2013重庆大学高等代数考研真题.
重庆大学2013年硕士研究生入学考试试题
科目代码:820 科目名称:高等代数
特别提醒考生:
答题一律做在答题纸上(包括填空题、计算题、证明题等) , 直接做在试卷上按零分计。
一、填空题（共30分，每小题3分）
1．多项式32()2461f x x x x =+++在有理数域上是 不可约 的 (注:填可约或不可约).
2. 设A 与B 均为n 级方阵,*A 与*B 分别为它们的伴随矩阵,2,3A B ==-, 则
1
*
*
1
A B A B
---=1
5(1)
6
n
n +-. 3.设3
级方阵A 按列分块为123(,,),A A A A =,且5A =,又设
1213(2,34,5)
B A A A A A =++,则B =100-.
4. 已知向量组1(1,2,1,1)
α=-，2(2,0,,0)t α=，3(0,4,5,2)α=--的秩为2，则t =3 .
5．若实对称矩阵A 与矩阵10
00
0202
0B ??
?= ? ??
?
合同,则二次型'x Ax 的规范形为 222
123
y y y +-.
6．3R 中的向量123(,,)x x x α=在基1(1,1,1)α=，2(0,1,1)α=，3(0,0,1)α=下的坐标是11223(,,)x x x x x -+-+.
7．设三级方阵A 的三个特征值为1、2、－2，矩阵B 与A 相似，则B 的伴随矩阵*B 的三个特征值为
2,2,4--.
8．设矩阵111111111A ??
?= ?
???
，A 的最小多项式为(3)λλ-.
9．3R 中的子空间1()V L α=，其中(1,1,1)α=，则1V ⊥=((1,1,0),(1,0,1))L --. 10．在4[]R x 中定义内积1
1
((),())()()f x g x f x g x dx -=
?
，则21()3
f x x =-
的长度是
.
二、计算题（共62分） 1．(12)计算下列l 级行列式的值
210012100012000002
10
1
2
l m D n
-----=
---
.
2. (10)已知线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=? (1) 的一个基础解系为
1121112,,,p n n pn b b b b b b ??????
? ? ? ? ? ?
? ? ???????
.
试写出线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
p p pn n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=??+++=??
??+++=? (2) 的通解,并说明理由.
3. (16分)设二次型222123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--.
1）写出123(,,)f x x x 的矩阵表达式T X AX ； 2）求矩阵A 的特征值，特征向量；
3）求正交变换X PY =使得二次型123(,,)f x x x 化为标准型； 4）写出123(,,)f x x x 的标准型.
4.（12分）已知实矩阵222A x ??= ???，431y B ??
= ?
??
。问： （1） ,x y 为何值时，A 合同于B ？ （2） ,x y 为何值时，A 相似于B ？
5.（12）设复矩阵126103114A --??
?=- ?
?--??
， （1）求A 的若当标准形J ；
（2）求一幂零矩阵B 以及一可对角化矩阵C 使得A B C =+.
三、证明题（共58分）
1．(12)证明: (1,1)1m n d x x x --=-,这里d 为m 与n 的最大公因式.
2. (16)设A 为m m ?的正定矩阵,B 为秩等于n 的m n ?矩阵,C 为n n ?的半正定矩阵.令
T
A B K B C ??
= ?-??
. 证明:1) K 有m 个正特征值，n 个负特征值；
2) 存在m m ?与n n ?的上三角矩阵11R 与22R ，m n ?的矩阵12R 使得
11
1211
2212
220000T
m T
T n E R R R K E R R R ??????
= ? ???-??
????.
3.（12分）设1[]n V x +=R （1[]n x +R 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域R 上的线性空间），定义V 上的线性变换 A (())()()f x xf x f x '=-，().f x V ?∈ （1）求线性变换A 的核A 1(0)- 和值域A ()V ；
（2）证明V =A 1(0)-⊕A ().V
4.（18分）设V 为n 维欧氏空间，求证：
（1）对V 中每个线性变换A ，都存在唯一的共轭变换A *，即存在唯一的线性变
换A *，使得对,V αβ?∈，有(A ,)(,αβα=A *)β； （2）A 为对称变换当且仅当A *=A ；
（3）A 为正交变换当且仅当AA *=A *A =E ，其中E 是V 上的恒等变换.