11级高数2期末复习题
11级高数2期末复习题
高等数学2期末复习题一
一、 填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、0
11
x y x y →→+-=___0.5_____。 2、积分1
(,)y
y
dy f x y dx ?交换积分次序后，为___________。
3、若22(,)f x y xy x xy y +=-+，则(1,1)x f '=______________。
4、在坐标面xoz 上的抛物线25z x =绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ___________。
5、若级数)1
sin (1
n n u n n -∑∞
=收敛，则=∞→n n u lim 。
6、 函数333z x y xy
=+-的驻点是_____________。
7、某产品的需求量Q 是价格p 和消费者平均收入y 的函数，即(,)Q Q p y =，且Q 对
p 、y 的偏导都存在，则Q 对y 的偏弹性为________。 8、函数x
y 2=的麦克劳林公式中
n
x 项的系数是
_____________。
9、若级数1n n u ∞
=∑的部分和数列为21
n n s n
+=
，则n u =_____________。
10、微分方程''2'150y y y +-=的通解为y =
_____________。
二、 单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分）
1、设线性无关函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，则该方程的通解是 ( )。 (A)
11223
C y C y y ++；
(B)
1122123
()C y C y C C y +++；
(C)
1122123
(1)C y C y C C y +---； (D)
1122123
(1)C y C y C C y ++--。
4、已知(,)z f x y =由方程e z
z xy -=确定，求22,z z
x x
????及全微分dz 。
5、设f (x,y )在闭区域22{(,)|,0}D x y x y y x =+≤≥上连续，且
228
(,)1(,)D
f x y x y f x y dxdy π
=--?? 求f (x , y )。
6、求幂级数0(21)n n n x ∞
=+∑的收敛域，并求其和函数；
7、设函数()x ?连续，且满足0
()()()x
x
x x e t t dt x t dt ???=+-??，求()x ?。
四、应用题（共2小题，1题7分，2题8分，共15分）
1、求曲线ln y x =在区间（2，6）内一点，使该点的切线与直线2,6x x ==以及ln y x =所围成的平面图形面积最小。
2、
设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y (单位：
千件)，利润函数为22(,)61642L x y x x y y =-+--(单位：万元)。已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料10000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？ 五、证明题（6分）
证明当级数2
1n n u ∞
=∑收敛时，级数1
n
n u n ∞
=∑
收敛。
高等数学2期末复习题二
一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共20分）
1. 在坐标面xoz 上的抛物线25z x =绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 .
2. 若22(,)f x y x y x y xy +-=-+，则=),(y x f .
3. 设二元函数24(,)x y f x y -=
1
(,)(,0)
2
lim (,)x y f x y →= .
4. 已知)ln(e
),(23sin xy x y x f x
y
+?=，则 (1,0)x f = .
5. 函数在点0P 处偏导数存在且连续是它在该点全微分存在的 条件．
6. 设{}222(,)|,0D x y x y a a =+≤>，则当=a 时，有π=--??dxdy y x a D
222.
7. 交换二次积分的次序10
1
(,)y
dy f x y dx --??
= .
8. 若级数)1
sin (1
n n u n n -∑∞
=收敛，则=∞→n n u lim .
9. 幂级数1
1
n n
n n ∞
=+的收敛域为 .
10. 微分方程''2'20y y y -+=的通解为 .
二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题2分，共10分）
1. 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是 ( ).
(A) []12()()y C y x y x =- (B) []112()()()y y x C y x y x =+- (C) []12()()y C y x y x =+ (D) []112()()()y y x C y x y x =++ 2. 已知二元函数(,)f x y 在点(0, 0) 的某个邻域内连续，且
222
(,)(0,0)
(,)lim
1()
x y f x y xy
x y →-=+，则下述四个选项中正确的是( ). (A) 点(0, 0)不是(,)f x y 的极值点 (B) 点(0, 0)是(,)f x y 的极大值点
(C) 点(0, 0)是(,)f x y 的极小值点 (D) 无法判定点(0, 0)是否为(,)f x y 的极值点
3. 设23223(,),(,)1,(,)2x z f x y f x x x f x x x x '==+=-且，则2(,)y f x x '=( )．
(A) 0
(B) 462x x -
(C) 232(2)x x - (D)
2x x +
4. 设32,1,)
(22
，==??+-i dxdy e I i
D y x
i , 其中: }|),{(2221r y x y x D ≤+=,
}2|),{(2222r y x y x D ≤+=, }||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是
( ).
(A) 321I I I << (B) 132I I I << (C) 231I I I << (D) 123I I I << 5. 设)1
1ln()1(n
u n n +
-=, 则（ ）. (A)
∑∞
=1
n n
u
与∑∞
=1
2n n u 都收敛 (B)
∑∞
=1
n n
u
与∑∞
=1
2
n n u 都发散 (C)
∑∞
=1
n n
u
发散,
∑∞
=1
2
n n
u
收敛 (D)
∑∞
=1
n n
u
收敛, 而∑∞
=1
2
n n u 发散
三、计算题：（每小题7分, 共56分）
1. 设xy y
x z -+=1arctan ，求偏导数22z z x x
????，.
2. 设(,,)0f x y y z z x +++=且23''0f f +≠，求方程所确定函数的全微分dz .
3.
求函数2
33z x
xy y x y
=++--的极值.
4. 计算二重积分()D
xy y dxdy +??，其中D 由y = x 2，y =1所围成的平面区域.
5. 计算二重积分??
+D
dxdy y
x xy
2
2,其中D : y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2所围成的平面区域.
6. 判断级数 1
3!
(1)n n
n
n n n ∞
=-∑是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 7. 求级数21
121
n n x n -∞
=-∑的和函数.
8．求一阶常微分方程x xy y x cos e 22
=-'的通解.
四、应用题：（本题8分）
某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为x 辆、y 辆时，总成本函数
2
22
1),(y xy x y x C +
-=（万元）
，总收入函数为y x y x R 24),(+=，且两种汽车日产量共19辆。问各生产多少辆时，总利润最多？
五、证明题：（本题6分）：
(,)0(,), .
y z
F z f x y F x x
z z
x y z x y
==??+=??设由方程确定隐函数其中具有连续的一阶偏导数,证明：
(4分)