初中数学一次函数综合复习讲义(含习题答案)
初中数学一次函数综合复习讲义（含习题答案）
一．基础知识
1、一次函数的概念:
若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x 为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图象及其性质：
（1）、图象：
一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。
（2）、性质：
一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：
3、函数表达式的确定：
常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k、b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.
4、一次函数的应用：
（1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。
一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。
（2）、一次函数与不等式的关系：
可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。
二．经典例题
例1：（1）如图：三个正比例函数的图像分别对应的
解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，
则a、b、c的大小关系是（）
A、a＞b＞c
B、c＞b＞a
C、b＞a＞c
D、b＞c＞a
解：由正比例函数图像的性质可得：
答案：C
（2）一次函数y=x+1的图象，不经过的象限是（）。
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
解：由一次函数y=kx+b的图象性质，有以下结论：
题目中y=x+1，k=1>0，则函数图象必过一、三象限；b=1>0，则直线和y轴交于正半轴，可以判定直线位置，也可以画草图，或取两个点画草图判断，图像不过第四象限。
答案：D。
例2、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系。
解：∵y=2y1
y1=3x+2,
∴y=2(3x+2)=6x+4,
即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例如y=2x，y=2x+3的图象平行。
解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，
∴k=-4，
∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
∴b=18，
∴y=-4x+18。
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0，b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。解：∵点B到x轴的距离为2，
∴ 点B 的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=kx±2,
∵ 直线过点A （-4，0），
∴ 0=-4k±2,
解得：k=±
∴直线AB 的解析式为y= x+2或y=- x-2。
说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y 轴交于B 点，则点B （0，yB ）；
（3）点B 到x 轴距离为2，则|yB|=2；
（4）点B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=yB ；
（5）已知直线与y 轴交点的纵坐标yB ，可设y=kx+yB ；
下面只需待定k 即可。
例5．已知一次函数y1=(n-2)x+n 的图象与y 轴交点的纵坐标为-1，判断y2=(3-n )x+2是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
解：依题意，得
解得n=-1，
∴ y1=-3x-1,
y2=(3-n )x+2, y2一次函数；
y1=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，y1随x 的增大而减小；
y2=(3- n)x+2的图象经过第一、二、三象限，y2随x 的增大而增大。
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n ，故求解析式的关键是构造关于n 的方程，此题利用“一次函
数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。
例6、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数．
（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．
解：（1）设此一次函数解析式为.y kx b =+
则1525,2020.
k b k b +=??+=? 解得k =-1，b =40． 即一次函数解析式为40y x =-+．
（2）每日的销售量为y =-30+40=10件， 所获销售利润为（30-10）×10=200元
三、适时训练
（一）精心选一选
1、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )
(A) y=2x (B) y=2x －6 （C ） y=5x －3 （D ）y=－x －3
2、下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）
(A) y=3x+2 (B) y=3x －2 (C) y=－3x+2
(D) y=－3x －2
3、已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x 轴上相交于同一点,则 b
a 的值是( ) (A)4 (B)-2 (C) 2 (D)- 4
4、若一次函数y=kx+b 的图象经过点(-2，-1 )和点(1，2)，则这个函数的图象不经过( )
A 、第一象限 ；
B 、第二象限 ；
C 、第三象限 ；
D 、第四象限
5、下列说法正确的是（ ）
A 、正比例函数是一次函数；
B 、一次函数是正比例函数；
C 、正比例函数不是一次函数;；
D 、不是正比例函数就不是一次函数。
6、若一次函数y=mx+１与y=nx －２的图象交于x 轴上一点，则m ：n=( )、
A 、1：2 ；
B 、－1：2 ；
C 、2：1 ；
D 、－2：1
7、如果一次函数y=kx+(k －1)的图像经过第一、三、四象限，则 k 的取值范围是( )、
A 、k ＞0 ；
B 、k ＜0 ；
C 、0＜k ＜1 ；
D 、k ＞1
8、函数Y=4x －2与y=－4x －2的交点坐标为（ ）
A 、（－2，0）；
B 、（0，－2）；
C 、（0，2）；
D 、（2，0）
9、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（ ）．
A ．6
B ．12
C ．3
D ．24
10、已知关于x 的一次函数y=mx+2m-7在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围
（ ）
A 、7m >
B 、1m >
C 、17m ≤≤
D 、以上都不对
11、一次函数的图象经过点A （-2，-1），且与直线y=2x-3平行，?则此函数的解析式为（ ）
A ．y=x+1
B ．y=2x+3
C ．y=2x-1
D ．y=-2x-5
12、若点（－4，y 1），（2，y 2）都在直线y=1x t 3
-+上，则y 1与y 2的大小关系是 （ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1=y 2
C ．y 1 D ．无法确定 （二）细心填一填 1、若一次函数y=（2-m ）x+m 的图像经过第一、?二、?四象限，?则m?的取值范围是______． 2、在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数． 3、已知点A （m ，1）在直线y=2x-1上，则m=_________． 4、一次函数y=3x+m-1的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是________． 5、已知一次函数y=-kx+5，如果点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）都在函数的图像上，且当x 1 6、已知直线y=kx+b 和直线y=-3x 平行，且过点（0，-2），?则此直线与x?轴的交点为________． 7、直线y=-x+a 与直线y=x+b 的交点坐标是（m ，8），则a+b=________． 8、若一次函数y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______． 9、点M （-2，k ）在直线y=2x+1上，M 到x 轴的距离d=_______． 10、函数y=－2x ＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________ 11、一次函数y=kx＋b的图象经过点（1，5），交y轴的点到原点距离为3，则k=____，b=____ 12、若函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，那么b=_____ 13、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每枝钢笔5元，每个笔记本2元，那么小明最多 能买_____枝钢笔。 （三）认真答一答 1、我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了ymL水. （1）试写出y与x之间的函数关系式； （2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？ 2、一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0．7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0．2元的价格退回报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y（元）． （1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 3、拖拉机耕地时，每小时的耗油量假定是个常量，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升． （1）写出油箱中余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式； （2）画出函数图象； （3）这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时？ (分析)由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象（在自变量取值范围内）. 精心整理 一次函数测试题 （考试时间为90分钟，满分100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1.直线x =与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______. 9- y3 11个单位,可得到函数__________________. 2.把直线1 3. 4. 5. 6.). 7. 8. 9.立方 .某10.2、3、4 . 二、选择题（每题3分，共18分） 11.函数y＝的自变量x的取值范围是（） Ａ．x≥-2Ｂ.x＞-2Ｃ．x≤-2Ｄ．x＜-2 12.一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写 出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（） Ａ．y ＝1.5（x+12）(0≤x ≤10)Ｂ．y ＝1.5x+12(0≤x ≤10) Ｃ．y ＝1.5x+10(0≤x)Ｄ．y ＝1.5(x －12)(0≤x ≤10) 13.无论m 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 14.某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图）， 并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出.那么该倒置啤酒瓶内水面 高度h 随水流出的时间t 变化的图象大致是（） A.B.C.D. 15.已知函数1 22y x =-+,当-1＜x ≤1时，y 的取值范围是（） A.5 32 2 y -<≤ B.352 2 y << C.352 2 y <≤ D.352 2 y ≤< 16.某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A 地后，宣传8分钟；然后下坡到B 地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A 地仍要宣传8分钟，那么他们从B 地 返回学校用的时间是（） B.48分钟 C.46分钟 D.33分钟 三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分） 17.观察图,先填空,然后回答问题: (1)由上而下第n 行,白球有_______个;黑球有_______个. (2)若第n 行白球与黑球的总数记作y,则请你用含n 的代数式表示y,并指出其中n 的取值范围. 18.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. h t O h t O h t O h t O 初中数学一次函数的最值问题 一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。 图1 2、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当 时，；当时，。 图2 3、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当 时，；当，。 图3 4、如果，那么既没有最大值也没有最小值。凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。 下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考： 某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案： 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小； 方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。 （1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？ （3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。 解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当时， ∴当x=40时，y的最小值为4400。 ②当时， ， 此时y的值大于4400。 因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。 （2）设取奶站建在距A楼xm处。 ①当时， ， 解得（舍去）。 ②当时， 解得x=80， 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。 一次函数 复习讲义 温故而知新： 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________; 若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 1、点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 2、点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 3、点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 4、已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ??? ?- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为 ___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函 数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法： 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）1241++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 10 y(元) x(千克) 40 30 30 20 (4)y=5x-3 (3)y=x-3 (2)y=4x (1)y=-3x+1 一次函数复习 考点1：一次函数的概念 1、下列函数中，不是一次函数的是 ( ) A、 6 x y= B、x y- =1 C、 x y 10 = D、()1 2- =x y 2、若函数是一次函数，则 m= 。 3、若函数是正比例函数，则n= 。 4、若一次函数的图象经过一、二、三象限，则 m的取值范围 是。 5、思考：一次函数图象是什么？图象有什么性质？ 考点 1 2 其中过原点的直线是________； 函数y随x的增大而增大的是__________； 函数y随x的增大而减小的是___________ 图象在第一、二、三象限的是________ 3、根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号： 考点3：用待定系数法求函数解析式 1、已知一次函数y = k x+b，当x=2时, y=－１，当x=０时, y=３，求这个一次函数的解 析式. 2、如图,求直线的解析式?。 考点4：一次函数的应用 1、（2007年成都）火车站托运行李费用与托运行李的重量关系如图所示。 （1）当x=30时，y=_______; 当x=_______,y=30。 （2）你能确定该关系所在直线的函数解析式吗？ （3）当货物不超过千克，可免费托运。 1 23- =+m x y ()1 3- + - =n x y ()3 1+ + =x m y 会员卡租书卡y(元)x(天)50201000 )2、（2007南京）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡。使用这两种卡租书，租书金额y （元）与租书时间x （天）之间的关系如图所示。 （1）分别求租书卡和会员卡租书的金额y （元）与租书时间x （天）之间的函数关系式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ 拓展延伸： 1、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其函数图象如图所示。 （1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； 说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准； （2）若一用户5月份交水费12.8元，求他用了多少吨水？ 2、（2006南平）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售。 : ①写出y 与x 间的函数关系式； ②如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？ ③目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于30元/千克,问一次进货最多只能是多少千克? 一次函数 综合复习 【内容回顾】 一、函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 7、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 【知识梳理】 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大； 当k<0时，直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小 3、一次函数及其图象性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 初中数学一次函数知识点总复习附答案 一、选择题 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂重物的质量x （kg ）有下面的关系，那么弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （kg ）之间的关系式为（ ） A ．y=0.5x+12 B ．y=x+10.5 C ．y=0.5x+10 D ．y=x+12 【答案】A 【解析】 分析：由上表可知12.5-12=0.5，13-12.5=0.5，13.5-13=0.5，14-13.5=0.5，14.5-14=0.5，15-14.5=0.5，0.5为常量，12也为常量．故弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式． 详解：由表可知：常量为0.5； 所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12． 故选A ． 点睛：本题考查了函数关系，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． 2．已知过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352 s -≤≤- B ．362 s -<≤- C ．362 s -≤≤- D ．372 s -<≤- 【答案】B 【解析】 试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0 {0 23 a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--. 由230b a =--≤得399333662222a a a ≥- ?-≤?--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->?-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362 s -<≤- . 最新初中数学一次函数经典测试题附答案解析 一、选择题 1．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A ．24y x =- B ．24y x =+ C ．22y x =+ D ．22y x =- 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ） A ．5 B ．2 C ．52 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 通过分析图象，点F 从点A 到D 用as ，此时，△FBC 的面积为a ，依此可求菱形的高DE ，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE 和a ． 【详解】 过点D 作DE ⊥BC 于点E . 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，△FBC 的面积为acm 2．. ∴AD=a. ∴12DE ?AD ＝a . ∴DE=2. 当点F 从D 到B 时，用5s. ∴BD=5. Rt △DBE 中， BE=()2222=521BD DE --=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴EC=a-1，DC=a ， Rt △DEC 中， a 2=22+（a-1）2. 解得a= 52 . 故选C ． 【点睛】 本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系． 3．一次函数y kx b =+是（,k b 是常数，0k ≠）的图像如图所示，则不等式0kx b +<的解集是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的图象看出：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0），得到当x ＞2时，y<0，即可得到答案． 【详解】 解：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0）， 当x ＞2时，y<0． 故答案为：x ＞2． 故选：C. 【点睛】 本题主要考查对一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能 一次函数讲义-适用于新课复习非常全面 内容提示： 1.变量及函数 课堂学习检测 课后综合训练 2.函数的图像 课堂学习检测 课后综合训练 3.正比咧函数 课堂学习检测 课后综合训练 4.一次函数 课堂学习检测 课后综合训练 5.一次函数与一次方程（组）及一元一次不等式 课堂学习检测 课后综合训练 6.一次函数综合过关 变量及函数 知识点： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一 确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。 ※判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。 4、函数值：对于自变量x与函数y，在自变量x取值范围内，当x=a时，y=b，则称b为当x=a时的函数值。 5、确定函数自变量取值范围的方法： （1）必须使关系式成立。 ①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数； ②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零； ④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； （2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。 （3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。 课堂学习检测 一、填空题 1．设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x取值范围内的______，另一个变量y都有______ 的值与它对应，那么就说______是自变量，______是的函数． 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 一次函数知识总结 教学 目标 知识点：1、函数和一次函数的定义 2、一次函数的图像与性质 3、确定一次函数的表达式 4、一次函数图像的应用 重点 难点 重点：画一次函数的图像，并掌握其性质 难点：1、根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。 2、能用一次函数解决实际问题。 3、一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。 一、函数及其相关概念 1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量． 2．函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量． (1)自变量取值范围的确定 ①整式函数自变量的取值范围是全体实数． ②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数． ③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足 上述要求外还要使实际问题有意义． (2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值． 3．函数常用的表示方法：(1)图象法：形象、直观；(2)列表法：具体、准确；(3)解析法：抽象、全面。由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线． 范例讲解 例1、一汽车油箱中有油30升，若每小时耗油10升。 (1)写出油箱中剩油量Q(升)与时间t(小时)之间的函数关系式； (2)指出其常数、自变量、因变量； (3)Q是t的函数吗？为什么？ 巩固练习 1、设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时， 路程和时间的关系式为，这个关系式 中，是常量，是变量，是的函数。 第十四章 一次函数复习讲义 【知识网络结构图】 【考点击破】 一、常量与变量 1、指出下列关系式中的变量和常量. 2202 06(1)56 (2)(3)457 (4)S (5)()4.9y x y y x x x r S r v h v t π=-= =+-==-圆的面积与半径的关系式以固定的速度米/秒向上抛一个小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t(秒)之间 的关系式是 二、函数的概念：在一个变化过程中有两个变量x,y ，如果对于x 的每个值，y 都有唯一的值与之对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数. 1、下列函数中y 是x 的函数是（ ） 2....2A y x B y C y x D y x =±===- 2、求下列自变量x 的取值围. 2 2 3 23 12 3 3 132 1 2 x x y y x y x y x x y x x x x y y x y y x y x +- ==-=-=-= - ++ ==+=== -+ 3、函数36 y x =-，当函数值y=18时，自变量x的取值是______________. 4、函数y=2x-3中，当x=2时，函数值为____________________. 5、若一个等腰三角形的周长是24. （1）写出底边y与腰长x的函数关系式；（2）指出自变量及其取值围；（3）底边长为10时，其腰长为多少？ 三、函数的图象 1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是（） A B C D 2、一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为200米,小军先走了一段路程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s(米)与登山所用的时 间t(分钟)的函数关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误 ．．的是( ) A、爸爸开始登山时,小军已走了50米; B、爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面 C、小军比爸爸晚到山顶; D、10分钟后小军还在爸爸的前面 3、将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器，现用一注水管沿大容 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 大方向教育个性化辅导教案 教师： 徐琨 学生： 学科： 数学 时间： 课 题（课型） 教学方法： 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 一次函数和正比例函数 基础知识 知识点一、一次函数的有关概念 1、一次函数：一般地，若b kx y +=() 0≠k b k 为实数；、，则称y 是x 的一次函数。其中k 为一次项系数，b 为常数项 2、正比例函数：当0=b 时，()0≠=k kx y ，则称y 是x 的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。 知识点二、一次函数的图像及其性质 1、作函数图像常用方法：五点作图法 2、一次函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标：?? ? ??-0,k b 、()b ,0；正比例函数图像必经过原点。 3、一次函数b kx y +=的图像与k 、b 的关系 k 的变化 b 的变化 图像 经过的象限 说明 0 0>k 0>b 经过一、二、三象限 4、当0 初中数学一次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（）． ①从开始观察时起，50天后该植物停止长高； ②直线AC的函数表达式为 1 6 5 y x =+； ③第40天，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米． A．①②③B．②④C．②③D．①②③④【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式， ③把x=40代入②的结论进行计算即可得解； ④把x=50代入②的结论进行计算即可得解． 【详解】 解：∵CD∥x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故①的说法正确； 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴ 3012 6 k b b += ? ? = ? ， 解得： 1 5 6 k b ? = ? ? ?= ? ， ∴直线AC的解析式为 1 6 5 y x =+（0≤x≤50）， 故②的结论正确； 当x=40时， 1 40614 5 y=?+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确； 当x=50时， 1 50616 5 y=?+=， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故④的说法错误． 综上所述，正确的是①②③． 故选：A. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 2．一次函数y=ax+b与反比例函数 a b y x - =，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标 系中的图象可以是（） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲 考点一 象限内和坐标轴上点坐标特征 【例1】 如果点()12P m m -， 在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．2 10< 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 初中数学一次函数练习题 一．选择题（共14小题） 1．（2012?河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（） 3．（2013?资阳）在函数y=中，自变量x 的取值范围是（） 4．（2013?南通）函数中，自变量x的取值范围是（ 5．（2010?随州）若函数，则当函数值y=8时，自变量x 的值是（）±± 6．（2013?重庆）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回万州．若该轮船从万州出发后所用的时间为x（小时），轮船距万州的距离为y（千米），则下列各 n，3），那么一定有（） ） 9．（2013?潍坊）设点A（x1，y1）和B （x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2， ） ） ）13．（2012?黔南州）如图，直线AB对应的函数表达式是（） y=x+3 x+3 m=（） 二．填空题（共5小题） 15．（1999?杭州）圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S=πr2．在这关系中，常量是_________． 16．（2004?绍兴）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为_________方． 17．（2013?珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1_________y2（填“＞”“＜”或“=”） 18．（2013?西宁）直线y=2x﹣1沿y轴平移3个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为_________． 19．（2013?资阳）在一次函数y=（2﹣k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为_________． 三．解答题（共11小题） 20．（2012?通辽）已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=240．求△ABP 的面积． 21．（2012?广西）已知点A（6，0）及在第一象限的动点P（x，y），且2x+y=8，设△OAP的面积为S． （1）试用x表示y，并写出x的取值范围； （2）求S关于x的函数解析式； （3）△OAP的面积是否能够达到30？为什么？ 22．（2012?聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 23．（2012?抚顺）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式； （2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．(完整)初中数学一次函数练习题及答案
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