第十六章
二次根式
导学案——谢金城
第一课时 16.1 二次根式(1)
一、学习目标:1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质:a ≥0(a≥0)和(a )2=a (a≥0) 二、学习重点、难点:
重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质a ≥0(a≥0)和(a )2=a (a≥0)。 三、学习过程 (一)复习引入:
(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_____数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为4=__________; (3)正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; (4)式子a ≥0(a≥0)的意义是 。 (二)提出问题
1、式子a 表示什么意义?
2、什么叫做二次根式?
3、式子a ≥0(a≥0)和(a )2=a (a≥0)的意义分别是什么?
4、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习
自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:
1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?
3,16-,343
a (a≥0),12+x
2、计算 :(1) 2)4( (1)(3)2 (3)2)5.0( (4)2)3
1(
结论:(a )2(a≥0)= ,(a )2=a (a≥0)的意义是 。
3、当a 为正数时,a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 ,a 才有意义。 (三)合作探究
学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1、x 取何值时,下列各二次根式有意义?
①43-x
①
2、(1)若3-a -a -3有意义,求a 的值.
(2)若x 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
(四)展示反馈 (学生归纳总结)
1.非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点: (1)一是从形式上看,应含有二次根号;
(2)二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。 2.式子a (a≥0)的取值是非负数。 (五)精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是:a≥0,利用这个性质可以求二次根式的平方, 如:(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2.
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值,实际上是解所含字母的不等式。
x --
21
(五)拓展延伸 1、填空:
(1)在式子x
x +-121中,x 的取值范围是____________.
(2)已知42-x +y x +2=0,则x -y = _____________. (3)已知y =x -3+3-x - 2,则y x = _____________。
2、由公式(a )2=a(a≥0),我们可以得到公式a=(a )2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:
5= 0.35=
(2)在实数范围内因式分解:
x 2 - 7 = 4a 2 - 11=
(六)达标测试
1、在实数范围内因式分解:
(1)x 2-9= x 2 - ( )2= (x+ ____)(x -____)
(2) x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x - _____) 2、下列计算中,不正确的是 ( )。
A. 3= 2)3(
B. 0.5=2)5.0(
C. 2)3.0(=0.3
D. 2
)75(=35
3、如果等式2
)(x -= x 成立,那么x 为( )。
A.x≤0;
B. x=0 ;
C. x<0;
D. x≥0
4、若20a -=,则 2a b -= 。
5、分解因式:x 4 - 4x 2 + 4= 。
6、当x= 时,代数式有最小值,其最小值是 。
第二课时 二次根式(2)
一、学习目标:掌握二次根式的基本性质:2a =|a| ,并能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点
重点:二次根式的性质2a =|a|.
难点:综合运用性质2a =|a|进行化简和计算。 三、学习过程 (一)复习引入:
(1)什么是二次根式,它有哪些性质? (2
x 。 (3)在实数范围内因式分解:x 2-6= x 2 - ( )2= (x+ ____)(x -____) (二)提出问题
1、式子2a =|a|表示什么意义?
2、如何用2a =|a|来化简二次根式?
3、在化简过程中运用了哪些数学思想? (三)自主学习
自学课本第3页的内容,完成下面的题目: 1、计算:24=
22.0=
2)5
4
( = 观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a >0时,2a = . 2、计算:2)4(-
2)2.0(-=
2)5
4(-= 观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a <0时,2a = . 3、计算:0 ,当a=0时,2a = .
(四)合作交流1、归纳总结:2a =|a|=??
???-=)<>0()0(0)
0(a a a a a
2、请大家思考、讨论二次根式的性质(a )2=a 与2a =|a |有什么区别与联系。
(五)展示反馈 1、化简下列各式:
23.0= 2)3.0(-= 2)2(a (a≥0)= 24x (x <0)=
4x (x <0)= 2)(b a -(a <b )=
2)3(-a (a <3)=
2)32(+x (x <-2)=
442+-a a =
(六)精讲点拨:利用2a =|a |可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来,达到化简的目的,进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 (七)拓展延伸
(1)a 、b 、c 为三角形的三条边,则2)(c b a -++|b -a -c|= (2)把(2-x)
2
1-x 的根号外的(2-x )适当变形后移入根号内,得( ) A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x (3) 若二次根式26x -+有意义,化简│x -4│-│7-x│。 (八)达标测试:
1、填空:2)12(-x -2)32(-x =_________; 2)4(-π= .
2、已知2<x <3,化简:3)2(2-+-x x
3、已知0 <x <1,化简:4)1(2+-x x -4)1(2-+x x
4、边长为a 的正方形桌面,正中间有一个边长为a/3的正方形方孔.若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗?试求出新的正方形边长.
第三课时 16.2二次根式的乘除(1)
一、学习目标:1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 二、学习重点、难点
重点: 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点: 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 (一)复习回顾 1、计算:
(1)①4×9=______,
94?=_______。 ①
(2)①16 ×25 =______,2516?=______。 ① (3)①100 ×36 =______,36100?=______。① (二)提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么?如何归纳出这一法则的?
2、如何二次根式的乘法法则进行计算?
3、积的算术平方根有什么性质?
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 (三)自主学习
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容,完成下面的题目: 1、填空:(1)2×3____6 (2)5×6____30
(3)2×5____10 (4)4×5____20
2、由上题并结合知识回顾中的结论,你发现了什么规律?能用数学表达式表示发现的规律吗?
3、二次根式的乘法法则是: (四)合作交流
1、自学课本6页例1后,依照例题进行计算:
(1)9×27 (2)25×32 (3)a 5·ab 51 (4)5·a 3·b
31
2、自学课本第6—7页内容,完成下列问题:
(1)用式子表示积的算术平方根的性质: 。 (2)化简:①54 ①2212b a
①4925? ①64100?
(五)展示反馈:对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算,你有什么好办法? (六)精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘以单项式法则进行计算:即系数之积作为积的系数,被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求: (1)被开方数进行因数或因式分解。 (2)分解后把能开尽方的开出来。 (七)拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。 (1))9()4(-?-=94-?-
(2)323b a =ab b 3
(3) ×(-)=68)2(6?-?=4812- (4)161694? =1616
94??=34?=12
2、不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3
32 (2) a
a 212-
(八)达标测试: A 组 1、选择题
(1)等式1112-=
-?+x x x 成立的条件是( )
A .x≥1
B .x≥-1
C .-1≤x≤1
D .x≥1或x≤-1 (2)下列各等式成立的是( )
A .45×25=85
B .53×42=205
C .43×32=75
D .53×42=206 (3)二次根式6)2(2?-的计算结果是( )
A .26
B .-26
C .6
D .12 2、化简:(1)360; (2)432x ;
(3)18×30; (4)75
23?
; B 组
1、若04
1
4422
2
=+
-++++-c c b b a ,则c a b ??2=( ) A .4 B .2 C .-2 D .1 2、下列各式的计算中,不正确的是( )
A .64)6()4(-?-=-?-=(-2)×(-4)=8
B .2222442)(244a a a a =?=?=
C .5251694322==
+=+
D .12512131213)1213)(1213(121322?=-?+=-+=-
3、计算:(1)68×(-26); (2;
第四课时 16.2二次根式的乘除(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点
重点: 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点: 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 (一)复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算: (1)38×(-46) (2)3612ab ab
3、填空: (1
=______
(2
=_____
=______
(二)提出问题:
1、二次根式的除法法则是什么?如何归纳出这一法则的?
2、如何二次根式的除法法则进行计算?
3、商的算术平方根有什么性质?
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简? (三)自主学习
自学课本第8页—第9页内容,完成下面的题目: 1、由“知识回顾
4题”可得规律: (1
(2
2
、根据大家的练习和解答,我们可以得到二次根式的除法法则: 把这个法则反过来,得到商的算术平方根性质: (四)合作交流
1、 自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:
计算:(1 (2)3
223
2、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:
化简:(1
(2
(五)精讲点拨
1、
当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:即系数之商作为商的系数,被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求:
(1)被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2.
(2)被开方数不含分母或分母中不含有二次根式。
(六)拓展延伸
注:数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
化简:(1
(2=_________
(3=
(4)=_________
(七)达标测试:
1
----()A
.B.
C D
2
的结果是-------------------()A.B.C.D.
3、计算:
(1)
48
2
(2)
x
x
8
23
(3)
16
1
4
1
÷(4
4、用两种方法计算:(1(2)
3
4
6
=
2
7
2
7
第五课时 16.2二次根式的乘除(3)
一、学习目标:1、理解最简二次根式的概念,把二次根式化成最简二次根式。 2、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点 重点:最简二次根式的运用。
难点:会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 (一)复习回顾
1、化简:(1)496x (2
2、结合上题的计算结果,回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么? (二)提出问题: 1、什么是最简二次根式?
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式?
3、如何进行二次根式的乘除混合运算? (三)自主学习
自学课本第9页内容,完成下面的题目: 1、最简二次根式: 2、化简:
(1) (2)
(3 (4)20
8
(四)合作交流 1、计算:5
2
1312321?÷
2、比较下列数的大小
(1)8.2与4
3
2 (2)- 76与 - 67
3、如图,在Rt①ABC 中,①C=90°,AC=3cm ,BC=6cm ,求AB 的长.
(五)精讲点拨
1、化简二次根式的方法有多种,比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准: (1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2. (六)拓展延伸
例:观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:
12121
2)12)(12()12(1121-=--=
-+-?=
+, 232
32
3)
23)(23()23(12
31
-=--=
-+-?=
+,
模仿计算:
3
21- = ,……
从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:
(
+++
+2
311
21……+
n
n +-11
)(n +1)的值.
B
A
C
(七)达标测试: 1、选择题
(1y>0)是二次根式,化为最简二次根式是( ).
A
(y>0) B y>0) C y>0) D .以上都不对
(2)化简二次根式2
2a a a +-的结果是( ).
A .2--a
B .-2--a
C .2-a
D .-2-a 2、填空:
(1.(x≥0) (2)已知2
51-=x ,则x
x 1
-
的值等于__________. 3、计算:
(1)2147431?÷ (2) 2
1
5
4
1
)741
81
(2133÷-
?
4、计算: a
b
b a ab b 3
)23(235÷-?(a>0,b>0)
5、若x、y为实数,且y
?
x-
+的值。
y
x
第六课时 16.3二次根式的加减法(1)
一、学习目标
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点
重点:二次根式加减法的运算。
难点:快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程
(一)复习回顾
1、什么是同类项?
2、如何进行整式的加减运算?
3、计算:(1)2x-3x+5x (2)a2b+2ba2- 3ab
(二)提出问题
1、什么是同类二次根式?
2、判断是否同类二次根式时应注意什么?
3、如何进行二次根式的加减运算?
(三)自主学习
自学课本第10—11页内容,完成下面的题目:
1、试观察下列各组式子,哪些是同类二次根式:
(1)22与32(2)2与3.(3)5与20(4)12与18 .
从中你得到: 。 2、自学课本例1,例2后,仿例计算:
(1 (2 (3)-
通过计算归纳:进行二次根式的加减法时,应 : 。 (四)合作交流,展示反馈
小组交流结果后,再合作计算,看谁做的又对又快!限时6分钟 (1))27
131(12-- (2) )512()2048(-++ (3)y
y
x y x x 1
241+-+ (4))461(9322x x x x x x --
(五)精讲点拨
1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ①找出同类二次根式;
①合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并。 (六)拓展延伸
1、如图所示,面积为48cm 2的正方形的四个角是面积为3cm 2的小正方形,现将这四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的高和底面边长分别是多少?
2、已知4x 2+y 2-4x -6y+10=0,求(2
3
+y -(x
(七)达标测试:
A 组
1、选择题
(1)二次根式:;是同类二次根式的是( ). A .①和① B .①和① C .①和① D .①和① (2)下列各组二次根式中,是同类二次根式的是( ).
A B C D 2、计算:
(1)38550 (2)
x
x
x x 1
246932-+
B 组
1、选择:已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式,则满足条件的 a 、b 的值( )
A .不存在
B .有一组
C .有二组
D .多于二组 2、计算:
(1)2
14
5
40
(2)2
32282xy x x +-(0,0)x y >>
第七课时 16.3二次根式的加减法(2)
一、学习目标:熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 二、学习重点、难点
重点:熟练进行二次根式的混合运算。 难点:混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 三、学习过程 (一)复习回顾: 1、填空
(1)整式混合运算的顺序是: 。 (2)二次根式的乘除法法则是: 。 (3)二次根式的加减法法则是: 。
(4)写出已经学过的乘法公式:① ;① 。 2、计算: (1)6·a 3·b 31 (2)16141÷
(3)5051
1221832++-
(二)合作交流
1、探究计算:(1)(38+)×6 (2)22)6324(÷-
2、自学课本11页例4后,依照例题探究计算:
(1))52)(32(++ (2)2)232(-
(三)展示反馈 计算:(限时8分钟) (1)12)3
2
3242731(?-- (2))32)(532(+-
(3)2)3223(+ (4)()
(四)精讲点拨:整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛,可以是单项式、多项式,
也可以代表二次根式,所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。 (五)拓展延伸
同学们,我们以前学过完全平方公式(a±b)2=a 2±2ab+b 2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方,如:3=(3)2,5=(5)2,
下面我们观察:
2221)211213=-?=-=-
反之,23211)-=-=
① 231)-= ①
223-=2-1
仿上例,求:(1);324+ (2)124-
(3)若n m b a +=±2,则m 、n 与a 、b 的关系是什么?并说明理由. (六)达标测试: 1、计算:
(1)5)9080(÷+ (2)326324?-÷
(3))()3(33ab ab ab b a ÷+-(a>0,b>0) (4)52)(2652)
2、已知a=121-,b=1
21
+,求1022++b a 的值。
3、计算:(1))123)(123(+--+ (2)20092009(3(3
4、母亲节到了,为了表达对母亲的爱,小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈,其中一个面积为8cm 2,另一个为18cm 2,他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮,他现在有长为50cm 的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?
第八课时 二次根式的复习
一、学习目标:1、了解二次根式的定义,掌握二次根式有意义的条件和性质。 2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义,熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义,能运用相关性质进行化简二次根式。 二、学习重点、难点
重点:二次根式的计算和化简。
难点:二次根式的混合运算,正确依据相关性质化简二次根式。 三、复习过程
(一)自主复习(自学课本第13页“小结”的内容,记住相关知识)完成练习: 1.若a >0,a 的平方根可表示为___________ a 的算术平方根可表示________
2. 当a______ 当a______
3________
=;
______=
4.14×48= ; 72÷18= 。 5.12+27; ; 125 -
20= 。
(二)合作交流,展示反馈 1、式子5
454--=
--x x x x 成立的条件是什么?
2、计算:(1)25341122÷? (2
二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2 )4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 (一)填空题: 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3(
二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”为什么 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) = (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3(
第7课时 16.3 二次根式的加减导学案(1) 【学习目标】理解和掌握二次根式加减的方法. 【学习重点】二次根式加减的运算 【学习难点】会判定是否是最简二次根式 一、 学前准备 计算.(1)2x+3x ; (2)2x 2-3x 2+5x 2; (3)x+2x+3y ; (4)3a 2-2a 2+a 3 以上题目,是我们所学的同类项合并.同类项合并就是 . 二、探索思考 (一)思考:现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板,能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板? (二)探索: 计算下列各式,分析计算过程,你发现什么规律? ①5+5 ②5-125 ③5-50+20 归纳:二次根式加减时,可以先将二次根式化成 ,?再将 的二次根式进行合并. 练习一:计算(先阅读P13例1) (1) x x 4916+; (2)7250-. 三、典例分析 例1.计算 (1)348-913 +312 (2)(48+20)+(12-5) 练习二、计算(1)52080+- (2))2798(18-+ (3))681( )5.024(--+ (4)482 1 08.01031332-+- 例2.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求( 2 93x x +y 23 x y )-(x 2 1x -5x y x )的值. 四、当堂反馈 1.在12,34,48,6中能与3进行加减合并的根式有_________. 2.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是( ) A .12与72 B .63与78 C .38x 与22x D .18与6 3.下列根式合并过程正确的是( ) A .23-3-=2 B .a c +b c =a+b c C .5a +1 2a =a +1 2 a D .13 3a -1 43a =1 12 3a 4.一个等腰三角形的两边分别为23,32,则这个三角形的周长为( ) A .32+43 B .62+23 C .62+43 D .32+43或62+23 5.计算:(1)212+348 (2)52+8-718 (3)83+ 12 +0.125 -6+32 (4)1432a + 6a 18a -3a 22a 五、学习反思 7.5dm 5dm
二次根式的概念(第1课时) 【学习目标】 1、了解二次根式的意义; 2、会判断二次根式,能求简单的二次根式中字母的取值范围。 【学习重点】二次根式的概念及意义。 【学习难点】二次根式的判断与字母取值范围的确定。 【学习过程】 一、自学指导 【思考】用带根号的式子填空,看看写出的结 果有什么特点? (1)如图,要做一个两条直角边的长分别是 7cm 和4cm 的三角尺,斜边的长应为 cm ; (2)面积为S 的正方形的边长为 ; (3)要修建一个面积为6.28m 2的圆形喷水池, 它的半径为 m(π取3.14); (4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t ,(单位:s )与开始下落的高度h (单位:米)满足关系h=5t 2。如果用含有h 的式子表示t, 则t= . 在上面的问题中,结果分别是 ,它们都是 分别表示65,S ,2,5 h 的 . 我们知道:一个正数有两个平方根,它们 ;0的平方根是 ;在实数范围内, 数没有平方根。因此,开平方时,被开方数只能是 。 【归纳】一般地,我们把形如a (a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 【注意】二次根式应满足两个条件:1、形式上必须是a 的形式;2、被开方数必须是 。 教师“复备”栏或学生笔记栏 7cm 4cm
二、剖析展示 【例题自学】当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 【自主展示】当a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1) 1a - (2) 32+a (3) a - 【拓展提升】 (1)当x 是怎样的实数时,2x 在实数范围内有意义?3x 呢? (2)当x 是怎样的实数时,23x ++1 1x +在实数范围内有意义? 三、归纳点拨 1、二次根式的特点: 、 。 2、判断二次根式是否在实数范围内有意义的方法是 四、检测达标 1、下列各式中,-222+a ,, a -(a<0),π,31+a 是二次根式的 是 . 2、当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1)x 35- (2)123-- x (3)12+x (4)13 -x (5)2)2(-x (6)48-+x x
1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识(5分钟) 这些知识你还记得吗?(先独立完成1分钟,后同桌互查1分钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2,用式子表 示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知( 25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成 P2—思考中的容,阅读例1以上的容,尝试完成下面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式? 2 3,16-,34,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③x --21 (2)若在实数围有意义,则x 为( )。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结:二次根式有意义的条件是: 【活动三】课小结 (学生归纳总结) (3分钟) 1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值围有限制:被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸(独立完成3分钟,班级展示2分钟) 1、在式子 x x +-121中,x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2=0,则x-y = _____________. 3、已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组互查2分钟。) 1、下列式子中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式? 2,33, x 1 ,x (x >0),0,42,y x +1,y x +(x ≥0,y ≥0) 2、当x 是怎样的实数时,13-x 在实数围有意义? 3、若20a -+=,则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知:y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥
第十六章《二次根式》导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:7a > 0(a > 0)(7^)2 = a(a > 0) 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质扃2 0(。2 0)和(扃尸=。怎20)。 三、学习过程 (―)复习回顾: C 1)己知/HO,那么。是X的__________ ;工是。的,记为________________ , Qi定是________ 数。(2)4的算术平方根为2,用式子表示为捐="正数。的算术平方根为,0的 算术平方根为;式子程> 0(。> 0)的意义是o (-)自主学习 (1)V16的平方根是; ⑵一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是*(单位:秒)与开始下落时的高度力(单位:米)满足关系 式h = 5t\如果用含力的式子表示Z,则Z=; (3)圆的面积为S,则圆的半径是; (4)正方形的面积为b-3,则边长为o 思考:V16, 底^等式子的实际意义说一说他们的共同特征. 定义:一般地我们把形如占(。20)叫做二次根式,。叫做。7~。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 0 -V16, V4,后,知20), + l 2、当。为正数时石指。的,而0的算术平方根是—,负数,只有非
负数。才有算术平方根。所以,在二次根式插中,字母。必须满足,万才有意义。3、根据算术平方根意义计算: (1)(V4)2⑵峦尸(3)(而尸(4) (&)2 根据计算结果,你能得出结论:(扃)2= ,其中。20, 4、由公式(7危2=。(。20),我们可以得到公式a = g ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的 形式。 如(V5)M;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(75)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 2 r 9 工一7 4a~Tl (%1)合作探究 例:当x是怎样的实数口寸,后I在实数范围内有意义? 解:由x-2>0,得 x>2 当VT互在实数范围内有意义。 练习:1、尤取何值时,下列各二次根式有意义? ① J3--4 ②」2+争(3)^-—L 2、(1)若A AK-右二有意义,则a的值为. (2)若 C 在实数范围内有意义,则]为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 J1 — 2工
16.1 二次根式导学案(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式; 2、掌握二次根式有意义的条件; 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a (双非负性)。 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质。 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 的双非负性解题。 三、学习过程 (一)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、如何确定一个二次根式有无意义? (二)自主学习 自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34,5-,)0(3≥a a , 12+x 2、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式 中,字母a 必须满足 , 才有意义。 (三)合作探究 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义? ① 43-x 223 x + ③ 2、(133a a --有意义,则a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 x --21x -
(四)拓展延伸 1、(1)在式子x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2=0,则x-y = _____________. (3)已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 (五)达标测试 A 组 (一)填空题: 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解: (1)x 2-9= x 2 - ( )2= (x+ ____) (x-____) (2) x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) (二)选择题: 1、计算 ( ) A. 169 B.-13 C.±13 D.13 2、已知 A. x>-3 C.x=-3 D. x 的值不能确定 3、下列计算中,不正确的是 ( )。 A. 3= 2)3( B. 0.5=2)5.0( C. 2)3.0(=0.3 D. 2)75(=35 B 组 (一)选择题: 1、下列各式中,正确的是( )。 A. B. C. D. 2、 如果等式2)(x -= x 成立,那么x 为( )。 A. x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0 (二)填空题: 1、 若20a -=,则 2a b -= 。 2、当x= 时,代数式有最小值,其最小值是 。 253???? ??的值为2)13(-0,x =则为( ) 4949+=+4994 ?=?2424-=-653625=
二次根式复习(第9课时) 1. 下列计算正确的是 ( ) A . B . C . D . 2.下列二次根式中,x 的取值范围是x ≥2的是( ) A 、2-x B 、x+2 C 、x -2 D 、 1x -2 3.下列运算正确的是( ) A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、 3294= 4.如图,数轴上 两点表示的数分别为1和,点关于点的对称点为点,则点所表示的数是( ) A . B . C . D . 5.下列根式中属最简二次根式的是( ) A.21a + B.12 C.8 D.27 6.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A.x >-5 B.x <-5 C.x ≠-5 D.x ≥-5 7.下列根式中不是最简二次根式的是( ) A .10 B .8 C .6 D .2 8.计算28-的结果是( ) A 、6 B 、6 C 、2 D 、2 9.若b a y b a x +=-=,,则xy 的值为( ) A .a 2 B .b 2 C .b a + D .b a - 10.若 ,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 11. 比较大小:3 10。 12.3的倒数是 。
13.代数式中,自变量的取值范围是 . 14.若230a b -+-=,则2a b -= . 15.已知等边三角形ABC 的边长为33+ ,则ΔABC 的周长是____________; 16.使2x -有意义的x 的取值范围是 . 17.计算: (1) (2) (3) . (4). 18.先将 22 x x --322x x x -x 值,代入化简后的式子求值。 19.如图,实数a 、b 在数轴上的位置, 化简 222()a b a b -
第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 4
1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ________ )(2=a 2)3(
课题:16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)自学导航(课前预习) (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)合作交流(小组互助) (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如 a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 , 4
只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2 )5.0( (4 )2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2 ≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一 个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)展示提升(质疑点拨) 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x + y x +2=0,则=-y x _____________. ________)(2=a 2 )3(x --21
16.3二次根式的混合运算 学习目标: 1、会进行二次根式的四则混合运算 2、会应用整式的运算法则进行二次根式的运算 3、体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法 学习重、难点 重点:二次根式的四则混合运算顺序,运算律的合理使用 难点:灵活运用因式分解、约分等技巧简化计算 学习过程: 一、自主学习: 1. 化简下列二次根式: 12= ,313= ,311= ,48= ,27= 。 2.回顾: 整式混合运算的顺序: 先算 再算 最后 3.计算32+412-122=_______; 12+13-113=_________. 二、合作交流 1.填空: (1)8+18-50=_______; (2)75+48- 27=________; 2.下列各式计算正确的是( ) A .23+32=55 B .23-3=1 C .23×32=66 D .23×32=65 3.下列各式计算正确的是( ) A 2243 .(6)(6)=2-6=-4 C 35)2=32+5)2=3+5=8 D .(23)(23)=(2)2-3)2=2-3=-1
4.如果a ·4a -=(4)a a - ,则( ) A .a ≥4 B .a ≥0 C .0≤a ≤4 D .a 为一切实数 5.计算2327+634 ,结果为( ) A .53 B .7 2 3 C .46 D .93 三、课堂检测(1、2必做 3题为选做题) 1.计算: (1)6×23-24÷3; (2)(27-218)÷6; (3)(43-23)·(-6); (4)(22-33)(33-22). 2.计算:(1)(-1-5)(-5+1); (2)(1-5)(5+5); (3)(35-53)2; (4)(27-52)2-(52+27)2. 3.已知121 ,121 +=-=b a ,求102 2++b a 的值。
二次根式(1)导学案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____。称为 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,3 4)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解:72-x 4a 2 -11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解: (1)-=-229x x ( )2 =(x + )(y - )(2)-=-2 23x x ( )2 =(x + )(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ,比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中,字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3(
页脚内容1 16.1二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”?为什么? 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ), 12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 4
页脚内容2 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= 0.35= 合 作 探 究 例1:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 练习1:x 取何值时,下列各二次根式有意义? ② ③ 2 例2:在式子x x +-121中,x 的取值范围是什么? ________)(2=a
二次根式导学案人教版 二次根式导学案人教版 一.学习目标: 1.了解并熟记二次根式的概念,理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围; 2.理解公式(a)2=a(a≥0),并能利用公式进行一般的二次根式的化简. 二.学习重点:二次根式的定义. 学习难点:二次根式的性质. 三.教学过程 想一想: 1.平方根的定义:. 2.一个正数有个平方根,它们;0的平方根是;负数. 3.算术平方根的定义:. 算一算: 1.圆的面积为S,则圆的半径是. 2.正方形的面积为b-3,则边长为. 3.在Rt△ABC中,∠B=90°.若AB=50m,BC=m,则AC=m 对上面各题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 定义:一般地,式子_____(a≥0)叫做二次根式,a叫做 ___________,“”称为二次根号. 二次根式应满足两个条件:①;②.
试一试: 1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? 2、、1x、x(x>0)、-12、0、a2+5、-5、1x+y、x+y(x≥0,y≥0)、xy. 2.a取何值时,下列二次根式有意义. (1)a+1(2)1-10a(3)1a-3(4)a2+1(5)-(3-a)2(6)x-1+1-x 议一议: ①-1有算术平方根吗?②0的算术平方根是多少? ③当a<0时,a有意义吗?为什么? ④当a≥0,a可能为负数吗?为什么? 所以,你得出的结论是:a.(a). 动一动: 1.已知1+x+5-y=0,则x+y的值为. 2.(10广安)若x-2y+y+2=0,则xy的值为. 3.(11内蒙古),则xy=. 4.(11日照)已知x,y为实数,且满足=0,那么x2011-y2011=. 二次根式性质的探索: 22=4,即(4)2=4;32=9,即(9)2=9,同样地,(2)2=2, (5)2=5,…… 你能用一般式来表示这样的规律吗? . Ⅰ.计算. (-5)2=_______;(2a)2=_______;(32)2=_______;(ab)2=_______;
人教版九年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.1 二次根式(第二课时) 【学习目标】 1.理解并掌握二次根式的性质.理解a (a ≥0)是一个非负数,正确区分2)(a =a (a ≥0)与()02≥=a a a 2.掌握利用上述性质对二次根式进行化简. 【课前预习】 1.在0 111,,22 2????---- ? ????? 这四个数中,最大的数是( ) A .12??-- ??? B .12 - C .0 12??- ??? D 2.下列式子中无意义的是( ) A . B . C . D . 3.下列计算正确的是( ) A 2=± B .22423x x x += C .() 3 26328a b a b -=- D .()235 x x x -=÷ 4.若0 10.计算-23的结果是( ) A .-3 B .3 C .-9 D .9 【学习探究】 自主学习 阅读课本,完成下列问题 1、当a 时,5-a 有意义. 2、形如a (a________0)的式子叫做二次根式; ⑴当a >0时,a 表示___________________,因此a _____0;当a=0时,a 表示_____________,因此a ______0. 结论:a (a ≥0)是 数,即a _______0. 用简洁的语言概括这个结论:___________________________________ 3、计算: ()=2 4____ ; ( ) =2 0.01_____ ;=??? ? ??2 31________ ; ()=2 0_____ . 结论: () 2a = (a ≥0); 用简洁的语言概括这个结论:___________________________________ 4、计算:=2 2____ ,=2____;=20.1_____ ,=1.0____; () =-2 5_____,=-5____ ;=?? ? ??-2 32_____ ,=-32____ ;=20_____ ,=0____ . 思考:比较上面的各组式子,想一想⑴a a 与2 有什么关系? ⑵当0≥a 时,2 a =______;当0≤a 时,2 a =______. 总结:? ??==_____2a 5、代数式:用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、和开方)把_________和______连接起来的式子,我们称这样的 式子为代数式. ?? ? ?????无理式有理式代数式______________ 互学探究 1、计算 (1) 2)4(= (2) () =2 3 (3)2 )5.0( = (4)2)3 1( = 根据计算结果,能得出结论: (0≥a ) 2.计算: §16.1.1《二次根式》导学案 【学习目标】 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识链接(5分钟) 这些知识你还记得吗(先独立完成1分钟,后同桌互查1分 钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方 根为2,用式子表示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知(25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成P2—思考中的内容,阅读例1以上的内容,尝试完成下 面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式 2 3,16-,34 ,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条 件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13 分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义 ①43-x ③x -- 21 40) a ≥ 第2课时 1.探究二次根式的性质,能正确区分()2=a(a≥0)与=a(a≥0),并利用它们进行二次根式的化简和运算. 2.重点:()2=a(a≥0),=a(a≥0)及其运用. 问题探究一二次根式的非负性 阅读教材第一个“探究”以上的内容, 回答:当a ≥0时,表示a的算术平方根,正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0, 负数没有平方根.由此可以看出,是一个非负数. 【归纳总结】二次根式的非负性主要表现在哪些方面? 一是被开方数a≥0,二是≥0. 【预习自测】若+(m-3)2=0,则m= 3 ,n=-1 . 问题探究二求二次根式的平方的运算 阅读教材中的第一个“探究”至“例2”,完成下列问题. (1)()2= 3 , ()2=0.1 , ()2=. (2)(-)2= 5 , (-2)2=(-2 )2×()2= 4 × 3 =12 . 【归纳总结】(1)因为(a≥0)是 a 的算术平方根,因此()2= a (a≥0). (2)根据运算性质(ab)2=a2b2可得(a)2=a2b (b≥0). 【预习自测】填空:(-2)2= 20,(4)2= 48,(-)2= . 问题探究三的化简 1.完成本节教材中的第二个“探究”中的填空,思考:当a>0时,等于多少?当a=0时,等于多少? 2,0.1,,0;a,0. 2.= 4,= ,由此可以看出,当a<0时,= -a. 【归纳总结】= |a|=或=|a| = 【预习自测】化简: = 3 ;= 2 ; -=-3 . 知识梳理代数式 阅读教材“例3”下面的一段内容,完成下面的问题. 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,称为代数式. 互动探究1:已知|a-2|与互为相反数,求a2-b的值. 解:由题意,得|a-2|+=0,∴|a-2|=0,=0, ∴a=2,b=3,∴a2-b=22-3=1. 【方法归纳交流】几个非负数的和为0,说明它们都为0. 互动探究2:已知y=++2,求的值. 解:若使原式有意义,则必须满足-x≥0,且x-≥0, ∴x=,∴y=2,∴==4. 互动探究3:计算:(1)()2;(2)(-)2;(3);(4). 解:(1)7;(2)0.2;(3)0.6;(4). 互动探究4:已知x<2,化简+|4-x|= 6-2x. [变式训练]实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简--= -2b. 互动探究5:对于题目“化简求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同. 甲的解答是:+=+=+-a=-a=; 乙的解答是:+=+=+a-=a=. 谁的解答是错误的?为什么? 解:乙的解答是错误的.因为当a=时,a-=-5=-4<0,所以≠a-,故乙的解答是错误的. [变式训练1]若x 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:...a 0(a 0)和仁a)2 a(a 0) 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质,a 0(a 0)和G.a)2 a(a 0)。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知x2 a,那么a是x的_________ ;x是a的_______ ,记为_______ , a 一定是 ________ 数。 (2)___________________________________________ 4的算术平方根为2,用式子表示为据;正数a的算术平方根为________________________________________________ , 0的算术平方根为 _______ ;式子石0(a 0)的意义是 __________________ 。 (二)自主学习 (1) . 16的平方根是______________ ; (2) 一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t(单位:秒)与开始下落时的高度h(单位:米)满足关系式 h 5t2。如果用含h的式子表示t,贝U t= ___________ ; (3) 圆的面积为S,则圆的半径是_____________ ; (4) 正方形的面积为b 3,则边长为____________ 。 思考:16 , 、、h, 、、S,、b 3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. \ 5 \ 定义:一般地我们把形如j a ( a 0 )叫做二次根式,a叫做 ______________________ 。___________________ 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3 , 16 , 3 4 , ■ 5 , a (a 0) , x 1 ' '' '3 ' ,而0的算术平方根是 _,负数____ ,只有非负数a才有 2、当a为正数时..a指a的 算术平方根。所以,在二次根式a中,字母a必须满足, ..a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算: (1)(⑷2(2) (、.3)2(3) C 0.5)2(4) (、;)2 根据计算结果,你能得出结论:(、咕)2 ________ ,其中a 0, 4、由公式C、a)2a(a 0),我们可以得到公式a=0 a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的 平方的形式。16.1.1二次根式全章导学案
16.1《二次根式》导学案2
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