构造组合模型巧证组合恒等式_1

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证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．

证明组合恒等式的方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧 摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。 关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理 Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排 列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的

(完整版)排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =

推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L

复杂地质构造的拓扑构建方法研究

复杂地质构造的拓扑构建方法研究 三维地质构造模型是认识地下地层结构并开展地下油气资源勘 探的重要手段。构造建模包括三个要素:几何要素、拓扑要素和属性 要素。其中地质构造模型的拓扑反映了地质曲面之间的空间关系,对 构造模型的表达和控制起着至关重要的作用。同时,复杂地质构造建 模向智能建模的方向发展,一个基础的科学问题是构造模型的计算机 认知问题。其中,构造模型的拓扑认知是模型认知的关键。现有对地 质构造模型拓扑的研究是将拓扑作为模型的基本属性从模型的合理 性和不确定性两个方面开展研究。本文从构造模型拓扑的语义描述出发,建立构造拓扑认知的语义模型,并在此基础上进行复杂地质构造 的拓扑提取方法研究。研究工作具有较大的理论意义和实际的应用价值。针对复杂地质构造模型拓扑的计算机认知问题,本文从构造拓扑 的语义描述和构造拓扑的提取方法开展研究。主要工作和贡献如下:1、提出了地质构造模型的语义描述和计算机表征方法。从地质对象和地质对象之间的关系(构造拓扑)出发,建立构造模型计算机认知的语义 描述体系。随后本文定义了一个多层次复杂异质语义网络作为地质语义描述的载体,其中节点是实体的抽象,弧是拓扑关系的抽象,其中同 一层的实体间用邻接关系连接,不同层的实体间用关联关系连接。2、提出了构造模型语义网络的提取方法。在构造模型语义描述的基础上,针对复杂地质构造拓扑网络的构建和提取问题,提出了构造模型的语 义网络提取方法。其基本思想是从构造模型认知的过程出发,从宏观 的地质块到微观的特征点,自顶向下地建立构造模型的拓扑网络。通

过采用实际工区的构造模型数据进行仿真,验证了方法的有效性。3、实现了构造模型语义网络的可视化。拓扑的表征模型实现了构造模型的逻辑描述,在此基础上,开展了拓扑网络的可视化研究。其主要目的是通过可视化提高复杂地质构造模型的交互分析能力。其关键问题是拓扑网络的布局问题,本文采用基于力引导算法的拓扑网络混合布局算法,充分展示了拓扑网络的层次和每个层次内各个实体节点的逻辑关系,取得了较好的可视化效果。本文利用实际工区的地质数据,从构造拓扑的语义描述系统设计、构造模型语义网络的建立及语义网络的可视化三个方面开展研究,取得了一定的研究成果。

组合恒等式

第十讲组合恒等式 、知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础, 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1,基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上, 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有: ①c n 丄 ② cn i=c F +cn ③ kC： = nC n；; zTx m m r __m ④ C n C r —C n C n_m ； ⑤ c；?+cn+c2+iii+C n n=2n； ⑥ C -cn +Cn2+|H+(-1)n Cn n =0. 2, 解题中常用方法 运用基本组合恒等式进行变换; 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明; 运用数学归纳法; 变换求和指标; 运用赋值法进行证明; 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明; 构造合理的模型。

二、运用举例 例 1，求证：C ： +2C 2 +3C 3+i|| + nc n = n 左边=nC ；丄+ nC ：丄+ nC ；」中川中nC ；： " n 例2,求和式2 k 2 C n k 的值。 k 1 基本思路：将k 2 c nk 改写为k kCn ，先将kCn 用恒等式3提取公因式n ，然后再将kC ：：变形 k 1 k 1 k 1 成为（k -1 ）C n 4 +C n 4，而（k -1 ）C n 4又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数 中均不含有变动指标 k 了。 n n n k nC ：；=迄 k c n ；； =n E (k -1 +1)C ：； k 经 k 壬 k=t n =n S [(k -1)C ：； +c n ：；r n ^ [(n -1 心 km = n (n -1 严 + n2n4 = n (n +1)2：/ 2004 例 3,求艺(—1^2005 kz0 2004 解：s( -1) k C 2005 = 1 -c 爲5 + C 爲5 -川 + (-1 )2004 C 誥 kzQ R-(C 2004 +C 2004 +C 2004)-川+(T )(c 2003 +c 200： n -1 例 4，设 m, n 忘 N 十，求证：送(m +k )(m +k +1 ) = - (3m 2 + 3m n + n 2 T 卜 心 3 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: n 解：S k 'c nk kA n -Z k kC n ； k i = (n —1)C L k =2 n T n 鳥+送H 卜-1正C 鳥+：送C k=1 」 k=2 n nJ k=i 的值。

地质构造三维可视化模型探讨_曹代勇

地质与勘探第37卷第4期Vol.37 No.4 GEOLOGYANDPROSPECTING2001年7月July,2001 地质构造三维可视化模型探讨 曹代勇1,李青元2,朱小弟1,周云霞1 (1.中国矿业大学,北京100083;2.中国测绘科学研究院,北京100039) [摘要]地质构造的三维可视化技术包括数学建模和可视化显示两方面。建立地质构造三维可视化模型的典型方法包括三维规则网格法、TIN表面法、四面体法以及综合法。针对地质构造模型中断层处理的特殊性,提出了基于TIN表面法的局部法和整体法两种处理技术。将地质构造三维模型的可视性归纳为5种方式。 [关键词]地质构造三维地质模型可视化 [中图分类号]P548[文献标识码]A[文章编号]0495-5331(2001)04-0060-03 1 地质构造的形态特征与三维可视化

地质构造的形态学具有“数”(产状、规模等构造要素)和“形”(空间形态)等两种基本表达形式,任何复杂的地质构造总是可以抽象为点、线、面等几何元素的集合[1,2],从而使我们可以在空间坐标系中对其进行三维形态描述和数学分析[3]。科学可视化(VisualizationinScientificComputering)是20世纪80年代后期随着计算机图形学应用的拓广而发展起来的一个新的研究分支,受其推动,地质信息的可视化成为90年代地学领域的研究前缘[2,4]。地质信息的三维可视化是指以适当的数据结构建立地质特征的数学模型,采用计算机图形技术将数学描述以3D真实感图像的形式予以表现。三维可视化技术对于地质构造研究十分重要。三维可视化模型能够形象地表达地质构造的“真实”形态特征以及构造要素的空间关系,结合三维GIS的信息处理和空间分析功能,可以使地质构造分析更为直观、准确,为地质构造研究定量化开拓了一条现实的途径。 地质构造的三维可视化技术包括数学建模和可视化显示两方面。构建三维模型的方法可分为表面建模法和实体建模法两大类,其核心是数据结构。目前三维地质体建模较典型的数据结构有规则网格法、TIN表面法、四面体法等;此外,李青元等(1996,1999)讨论了单一体划分下的三维矢量结构GIS概念模型和拓扑关系[1],夏炎(1997)提出三维空间数据结构-多面体编码方案[2]。在三维地质信息可视化显示方面,除采用面向对象的方法进行图形显示系统分析设计外,还可直接使用商品化高品质的3D 图形API予以实现。上述进展为建立地质构造三维可视化模型奠定了基础。 2 建立地质构造三维可视化模型的典型方法 地质构造三维可视化模型具有三维地质体数学建模的共性。有多种方法可以建立三维地质构造模型的数学模型,常用三维规则网格法、TIN表面法、四面体法、以及综合法。 2.1 三维规则网格法 三维规则网格法是将研究空间剖分为多个规则的网格,然后用相应的网格描述地质体。该方法是二维规则网格法在三维空间中的延伸,针对被规则剖分的空间,可以建立简单的数据结构和运用简单的算法。三维规则网格法的特点是简单,不足之处是巨大的数据集和计算工作量。2.2 TIN表面法

组合公式及证明

第十讲 组合恒等式 、 知 识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础， 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问 题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有 着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1，基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上， 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通 分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有： n n n C n n 0. 2，解题中常用方法 ① 运用基本组合恒等式进行变换； ② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明； ⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。 ① C n r nr C n ； ②c ni C n r 1 C n r ； ③ kC n k k1 nC n 1 ； ④ C n r C r m C n m C n r m m ； ⑤ C n 0 C 1n C n 2 C n n 2n ； 过转化， ⑥ C n C n 1 C n 2

、运用举例 12 3 n 例1，求证：C n 2C n 3C n L nC n n 2n1 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: 左边nC； 1 1 2 nC n 1 nC n 1 n 1 nC n 1 —n 1 , f n 2 右边 例2,求和式n k2C n k的值。k 1 基本思路：将k2C^改写为k kCn k 先将kC n用恒等式3提取公因式 k n，然后再将kC n 1变形 成为k 1 C： 1 V；，而 k 1 C n 1又可以继续运用上述恒等变形, 这样就使得各项系数 中均不含有变动指标k 了。 n 解：k2c n； k 1 2004 例3，求 2004 解： 例4,设 n2n k 2005 k 2005 的 值。 C；004 C；004 C； 004 C；004 m,n N，求证: n Cn k 2 n C k 1 C n 1 1 2n 2004 C 2004 2005 2004 2003 C2004 2004 C2004 3mn n2 1。

算两次在证明组合恒等式中的应用

“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用 1.m n m n n C C -=，取走和剩下的一一对应； 2. 2n k n n k C ==∑ 我们可令等式122(1)1n n n n n n x C x C x C x +=++++ 中的x 等于1，得到该式。 另外，我们可考察集合1{,,}n b b 的子集的个数： 一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类： n k n k C =∑； 另一方面，采取乘法原理，设其子集为S ，我们逐一考察,1,2,,i b i n = 是否在S 内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S 确定，或者我没把子集看成一个排列，如 0,0,,0n ?? ；{}11 1,0,0,,0n b -? 。共2n 。 所以得证。 3.11m m m n n n C C C -+=+，从1{,,,}n a b b 取m 个有1m n C +种：一类含a ：1 m n C -，一类不含a ：m n C 。 推广①： 11m m m n n n A A mA -+=+ 从1{,,,}n a b b 取m 个排成一排1m n A +：一类含a ：1m n mA -，一类不含a ：m n A 。 推广②：11121n n n n n n n m m n m n m n n n C C C C C C +++++-+-+=+++++ 解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n 个。从中选取n+1个小球， 选法共：11n n m C +++种， 考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n 个，即n n m C +，若无黑1，则考虑是否有黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n 个，即1n n m C +-，依次考虑下去，到考虑是否有黑m ，若有，则在剩余n 个小球取n 个，即1n n C +，若无黑m 。则必有黑m+1，最后剩下的m 个白球全取。总共121n n n n n m n m n m n n n C C C C C ++-+-++++++ 。所以得证。

构造地质成因模型遥感图像

构造地质成因模型与遥感图像 摘要:模型研究方法是研究具有复杂因素很难直接观察到过程 的有效方法。通过在原型基础上建立起的模型去研究更多相类似的原型，使复杂的问题变得容易研究。模型方法是一种科学研究方法。遥感图像是地壳表层的图像模型，是建立地质成因模型的理想原型。 关键词:构造；成因模型；遥感图像 中图分类号：p5文献标识码：a 文章编号： abstract: the model research methods is complicated factors, which difficult to directly observed the process method. through prototype in established on the basis of the model to study more similar prototypes, make the complex problems become easy to study. model method is a scientific research methods. presents the surface of the earth’s crust like image model, is to establish the model of geological causes ideal prototype. keywords: structure; cause models; remote sensing image 模型与模型研究方法是研究具有复杂因素很难直接观察到过程的有效方法。通过在原型基础上建立起的模型去研究更多相类似的原型，使复杂的问题变得容易研究，揭示出原型的本质，并且在实践中经过不断修正和补充。

组合恒等式的证明方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n ! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 11 m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n ! !n m m ?（－）！ 11 m n C －－= n n ! 1!n m m ?（－1）（－）（－）！= n n !m 1!n m m m ???（－1）（－）（－）！= m n ! !n m m ?（－）！ ∴ m m n C =n －－11 m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1 m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k ?k n C =n ?k 1 1n C －－ （4）＋＋...＋＝0 1 2 n 2n n n n n C C C C －＋－＋...＋（－1）＝00 1 2 3 n n n n n n n C C C C C （5）

地质构造带答案

地质构造练习(一) 第一部分选择题 下图为“世界某大板块边界示意图”(箭头表示板块运动方向)。读图回答下列各题。 1．下面关于上图中各点的地质剖面示意图，与实际相符的是 2．下面关于该板块的说法，正确的是 A．甲处海水最深 B．乙处岩石形成年代最晚 C．丙处岩石圈厚度为全球最大 D．丁处地震多，火山活动少 下图中甲图为某区域示意图，乙图为甲图中R河河谷及其附近地质剖面示意图(R河河谷的形成主要受地转偏向力影响)。读图完成小题。

3．R河流的流向 大体上为 A．自北向南 B．自南向北 C．自东向西 D．自西向东 4．河谷处的地质 构造为 A．向斜B．背斜 C．谷地D．山岭 庐山以雄、奇、秀、险闻名于世，素有“匡庐奇秀甲天下”之美誉。据此完成小题。 5．读图判断庐山属于图中甲—丁的哪一种地质构造 A．甲B．乙C．丙D．丁 6．在图中甲—丁四种地质构造中，可能找到石油和天然气资源的是 A．甲B．乙C．丙D．丁 “飞来峰”为地质术语，意即外来岩块，常见老岩层覆盖在新岩层上，通常是老岩层自远处推移而来，上覆于相对停留在原地不动的原地岩块之上，当老岩层遭受强烈剥蚀，周围地区露出原来的新岩层，而残留的一部分老岩层孤零零地盖在新岩层上（如下图所示）。回答下题。

7．下列岩层按照年龄由新到老排列正确的是 A ．④③②① B ．⑤⑥③⑦ C ．⑥②⑦① D ．⑦⑥③① 8．下列关于飞来峰形成地质作用过程正确的是 A ．岩层断裂-垂直上升-推移上覆-外力侵蚀 B ．水平挤压-岩层断裂-推移上覆-外力侵蚀 C ．岩层断裂-水平挤压-推移上覆-外力沉积 D ．垂直上升-岩层断裂-水平挤压-推移上覆 9．读地貌及地质剖面示意图，下列叙述正确的是 A ．①处是褶皱，开挖隧道可选择向上弯曲的部位 B ．②处是断层，是大型水库建设的最理想选择地址 C ．③④处都是冲积平原，主要是由流水侵蚀作用形成 D ．植被的变化反映了地理环境从赤道向两极的地域分异规律 读某地的地质剖面示意图，回答下题。 ① ⑦ ③ ② ⑤ ⑥

排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

排列组合公式及恒等式推导、证明（WOrd 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是 word 还是PPS 附带公式编辑经常是 出错用不了。下载此 word 版的，记得下载 MathTyPe 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果 想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有 PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精 典试题）供学友们下载。 一、排列数公式: An l =n （n -1）（n-1） 3创2 1 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数 原理分步进行： 第步，排第位： 有 n 种选法; 第二步，排第二位： 有（n-1）种选法; 第三步，排第三位： 有（n-2）种选法; 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法; I I I I 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： C m =A m = n(n- 1)(n- 2)…(n - m+1)= n! n A r m m! m!( n-m)! n JI C n = 1 A m =n(n -1)(n - 2) (n - m +1) = n! (n - m)!

推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第步，取第个：有n种取法； 第二步，取第二个：有（n-1）种取法； 第三步，取第三个： I I 有(n-2) 种取法； I I 第m步，取第m个：I I 有(n-m+1) 种取法; I I 最后一步，取最后一个：有1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明 将部分排列问题A n n分解为两个步骤： 第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题C n n； 第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列A m。 根据乘法原理，A n n=C n n A m 即: C m A Tl n(n -1)0-2厂(n-m+1) n! A Tl m!m!(n- m)! 组合公式也适用于全组合的情况，即求C（n, n）的问题。根据 m!

组合恒等式证明的几种方法

1 引言 组合恒等式是组合数学的一个重要部分.它在数学的各个分支中都有广泛应用,而且它的证明方法多种多样,具有很强的灵活性.下面通过几个实例具体讲述一下，几种证法在组合恒等式中的运用. 2 代数法 通常利用组合恒等式的一些性质进行计算或化简，使得等式两边相等， 或者利用二项式定理∑ 0==+n r r n r r n n y x C )y x (在展开式中令x 和y 为某个特定的 值，也可以先对二项式定理利用幂级数的微商或积分后再代值，得出所需要的 恒等式. 例1 111 22m m m m n n n n C C C C n m +-++++=>， . 分析：这个等式两边都很简单，我们可以利用一些常用的组合恒等式去求证. 证明:1 +2+11+=2++m n m n m n m n C C C C m n m n m n m n C m n m C ,C m m n C 1+=1+= 11 + )m n m m m n (C m n 2+1++1+∴左边＝ 2()11m n n m m C m n m +++++-= 2(2)(1)()(1)(1) m n n m n m m m C m n m +++-++=++- 232 () (1)(1) (2)(1)() (1)(1) m n m n n n C m n m n n C m n m ++=++-++=++- 右边=()1 2(2)!(2)(1)! (1)!1!(1)(1)()!! m n n n n n C n m m m n m n m m +++++= =+-+++--

(1)(2)(1)(1)m n n n C n m m ++=+-+ 左边=右边 即证. 例2 求证:n n n n n n n n n n C C C C 20112211233333=+++++--- . 分析：看到上式，很容易想到二项式的展开式，尝试利用二项式定理去做. 证明： 由二项式定理建立恒等式， 112221 1(3)3333n n n n n n n n n n n C x C x C x x ----+=+++++ 令1x =,即得 2112214233331 n n n n n n n n n C C C ---==+++++ 即证. 例3（1）设n 是大于2的整数，则 0)1(32321=-+++-n n n n n nC C C C . （2）n 为正整数，则 )12(1 11131211131-+=++++++n n n n n n C n C C . 分析：观察上面两式的系数，很容易想到它们和微分积分有关，我们可以尝试利用求积分或微分的方法去解决这道题目. 证明：（1）0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ 等式两边对x 求导， 112 1 (1)2n n n n n n n x C C x n C x --+=++ + 令0x =得， 1231023(1)n n n n n n C C C nC -=-+++- 即证. （2）由二项式定理有，

排列组合21种模型

排列组合21种模型 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不 同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，

第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C 种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、4441284C C C 种 B 、44412843 C C C 种 C 、4431283 C C A 种 D 、444128433C C C A 种 答案：A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

地质构造模型

实习七地质构造模型 目的：初步建立各种产状的岩层、褶皱、断层和角度不整合的立体概念。 要求： 在教师带领下，观察下列各种模型，并将观察结果填入实习报告。 1.三种基本产状的岩层在平面、剖面上的特点。 2.熟悉褶皱要素及背斜和向斜在平面及剖面上的表现。 3.熟悉断层要素及各种断层在平面、剖面上的表现。 4.观察角度不整合在平面、剖面上的表现。 注意事项：对地质构造，常需从平面和剖面上进行观察，这样才能全面掌握其形态特征。剖面按方向与地质构造的走向是垂直还是平行，分为横剖面和纵剖面。 在平面及剖面上观察地质构造特征的主要内容有： 1.地层层面界线的形状是直线还是曲线，界线是否连续。 2.不同时代的层面界线是平行还是相交，它们的倾角大小有无变化。 3.新老岩层出现的顺序和分布，有无缺失或重复，是对称重复出现还是不对称重复出现。 从平面上观察大体能反映地质构造的地表特征，如果知道各岩层的产状要素，一般就可推测剖面上的情况。如果在平面上看到不同时代的岩层有规律的对称生复出现时，则大多数情况下的褶皱；不对称重复或有缺失则说明有可能有断层存在。由于实习所用木块模型缺乏地形，因而不能反映地形对地质界线的影响。与地质图上的表现有一定差异。例如，水平岩层在地形起伏时可出现不同时代地层；倾斜岩的地质界线在地质图上往往是曲线等。 横剖面的方向与地质构造走向相垂直，因而能正确地、较全面地反映地质构造的主要

形态特征。在角地质构造所属的类型。 纵剖面的方向与地质构造走向相平行，因而一般不能反映地质构造的形态特征，岩层界线往往是水平的。只有当构造沿走向有变化时（如褶皱枢纽有起伏时），纵剖面上才有反映。 实习时，要分类观察地质构造模型，从简单到复杂，循序渐进，并填写实习报告。 实习用模型图示如下：

教案-简易物体结构模型(慧鱼创意组合模型)

教案-简易物体结构模型（慧鱼创意组合模型） 实训目标： 1．了解慧鱼结构包的诞生及意义、价值。 2．了解并掌握慧鱼结构包各构件名称、用法及如何组装。 3．掌握组装简易物体结构的方法与技能，探索不同结构形状的牢固程度。 4．激发和培养学生的动手、动脑能力，拓宽知识面，培养创新意识。 实训材料：慧鱼结构包，部分模型（如图） 实训过程： 1．介绍慧鱼结构包的来历及意义、价值。 2．识别零件：介绍构件名称及用法，教给简单的拼装方法。 3．教师示范制作一物体模型：房子。 结构是一种能承受负载的东西,它必须能承担起自身的重量和足够的负载。观察下列图示，思考各种形状所能承受的压力大小，认识到三角形是一种天然稳定结构，房子、桥梁都会用到这种结构。

桥梁桌子房子 仔细观察下图，这是个四边形，本可以自由转换成平行四边形。想一想，装上中间的斜杠后，还能自由变换成其他图形吗？ 4．学生独立拼装房子模型。展示自己的房子模型，比一比，谁的房子结构更牢固、更完美、更有创新意识。 秀一秀，说一说： 你还会拼装更复杂点的其他结构模型吗？试一试，2人为一组，合作拼装一座桥梁，做

一回桥梁设计师，当一次能工巧匠。拼装完工后相互点评，哪一组拼装的桥梁模型更牢固，更能赢得大家的喝彩。 课外拓展： 探索纸结构的承重 1．用相同的卡纸（或一种较厚的纸片），做成不同形状的桥（如图所示），试一试，哪种形状的桥最牢？为什么？ 2．比一比，哪种纸结构能承受的重量最大？ 用一张10×25cm的厚纸和一条2×30cm的胶纸制作各种纸结构（可采用图中形状，也可自由创作）。在纸结构上面放一10×10cm轻质塑料板，再在板上不断加重，直至结构变形为止。从中可以比较出哪种结构最能承重，你知道其中的奥秘吗？

隧道超前地质预报之地质构造模型

隧道超前地质预报之地质构造模型 目的：初步建立各种产状的岩层、褶皱、断层和角度不整合的立体概念。 要求： 在教师带领下，观察下列各种模型，并将观察结果填入实习报告。 1.三种基本产状的岩层在平面、剖面上的特点。 2.熟悉褶皱要素及背斜和向斜在平面及剖面上的表现。 3.熟悉断层要素及各种断层在平面、剖面上的表现。 4.观察角度不整合在平面、剖面上的表现。 注意事项：对地质构造，常需从平面和剖面上进行观察，这样才能全面掌握其形态特征。剖面按方向与地质构造的走向是垂直还是平行，分为横剖面和纵剖面。 在平面及剖面上观察地质构造特征的主要内容有： 1.地层层面界线的形状是直线还是曲线，界线是否连续。 2.不同时代的层面界线是平行还是相交，它们的倾角大小有无变化。 3.新老岩层出现的顺序和分布，有无缺失或重复，是对称重复出现还是不对称重复出现。 从平面上观察大体能反映地质构造的地表特征，如果知道各岩层的产状要素，一般就可推测剖面上的情况。如果在平面上看到不同时代的岩层有规律的对称生复出现时，则大多数情况下的褶皱；不对称重复或有缺失则说明有可能有断层存在。由于实习所用木块模型缺乏地形，因而不能反映地形对地质界线的影响。与地质图上的表现有一定差异。例如，水平岩层在地形起伏时可出现不同时代地层；倾斜岩的地质界线在地质图上往往是曲线等。 横剖面的方向与地质构造走向相垂直，因而能正确地、较全面地反映地质构造的主要

形态特征。在角地质构造所属的类型。 纵剖面的方向与地质构造走向相平行，因而一般不能反映地质构造的形态特征，岩层界线往往是水平的。只有当构造沿走向有变化时（如褶皱枢纽有起伏时），纵剖面上才有反映。 实习时，要分类观察地质构造模型，从简单到复杂，循序渐进，并填写实习报告。 实习用模型图示如下：

高中数学：组合恒等式证明方法

高中数学：组合恒等式证明方法 二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式可以通过简捷的组合分析得到证明。 一、公式法 例1、求证：。 证明：由，，…， ，， ，整理即 。 小结：运用基本组合数公式进行转换，如： ，等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由，得1+2+…+，（2）由得 等，可见本题的结论具有示范作用。

二、二项式定理法 例2、求证：。 证明：因为，令，得 ，故 。 小结：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式的特性，赋予x以不同的值，常能使问题迎刃而解。 三、倒序求和法 例3、求证：。 证明：令，故， 。 小结：恒等式可逆用二项式定理获求。 四、组合分析法 例4、求证：。

证明：构造等式左边的等价数学模型：m名男生n名女生，从中取n人参加数学竞赛可分为n+1类，男生0人、1人、…、n人，女生对应分别为n、n-1 人、…，0人，共有选法为种，又由组合数定义知所求选法为种，命题成立。 小结：对等式两端所代表的组合含义进行分析，说明等式两端恰好是对同一组合模型进行计数，或是对已经建立一一对应关系的两个组合模型进行计数即得。 五、比较系数法 例5、求证：。 证明：由于，其中含有项的系数为。而 ，其中含有项的系数为，同时，故 。 点评：由多项式恒等对应项系数相等获求。在本题中，对m，n，k取特殊关系有（1）时， ；（2）时， 等。

六、递推公式法 例6、求证： 。 证明：设右边，则由恒等式得 ，故 ，整理即 ，而，故有。 小结：本题由递推关系及初始条件进行证明，其中数列的递推思想得到了体现。 七、求导法 例7、求证：。 证明：对两边的x求导得 ，上式两边乘以x后再求导得 ，取得 ，即证。

高中数学组合恒等式证明八法学法指导

组合恒等式证明八法 童广鹏 二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式常通过简捷的组合分析得到证明，本文举例说明。 一、公式法 例1. 求证：1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。 证明：由1n k n n k n 1n 1k n C C C ++++++++，1n 1k n n 1k n 1n k n C C C +-+-++++=，…，1 n 2n n 2n 1n 3n C C C ++++++=，1n 1n n 1n 1n 2n C C C ++++++=，1n 1k n n 1k n 1n k n n k n 1n 2n 1n 3n 1n k n 1n 1k n C C C C C C ...C C +-+-++++++++++++++++=++++ 1n 1n n 1n 1n 2n n 2n C C C C ...+++++++++++，整理即1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。 点评：运用基本组合数公式进行转换，如：1 k 1n k 1n 1k 1n k n n k n C C C n k C C -------===，m k m n m n m k k n C C C C --=等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由21n 1n 1211C C ...C C +=+++，得1+2+…+()2 1n n n +=，（2） 由22n 21n 2322C C ...C C ++=+++得()()()3 2n 1n n 1n n ...321++=+?++ ??等，可见本题的结 论具有示范作用。 二、二项式定理法 例2. 求证：12 3C ...3C 3C 3n 21n n 2n 2n 1n 1n n -=?++?+?+---。 证明：因为()n n n 1n 1n n 0n n b C ...b a C a C b a +++=+-，令3a =，1b =得 ()1n n n C 3113+=-+()1C 3C ...3C 3n n 1n n 2n 2n 1n -+?++?+?---，故 3C ...3C 3C 31 n n 2n 2n 1n 1n n ?++?+?+---12 n 2-=。 点评：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式 的特性，赋予x 以不同的值，常能使问题迎刃而解。 三、倒序求和法 例3. 求证：()()1n n n 2n 1n 2 2n 3C 1n 3...C 7C 41-+=+++++。 证明：令()()1C 4C 7...C 1n 3C 1n 3...C 7C 41S 1n 2n n n n n 2n 1n +++++=+++++=，故()() n n n 2n 1n 2C ...C C 12n 3S 2=+++++=， ()()1n n n 2n 1n 2 2n 3C 1n 3...C 7C 41S -+=+++++=。

构造组合模型巧证组合恒等式 论文

构造组合模型巧证组合恒等式论文 证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式． 例１证明Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－１＋Ｃｎ－１ｍ－１． 分析：原式左端为ｍ个元素中取ｎ个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素ａ１，有Ｃｎｍ－１种取法．一类为必取ａ１有Ｃｎ－１ｍ－１种取法．由加法原理可知原式成立．例２证明Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ． 分析：原式左端可看成一个班有ｍ个人，从中选出ｎ个人打扫卫生，在选出的ｎ个人中，ｐ人打扫教室，余下的ｎ－ｐ人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在ｍ人中选出ｐ人打扫教室，在余下的ｍ－ｐ人中再选出ｎ－ｐ人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题

进行适当分类，如例１，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例２，当然，很多情况下是两者结合使用的． 例３证明Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ１ｍＣｋ－１ｎ＋Ｃ２ｍＣｋ－２ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，其中当ｐ＞ｑ时Ｃｐｑ＝０． 证明：原式左边为ｍ＋ｎ个元素中选ｋ个元素的组合数．今将这ｍ＋ｎ个元素分成两组，第一组为ｍ个元素，剩下的ｎ个元素为第二组，把取出的ｋ个元素，按在第一组取出的元素个数ｉ（ｉ＝０，１，２，…，ｋ）进行分类，这一类的取法数为ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ个元素中取ｋ个元素的取法数又可写成ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立． 例４证明 Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１． 证明：原式右边为ｍ＋ｎ＋１个元素中取ｎ＋１个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在１，２，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋１，共ｍ＋ｎ＋１个数中取ｎ＋１个数．将取出的ｎ＋１个数ａ１，ａ２…，ａｎ＋１由小到大排列，即设ａ１＜ａ２＜ａｎ＋１，按取出的最大数ａｎ＋１＝ｋ＋１分类，显然ｋ＝ｎ，ｎ＋１，…，ｎ＋ｍ．当ｋ＝ｎ＋ｉ时（ｉ＝０，１，