点集拓扑 考题
《点集拓扑讲义》考题
一、设（X，T）是拓扑空间，A?X，则A的导集A′一定是X中的闭集吗？回答一定是，请给出证明；回答不一定是，请给出反例。
二、设X是多于一点的拓扑空间，其上取平庸拓扑，则X可以度量化吗？若可以，请给出一个度量，若不可以，请说明理由。
三、设X是一个度量空间，A?X，x ∈X，若x ∈A′，则在A\{ x }中一定存在序列收敛到x吗？回答一定存在，请给出证明；回答不一定存在，请给出反例。
四、T2空间中任意多个紧集的交一定是紧集吗？回答一定是，请给出证明；回答不一定是，请给出反例。
五、证明：X是T1空间当且仅当X的每个单点子集是闭集。
六、设（X，T）是拓扑空间，C是X中的一个开集族，满足?∪∈T，?x∈∪，?C∈C，使得x∈C?∪。证明：C是T的一个基。
七、、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则空间。
八、设X1，X2是非空的拓扑空间，X= X1，X= X2是积空间，p i：X→X i是投射（i =1，2）。证明：p i（i =1，2）是开的连续的满射。
九、设X是紧度量空间，f：X→X是一个压缩映射，即存在α ∈(0，1），
使得?x,y∈X，d（f (x),f (y)）≤α d（x,y）。证明：存在唯一的Z∈X使得f（Z）=Z。
十、设（R，T l）为下限拓扑空间，即上的拓扑由基β={[a，b]：a，b∈R，a﹤b}生成。证明：
（1）（R，T l）是A1空间，但不是A2空间。
（2）（R，T l）是完全不连通空间。
《点集拓扑学》复习题
《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
点集拓扑试卷一二
1．集合X 的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（ ） 2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（ ） 3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ） 4．从拓扑空间()1,X T 到()2,X T 的恒同映射必是连续映射。（ ） 5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12?T T 是积空间12X X ?的拓扑。（ ） 二、填空题（30分） 1．设A 为是离散空间X 的子集，则A = 。 2．对于拓扑空间(),X T 一个子空间()1,Y T ，T 与1T 满足 。 3．设A 为是拓扑空间X 的子集，则()x d A ∈? 。 4．任何一族连通空间的积空间是 空间。 5．称拓扑空间X 是可分空间，若 。 6．设12n X X X X =???是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =， 则积拓扑的一个子基=S 。 7．称拓扑空间X 是Lindel ?ff 空间，若 。 8．设R 是实数空间，Q 是有理数集，则()d =Q ,=Q 。 三、设集合X 有拓扑12,,,n T T T ，则 1n i i =T 是X 的一个拓扑。 （10分） 四、设,X Y 为拓扑空间，映射:f X Y →在X 上连续的充要条件是Y 有一个基B 满足 ()1,B f B -?∈B 是X 中开集。 （10 分） 五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分） 六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分） 七、证明：若Y 是拓扑空间X 的连通子集，则Y 也是X 的连通子集。（10 分） 八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）
点集拓扑学考试题目及答案
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路
连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）
1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。
拓扑学Topology
Topology {}4. (a) If is a family of topologies on X, show that is a topology on X. Is a topology on X? a a a 燎 攘 13. Show that X is Hausdorff if and only if the diagonal = {x x x X }is closed in X X. 次 00011. Let F : X Y Z. W e say that F is contin uous in each variable separately if for each y in Y , the m ap h : X Z defined by h (x) = F(x y ) is continuous, and for each x in X , the m ap k : Y Z defined by 串 ?0 k(y) = F(x y) is continuous. Show that if F is continuous, then F is continuous in each variable separately. ′ 2. Show that x in the dictionary order topology is metrizable. 2. (a) Let p : X Y be a continuous m ap. Show that if there is a continuous m ap f : Y X such that p of cquals the identity m ap of Y , then p is a quotient m ap.(b) If A X , a retraction of X onto A i ??ìs a continuous m ap r : X A such that r(a) = a for each a A. Show that a retraction is a quotient m ap. ?? 113. Let : be projection on the first coordinate. Let A be the subspace of consisting of all points x y for w hich either x 0 or y = 0 (or both); let q : A be obtained by restricting p p 串创 ? . Show that q is a quotient m ap that is neither open nor closed. 2 4. (a) Define an equivalence relation on the plane X = as follows: * 2 2 Let X be the corresponding quotient space. It is homeomorphic to a familiar space; what is it? [Hint: Set g(x y) = x + y .] ′ (b) Repeat (a) for the equivalence relation 5. Let p : X Y be an open map. Show that if A is open in X , then the map q : A p(A) obtained by restricting p is an open map. ??
拓扑学测试题
拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）
六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，
上学期拓扑学考试试卷及答案
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ） 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的 个数为（ ） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间 三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个 连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数 其中为至多可数集 试证：(1) (), X 余可数 是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数 是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数 为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数 是Lindel?ff 空间(提示： 即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /
江苏省泰州市高二上学期语文期末考试试卷
江苏省泰州市高二上学期语文期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共1题；共6分) 1. （6分） (2019高一上·玉林期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。 “文章合为时而著，诗歌合为事而作”，如何给高考作文命题，________。有人反对作文题太贴近现实，也有人认为作文题还是应该多接接地气，接洽时代风采，两种观点都有可取之处。很显然，无论怎么出题，都不难达成这样的基本共识：读死书、死读书。“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”的________观念该改变了，不能让考生缺席于这个时代的进程，不能让考生拘泥于个人情感中不能自拔。通过作文题呼唤考生的身份意识，引导他们关注时代潮流，并热切参与其中，这应是高考作文的“附加”功能所决定的。事实上，这一代年轻人是有抱负的，更有社会责任，也更有资格享有出彩人生。究其因，他们处于一个更多元的新时代，他们将遇到一个更好的自己。如果说作文题只是________，那么步入大学或踏入社会之后，更应该身体力行地融入时代征程之中，走好属于自己的长征路。置身________的新时代，只要不负所托，不辱使命，把个体理想与时代需要相契合，（）。从这个意义上说，青年人需要写好高考作文，更要写好人生大作文。 （1）依次填入文中横线上的词语，全部恰当的一项是（） A . 各执已见不合情理坐而论道推陈出新 B . 见仁见智不合时宜坐而论道日新月异 C . 见仁见智不合情理坐面空谈推陈出新 D . 各执已见不合时宜坐而空谈日新月异 （2）下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（） A . 才能更好地实现人生价值，也为时代进步贡献应有的公民责任。 B . 才能为时代进步贡献应有的公民责任，也能更好地实现人生价值。 C . 就能更好地实现人生价值，也为时代进步贡献应有的公民责任。 D . 就能为时代进步贡献应有的公民责任，也能更好地实现人生价值。 （3）文中画横线的部分有语病，下列修改最恰当的一项是（）
《基础拓扑学试卷》
《基础拓扑学试卷》 试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（ ） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.
点集拓扑试卷2
| | | | | | 密| | | | | | | | | 封| | | | | | | | | 线| | | | | | | | | | | | 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分 代号学院专业 年级 学号 姓名 备注: ①试卷首页必 须用统一的考试 命题专用纸,第 二页以后用专用 纸续页。 ②试卷必须打 印成卷字迹要工整、清楚。 ③各题留出答 案空白。 ④试卷打印后 应认真校对，避 免卷面错误。 得分阅卷人 一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分， 共18分) 1、已知{,,,,} X a b c d e =,下列集族中，是X上的拓扑.……（） ①{,,{},{,},{,,}} X a a b a c e φ = T ②{,,{,,},{,,},{,,,}} X a b c a b d a b c e φ = T ③{,,{},{,}} X a a b φ = T ④{,,{},{},{},{},{}} X a b c d e φ = T 2、已知{,} X a b =，拓扑{,,{}} X a φ = T,则{}a是………………（） ①φ②X③{}a④{}b 3、在实数空间R中给定如下等价关系: ~ x y?]1, ( ,-∞ ∈ y x或者]2,1( ,∈ y x或者) ,2( ,+∞ ∈ y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]} Y=,则Y的商拓扑是（） ①{,,{[3]},{[2],[3]}} Y φ②{,,{[3]}} Y φ ③{,,{[3]},{[1],[2]}} Y φ④{,} Y φ 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是………………………（） ①连通性② 2 T③正则④正规 5、设{1,2} X=，{,,{2}} Xφ = T，则(,) X T是………………（） ① T空间② 1 T空间③ 2 T空间④ 3 T 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是……………………（） ①连通性②紧致性③正则性④可分性 得分阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分） 1、写出同胚映射的定义. 2、什么是不连通空间? 3、什么是正则空间？ 4、写出紧致空间的定义. 5、写出可分空间的定义 6、写出列紧空间的定义.
点集拓扑讲义期末复习题
一、证明下列是否为拓扑 1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集} 满足①全集、空集包含于Tf ②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。若不是，（A∩B）′=A′∪ B′，A∪B∈T ③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A ∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。设T2≠空集。任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。所以为拓扑。 2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集} 3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X} 二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。求A在Y、R中的闭包、内 部。 Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2） R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2） 三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。若A包含于Y则A为X中闭集。 Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。 四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。2、A∪B= A∪B。 3、∪Aa包含∪Aa。 1、 五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B
六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。 f（A）。4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。5、任意B包含于Y，f-1（B°） 包含于（f-1（B））°证明1~5等价。 八、连续的满的闭映射为商映射。
点集拓扑试卷4
| | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分 代号学院 专业 年级 学号 姓名 备注: ①试卷首页必 须用统一的考试 命题专用纸,第 二页以后用专用 纸续页。 ②试卷必须打 印成卷字迹要工整、清楚。 ③各题留出答 案空白。 ④试卷打印后 应认真校对，避 免卷面错误。 得分阅卷人一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分， 共18分) 1、已知{,,,,} X a b c d e =,下列集族中，是X上的拓扑.……（ 3 ） ①{,,{},{,},{,,}} X a a b a c e φ = T ②{,,{,,},{,,},{,,,}} X a b c a b d a b c e φ = T ③{,,{},{,}} X a a b φ = T ④{,,{},{},{},{},{}} X a b c d e φ = T 2、已知{,} X a b =，拓扑{,,{}} X a φ = T,则{}a是………………（ 2 ） ①φ②X③{}a④{}b 3、在实数空间R中给定如下等价关系: ~ x y?]1, ( ,-∞ ∈ y x或者]2,1( ,∈ y x或者) ,2( ,+∞ ∈ y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]} Y=,则Y的商拓扑是（ 1 ） ①{,,{[3]},{[2],[3]}} Y φ②{,,{[3]}} Y φ ③{,,{[3]},{[1],[2]}} Y φ④{,} Y φ 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是………………………（） ①连通性② 2 T③正则④正规 5、设{1,2} X=，{,,{2}} Xφ = T，则(,) X T是………………（ 1 ） ① T空间② 1 T空间③ 2 T空间④ 3 T 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是……………………（） ①连通性②紧致性③正则性④可分性 得分阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分） 1、写出同胚映射的定义. 2、什么是不连通空间 3、什么是正则空间 4、写出紧致空间的定义. 5、写出可分空间的定义 共 6 页，第 1 页共 6 页，第 2 页
拓扑学基础试卷1
拓扑学基础（数学教育本科）试卷 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是 A 、)()()( B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A = 2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则 A 、]1,0[=A B 、)1,0(=A C 、)1,0[=A D 、]1,0(=A 3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么 A 、X 是T 0空间，非T 1空间 B 、X 是T 1空间 C 、X 是正则空间 D 、X 是正规空间 4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间 A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、 B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立 B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立 C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集 D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A 5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则 A 、R 是道路连通空间 B 、X 是道路连通空间 C 、R 是不连通空间 D 、X 是连通空间 6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间 A 、实数空间 B 、平庸空间 C 、包含着不可数多个点的离散空间 D 、满足第二可数性公理的空间 7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是 A 、正规?正则 B 、正则?正规 C 、正则?T 2 D 、完全正则?正则 8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质 A 、第一可数性 B 、连通性 C 、紧致性 D 、可分性 9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立 A 、可数紧致?紧致 B 、紧致?可数紧致 C 、列紧?紧致 D 、局部紧致?紧致 10、下列命题错误的是 A 、A 是闭集?A A = B 、A 是闭集A A d ??)( C 、A 是闭集?A '是开集 D 、A 是闭集?A A =
点集拓扑试卷b
《点集拓扑》试卷B 卷 第1页 （共4页） 《点集拓扑》试卷B 卷 第2页 （共4页） 2011 至 2012 学年第 1 学期 点集拓扑 试卷B 卷 出卷教师：谢萍丽 适应班级：信计0801、0802 考试方式：开卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的100% 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 复查总分 总复查人 一、填空：（每题3分，共15分） 1. 设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 . 2. 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = . 3. :f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 . 4. 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =______________. 5. 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质 是一个 . 二、判断对错，并说明理由：（每题5分，共15分） 1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. ( ) 2、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?. （ ） 3、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=。（ ） 三、名词解释： （每题4分，共16分） 1. 紧致空间 2. 正则空间 3. 可分空间 4. Lindeloff 空间 四、 （本题10分）设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?. 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 学院名称 专业班级： 姓名： 学号： 我 密 封 线 内 不 要 答 题 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 密 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 封 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 线 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
拓扑学A卷
第 1 页 共 1 页 拓扑学 A 卷 注：一、二题答在试题上，三题答在答题纸上. 一、填空题（每小题2分，共20分） 1，实数空间R 的度量是 . 2，设X 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 . 3，拓扑学的中心任务是研究 . 4，设X ={ 0, 1}，拓扑?={φ，{0}，X }，则 1 的邻域系为 . 5，R 是实数空间，A ={ 1 n }n Z +∈，则()d A = . 6，设X 是拓扑空间，A X ?，若()A ?={2，3}，则('A ?)= . 7，设{1,2,3,4}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，{2,4}Y =，则Y ?= . 8，平庸空间的任何一个商空间都是 空间. 9，设1C ，2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支，则12C C = . 10，设X 是拓扑空间，A X ?，A 的邻域的定义是 . 二、选择题（每小题4分，共32分） 1，下列（ ）不是R 中的开集. A. [0, )+∞ B. (3,- 0) C. (3,- 0) (0, )+∞ D. (,-∞ )+∞ 2，设{,X a = }b ，则X 有（ ）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3，设X 是拓扑空间，D X ?，则下列关系正确的为（ ）. A. ()d D D ? B. D D ? C. D D ? D. ()D D ?? 4，设X 是多于一点的平庸空间，{}i x 为X 中的序列，下列说法正确的是（ ）. A. {}i x 不收敛 B. {}i x 收敛且极限唯一 C. {}i x 收敛但极限不唯一 D. {}i x 可能收敛也可能不收敛 5，设1{(,1)12}Y x x =-≤≤，2{(,1)}Y x x R =∈，3{(0,)}Y y y R =∈，下列（ ）是2R 的连通子集. A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6，设X 是离散拓扑空间，且{1,2,3}X =，则X 的连通分支的个数是（ ）. A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 7，下列（ ）可遗传. A. 平庸空间 B. 连通空间 C. Lindeloff 空间 D. 4T 空间 8，设{1,2,3}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，则(,)X ?不是（ ）. A. 2A 空间 B. 可分空间 C. 1T 空间 D. 正则空间 三、证明题(每小题8分，共48分） 1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间. 2，设(,)X ?是拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素, 令 {}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*?=∞∈? . 证明: (,)X * * ?是拓扑空间. 3，设X , Y 是拓扑空间，证明：积空间X Y ?同肧于积空间Y X ?. 4，设Y 是多于一个点的离散空间，证明：若X 为连通空间，则每一个连续映射 :f X Y →都是常值映射。 5，设X 是一不可数集，拓扑{'u X u ?=?可数}{}φ . 证明：(,)X ?不是1A 空间. 6，设X 是0T 空间，Y 是拓扑空间. 证明：如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.
点集拓扑学期末考试练习题
点集拓扑学期末考试 一、单项选择题（每题1分） 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,（）是X上的拓扑? ①T{X,,{a},{ a,b},{ c}} ②T{X,,{a},{ a, b},{ a,c}} ③T{X,,{a},{ b},{ a,c}} ④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案：② 3 、 已知X{a,b,c,d},下列集族中，' (）是X上的拓扑? ①T{X,,{a},{ a, b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b,c},{ a, b, d}} ③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{b}}答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T{X,,{b},{ c},{ a,b}}②T{X,,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T{X,,{a},{ b},{ a,c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案：② 5、已 知 汨X{a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T{X,,{a,b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{ c},{ a,c}}答案：④6 、 设X{a, b, c}，下列集族中,( ）是:X上的拓扑? ①T{X,,{a},{ b},{ b,c}}②T{X,,{a,b},{ b, c}} ③T{X,,{a},{ a, c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案：③7 、 已知X{a,b,c,d}，拓扌卜T{X,,{a}},则{b}=() ①?②X ③{b}④{b, c, d}答案: 8、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},则{b,c,d}=()
北京理工大学数学专业一般拓扑学期末试题(MTH17083)
课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期 2013级一般拓扑学A 卷 一、选择题（15分） 1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。 ①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ= ②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ= ③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理 3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（ ） ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对 4.下列叙述中正确的个数为（ ） ①1 ②2 ③3 ④4 （Ⅰ）单位圆周1 S 是连通的 （Ⅱ）{}0- 是连通的 （Ⅲ）(){}20,0- 是连通的 （Ⅳ）2 和 同胚 5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（ ）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集 二、判断题（15分） 1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。 2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。 3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。 4.具有可数基的正则空间是正规空间。 5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。 三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=? 为有限集或。 试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间； （3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。 四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ?。证明：如果A Y A ??， 则Y 也是X 的一个紧致子集。 五、（10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →为一连续映射， 试证明其不动点集(){}Fixf x X f x x =∈=是一个闭集。 六、（10分）如果:f X Y →是一个闭的双射（即一一映射），而X 是Hausdorff 空间， 则Y 也是Hausdorff 空间。 七、（10分）设X 为拓扑空间，记(){} F x F F x =是的闭邻域， 则X 为T 2空间当且仅当(){},F F x x X F x ∈?∈= 。
《点集拓扑学》期末复习
期末复习 学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？ 下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考． 一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？） （2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．） （3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？） 2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间． （1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系） （2）R及是上述空间吗？ （3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？ （4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？） （5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？ 3．连通性： （1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性. (2)两种分支的性质.