方法提炼:理清m 的实际意义求出m ;建模,解二次不等式.
【例3】某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m ,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房，工程条件：（1）修1m 旧墙的费用是建1m 新墙的费用的25%，（2）用拆去1m 旧墙的材料建1m 新墙，其费用是建1m 新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？
解：设利用旧墙的一面矩形边长为x ，则矩形的另一面边长为
x
126
（1）利用旧墙的一段xm (x <14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为4
a
x ?，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为2
)14(a
x ?
-，其余的建新墙的费用为a x
x ?-?+
)14126
22( 故总费用(14)252
(214)42a x a y x a x x
-=+
++- 725236(7)7(1)(014)44x x a a x x x
=+-=+-<<
63642364=?≥+x
x x x ∴当且仅当x =12时，y 最小=7a (6-1)=35a (2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14,则修旧墙的费用为
a a 2
7
144=?，建新墙的费用为a x x ?-+
)14252
2(，故总费用 )14()7126(227)142522(27≥-++=-++=x x
x a a x x a a y
设)196(0)126
1)(()126(12614212
121221121><--=+-+
<≤x x x x x x x x x x x x 则 ),14[126
+∞+
=∴在x
x u 上为增函数， ∴当x =14时，a a a y 5.35)714
126
14(227=-+
+=最小 所以，采用第一种方案，利用旧墙12m 为矩形的一面边长，使建墙费用最省。
特别提醒: 本题要对厂房一边长<、>14两种方案都作讨论.
【例4】某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD 上找一落点C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间。 解： 22300,300,x BC x AC x CD +=-==则设,
则从A 经C 到B 的时间为
t,
300(0300)6x t x -=≤≤
1
''0
6
t t x
∴=-==
得
秒
时
故当
时
当
时
当
易知2
100
50
,
2
75
,0
,
300
2
75
,0
,
2
75
,
min
+
=
=
>'
≤
<
<'
≤
≤t
x
t
x
t
x
因此点C应选沿岸边AD距D点2
75米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短
为2
100
50+秒
法二：设∠DBC=α则00
300
,300300tan,(045)
cos
BC ACαα
α
==-≤≤，用时
300300300tan sin3
5050
2cos6cos
t
αα
αα
--
=+=-
记
sin3
cos
k
α
α
-
=,它表示点(c osα,s inα)和(0,3)连线的斜率,结
合图形知当连线与圆弧相切时k最大,t最小,y=k y+3代入y2+y2=1,
Δ=0,
得k=-
此时cot300
AC
α==-
,50
t=+最小.
解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以∠DBC为自变量建模,
方法更具灵活性.
【研讨.欣赏】
(2006湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度
定义为:1－污物质量÷物体质量（含污物））为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99
.0. 有
两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残
留水等因素影响, 其质量变为a(1≤a≤3). 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
c=
1
8.0
+
+
x
x
, (0.8a-1), 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
a
y
ac
y
+
+
,
(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水
量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有
0.8
0.99
1
x
x
+
=
+
，解得19
x=
由0.95
c=得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程
0.950.99y a
y a
+=+，解得4y a =，故43z a =+
即两种方案的用水量分别为19与43a +。
因为当13a ≤≤时，4(4)0x z a -=->，即x z >，
故方案乙的用水量较少
（Ⅱ）设初次与第二次清晰的用水量分别为x 与y ，类似（Ⅰ）得
54
,(99100)5(1)
c x y a c c -=
=-- （*）
于是541
(99100)100(1)15(1)5(1)
c x y a c a c a c c -+=
+-=+-----
当a 为定值时，11x y a a +≥-=-+
当且仅当
1100(1)
5(1)a c c =--时等号成立，此时1c =+
或1
c =（0.8，0.99）
将1
c =*）式得11,x a y a =>-=-
故1
c =-
时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为1与
a ，最少总用水量是1()x y a T a +=-=
当13a ≤≤时，'()10T a =
->，故()T a 是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）。这说明，随着a 的值的增加，最少总用水量增加。
五．提炼总结以为师
1．熟练掌握求函数最值的几种方法，并能灵活转化运用； 2．用不等式求最值时要注意“=”的成立条件; 3．不等式恒成立问题转化为最值问题
4．解应用题的一般程序:(1)审题 (2)建模;(3)求解;(4)作答
同步练习 2．13 函数的应用与最值
【选择题】
1．（2005上海）若函数1
()21
x
f x =
+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值
2.（2004湖北）函数f (x )=a 2+log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）
A ．
4
1 B ．
2
1 C ．
2 D ．4
3. 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根， x 12+x 22的最小值为( ) A.1716
-
B. 21
C.-m 2
+m +2 D.1
【填空题】
4.(2006天津)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
5．若x 、y ∈R ，且x 2+y 2=1，则（1－xy ）(1+xy)的最小值是______，最大值是_____ . 6.某工厂八年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数如图所示，下列四种说法：
（1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）第三年后，这种产品停止生产； （4）第三年后，年产量保持不变， 其中说法正确的序号是____.
简答提示:1-3.ABB; 3.注意Δ≥0限制m 的范围;
4.总费用400
44160y x x
=
?+≥=,当x=20时取等号,费用最小.答:20; 5.三角代换,令x=cos α,y=sin α.答案:3/4, 1;
6.增长速度是切线斜率,(2)对;三年后总产不变,即停产,(3)对,答案:(2),(3); 【解答题】
7.设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +
1
1
-m ) (1)证明:当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值
(3)求证:对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1 (1)证明:先将f (x )变形:f (x )=log 3［(x －2m )2+m +1
1
-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +1
1
-m >0恒成立， 故f (x )的定义域为R
反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +
1
1
-m >0, 令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +
1
1
-m )＜0,解得m >1,故m ∈M (2)解析:设u =x 2－4mx +4m 2+m +1
1
-m ,
∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小 而u =(x －2m )2+m +
1
1
-m , 显然，当x =m 时，u 取最小值为m +1
1
-m , 此时f (2m )=log 3(m +
1
1
-m )为最小值 (3)证明:当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 1
1
-m +1≥3,
当且仅当m =2时等号成立. ∴log 3(m +
1
1
-m )≥log 33=1 8.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）
解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则
y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，
y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x .
令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ， 解得x ≤
9
.415
≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
9.某影院共有1000个座位，票价不分等次。根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出。用x （元）表示每张票价，用y （元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）。 （1）把y 表示成x 的函数，并求其定义域； （2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？ 解：（1）由题意知当x ≤10时，y=1000x-5750,
当x>10时，y=[1000-30(x-10)]x-5750= -30x 2
+1300x-5750
2
100057500
:301300575005.75x x x x ->??-+->?
<<=
解之得又x ∈N,∴6≤x ≤38 ∴所求表达式为
2
10005750
(610,)3013005750(1038,){638,}
x x x N y x x x x N x x x N -≤≤∈?=?-+-<≤∈?≤≤∈定义域为 （2）当425010,),106(57501000max ==∈≤≤-=y x N x x x y 时时 当23013005750(1038,),y x x x x N =-+-<≤∈时
2max 6525000
30(),22833033
y x x y =--
+==时 所以每张票价定为22元时净收入最多。
10.甲、乙两地相距Skm ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km ／h)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km ／h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
解(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为
s
v
,全程运输成本为 2()s s a
y a bv s bv v v v
=?+?=+
∴所求函数及定义域为: (),(0.]a
y s bv v c v
=+∈ (2)依题意S,a,b,v 都是正数,
故有()2a S bv v
+≥
当且仅当
,,a bv v v ==即上式等号成立.
,c v =
则时,全程运输成本最小.
12,0c v v c ><<≤<
任取则 21211221121221()()()0,0,v v a a a
S bv S bv Sb v v v v v v b v v v v -+
-+=->->由于且
12120a
v v c v v b
<<≤<
< ∴211212()0v v a Sb
v v v v b --<即2121
()()a a S bv S bv v v +<+
,()a
c y S bv v
=+时函数在区间(0,c]上是减函数. 则当v=c 时，y 取最小值． 综上可知,
c ≤时,
速度应为v =
c >时,速度应为v=c ;
说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c ，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
【探索题】某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：
????
?∈>∈≤≤-=),(3
2),1(961
N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量
次品数
=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为
合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损
2
A
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（1）当x c >时，23
P =，所以，每天的盈利额120332A
T xA x =-?=;
当1x c ≤≤时，1
96P x
=
-， 所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ??- ?-??件，次品约有196x x ??
?-??
件．故，每天
的盈利额
()113196962296A x T xA x x A x x x ?
?????=--?=- ? ? ? ?---??????
综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：
()3, 12960
x x A x c
T x x c ???-≤≤???=-???
?
>? （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0． 当1x c ≤≤时，()3296x
T x A x ??=- ?
?-??
． 令96x t -=，则09695c t <-≤≤． 故 ()3961
144969722t T t A t A t t -????=--
=-- ? ????
?
1147
97022A A ?≤-=> ?
．
当且仅当144
t t
=
，即()1284t x ==即时，等号成立． 所以（i ）当84c ≥时，max 147
2
T A =（等号当且仅当84x =时成立）． （ii ） 当184c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，
易证函数T (t )在(12,)t ∈+∞上单调递减（证明过程略）．
∴()2max
1
1441441892(96)979602961922c c T T c c A A c c ??+-??=-=---=>
? ?--????
即2max
14418921922c c T A c ??
+-= ?-??
．
（等号当且仅当t=96-c 即x c =时取得） 综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<，则
当日产量为c 时，可获得最大利润．
点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
