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宁夏中卫市海原县第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

宁夏中卫市海原县第一中学2020-2021学年高二上学期期末

数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则 A ．p 或q 为假 B ．q 真

C ．q 假

D ．不能判断q 的

真假

2．已知ABC ，内角、、A B C

的对边分别是,,,60a b c a b B ===?，则A

等于（） A ．45? B ．30 C ．45?或135?

D ．30或150?

3．顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是 A ．24y x =-

B ．24x y =

C ．24y x =-或24x y =

D ．24y x =或24x y =-

4．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3

B ．3:2:1

．2

5．若x y ，满足条件11y x

x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2Z x y =+的最大值是（）

A ．3

B ．1.5

C ．1

D ．4

6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（）． A ．13

B ．35

C ．49

D ．63

7．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（）

．y =

B ．1

y x =±

C ．3y x =±

．3

y x =±

8．不等式2340x x -++<的解集为 A ．{|14}x x -<< B ．{41}x x x <-或 C ．{14}x x x <-或

D ．{|41}x x -<<

9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,

1AA c =，则与BM 相等的向量是（）

A ．

a b c ++ B ．11

a b c -

-+ C ．

a b c -+ D ．11

++a b c 10．如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(1,)+∞

D ．(0,)+∞

11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为

A ．

B C D ．

12．()()()2

11310m x m x m +--+-<对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,+∞

B ．(),1-∞-

C ．13,11?

?-∞- ?

D ．()13,1,11??-∞-

+∞ ???

二、填空题

13．已知向量(2,1,3)a =-，(4,2,)b x =-，若a b ，则x =__________． 14．已知1x >，则()1

f x x x =+

-的最小值是__________． 15．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为______． 16．下列说法中

①．对于命题p ：存在00sin 1x x ∈>，R ，则p ?：sin 1x x ?∈≤，R ；

②．命题“若01a <<，则函数()x

f x a ＝在R 上是增函数”的逆命题为假命题；

③．若p q ∨为真命题，则p q ，均为真命题；

④．命题“若220x x －－＝，则2x ＝”的逆否命题是“若2x ≠，则220x x ≠－－”．错误．．的是________

三、解答题

17．已知点A B ，的坐标分别是()5,0-，()5,0，直线AM BM ，相交于点M ，且它们斜率之积是

，求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状． 18．在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为1DD 的中点,M 为四边形ABCD 的中心．求证：对11A B 上任一点N ,都有MN AP ⊥．

19．在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且tan C = （1）求cos C ；（2）若5

CA CB ?=

，且9a b +=，求c . 20．经过椭圆2222x y +＝的左焦点1F 作倾斜角为60?的直线l ,直线l 与椭圆相交于

,A B 点，求AB 的长.

21．已知数列{}n a 是等比数列，2342a a =+，是2a 和4a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n b na ＝，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

22．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，2AD PD ==，

4CD =，,E F 分别为,CD PB 的中点．

（1）求证：EF 平面PAB；

（2）求直线AE与平面PAB所成的角．

参考答案

1．C 【解析】试题分析：命题“”为假，说明p 与q 中至少有一个是假命题，

“”为假说明p 为真命题，所以q 为假命题.

考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假. 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用. 2．A 【解析】【分析】

直接根据正弦定理求解即可．【详解】

解：∵a =

b =60B =?，

∴a b <，A B <，

由正弦定理sin sin a b A B

=得： sin sin a B A b

=2==， ∴45A =?，故选：A ．【点睛】

本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题． 3．C 【分析】

利用抛物线标准方程但要注意抛物线开口方向进行分类讨论. 【详解】

∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，

， ∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或2

2y px =-（0p >），

将点()44-，

的坐标代入抛物线的标准方程22x py =（0p >）得：168p =，

∴2p =，∴此时抛物线的标准方程为2

4x y =；

将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程22y px =-（0p >），同理可得2p =，

∴此时抛物线的标准方程为2

4y x =-.

综上可知，顶点在原点，且过点()44-，

的抛物线的标准方程是2

4y x =-或2

4x y =．故选C ．【点睛】

本题考查抛物线标准方程的确定，在解题中要对抛物线性质熟练掌握，利用分类讨论思想对开口向上、向左分别计算求解. 4．C 【分析】

由::1:2:3A B C =，结合三角形内角和定理可得,,,6

A B C π

再利用正弦定理

及特殊角的三角函数可得结果. 【详解】

因为::1:2:3A B C =,A B C π++= 所以,,,6

A B C π

:sin :sin :sin a b c A B C ==

:11:22=

=，故选C. 【点睛】

本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数，属于基础题. 5．A 【分析】

先根据约束条件画出可行域，Z 表示直线2Z x y =+在y 轴上的截距，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】

解：由题意，画出可行域如图

目标函数Z 表示直线2Z x y =+在y 轴上的截距，

由图可知，当直线2Z x y =+经过点()2,1A -时，Z 有最大值max 3Z =；故选：A ．【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 6．C 【解析】

试题分析：依题意有21613{

511

a a d a a d =+==+=，解得1a 1,d 2，所以7172149S a d =+=.

考点：等差数列的基本概念.

【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)

n n n a a n n S na d +-=

=+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、

d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运

算． 7．A 【解析】

由双曲线2

33x y -=可得：2

30x y -=

即y =，

∴双曲线2233x y -=的渐近线方程是y = 故选A 8．B 【解析】

试题分析：因为x-3 x -4=

，所以不等式的解集为{41}x x x <-或．

考点：本题考查一元二次不等式的解法．

点评：在解一元二次不等式时，要注意二次项系数与两根的大小． 9．D 【分析】

根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 【详解】

根据空间向量的线性运算可知

11BM BB B M =+ 1111

2AA B D =+

()111111

2AA B A A D =++

()11

AA AB AD =+-+

因为,AB a AD b ==,1AA c =，

则(

)

2AA AB AD +

-+ 11

a b c =-++

即11

BM a b c =-++，

故选：D. 【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 10．A 【分析】

把方程写成椭圆的标准方程形式，得到22

1x y A B

+=形式，要想表示焦点在y 轴上的椭圆，

必须要满足0B A >>，解这个不等式就可求出实数k 的取值范围．【详解】

222x ky +=转化为椭圆的标准方程，得22

22x y k

+=，因为222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2

>，解得01k <<.所以实数k 的取值范围是()0,1.选A. 【点睛】

本题考查了焦点在y 轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式. 11．D 【解析】

试题分析：因为渐近线为20x y -=且焦点在y 轴上，所以

所以

=．

考点：本题考查

点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式

；②利用变形公

式：（椭圆）和（双曲线）③根

据条件列出关于a 、b 、c 的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出．

12．C 【分析】

当1m =-时，不等式为一元一次不等式，可求得解集不为R ，不满足题意；当1m ≠-时，

根据一元二次不等式与二次函数图象的关系可得不等式组10

0m +

，解不等式组求得结

果. 【详解】

当1m =-时，()()()2

1131260m x m x m x +--+-=-<，解得：3x <

∴不等式()()()211310m x m x m +--+-<不恒成立，不合题意

当1m ≠-时，由()()()2

11310m x m x m +--+-<对一切实数x 恒成立可得：

()()()2

112110m m m m +

，解得：1311m <- 综上所述：m 的取值范围为：13,11?

?-∞- ???

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够根据二次函数的图象得到开口方向和判别式的要求；易错点是忽略二次项系数为零的情况，造成求解错误. 13．6- 【分析】

根据a b ，可得存在实数λ使得a b λ=，利用向量相等即可得出【详解】

a b ，∴存在实数λ使得a b λ=，

24123x λλλ=-??

∴-=??=?

，解得6x =- 故答案为6- 【点睛】

本题主要考查的是共线向量和平行向量，解题的关键是根据a b ，得到存在实数λ使得

a b λ=，属于基础题．

14．3 【解析】 ∵x >1∴x ?1>0

由基本不等式可得，())

11111311

f x x x x x x =+

=-++≥+=---，

当且仅当1

x x -=-即x ?1=1时，x =2时取等号“=” 答案为3.

点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15．120 【分析】

利用等比数列的运算公式，结合已知条件，先求得q 的值，进而求得1a 的值，由此求得4S 的值. 【详解】

q 3=52a a =27，∴q =3，∴a 1=2a q =3，∴S 4=()

111a q q

--=120

故答案为120 【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 16．③. 【分析】

①．特称命题的否定是全称命题，否定时要将存在量词改为全称量词，还要否定结论； ②．写出原命题的逆命题，再判断真假；

③．若p q ∨为真命题，则必有一个为真命题，即可判断出； ④．利用逆否命题的含义即可得出．【详解】

解：∵p ：存在0x ∈R ，0sin 1x >，是一个特称命题，由特称命题的否定是全称命题得，

p ?：任意x ?∈R ，sin 1x ≤，故①对；

命题“若01a <<，则函数()x

f x a ＝在R 上是增函数”的逆命题为“若函数()x

f x a ＝在R

上是增函数，则01a <<”，是一个假命题，故②对；

若p q ∨为真命题，则p 、q 至少有一个是真命题，可以有一个是假命题，故③错；命题“若220x x －－＝，则2x ＝”的逆否命题是“若2x ≠，则220x x ≠－－”，故④对；

故答案为：③．【点睛】

本题综合考查了简易逻辑的有关知识、指数函数的单调性，属于基础题．

17．()22

15100259

x y x -=≠±，M 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上的双曲线(不包括轴两个端点). 【分析】

直接用代入法求轨迹方程，步骤是“建设现（限）代化”，然后再判断轨迹的形状．【详解】设(),M x y ，

∵点A 的坐标分别是()5,0-，

∴直线AM 的斜率()55

AM y

k x x =≠-+，同理，直线BM 的斜率()55

BM y

k x x =≠-，

∴55AM BM

y y k k x x =+-()2245259

y x x ==≠±-，化简，得点M 的轨迹方程是

()22

1510025

x y x -=≠±， ∴M 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上的双曲线(不包括两个顶点)．【点睛】

本题主要考查用代入法求轨迹方程，一般步骤是“建系、设点、限定条件、代点、化简”，记忆口诀是“建设现（限）代化”，另外本题是人教A 版教材上的一道探究题，属于基础题． 18．见解析. 【分析】

以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，设()()1,,101N y y <<，利用向量法证明．【详解】

证：以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，10,0,2P ?? ???，11,,022M ?? ???

，设()()1,,101N y y <<，

∴11,0,2AP ??=- ???，1

1,,12

2MN y ??=-

???， ∴1111010222AP MN y ?

?=-?

+?-+?= ??

?， ∴AP MN ⊥，

即对11A B 上任一点N ，都有MN AP ⊥．【点睛】

本题主要考查异面直线垂直问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19．（1）1

cos 8

C =；(2)6c = 【分析】

（1）根据正弦，余弦的关系，以及tanC 的值，确定cosC 的值．（2）利用向量数量积以及余弦定理得到c 的值．【详解】

（1）由tan C =，得1cos 8C =±

，又∵tanC＞0，∴C 为锐角，∴1cos 8

C =．

（2）∵52CA CB ?=

，∴15

abcos 82

C ab ==，∴ab＝20，又∵a+b＝9 ∴a 2

+2ab+b 2

＝81，∴a 2

+b 2

＝41，又2221

cos 28

a b c C ab +-==，∴c＝6．

【点睛】

本题考查三角函数的基本关系以及余弦定理，向量数量积等知识的综合应用，属于基础题． 20

．

. 【分析】

由题意得椭圆的标准方程，得点1F 的坐标，根据点斜式写出直线l 的方程，设

()()1122,,,A x y B x y

，联立直线与椭圆的方程消元，得韦达定理结论，利用弦长公式

AB =即可求解．

【详解】

解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，

由题意得，椭圆的标准方程为2

212

x y +=，∴1F 为()1,0-，

直线l 过左焦点1F 且倾斜角为60， ∴直线

l 的方程为)1y x =+

，

联立方程组)

122

y x x y ?=+??+=??，消元得：271240x x ++=，则12127x x +=-

，124

x x =，

∴12AB x =-

．【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查计算能力，属于中档题．

21．（1）()*

2n n a n N =∈；（2）()1

2n n T n +=-+.

【分析】

（1）设数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式和等差中项的定义即可求出结论；

（2）由（1）得2n

n b n =，再用错位相减法求和即可．

【详解】

解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，

因为24a =，所以34a q =，2

44a q =，

由32a +是2a 和4a 的等差中项得，

()224244q q +=+，

化简得2

20q q -=， ∴2q

，或0q =（舍），

∴()2

*22n n n a a q

n N -==∈；

（2）由（1）得，2n

n n b na n ==?，

∵123·

··n n T b b b b =++++， ∴23

122232n T =?+?+?+…2n n +?，

2n T =234122232?+?+?+…12n n ++?，

∴234

2222n T +++-=+…122n n n ++-?

1122212

n n n ++-=-?-

()1122n n +=--，

∴()1

122n n T n +=-+．

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与等差中项，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题．

22．（1）见解析；（2）30. 【分析】

（1）以点D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间坐标系，利用

向量法证明0EF AB =，0EF PA =，从而得证；

（2）连接,AE AF ，则AFE △为直角三角形，则EAF ∠即为直线AE 与平面PAB 所成角，解三角形即可．【详解】

（1）证：以点D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间坐标系，

则()2,0,0A ，()2,4,0B ，()002P ,

,，()0,2,0E ，()1,2,1F ，则()1,0,1EF =，()0,4,0AB =，()2,0,2PA =-， ∴10EF AB =?04100+?+?=，

12EF PA =?001(2)0+?+?-=，

又AB PA A ?=，AB

平面PAB ，PA ?平面PAB ，

EF ∴⊥平面PAB ；

（2）由（1）可得EF ⊥平面PAB ，连接,AE AF ，则AFE △为直角三角形，则EAF ∠即为直线AE 与平面PAB 所成角，

∵1EF EF ==+=

，AE ==

∴1

sin

EF EAF AE ∠=

==，∴30EAF ∠=， ∴直线AE 与平面PAB 所成角为30．【点睛】

本题主要考查线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，属于中档题．