中考数学压轴题几大类型

中考数学压轴题四大类型

一、函数图像中的存在性问题

（1）动点与相似三角形问题

例题1：

如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

（2）动点与等腰三角形问题

例题2：

如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），BC =8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF =y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12

y m

=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？

A B

C

D

E

F

（3）动点与直角三角形问题

例题3：

在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P 。

（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；

（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三

角形是直角三角形， 求点Q 的坐标。

（4）动点与平行四边形问题

例题4：

如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B

两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .

（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？

②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式

（5）动点与梯形问题

例题5：

如图13，二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4

5

。 （1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外

接圆有公共点，求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？

若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

（6）动点与面积问题

例题6：

在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

（7）动点与相切问题

例题7：

如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、

1

2

t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．

①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．

（8）动点与线段和差问题

例题8：

如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，

且0t >，tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；

（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值．

二、图形运动的函数关系问题

（9）比例线段产生的函数关系

例题9：

如图，正方形ABCD 中， AB =1，点P 是射线DA 上的一动点， DE ⊥CP ,垂足为E ， EF ⊥BE 与射线DC 交于点F ．

（1）若点P 在边DA 上（与点D 、点A 不重合）．

①求证：△DEF ∽△CEB ；②设AP =x ，DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）当E F C B E C S S ??=4时，求AP 的长．

（10）面积公式产生的函数关系

例题10：

如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长； （3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒

1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)

t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

A

B

C

D

A

B

C

D E

F

P

三、图形运动中的计算说理问题

（11）代数计算以及通过代数计算进行说理问题

例题11：

如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A（3，3），一次函数的图像经过点A和点B（6，0）．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图像与y相交于点C，点D在线段AC

上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点

E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．

（12）几何证明以及通过几何计算进行说理问题

例题12：

如图，已知Sin∠ABC=1

3

，⊙O的半径为2，圆心O在射

线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF

=

（1）求BO的长；

（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，

求所有满足条件的⊙P的半径.

D C

F

A B O

第25题

E

G

四、图形的变化与代数综合问题

（13）图形的平移

例题13：

如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40) ，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点2(135)O ，为圆心的圆与x 轴相切于点D ．

（1）求直线l 的解析式；

（2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与

1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间．

（14）图形的翻折

例题14：

（1）操作发现

如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行

ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决

保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AB

AD

的值； （3）类比探求

保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求AB

AD

的值．

A

B

图15-2

A

D O B

C 2

1

M

N

图15-1

A

D B M

N

1 2

图15-3

A

D O B

C 2

1

M

N

O （15）图形的旋转

例题15：

如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE 、 G C 。

(1) 试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论。

(2) 将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE

和

GC 。你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

（16）三角形的问题

例题16：

在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求

AC

BD

的值．

B C D F

G A 圖1 B C D E F G A 圖2

（17）四边形的问题

例题17：

如图8，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象

限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.

（18）圆的问题

例题18：

在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧）.与y 轴交于点C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴交于点E . （1）请你画出此抛物线，并求A 、B 、C 、D 四点的坐标. （2）将直线CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点F

（不与A 、B 两点重合），请你求出F 点坐标. （3）在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ，使△PBF

的面积最大，求此时P 点坐标及△PBF 的最大面积. （4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点，以

GH 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径.

图

8