- 1 - / 3 张喜林制 [ 1. 3.2 球的体积和表面积 【教学目标】 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 【教学重难点】 重点：球的体积和面积公式的实际应用 难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学过程】 一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积 334R π=球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 二、典例 例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3） 求空心钢球的体积 。 解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式334R π= 球Ｖ 解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3) 由V=(4/3) π(53-r 3)得r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式 变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________(π34) 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π） 解析：利用轴截面解决 解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x 则R 2=x 2+202,R 2=(x+9)2+72 解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题 变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是 。 （答案50π） 【板书设计】 一、球的面积和体积公式 二、例题

《球的体积和表面积》教案

《球的体积和表面积》教案 教学目标 1、知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识. ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题. ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力. 2、过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ 3 4πR 3 和面积公式Ｓ＝4πR 2 的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体 现了极限思想. 3、情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心. 教学重难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成. 教学过程 一、创设情景 提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考. 设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式. 二、探究新知 1．探究球的体积公式 回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P 32页).

球的体积公式：34 3 π= V R . 2.探究球的表面积公式 设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用 12,, , ,i S S S ???表示，则球的表面积:S =12i S S S ?+?+ + +? 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ?可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积1 3 i i i V h S = ??，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积: 11221 (3 )i i V h S h S h S ≈??+??+ +??+ ， 又∵i h R ≈，且S =12i S S S ?+?++ +? ∴可得1 3 V R S ≈?， 又∵343V R π= ，∴13R S ?34 3 R π=， ∴24S R π=即为球的表面积公式 三、例题示范 例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 2A B B C C A === ，求球的表面积. 解：设截面圆心为 O '，连结O A '，设球半径为R ， 则22 3O A '= = ， 在Rt O OA '?中，2 2 2 OA O A O O ''=+， ∴222 14 R R =+，∴43R =， ∴2 64 49 S R ππ== ． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球，求球的表面积和体积.

数学《球的体积和表面积》教案

第三课时 1.3.2 球的体积和表面积 教学要求：了解球的表面积和体积计算公式； 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 教学重点：运用公式解决问题. 教学难点：运用公式解决问题. 教学过程： 一、复习准备： 提问：柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 二、讲授新课： 1. 教学球的表面积及体积计算公式： ① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？ ② 给出公式：24R S π=球面，33 4R V π=球（R 为球的半径） →讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？ （证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式） ③练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ ④出示例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. （1） 求球的体积与圆柱体积之比； （2） 证明球的表面积等于圆柱的侧面积. 讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径R ，则…） → 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积 2. 体积公式的实际应用： ①课本练习P28面2、3题 ②出示例2：一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？ → 列式计算 → 小结：体积应用问题. ③有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水， 使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度. 三、巩固练习：（因时间而定）

1. 如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥， 求这三个几何体体积之比. 2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。 四、小结：球体的表面积与体积 五、作业《习案》第七课时。

球的体积和表面积(附答案)

球的体积和表面积(附答案)

球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝4 3 πR3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S＝4πR2. 思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.

跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3 答案 D 解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝ 16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43 πR 3＝323 π. 题型二 球的截面问题 例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( ) A.6π B.43π C.46π D.63π

答案 B 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝43 π(3)3＝43π. 跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________. 答案 9π 解析 如图，是过长方体的一条体对

角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知， 得????? xy ＝3，yz ＝5， zx ＝15，解得????? x ＝3，y ＝1，z ＝ 5. 所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32 ， 所以S 球＝4πR 2＝9π. 题型三 球的组合体与三视图 例 3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积=底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积?：S 全 2a ； (2)体积?： 3a ； (3)对棱中点连线段的长?： a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径?： R= a ； (6)内切球半径 ;??? r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ） A. π288 3cm B. π192 3cm C. π288 3cm 或 π192 3cm D. π1923cm

球的体积和表面积公式具体推导过程

1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π 1..3.2球的体积和表面积（2） 球的表面积推导方法（设球的半径为R ，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球O 的表面分成n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是S 1，S 2，…… Sn ，那么球的表面积为：S ＝S 1＋S 2＋……＋Sn 把球心O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n 个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O 为顶点，以第i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R 。 （2）求近似和。设n 个“小锥体”的体积分别为V 1，V 2，…，Vn 那么球的体积为：V ＝V 1＋V 2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i 个“小锥体”对应的棱锥以点O 为顶点，以点O 与第i 个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为h i ，底面面积为S ’i ，于是，它的体积为： V ’i ＝3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） 这样就有：V i ≈3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ①