高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (20)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (20)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα+sinα)，α∈(π2

,3π

2

)．(1)若|AC ????? |=|BC ????? |，

求教α的值；

(2)若AC ????? ?BC ????? =?1，求2sin 2α+sin2α

1+tanα

的值．

2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ·sinA +a ·sinC ·cosB +b ·sinC ·cosA =

b ·sinB +

c ·sinA ． (1)求角B 的大小；

(2)若b =3√6，c =3√2，点D 满足AD ?????? =23AB ????? +13

AC ????? ，求△ABD 的面积．

3. 已知向量a ? ，b ? 满足|a ? |=1，|b ? |=√2，(a ? ?b ? )⊥a ? ．

(1)求向量a ? 与b

? 的夹角；

(2)求|2a ? ?b ? |的值；

4. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60

°

，平面上任一点P 在该斜坐标系中的斜坐标是这

样定义的：若OP ????? =x e 1??? +y e 2??? (其中e 1??? 、e 2??? 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量)，则P 点斜坐标为(x,y)．

(1)若P 点斜坐标为(2,?2)，求P 到O 的距离|PO|；

(2)若ΔABC 三个顶点的斜坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，求三角形的内角∠A ．

5. 如图，在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交

于点M.设OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ．

(1)用a ? ，b ? 表示OM ?

?????? ． (2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F.设OE ????? =p a ? ，OF ????? =q b ? ，求1

p +2

q 的值．

6. 如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ．

(1)若AP

????? ?AC ????? =18，求AP 的长； (2)设|AB ????? |=6，|AC ????? |=8，∠BAC =π

3，AP ????? =x AB ????? +y AC

????? ，求x

y 的值．

7. 已知e ? 1=(1,0)，e ? 2=(0,1)，一动点P 从P 0(?1,2)开始，沿着与向量e 1??? +e 2??? 相同的方向做匀速

直线运动，速度的大小为|e

? 1+e ? 2|m/s.另一动点Q 从Q 0(?2,?1)开始，沿着与向量3e ? 1+2e ? 2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3e ? 1+2e ? 2|m/s.设P ，Q 在t =0s 时分别在P 0，Q 0处，问当PQ ????? ⊥P 0Q 0????????? 时，所需的时间t 为多少?

8. 已知向量a ? ，b ? 满足|a ? |=1，|b ? |=√2，(a ? ?b ? )⊥a ? ．

(1)求向量a ? 与b ? 的夹角及向量b ? 在向量a ? 方向上的投影; (2)求|2a ? ?b

? |的值; (3)若向量c ? =3a ? +5b ? ，d ? =m a ? ?3b ? ，c ? //d

? ，求m 的值．

9. 如图，在平行四边形OADB 中，设OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，BM ?????? =13BC ????? ，CN ?????? =1

3

CD ????? .试用求a ? ，b ? 表示OM ?

?????? ，ON ?????? 及MN ??????? ．

10. 设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A(1,3)，B(2,?2)，C(4,?1)．

(1)若AB ????? =CD ????? ，求D 点坐标；

(2)设向量a ? =AB ????? ，b ? =BC ????? ，若k a ? ?b ? 与a ? +3b ? 平行，求实数k 的值．

11. 已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且

(1)求数量积OA ????? ?OB ?????? ，OA ????? ?OC ????? ； (2)求△ABC 的面积。

12. 在△ABC 中，AM ?????? =3

4AB ????? +1

4

AC ????? ．

(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；

(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P ，且AP ????? =x AB ????? +y AC

????? (x,y ∈R)，求x +y 的值．

13. 已知|a ? |=√2,|b ? |=1，a ? 与b ? 的夹角为45°．

(1)求|a ? +2b ? |的值；

(2)若向量(2a ? ?λb ? )与(λa ? ?3b ? )的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．

14. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60°，DB ????? =2AD ????? ，CE ???? =2EB

????? ．

(1)试用AB ????? 和AC ????? 表示DE ????? ； (2)求AE ????? ?DE

????? 的值．

15. 已知m ∈R ，向量a ? =(sin?x,?mcos?x)，b ? =(cos?x,cos?x)，函数f(x)=2a ? ?b

? +m ． (1)若m =1，求f (x )的单调递减区间；

(2)若m =√3，将f (x )的图象向左平移π

12个单位长度后，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,π

2]上的最值．

16. 已知向量|a ? |=1，|b ? |=|2b ? ?a ? |．

(I)求a ? 与b ? 夹角的取值范围； (II)求|b

? |的取值范围． 17. 在

中，∠BAC =90°，AB =2，AC =6，D 为AC 边上的中点，E 为BC 边上一点，且

BE ????? =λBC ????? (0<λ<1)．

(1)当λ=1

2时，若AE ????? =x BD ?????? +y AC ????? ，求x ，y 的值； (2)当AE ⊥BD 时，求λ的值．

18. 如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB

?????? 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ．

(1)用a ? 和b ? 表示向量OC ?????

，DC ????? ;

(2)若OE ????? =λOA ????? ，求实数λ的值．

19. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC =1，D 为边BC 上的一点，且DC =2BD ．

(1)记AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，请用a ? ，b ? 为基底表示AD ?????? ； (2)求线段AD 的长度．

20. 在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 在边BC 上，满足AB =√3BD ．

(1)若∠BAD =30°，求C 的大小；

(2)若CD =2BD ，AD =4，求△ABC 的面积．

21. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别交圆心在原点的单位圆于A ，B 两点．

(1)若点A 的纵坐标是45，点B 的纵坐标是12

13，求sin (α+β)的值；

(2)若|AB ????? |=3

2，求|OA ????? +2OB

?????? |的值．

22. 已知ΔABC 在平面直角坐标系xOy 中，其顶点A,B,C 坐标分别为A(?2,3)，B(1,6)，C(2cosθ,2sinθ)．

(Ⅰ)若∠BAC =π

2，且θ为第二象限角，求cosθ?sinθ的值；

(Ⅱ)若θ=3

2π，且AD ?????? =λ?AB ????? (λ∈R)，求|CD

????? |的最小值．

23. 如图，在△ABC 中，已知CA =1，CB =2，∠ACB =60°．

(1)求|AB ????? |；

(2)已知点D 是AB 上一点，满足AD ?????? =λAB ????? ，点E 是边CB 上一点，满足BE ????? =λBC ????? ． ①当λ=1

2时，求AE ????? ?CD ????? ；

②是否存在非零实数λ，使得AE ????? ⊥CD ????? ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

24. 已知向量a

? =(2√3sin (π

4+x),cos (π

4+x))，向量b ? =(cos (π

4?x),2cos (π

4?x))，且函数f(x)=a ? ?b ? ．

(1)求函数f(x)的单调递增区间及其对称中心；

(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f(A)=√3+1.若a =3，BC 边上的中线长为3，求ΔABC 的面积S ；

(3)将函数f(x)的图像向左平移π

6个长度单位，向下平移√3个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的1

2后得到函数g(x)的图像，令函数?(x)=g(x)?4λcosx 在x ∈[0,π

2]的最小值为?3

2，求正实数λ的值．

25. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC =1，D 为边BC 上的一点，且DC =2BD ．

(1)记AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，请用a ? ，b ? 为基底表示AD ????? ； (2)求线段AD 的长度．

26. 已知平面向量a ? =(3,4)，b ? =(9,x)，c ? =(4,y)，且a ? //b ? ，a

? ⊥c ? ． (1)求b ? 和c

? ;

(2)若m ??? =2a ? ?b ? ，n

? =a ? +c ? ，求向量m ??? 与向量n ? 的夹角的大小．

27. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

①AB ????? 2

+AB ????? ?BC ????? =?6 ②b 2+c 2=52 ③?ABC 的面积为3√15

在?ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ?c =2，cosA =?1

4，______． (1)求a ；

(2)求cos(2C +π

6)的值．

28. 如图，在四边形OBCD 中，CD ????? =2BO ?????? ，OA ????? =2AD ?????? ，∠D =90°，且|BO ?????? |=|AD

?????? |=1．

(1)用OA ????? ，OB ?????? 表示CB

????? ； (2)点P 在线段AB 上，且AB =3AP ，求cos∠PCB 的值．

29. 已知动圆Q 过定点T(2,0)，且与y 轴截得的弦MN 长为4，设动圆圆心Q 的轨迹为C ．

(1)求轨迹C 的方程；

(2)设P(1,2)，过F(1,0)作不与x 轴垂直的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，直线PA ，PB 分别与直线x =?1相交于D ，E 两点，以线段DE 为直径的圆为G ，判断点F 与圆G 的位置关系，并说明理由．

30. 已知向量a ? =(1,2)，b ? =(cos?α,sin?α)，设m ??? =a ? +t b ? (t ∈R)．

(1)若

，求当|m

??? |取最小值时实数t 的值； (2)若

，问：是否存在实数t ，使得向量a ? ?b ? 与向量m

??? 的夹角为π

4?若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

1.答案：解：(1)∵ AC

????? =(cosα?3,sinα)， BC ????? =(cosα,sinα?3)， ∴| AC ????? |= √(cosα?3)2+sin 2α=√10?6cosα， | BC ????? |= √cos 2α+(sinα?3)2=√10?6sinα， 由| AC ????? |=| BC ????? |，得sinα=cosα. 又∵α∈( π

2， 3π

2)， ∴α= 5π

4；

(2)由 AC ????? · BC ????? =?1，

得(cosα?3)cosα+sinα(sinα?3)=?1， ∴sinα+cosα= 2

3，① 又

2sin 2α+sin?2α

1+tan?α

=

2sinα(sinα+cosα)

1+sinα

cosα

=2sinαcosα，

由①式两边平方，得1+2sinαcosα= 4

9， ∴2sinαcosα= ?5

9，

∴

2sin 2α+sin2α

1+tanα

= ?5

9．

解析：本题考查了向量的数量积公式和三角函数的化简求值的综合运用，属中档题． (1)由|AC

????? |=|BC ????? |，得sinα=cosα.然后根据角的范围得到角的值； (2)由AC ????? ·BC ????? =?1，得(cosα?3)cosα+sinα(sinα?3)=?1，即sinα+cosα=2

3，化简已知关系式，得到结论．

2.答案：解：(1)因为a ?sinA +a ?sinC ?cosB +b ?sinC ?cosA =b ?sinB +c ?sinA ，

所以根据正弦定理，得a 2+ac ?cosB +bc ?cosA =b 2+ac ， 根据余弦定理，得a 2+ac ?

a 2+c 2?

b 2

2ac

+bc ?

b 2+

c 2?a 2

2bc

=b 2+ac ，

即a 2+c 2?b 2=ac ， 根据余弦定理，得cosB =a 2+c 2?b 2

2ac

=

ac 2ac

=1

2

，

因为B ∈(0,π)，所以

(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2?2ac ?cosB ， 所以54=a 2+18?3√2a ，即a 2?3√2a ?36=0， 所以(a ?6√2)(a +3√2)=0． 因为a >0，所以a =6√2，

因为BD ?????? =AD ?????? ?AB ????? =23AB ????? +13

AC ????? ?AB ????? =13

AC ????? ?13

AB ????? =13

(AC ????? ?AB ????? )=1

3

BC ????? ， 所以BD =1

3BC =2√2，

所以△ABD 的面积为1

2

AB ?BD ?sinB =1

2

×3√2×2√2×√3

2

=3√3．

解析：此题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，涉及到向量的基本运算，是一个中档题．

(1)由a ?sinA +a ?sinC ?cosB +b ?sinC ?cosA =b ?sinB +c ?sinA ，根据正弦定理可得a 2+ac ?cosB +bc ?cosA =b 2+ac ，整理得a 2+c 2?b 2=ac ，再结合余弦定理即可求解；

(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2?2ac ?cosB ，再结合(1)即可求出a =6√2，再由AD ?????? =23AB ????? +1

3

AC ????? 可得BD ?????? =13BC ????? ，即BD =1

3BC =2√2，再利用三角形的面积即可求解此题． 3.答案：解：(1)设向量a ? 与b ? 的夹角为θ，

因为(a ? ?b ? )⊥a ? ，所以(a ? ?b ? )·a ? =0?b ? ·a ? =a ? 2=1，

所以cosθ=b ? ·a ?

|b

? ||a ? |

=√2

2

，又θ∈[0,π]，∴θ=π

4，

(2)|2a ? ?b ? |=√4a ? 2?4a ? ·b ? +b ? 2

=√4?4+2=√2

解析：本题考查了向量的夹角和向量的数量积以及向量的模，是一般题． (1)先根据已知算出向量的数量积，再根据夹角公式得出答案． (2)直接根据向量数量积的运算性质可以得出答案．

4.答案：解：(1)∵P 点斜坐标为(2,?2)，

∴OP ????? =2e 1??? ?2e 2??? ．

∴|OP ????? |2=(2e 1??? ?2e 2??? )2

=8?8e 1??? ?e 2??? =8?8×cos?60°=4． ∴|OP ????? |=2，即|OP|=2．

(2)依题意，三角形的内角∠A 为AB ????? ,AC ????? 的夹角， 又AB ????? =(3,?2),AC

????? =(2,1)， 所以AB ????? =3e 1??? ?2e 2??? ,AC ????? =2e 1??? +e 2??? ， 所以cosA =AB

?????? ·AC ????? |AB

?????? |·|AC ????? |

=(3e 1???? ?2e 2???? )·(2e 1???? +e 2???? )

|3e 1???? ?2e 2???? |·|2e 1???? +e 2???? |

=

6e 1??? 2?2e 2??? 2

?e 1??? ·e 2

??? √9e 1??? 2+4e 2??? 2?12e 1??? ·e 2??? ·√4e 1??? 2+e 2??? 2

+4e 1??? ·e 2

???

=

6?2?

1

2

√7×√7

=1

2

，，

所以

．

解析： 本题考查斜率的几何运用，考查斜率的数量积运算，属中档题．

(1)依题意，OP ????? =2e 1??? ?2e 2??? ，∴|OP ????? |2=(2e 1??? ?2e 2??? )2，计算即可．

(2)依题意，三角形的内角∠A 为AB ????? ,AC ????? 的夹角，求得AB ????? =3e 1??? ?2e 2??? ,AC ????? =2e 1??? +e 2??? ， 根据cosA =AB

?????? ·AC ????? |AB

?????? |·|AC ????? |

=(3e 1???? ?2e 2???? )·(2e 1???? +e 2???? )

|3e 1???? ?2e 2???? |·|2e 1???? +e 2???? |

，求解即可． 5.答案：解：(1)∵OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，设OM ??????? =x a ? +y b ? ， ∴AM ?????? =OM ??????? ?OA ????? =(x ?1)OA ????? +y OB ?????? =(x ?1)a ? +y b ? ，

AD ?????? =OD ?????? ?OA ????? =?a ? +1

2b ? ．

∵A ，M ，D 三点共线，

∴AM ?????? ，AD ?????? 共线，从而1

2

(x ?1)=?y.① ∵又BM ?????? =OM ??????? ?OB ?????? =x OA ????? +(y ?1)OB ?????? =x a ? +(y ?1)b ? ， BC ????? =OC ????? ?OB ?????? =13a ? ?b ? ， 即C ，M ，B 三点共线， ∴BM ?????? ，BC ????? 共线， 即1

3(y ?1)=?x. ② 联立①②解得{x =1

5

y =25,

故OM ??????? =1

5a ? +2

5

b ? ． (2)∵OE ????? =p a ? ，OF ????? =q b ? ，

∴EM ?????? =OM ??????? ?OE ????? =15a ? +25b ? ?p a ? =(15?p)a ? +2

5b ? ，

EF ????? =OF ????? ?OE ????? =q b ? ?p a ? ， ∵EM ?????? ，EF ????? 共线， ∴(1

5?p)q =?2

5p 即q

5+2p 5

=pq ．

故：1

p +2

q =5．

解析：本题考查平面向量的基本定理，向量的加减法以及向量的数乘运算，向量共线的充要条件，属于中档题．

(1)设OM ??????? =x a ? +y b ? ，利用向量的减法法则得AM ?????? =(x ?1)a ? +y b ? ，

AD ?????? =?a ? +1

2b ? .结合AM ?????? ，AD ?????? 共线得到关于x ，y 的方程：12(x ?1)=?y ，同理得1

3(y ?1)=?x 联立求解即可得到结论．

(2)应用题中条件结合(1)中结论得EM ?????? =OM ??????? ?OE ????? =(15?p)a ? +2

5b ? ，EF ????? =OF ????? ?OE ????? =q b ? ?p a ? ．

结合EM ?????? ，EF ????? 共线得(15?p)q =?2

5

p ，整理即可得到欲证结论． 6.答案：解：

，

解得

．

，且B,P,O 三点共线，

∴x +2y =1①， 又

，

，

，

，

由

可知

，

展开化简得到， 联立①②解得

，

，故

．

解析：本题主要考查了向量的几何运用，向量的数量积，平面向量的基本定理及其应用，向量的加法、减法、数乘运算，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题． (1)根据题意可知，从而即可求得AP

的长． (2)由

且B,P,O 三点共线可知x +2y =1，再根据

和可得

，从而即可求得x

y 的值．

7.答案：解：∵e

? 1+e ? 2=(1,1)，3e ? 1+2e ? 2=(3,2)． 根据题意，画出P ，Q 的运动示意图，如图所示．

依题意，P 0P ??????? =t (e 1??? +e 2??? )=(t,t)，Q 0Q ???????? =t (3e 1??? +2e 2??? )=(3t,2t)．∵P 0Q ??????? 0=(?1,?3)， ∴PQ ????? =P 0Q ??????? ?P 0P ??????? =P 0Q 0????????? +Q 0Q ???????? ?P 0P ??????? =(3t ?1,2t ?3)?(t,t )=(2t ?1,t ?3)．