第1章 因式分解
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第1章 因式分解
要点、分解因式
一、选择题
1. （2010·济宁中考）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．(3)(3)x x y x y +-
B ．223(2)x x xy y -+
C ．2(3)x x y -
D ．23()x x y -
答案：D
2、（2008·宁夏中考）下列分解因式正确的是（ ）
A ．)1(222--=--y x x x xy x
B ．)32(322
---=-+-x xy y y xy xy
C ． 2)()()(y x y x y y x x -=---
D ． 3)1(32--=--x x x x 【解析】选C.选项A 提取公因式不彻底，选项B 提取公因式后符号处理不正确，选项D 不是因式分解.
3、（2010·眉山中考）把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A ．2(3)m x +
B ．(3)(3)m x x +-
C ．2(4)m x -
D ．2(3)m x -
【解析】选D 269mx mx m -+=m （x 2－6x ＋9)=m(x －3)2
4、（2009·贵阳中考）将整式9－x 2分解因式的结果是（ ）
A ．(3－x )2
B ．(3＋x )(3－x )
C ．(9－x )2
D ．(9＋x )(9－x )
【解析】选B.根据平方差公式因式分解.
5、(2009·温州中考)把多项式x 2一4x+4分解因式，所得结果是( )
A ．x(x 一4)+4 B.(x 一2)(x+2) C ．(x 一2)
2 D ．(z+2)2
【解析】选 C.利用完全平方公式因式分解.
6、（2009·北京中考）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A.()()x x y x y +- B.()222x x xy y -+ C.()2
x x y + D.()2
x x y -
【解析】选D.先提取公因式，在利用完全平方公式因式分解.
7、（2009·内江中考）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A ．222()2a b a ab b +=++
B ．222()2a b a ab b -=-+
C ．22()()a b a b a b -=+-
D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-
【解析】选C.图甲中阴影部分的面积为a 2-b 2，图乙中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
所以a 2-b 2=(a+b)(a-b)，故选C.
8、(2008·安徽中考）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A.x 2－xy
B. x 2＋xy
C. x 2－y 2
D. x 2＋y 2
【解析】选C.选项C 可以利用平方差公式因式分解.
9、（2008·广东中考）下列式子中是完全平方式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】选D.完全平方式符合首平方、尾平方、2倍的首尾在中央.
二、填空题
10．（2010·广州中考）因式分解：3ab 2＋a 2
b ＝_______．
答案：ab (3b ＋a )
11．（2010·南通中考）分解因式：2ax ax -＝ ．
答案：ax （x-1）
12、（2010·上海中考）分解因式：a 2 ─ a b = ______________.
【解析】a 2 ─ a b =a (a ─b )
答案：a (a ─b )
13．（2010·宜宾中考）分解因式：2a 2– 4a + 2= .
【解析】2a 2– 4a + 2=2（a 2–2a +1）=2（a – 1）2 14、（2009·福州中考)分解因式：22x x -= .
答案： x （x －２）
15、（2009·长沙中考）因式分解：2
24a a -= ．
答案：)2(2-a a
16、（2009·威海中考）分解因式：（x+3）2-(x+3) ___________．
答案：(x+3)(x+2)
17、（2009·广东中考）分解因式x x 823-=______. 答案：2x(x+2)(x-2)
18、(2009·杭州中考)在实数范围内因式分解44
-x = _____________． 答案：)2)(2)(2(2-++x x x 三、解答题
19．（2010·扬州中考）（2）因式分解：m 3
－4m
【解析】原式=m (m 2-4)=m (m -2)(m +2)
20．（2010·清远中考）分解因式：2x 3y －2xy 3.
【解析】原式＝2xy (x 2－y 2)＝2xy (x ＋y ) (x －y ).
21、（2009·吉林中考）在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算， 使所得整式可以因式分解，并进行因式分解
【解析】
222(2)222();x xy x x xy x x y ++=+=+ 或
222(2)();y xy x x y ++=+ 或
2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+- 或
2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+- 22、(2009·漳州中考)给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x
-．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【解析】情况一：2211214122x x x x +-+++
=2
6x x + =(6)x x +． 情况二：221121222x x x x +-+-
=21x -=(1)(1)x x +-． 情况三：221
141222x x x x
+++- =221x x ++ =2(1)x +．
23、（2008·南通中考）分解因式
【解析】原式＝＝＝
第四章 因式分解 单元检测基础卷(含答案)
单元检测卷：因式分解（基础卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、多项式－2a（x+y）3+6a2（x+y）的公因式是（） A、－2a2（x+y）2 B、6a（x+y） C、－2a（x+y） D、－2a 【答案】C 【解析】解；－2a（x+y）3+6a2（x+y）的公因式是－2a（x+y），故选：C． 2、下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（） A、a（x+y）=ax+ay B、x2－4x+4=x（x－4）+4 C、10x2－5x=5x（2x－1） D、x2－16+6x=（x+4）（x－4）+6x 【答案】C 【解析】解：A、是多项式乘法，故选项错误；B、右边不是积的形式，x2－4x+4=（x－2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 3、下列因式分解错误的是（） A、2a－2b=2（a－b） B、x2－9=（x+3）（x－3） C、a2+4a－4=（a+2）2 D、－x2－x+2=－（x－1）（x+2） 【答案】C 4、把x3－9x分解因式，结果正确的是（） A、x（x2－9） B、x（x－3）2 C、x（x+3）2 D、x（x+3）（x－3） 【答案】D 5、把分解因式，结果是（） A、B、 C、D、 【答案】B 6、利用因式分解简便计算57×99+44×99－99正确的是（） A、99×（57+44）=99×101=9999 B、99×（57+44－1）=99×100=9900 C、99×（57+44+1）=99×102=10096
D、99×（57+44－99）=99×2=198 【答案】B 7、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（） A、x2+1 B、x2+2x－1 C、x2+x+1 D、x2+4x+4 【答案】D 8、把方程x2－6x+4=0的左边配成完全平方，正确的变形是（） A、（x－3）2=9 B、（x－3）2=13 C、（x+3）2=5 D、（x－3）2=5 【答案】D 9、化简：（－2）2003+（－2）2002所得的结果为（） A、22002 B、－22002 C、－22003 D、2 【答案】B 10、若a，b，C是△ABC的三条边，且满足a2－2ab+b2=0，（a+b）2=2ab+c2，则△ABC的形状为（） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：∵a2－2ab+b2=0，∴（a－b）2=0， ∴a－b=0，即a=b， ∴△ABC为等腰三角形； 又∵（a+b）2=2ab+c2， ∴a2+2ab+b2=2ab+c2， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC也是直角三角形； ∴△ABC为等腰直角三角形． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11、单项式8x2y2、12xy3、6x2y2的公因式是________． 【答案】2xy2 【解析】解：系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是xy2， ∴单项式8x2y2、12xy3、6x2y2的公因式为2xy2． 故答案为：2xy2． 12、把多项式4（a+b）－2a（a+b）分解因式，应提出公因式________． 【答案】2（a+b）
八年级下因式分解习题与答案
因式分解练习专题练习+全国中考因式分解 1. 利用乘法公式，展开下列各式： (1) ( 9x – 5 )2 =__________________。 (2) ( 2x + 7 ) ( 7 – 2x ) =__________________。 2. 化简 – 2 ( x 2 + 3x – 5 ) + 4x 2 – 7x + 5 =__________________。 (2) 展开 ( – 2x + 3 ) ( 4x – 5 ) =______。 3. B 为两多項式，已知A = x 2 + 4x – 3，且A + B = 2x 2 + 4x – 2，求B =______。 4. 已知x + 3 =0，则 x 2 + 4x + 3 =__________________。 5. 化简下列各式： (1) ( 4x 2 + 3x + 5 ) + ( 2x 2 + 5x – 3 ) =__________________。 (2) ( – 4x 2 + x – 3) – ( – 6x 2 – 2x – 4 ) =__________________。 6. 因式分解（a 2 – 2a + 1）– b （a – 1）=__________________。 7. 因式分解6（a 2 – b 2）–（a + b ）=__________________。 8. ( x 2 – 3x + 5 ) – ( ax 2 + bx + c ) =3x 2 – 4x + 5，則a + b + c =______。 9. 在下面空格中填入适当的式子。 (1) ( –7x 2 – 8x + 6 ) + (___ ___ ) = 0。 (2) (___ ___ ) + ( 4x 2 – 7x + 4 ) = –x 2 + 8x – 3。 10.设xy – x + y = 5，求 ( x + 1 ) ( y – 1 ) 之值 =______。 11.若 ( x 2 +312 1 x ) –6A = 0，则A =______。 12.若x =13，则 ( x – 2 ) ( x + 2 ) 之值为______。 13.若一元二次式B = –x + 3x 2 + 5，则 (1) x 2项系数为______。(2) x 项系数为______。(3) 常数项为______。
第四章 因式分解 单元检测题(含答案)
第四章单元检测题 (时间：100分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2 B ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1) C ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n ) D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z 2．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．x 2－1 D ．(x －1)2 3．下列各式中，能用公式法分解因式的有( ) ①－x 2－y 2；②－14a 2b 2＋1；③a 2＋ab ＋b 2；④－x 2＋2xy －y 2；⑤14 －mn ＋m 2n 2. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( ) A ．3x (x 2－4x ＋4) B ．3x (x －4)2 C ．3x (x ＋2)(x －2) D ．3x (x －2)2 5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一 题是( ) A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2 B ．x 3－x ＝x (x 2－1) C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y ) D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y ) 6．若a 2－b 2＝14，a －b ＝12 ，则a ＋b 的值为( ) A ．－12 B .12 C ．1 D ．2 7．已知多项式2x 2＋bx ＋c 因式分解后为2(x －3)(x ＋1)，则b ，c 的值为( ) A ．b ＝3，c ＝－1 B ．b ＝－6，c ＝2 C ．b ＝－6，c ＝－4 D ．b ＝－4，c ＝－6 8．计算(－2)99＋(－2)100的结果为( ) A ．299 B ．2100 C ．－299 D ．－2 9．若多项式x 2－2(k －1)x ＋4是一个完全平方式，则k 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．3或0 D ．3或－1 10．若三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2b －a 2c ＋b 2c －b 3＝0，则这个三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形
初中数学青岛版七年级下册第12章 乘法公式与因式分解12.2完全平方公式-章节测试习题(4)
章节测试题 1.【答题】化简的结果为（）． A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可. 【解答】因为,选B. 2.【答题】若要得到，则应加上（）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据完全平方公式解答即可.
【解答】因为,且,所以 ,选C. 3.【答题】下列式子中： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 正确的个数是（）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C
【分析】根据完全平方公式解答即可. 【解答】①因为, , 所以,故①正确, ②因为,,故②错误, ③因为,故③正确, ④因为,故④错误, ⑤,故⑤正确, ⑥,故⑥错误,选C. 4.【答题】已知，则的值为（）． A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【分析】根据完全平方公式解答即可.
【解答】因为,所以,选B. 5.【答题】如果恰好是一个整式的平方，那么常数的值为（）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据完全平方公式解答即可. 【解答】因为恰好是一个整式的平方,首项为x的平方,尾项为k的平方,中间为首尾2倍积,所以k=,选C. 6.【答题】如果，那么的值是（）． A. B. C. D. 【答案】C
【分析】根据完全平方公式解答即可. 【解答】因为,且,所以,选C. 7.【答题】下列计算正确的是（）． A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可. 【解答】A选项, ,所以A选项错误, B选项, ,所以B选项错误, C选项,所以C选项错误, D选项, ,所以D选项正确, 选D.
新人教版八年级上册数学《整式的乘法与因式分解》全章教案
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算． 2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 教学重、难点 同底数幂的乘法运算法则及其应用. 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ （1） 如何列出算式？ （2） 1015的意义是什么？ （3） 怎样根据乘方的意义进行计算？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） 5 2222() ?= ； （2）32()a a a ?= ； （3）5 55()m n ?= ． 你能将上面发现的规律推导出来吗？ 教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 m n m n a a a +?=（m ，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、 四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？ 这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a ++ +???= （m ， n ，p 都是正整数）． 例1(教科书第96页) 三、应用提高、拓展创新 课本96页 练习 m n a a ? m n a a a a +=???（）个 m n a += m a n a a a a a a a =?? ???? ?个个 （）（）
四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？ 五、布置作业： 习题14.1第1（1）、（2）题 教后反思： 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法． 教学重、难点 幂的乘方与积的乘方的性质． 教学过程设计 一、 创设问题，激发兴趣 问题1 有一个边长为a 2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: （1） （2） （3） 3 m m m m a a a a a ??（ ） （）== （m 是正整数）． 在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 多重乘方可以重复运用上述法则： 二、知识应用，巩固提高 计算 （1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3； （4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4． 问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n 是正整数） 你能发现有何运算规律吗？ 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 2322233333??（ ） （）==； 23222a a a a a ??（ ） （）==； =p m n mnp a a ???? （）
因式分解教案
因式分解教案 二界岭中心学校（初中部）许立 【教学目标】 知识技能目标： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法目标： 在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。 情感与态度目标: 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。 【教学重点与难点】 重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 【教学方法与手段】 教法：类比、探究式教学方法 学法：自主、合作、探索的学习方法 【教具准备】 多媒体展示 【教学过程】 一、创设情景 组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后
有何感想。（2至3人） 二、 提出问题 近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。 如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a ﹑b ﹑c,宽是m ，那么一共开垦荒地的面积是？ 方法一得： mc mb ma ++ 方法二得： ()c b a m ++ 总结：因此mc mb ma ++=()c b a m ++ 利用整式乘法验证： ()c b a m ++=mc mb ma ++ 我们把mc mb ma ++=()c b a m ++这一变换过程称作因式分解。 出示课题：因式分解 概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。 对象：多项式 结果：整式的乘积形式 学生举例：（说明什么是因式分解） 思考：整式的乘法与因式分解的关系 1 因式分解 整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。 辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？ ⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2 ⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z) ⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b) ·(a+b) 说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式; 2、因式分解一般分解到不能再分解为止。 三、 引入新知
浙教版七年级下数学第四章因式分解单元试卷及答案
浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解单元试卷 题号一二三总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一．选择题（共10小题，3*10=30） 1．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（） A．24x2y＝3x?8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3 C．x2+2x+1＝（x+1）2D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（）A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3．多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式是（） A．4ab B．2ab C．3ab D．5ab 4．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（） A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1） 5．计算：（﹣2）101+（﹣2）100的结果是（） A．﹣2 B．﹣2100C．2 D．2100 6．多项式x2﹣kx+9能用公式法分解因式，则k的值为（） A．±3 B．3 C．±6 D．6 7．若P＝（a+b）2，Q＝4ab，则（） A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 8．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）
12章乘法公式和因式分解练习题
12乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 11.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4
(完整版)北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的
想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) ①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 【教学说明】 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 【归纳结论】 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
4.1因式分解教学设计
铁厂中学高效课堂数学教学设计 4.1 因式分解 铁厂中学李兴林 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理 数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数 式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意 义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生 体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算， 因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维 对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具 体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。 四．教学重点：因式分解的概念。 教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习， 检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a?4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 千教万教，教人求真
北师大八年级下册第四章《因式分解》单元测试题含答案解析(可编辑修改word版)
第四章《因式分解》检测题 一．选择题（共12 小题） 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣ 21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 2.多项式4x2﹣4 与多项式x2﹣2x+1 的公因式是（） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 3．把多项式（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）提取公因式（x﹣1）后，余下的部分是（）A．（x+1）B．（x﹣1）C．x D．（x+2） 4．下列多项式的分解因式，正确的是（） A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz）B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2） C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z）D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a） 5．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（） A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8 6．计算（﹣2）2015+22014 等于（） A．22015 B．﹣22015 C．﹣22014 D．22014 7．下列因式分解正确的是（） A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2） 8．分解因式a2b﹣b3 结果正确的是（） A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2 9．把代数式ax2﹣4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是（） A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）10．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）
最新人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》全章教学设计(精品教案)
第十四章整式的乘法与因式分解 14．1 整式的乘法 14．1.1 同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片)
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2) ＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m ＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
第四章《因式分解》单元检测卷(含答案)
第四章《因式分解》单元检测卷 （全卷满分100分限时90分钟） 一、选择题：（每小题3分共36分） 1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（ ） A.6ab =2a ·3b B.(x +5)(x －2)=x 2+3x －10 C.x 2－8x +16=(x －4)2 D.x 2－9+6x =(x －3)(x +3)+6x 2.因式分解x 2﹣9y 2的正确结果是（ ） A.（x +9y ）（x ﹣9y ） B.（x +3y ）（x ﹣3y ） C.（x ﹣3y ）2 D.（x ﹣9y ）2 3.如果b －a =4，ab =7，那么22ab b a -的值是（ ） A.28- B.11- C.28 D.11 4.把多项式2 2 3 44x y xy x --分解因式的结果是（ ） A.3 4()xy x y x -- B.2 (2)x x y -- C.2 2 (44)x xy y x -- D.2 2 (44)x xy y x --++ 5.下列多项式能因式分解的是（ ） A.m 2+n B.m 2－m +1 C.m 2－2m +1 D.m 2－n 6.下列分解因式正确的是（ ） A.)1(23-=-x x x x B.)1)(1(12-+=-x x x C.2)1(22+-=+-x x x x D.22)1(12-=-+x x x 7.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A.42 +a B.4 12+ -a a C.y x 52- D.y x 52 + 8.已知多项式2 2x bx c ++因式分解为2(3)(1)x x -+，则b.c 的值为（ ）. A.3,1b c ==- B.6,2b c =-= C.6,4b c =-=- D.4,6b c =-=- 9.一个正方形的边长为acm ，若它的边长增加cm 4,则面积增加了（ ）2 cm
青岛版第12章乘法公式和因式分解测试题
第12章 乘法公式和因式分解 姓名----------成绩------ 一、选择（每题3分 共30分） 1.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 2..把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4 3.化简)23(4)325x x -+-（ 的结果为（ ） A ．32-x B ．92+x C ．38-x D ．318-x 4.下列计算正确的是 Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=-- C ．()()22222x y x y x y +-=- D ．()2222x y x xy y -+=-+ 5.下列各因式分解正确的是（ ） A.)2)(2()2(22+-=-+-x x x B.22)1(12-=-+x x x C.22)12(144-=+-x x x D.)2)(2(42-+=-x x x x x 6.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ） A ．x 2 +1 B .x 2+2x －1 C .x 2+x +1 D .x 2+4x +4 7.下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A ．m 2+n B ．m 2﹣m+1 C ．m 2﹣n D ．m 2﹣2m+1 8.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( ) A ．(x －1)(x －2) B ． x 2 C ．(x +1)2 D ． (x －2)2 9.下列多项式能分解因式的是（ ） A ． x 2+y 2 B ． ﹣x 2+y 2 C ． ﹣x 2+2xy D ． x 2﹣xy+y 2 10.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5
第四章因式分解单元测试题及答案
因式分解单元测试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ?? --=-- ??? 2、下列各式的分解因式：①()()2 2 10025105105p q q q -=+- ②()() 2 2422m n m n m n --=-+-③ ()() 2632x x x -=+-④2 2 1142x x x ? ?--+ =-- ?? ?其中正确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2 224a ab b -+ C 、2 1 44 m m -+ D 、()2221a b a b ---+ 4、当n 是整数时，()()2 2 2121n n +--是( ) A 、2的倍数 B 、4的倍数 C 、6的倍数 D 、8的倍数 5、设()()()()1112,113 3 M a a a N a a a =++=-+，那么M N -等于( ) A 、2a a + B 、()()12a a ++ C 、2 113 3a a + D 、()()1 123 a a ++ 6、已知正方形的面积是()2 2 168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的周长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 7、若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么 n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 8、已知4821-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是( ) A 、61，62 B 、61，63 C 、63，65 D 、65，67 9、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小 正方形(a >b )，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是 A 、()()2 222a b a b a ab b +-= +- B 、()2 222a b a ab b +=++ C 、() 2 222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+- 10、三角形的三边a 、b 、c 满足 ()223 0a b c b c b -+-=，则这① ②
青岛版七年级数学下册 第十二章《乘法公式与因式分解 》单元测试题 (无答案)
第二章 乘法公式与因式分解检测题 一、 选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分，每小题只有一个选项符 合题意） 1. 下列两个多项式相乘，不能用平方差公式进行计算的是（ ） A.)32)(32(b a b a ++- B.)32)(32(b a b a --+- C.)32)(32(b a b a --+ D.)32)(32(b a b a --- 2. 2)2(n m +-的运算结果是( ) A.2244n mn m ++ B.2244n mn m +-- C.2244n mn m +- D.2242n mn m +- 3. 若22169y Kxy x ++是完全平方式，则K 的值为（ ） A.12 B.24 C.±12 D.±24 4. 若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2 D ．2 5. 已知a 、b 是△ABC 的的两边，且a 2＋b 2=2a b ，则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.不确定 1. 20062+3×20062–5×20072的值不能．． 被下列哪个数整除（ ） A.3 B.5 C.20062 D.20052 2. ()()1333--?+-m m 的值是（ ） A.1 B.－1 C.0 D.()13+-m 二、 填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分，将答案填在题中的横线 上）
6.若x m ﹣81=（x 2+9）（x +3）（x ﹣3），则m= . 7.已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a += . 8.如果x ＋y ＝10，x y ＝7，则x 2y ＋x y 2＝____________. 9.计算：－5652×0.13＋4652×0.13＝_____________. 10.分解因式：(x ＋y)2－4(x ＋y －1)= . 三、 解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分，解答题应写出文字说 明、演算步骤） 11.（10分）计算：(1) )32)(32(-++-b a b a （2）()()()y x x y y x -+--33322 12. （10分）因式分解: （1）3123x x - （2）22441y xy x ++-
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(3)
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后
(完整版)因式分解教案
第二章 分解因式 1．分解因式 教学目标： （一）知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法． （二）过程与方法： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力． （三）情感与态度： 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、 问题 用简便方法计算： （1）29 7 6971397?+?-?= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ． 注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式． 二 、探究
提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？ 注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． 看谁算得准 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理 比较以下两种运算的联系与区别： （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：