一类递推数列的单调性与极限
一类递推数列的单调性与极限
摘 要: 本文讨论了一类递推数列1()n n x f x +=的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.
关键词： 递推数列；单调性；不动点；收敛
The Limits and Monotonicity of a Recursive Sequence
XIA Yu-cheng
(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei
432000,China)
Abstract: In this paper, the results on the monotonicity and convergence of the recursive sequence )(1n n x f x =+ in some resent documents are given, and then, the results are generalized.
Key words: recursive sequence ; monotonicity; fixed point; convergence.
1 引言及定义
在近期的一些文献中,讨论了形如
1n n n ax b
x cx d
++=
+（0ad bc -≠）
的递推数列的极限问题[1-7],这类数列的极限问题经常出现在研究生入学试题与大学数学竞赛试题中,在高等数学中占有重要的地位.
研究结果表明,这类递推数列极限的存在性与求法往往与它的迭代函数的不动点相关联,该递推数列的迭代函数为
()ax b
f x cx d
+=
+, 注意到
2
'()()ad bc
f x cx d -=
+
不变号,它启发我们从迭代函数的不动点与导函数的不变号两方面考虑这类问题.
本文将给出联系迭代函数的不动点与导函数的几个实用命题,把现行文献[1-7]中的相关结论进行拓广,通过这些命题使我们可以统一处理有关例子,揭示这类试题的背景与思想方法.
定义1 对于函数()f x ,若存在实数0x ,使00()f x x =,则称0x 为()f x 的不动点.
定义 2 对于函数()f x ,若数列{}n x 满足1x a =,1()n n x f x +=,1,2,3,
n =,
则数列{}n x 称为递推数列,()f x 称为数列{}n x 的迭代函数,1x a =称为初始值.
2 命题与证明
命题1 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,且'()0f x >,()f a a >,
()f b b =.设1x a =,则递推数列1()n n x f x +=（1,2,3,
n =）收敛.
证明 只需证明数列{}n x 单调有界,可用归纳法证之. 1ο当1n =时,由于1()x a f a =<,21()x f x =,因此
21()x f a x =>,
又'()0f x >,所以
()()f a f b <,
而()f b b =,故有
12a x x b ≤<<,
从而结论成立.
2ο假设当n k =时,结论成立,即
1k k a x x b +≤<<.
当1n k =+时,由于'()0f x >,则有
()()k f a f x ≤1()()k f x f b +<<,
即得
12()k k f a x x b ++≤<<,也即12k k a x x b ++≤<<,
从而当1n k =+时,结论成立.
故命题1得证.
命题2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,且'()0f x >,()f a a =,
()f b b <.设1x b =,则递推数列1()n n x f x +=（1,2,3,
n =,）收敛.
证明 类似于命题1,可以证明数列{}n x 单调递减并且有界,即
b x x a n n ≤<<+1，
从而数列{}n x 收敛.
注:在命题1,命题2的条件下,若还满足“()f x 在[,]a b 上有唯一的不动点”条件,易知数列{}n x 必收敛于该不动点.
事实上,在满足所给条件的情况下,由数学分析[8]中的确界原理及上确界的定义,对于命题1中的数列{}n x ,b 必为其上确界.任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n x 中的某一项N x ,使得N b x ε-<.又由{}n x 的递增性,当n N ≥时有
N n b x x ε-<≤.另一方面,由于b 是{}n x 的一个上界,故对一切n x 都有n x b b ε≤<+.
所以当n N ≥时有n b x b εε-<<+,从而lim n n x b →∞
=.
这为命题1,2的应用提供了方便.
命题3 设()f x 在区间I 上可导,()0f x '<,且对任意的x I ∈,有()f x I ∈.则由1()n n x f x +=,1x I ∈确定的两个子列{}21n x -与{}2n x 分别是单调的,而且具有相反的单调性.
证明 如果13x x ≤,则由()0f x '<,得
1()f x 3()f x ≥,即24x x ≥,
于是又有
35x x ≤,46x x ≥,
用归纳法可得奇数项子列{}21n x -单调增加,而偶数项子列{}2n x 单调减少;
如果13x x ≥,同理可得子列{}21n x -单调减少,而偶数项子列{}2n x 单调增加. 推论 [1] 对于递推数列
1n n n ax b
x x c
++=
+（ac b ≠,1,2,3,n =）,
如果1,,,a b c x 全为正数时,那么数列{}n x 收敛,且收敛于l ,其中
l =
这里l 是方程ax b
x x c
+=
+的一个正根. 证明 由于迭代函数()ax b
f x x c
+=+的导数2
'()()ac b f x x c -=+. 下面讨论之:
（1）若0ac b ->,则'()0f x >.
当211()x f x x ==时,由于l 是函数()f x 唯一的一个正的不动点, 因而1x l =,于是n x l =是常数列,故lim n n x l →∞
=;
当211()x f x x =>与211()x f x x =<时,分别在区间1[,]x l 与1[,]l x 上应用命题1与命题2,得数列{}n x 收敛于不动点l ; （2）若0ac b -<,则'()0f x <. 当1x l >时,
1n n n n n ax b ax ac
x a x c x c
+++=
>=++, 注意到注意到()f l l =,由
1x l >?1()()f x f l <,即2x l <,
进一步有
2()f x >()f l ,即3x l >,…,
易用数学归纳法证明:
2n a x l <<.
因而
2()()()n f l f x f a <<,
即
221n a b
l x a c
++<<+,1,2,3,
n =,
即{}21n x -与{}2n x 有界,故均收敛. 且由
2
11112
1[()]()n n n n n a c x x x a c x b a c x b c
+----+-=
-+-++++ 分别考虑n 为奇,偶数对此式取极限,得
21lim n n x l -→∞
=,2lim n n x l →∞
=,
这里l 是方程2()0x a c x b ---=的一个正根;
当1x l <时,类似可证; 当1x l =时,有n x l =为常数列. 故lim n n x l →∞
=.
（3）若0ac b -=,此时1n x a +=为常数列,结论也成立. 综上可知结论成立.
3 相关应用
下面我们给出以上命题的一些应用. 例1[1-3]
设10x <<,13(1)
3
n n n x x x ++=+（1,2,3,n =）,求证:数列{}n x 收
敛,并求其极限.
解 数列{}n x 的迭代函数
3(1)
()3
x f x x +=
+,26'()0(3)f x x =
>+
,f =而
11()f x x
-1
0=
>,即11()f x x >,
故数列{}n x
在区间1[x 上满足命题1的条件,于是数列{}n x 收敛.
又()f x
在1[x
于是
lim n n x →∞
= 例 2[9] 已知函数412)(23++-=x x x x f ，且存在)2
1
,0(0∈x ，使00)(x x f =.设01=x ,)(1n n x f x =+ ,2
1
1=
y ，)(1n n y f y =+,其中 ,2,1=n ,证明: n n n n y y x x x <<<<++101．
证明 由数列{}n x 的迭代函数4
12)(23++
-=x x x x f 得 2123)(2'+-=x x x f 6
1
)31(32+-=x 0>,
从而在区间),0(0x 上，由命题1的结论得
010x x x n n <<<+，
在区间)2
1
,(0x 上，由命题2的结论得
2
110<
<<+n n y y x ， 于是有
n n n n y y x x x <<<<++101．
证毕．
例3 已知数列{}n x 满足，112
x ＝，111n n x x +＋＝，*
n N ∈.猜想数列{}n x 的
单调性，并证明你的结论.
解
{}21n x -与{}2n x 分别单调，但{}n x 不具有单调性．下面证明之．
因为数列{}n x 的迭代函数为x
x f +=
11
)(，从而其导函数 0)1(1
)(2
'<+-
=x x f ，
又由计算得
112x =
,2121312x ==+,3132513
x ==+,
,
显然有
13x x <,
从而根据命题3的结论知,由1()n n x f x +=确定的数列{}n x 的子列{}21n x -为单调递增数列,{}2n x 为单调递减数列，而{}n x 不具有单调性.
例4[4] 设1α>
,1x >,11n
n n
x x x α++=+,（1,2,3,
n =）,求证
:lim n n x →∞
=证明 设()1x
f x x
α+=
+（0x >）,则
2
1'()0(1)
f x x α
-=
<+, 仿推论有
21n x <<
2112
n x α
++<<
,1,2,3,n =,
即{}21n x -与{}2n x 有界,故均收敛.
设
21lim n n x x -→∞
=,2lim n n x y →∞
=,,0a b >,
又
2
1111
2()12n n n n x x x x αα-+----=
++, 亦由推论得
x y ==.
故
lim n n x →∞
=
最后我们指出,应用本文的三个命题及推论,可以较为简单的解决文献[1,2,3,6]中所有例子与结果,以及文献[4,5,7]中大部分结果.
[参考文献]
[1] 孙志峰.关于一类递推数列极限的求法的注解[J].高等数学研究,2007,10（5）:45-46.
[2]张乾,陈之兵.一类递推数列极限的求法[J].高等数学研究,2006,9（5）:30-31.
[3]胡付高,蔡运舫.一道极限题的多种解法[J].高等数学研究,2004,7（5）:33-36.
[4]余国林,魏本成.关于上,下极限的一个新定理[J].大学数学,2007,23（5）:163-166.
[5]潘杰,苏化明.一类数列极限的矩阵解法[J].高等数学研究,2007,10（4）:102-105.
[6]潘杰,苏化明.一道极限题的解法及应用[J].高等数学研究,2003,6（3）:20-23.
[7]苏化明,黄有度.一类数列极限的收敛速度[J].高等数学研究,2004,7（5）:20-22.
[8]华东师大数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001,6第三版:5,6,35.
[9] 王四容,胡付高.用高数观点看2006年全国高考理科数学(陕西卷)22题[J].数学通讯, 2007,15:41-42.
致谢
衷心感谢胡付高老师的悉心指导!
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
(完整版)数列的递推公式教案
数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把
现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
单调有界
单调有界定理 2.4.3实数的连续性 实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。 定理2.4.3（单调有界定理）若数列{a n}单调增加且有上界，则数列{a n}收敛。 证明：我们不妨假设a n≥0，否则，存在某个有理数c>0，使a n′= a n+c≥0，从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。 由引理2.4.1知，数列{ a n}稳定于某个实数a＝，下面证明，a就 是数列{ a n}的极限。 ＞0，n0N，当n≥n0时，＜。由引理2.4.1知， 事实上， a n 0…，a n k…， 对于充分大的n0，当n＞n0时，有 a n＝， ︱a n-a︱=︱- ︱ ≤<， 即=a 推论4.1若数列｛a n｝单调减少（即a n≥a n+1），且有下界M（a n≥M），则数列｛a n｝收敛。 证明：令a n′＝-a n。由于a n≥a n+1且有下界M′，则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M＝- M′，由 定理2.4.3知′＝a′。从而有= a = - a n′ 例1设a0＞0，b>0，a n＝（），n=1，2，…，证明数列｛a n｝收敛，并求其极限。 证明：不难看出，n N，有a n＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，有 a n＝（）≥（）＝b， 即数列｛a n｝有下界。 n N，有
a n+1-a n＝（）- a n＝（b-a n2）≤0， 即数列｛a n｝单调减少。 根据推论4.1，数列｛a n｝收敛，设＝a，由极限的单调性，有a≥>0。 对等式a n+1＝（）两端取极限得a=（a+），因a>0，得a=。 注4.4当b=2时，是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛a n｝ 收敛于无理数。 求极限的方法小结 阮正顺 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种： 一、利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。 例 1. 2. 二、利用两个重要极限 两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。 例 1.
高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
数列的递推关系
数列的递推关系 ? 教学重点： 数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法． ? 教学难点： 1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n ． ? 教学过程： 一、复习 数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）． 二、递推公式 钢管的例子 3+=n a n 从另一个角度，可以： 1 4 11+==-n n a a a Λ ) 2() 1(≥=n n “递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ． 解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a
∴ Λ Λ4 4 432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a ) +412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n 例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：?? ? -=-1 1 S S S a n n n ) 1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a = 当1≠n 即2≥n 时， n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ ∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式； 2? 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ． 例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的 通项公式． 解：1．当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。
高数 数学极限总结
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim x f x f x f x f x f x x ==?=+ -→)(x f 0x x →)()()(lim 0 00x f x f x f x x →+ -==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →
用单调有界原理证明确界存在定理
用单调有界原理证明确界存在定理 证明: 设E R ?是有上界的非空数集且M 是E 的上界，若max E 存在则s u p m a x E E =，现设max E 不存在，于是取0x E ∈，将区间0[,]x M 二等分，若右半区间包含E 的点，则取右半区间记作11[,]a b ，否则将左半区间记为11[,]a b ，于是11[,]a b 中含有E 的点，且1b 是E 的上界，如此下去得到闭区间[,]n n a b 中含有E 中的点n a 单调增加，n b 单调减少且 lim()0n n n b a →∞ -=. 数列{}n a 单调增加有上界，从而有极限ξ。于是lim n n b ξ→∞=， 而n b 是E 的上界lim n n b →∞是E 的上界，ξ∴是E 的上界, 0,N ε?>?当n N >时 n a ξε-<, 于是ξε-不是E 的上界sup E ξ∴= 证明：已知实数集A 非空。存在a 属于A,不妨设a 不是A 的上界，另外，知存在b 是A 的上界，记a1= a ，b1=b ，用a1 ，b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ，b1 ]，如果(a1+b1)/2属于B ，则取a2 =a1 ，b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ，则取a2 =（a1+b1)/2 ，b2 =b1 ；……如此继续下去，便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ），{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） 。由单调有界定理，知存在 r ，使liman = r (n-->无穷）。由 lim （bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷） 因为{bn}是A 的上界，所以对任意x 属于A ，有x<=bn （n=1，2，……）， 令n-->无穷 ，x<=lim(n-->无穷）bn = r 所以 r 是A 的上界。 而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r 知任意c>0知存在N ，当n>N 有r-c 专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a = ，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积 例3 已知数列{n a }中1n n s na =- ，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键是化 ()1 n n a g n a -=，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。 4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法 称为转化法。常用的转化途径有： ⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式1n n a qa d +=+（q, d 为常数，0,1q q ≠≠）通过凑配变成 11n d a q ++ -=1n d q a q ??+ ?-?? ，或消常数项转化为()211n n n n a a q a a +++-=- 例4、已知数列{n a }中，11a =，()1212n n a a n -=+≥，求数列{n a }的通项公式 点评： 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 第一章 实数和数列极限 第六节 单调有界原理与 闭区间套定理 我们知道，有界数列不一定收敛。我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。 在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。 一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递增数列； （2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列； （3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+ }{n a 是递增数列； （2）121211-+++=n n a ， *N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）! 1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。 （4）}1{n 是递减数列， }{2n 是递增数列， }1 {+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。 例 设21=x ，并定义 n n x x +=+21，*N n ∈ 则}{n x 是递增数列。 事实上 222+=x ，,,2223 ++=x 可以从中观察出来有 1321+<<<< 数列的几种递推公式 一、 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 二、 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。 例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437 52633134 8531n n n n n --= ????=---。 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则 {a n }的通项1 ___n a ?=?? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ， n a a a a a a a a a n n =???====∴-1 3423121,,4,3,1, 1， 将以上n 个式子相乘，得2 ! n a n =)2(≥n 三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方 对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式 一.特征方程类型与解题方法 类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2 (1)若 X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2 n (2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为 特征方程为X = d c b a X X ++ 解得两根X 1 X 2 (1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21 x d cA b aA x d cA b aA n n n n -++-++=k 2 1x A x A n n -- 接着做代换B n =2 1 x A x A n n -- 即成等比数列 （2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1 =k+x A n -1 接着做代换B n =x A n -1 即成等差数列 (3)若为虚数根，则为周期数列 类型三 递推公式为 特征方程为X =d c b ax X ++2 解得两根X 1 X 2 。然后参照类型二的方法进行整理 类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k (1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k n k (2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则 数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨 利用单调有界准则的解题步骤 （1）由数列{}n u 的通项确定递推关系式：1()n n u f u += （2）利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或下界）；再设 lim n n u A →∞ =（3）在递推关系式两边取极限得到关于未知数A 的方程1()n u f u +=n ()A f A = （4）解此方程求出符合题意的A 的值 （5）可先猜出（求出）数列的极限值，再用数列极限的N ε?定义证明该值即为的极限（对不单调的题，上面方法失效，但该法仍可行） n u n u 数列有界性和单调性的证明方法： （1）一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明 （2）判定数列单调性主要有三种方法 ①计算，若，则数列1n u u +?n 10n n u u +?≥{}n u 单调增加 若，则数列10n n u u +?≤{}n u 单调减少 ②当时，计算0n u >1n n u u +，若11n n u u +≥，则{}n u 单调增加 若 11n n u u +≤，则{}n u 单调减少 ③利用导数证明的单调性，则()(1)f x x ≥()n u f n =与()f x 有相同的单调性 （3）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性） 例 设数列{}n x 满足110,sin (1,2,n n x x x n )π+<<==" ①证明lim n n x →∞存在，并求该极限；②计算极限2 1 1lim n x n n n x x +→∞?????? 。 证明①用归纳法证明{}n x 单调减少且有下界： 由10x π<<得2110sin x x x π<=<< 设0n x π<<，则10sin n n n x x x π+<=<<专题由递推关系求数列的通项公式含答案
求极限的方法及例题总结
极限计算方法总结(简洁版)
数分第一章第六节单调数列与单调有界原理
数列的几种递推公式
极限的常用求法及技巧.
求极限方法总结
特征方程解数列递推关系
数列极限的几种求法
利用单调有界准则的解题步骤