2019-2020学年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案)
山西省太原市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩?
R
B=（）
A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3} D．{﹣1，0}
2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B．C．D．2
3．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若2a
6
=6+a
7
，则S
9
的值是（）
A．27 B．36 C．45 D．54
4．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”
B．若命题p：?x
0∈R，x
+1≤0，则￢p：?x∈R，x+1＞0
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．4cm3B．6cm3C．D．
6．若用如图的程序框图求数列{}的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）
A ．S=S+，i ≥100？
B ．S=S+，i ≥101？
C ．S=S+
，i ≥100？ D ．S=S+
，i ≥101？
7．已知函教f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f （x ）的单调递增区间是（ ） A ．[6kπ，6kπ+3]，k ∈Z B ．[6k ﹣3，6k]，k ∈Z C ．[6k ，6k+3]，k ∈Z D ．[6kπ﹣3，6kπ]，k ∈Z
8．已知实数x ，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．2
D ．1
9．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3，则△ABC 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．双曲线C 1：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰
过它们公共焦点F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ） A ．（
，
） B ．（
，
） C ．（
，
） D ．（0，
）
11．已知{a n }满足a 1=1，a n +a n+1=（）n （n ∈N *），S n =a 1+4a 2+42a 3+…+4n ﹣1a n ，则5S n ﹣4n a n =（ ） A ．n ﹣1 B ．n
C ．2n
D ．n 2
12．已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 2x]=3，则方程f （x ）﹣f′（x ）=2的解所在的区间是（ ） A ．（0，） B ．（，1） C ．（1，2） D ．（2，3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．（x+）（2x ﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
14．曲线f （x ）=xlnx 在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ． 15．已知A 、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 ．
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且2asin （C+）=
b ．
（1）求角A 的值：
（11）若AB=3，AC 边上的中线BD 的长为
，求△ABC 的面积．
18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：
倾向“平面几何选讲” 倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 合计
男生 16 4 6 26 女生 4 8 12 24 合计 20
12
18
50
（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；
（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 附：K 2=
．
P （k 2≤k 0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 0
2.706
3.841 6.635 7.879 10.828
19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PA 的中点． （1）若PA=4，求点C 到平面BMD 的距离；
（2）过直线BD 且垂直于直线PC 的平面交PC 于点N ，如果三棱锥N ﹣BCD 的体积取到最大值，求此时二面角M ﹣ND ﹣B 的大小的余弦值．
20．已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2，2），C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．
（Ⅰ）求线段ON 的长；
（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my+b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由．
21．已知函数f （x ）=xe tx ﹣e x +1，其中t ∈R ，e 是自然对数的底数． （Ⅰ）若方程f （x ）=1无实数根，求实数t 的取值范围；
（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，+∞）内为减函数，求实数t 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点D 、E ，若PA=2PB=10． （1）求证：AC=2AB ； （2）求AD?DE 的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 1：
（t 为参数），C 2：
（θ为参数）．
（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C
1上的点P对应的参数为t=，Q为C
2
上的动点，求PQ中点M到直线C
3
：ρ（cosθ﹣2sinθ）
=7距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．
山西省太原市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩?
R
B=（）
A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3} D．{﹣1，0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B={﹣1，0，1，2，3}，
由B中不等式变形得：（x+3）（x﹣1）≥0，
解得：x≤﹣3，或x≥1，即B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），
∴?
R
B=（﹣3，1），
则A∩（?
R
B）={﹣1，0}．
故选：D．
2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B．C．D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．
【解答】解：由题意， ==
∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数
∴
∴b=，
故选：C．
3．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若2a
6
=6+a
7
，则S
9
的值是（）
A．27 B．36 C．45 D．54
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质结合已知求得a
5
=6，然后直接代入项数为奇数的等差数列前n项和公式得答案．
【解答】解：在等差数列{a
n
}中，
∵2a
6=a
5
+a
7
，
又由已知2a
6=6+a
7
，得a
5
=6，
∴S
9=9a
5
=54．
故选：D．
4．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”
B．若命题p：?x
0∈R，x
+1≤0，则￢p：?x∈R，x+1＞0
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断，
B．根据含有量词的命题的否定进行判断，
C．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
D．根据向量数量积以及夹角关系进行判断．
【解答】解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，正确为真命题，
B．若命题p：?x
0∈R，x
+1≤0，则￢p：?x∈R，x+1＞0，命题为真命题，
C．△ABC中，sinA＞sinB等价为a＞b，等价为A＞B，则△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件为真命题．
D．当向量，反向共线时，夹角为180°，满足?＜0，但与的夹角为钝角错误，故D错误，
故选：D
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．4cm3B．6cm3C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可
【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，
三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，
∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，
选：C．
6．若用如图的程序框图求数列{}的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）
A．S=S+，i≥100？B．S=S+，i≥101？
C．S=S+，i≥100？D．S=S+，i≥101？
【考点】程序框图．
【分析】程序框图的功能是求数列{}的前100项和，数列{}的通项应为的形式，从而可得赋值框内应填的内容，又最后一次进行循环时i的值为100，结合框图即可得解判断框中的条件．
【解答】解：程序框图的功能是求数列{}的前100项和S=+++…+的运算，
数列{}的通项应为的形式，
则赋值框内应填：S=S+，
又由框图可知，计数变量i的初值为1，步长值为1，故最后一次进行循环时i的值为100，
即当i≥101时，满足判断框中的条件，退出循环，
故判断框中的条件应为i≥101．
故选：B．
7．已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．
【解答】解：∵函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
∴T=6=∴w=，且当x=3时函数取得最大值
∴×3+φ=∴φ=﹣
∴f（x）=Asin（πx﹣）
∴﹣πx﹣≤
∴6k≤x≤6k+3
故选C．
8．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）
A．﹣2B．2 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，从而可得当直线z=2x+y与圆在第三象限相切时，有最小值，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
结合图象可知，
当直线z=2x+y与圆在第三象限相切时，有最小值，
此时，d==2，
故z=﹣2，
故选：A．
9．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】由可得到①，②，③，这三个式子的两边分别平方即可求出cos∠AOB，cos∠BOC，cos∠AOC，从而可以得出sin∠AOB，sin∠BOC，sin∠AOC，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△AOB，△BOC，△AOC的面积，从而得到△ABC的面积．【解答】解：如图，；
∴由得：
①，②，③；
①两边平方得：；
∴；
∴；
∴OA⊥OB；
同理②③两边分别平方得：，；
∴；
∴S
△ABC =S
△AOB
+S
△BOC
+S
△AOC
==．
故选：C．
10．双曲线C 1：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰
过它们公共焦点F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ） A ．（
，
） B ．（
，
） C ．（
，
） D ．（0，
）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标；将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数a ，b ，c 的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围． 【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c ，0） ∴p=2c
∵点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴， ∴将x=c 代入双曲线方程得到A （c ，
）
将A 的坐标代入抛物线方程得到=2pc
4a 4+4a 2b 2﹣b 4=0 解得=
双曲线的渐近线的方程为y=±x 设倾斜角为α，则tanα==
∴
＜α＜
故选：A ．
11．已知{a n }满足a 1=1，a n +a n+1=（）n （n ∈N *），S n =a 1+4a 2+42a 3+…+4n ﹣1a n ，则5S n ﹣4n a n =（ ） A ．n ﹣1 B ．n
C ．2n
D ．n 2
【考点】数列的求和．
【分析】a n +a n+1=（）n （n ∈N *），变形为：a n+1﹣=﹣，利用等比数列通项公式
即可得出．
【解答】解：∵a n +a n+1=（）n （n ∈N *）， ∴a n+1﹣=﹣
，
∴数列
是等比数列，首项为，公比为﹣1．
∴a
n
=+×（﹣1）n﹣1．
4n﹣1a
n
=+（﹣1）n﹣1××4n．
4n a
n
=+（﹣1）n﹣1×．
∴5S
n
=n﹣=n+﹣．
∴5S
n ﹣4n a
n
=n．
故选：B．
12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log
2
x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2）D．（2，3）
【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log
2x为定值，可以设t=f（x）﹣log
2
x，则f（x）
=log
2x+t，又由f（t）=3，即log
2
t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；
将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log
2x﹣=0，令h（x）=log
2
x﹣，
由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log
2
x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log
2
x为定值，
设t=f（x）﹣log
2x，则f（x）=log
2
x+t，
又由f（t）=3，即log
2
t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log
2
x+2，f′（x）=，
将f（x）=log
2
x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log
2
x+2﹣=2，
即log
2
x﹣=0，
令h（x）=log
2
x﹣，
分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，
则h（x）=log
2
x﹣的零点在（1，2）之间，
则方程log
2
x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项
【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，
所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为
由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C
53+23C
5
2=40
故答案为40
14．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是
．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，求得f′（1），写出切线方程的点斜式，求得l与坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程．
【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，
则曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线方程为y=x﹣1．
如图，切线l与坐标轴围成的三角形为AOB，
其外接圆的圆心为，半径为．
∴三角形的外接圆方程是：．
故答案为：．
15．已知A 、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 48 ． 【考点】计数原理的应用．
【分析】从甲、乙、丙三个大人中任取2人“捆”在一起，共有C 32A 22=6种不同排法，则A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6×2=12种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B ，即可得出结论．
【解答】解：从甲、乙、丙三个大人中任取2人“捆”在一起，共有C 32A 22=6种不同排法， 则A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6×2=12种排法， 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B ， ∴共有12×4=48种不同排法． 故答案为：48．
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围是
．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点，分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，可得到A 1F 是平面A 1MN 内的直线，观察点F 在线段MN 上运动，即可得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，从而得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围． 【解答】解：设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，则 ∵A 1M ∥D 1E ，A 1M ?平面D 1AE ，D 1E ?平面D 1AE ， ∴A 1M ∥平面D 1AE ．同理可得MN ∥平面D 1AE ，
∵A 1M 、MN 是平面A 1MN 内的相交直线 ∴平面A 1MN ∥平面D 1AE ，
由此结合A 1F ∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ?平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上上的动点． 设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ 运动点F 并加以观察，可得
当F 与M （或N ）重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；
当F 与MN 中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tanθ=
=2
∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围为[2，2]
故答案为：
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且2asin （C+）=
b ．
（1）求角A 的值：
（11）若AB=3，AC 边上的中线BD 的长为，求△ABC 的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A 的值： （2）若AB=3，AC 边上的中线BD 的长为，求出AC ，再求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）∵2asin （C+）=
b ，
∴2sinAsin （C+）=
sin （A+C ）， ∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+
cosAsinC ，
∴sinAsinC=cosAsinC ，
∴tanA=
，
∴A=60°； （2）设AC=2x ，
∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，
∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，
∴x=4，
∴AC=8，
∴△ABC的面积S==6．
18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计
男生16 4 6 26
女生 4 8 12 24
合计20 12 18 50
（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；
（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
附：K2=．
）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
P（k2≤k
k
2.706
3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；
选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，
∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；
选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，
∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，
综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；
（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，
由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则
P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，
ξ的分布列
ξ﹣3 ﹣1 1 3
P
数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，点M是棱PA的中点．（1）若PA=4，求点C到平面BMD的距离；
（2）过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点N，如果三棱锥N﹣BCD的体积取到最大值，求此时二面角M﹣ND﹣B的大小的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；点到直线的距离公式．
【分析】（1）设BD与AC相交于点O，连接MO，则BD⊥AC，证明平面BMD⊥平面PAC，过点A在平面PAC作AT⊥MO于点T，则AT⊥平面BMD，利用等面积，可求点C到平面BMD的距离；
（2）连接ON，则△ONC为直角三角形，设∠OCN=θ（0＜θ＜），过N作NQ⊥OC于点Q，则NQ⊥平面ABCD，利用三棱锥N﹣BCD的体积取到最大值，确定AP=AC=2，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，求出平面MND的一个法向量、平面BND的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求此时二面角M﹣ND﹣B的大小的余弦值．
【解答】解：（1）设BD与AC相交于点O，连接MO，则BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?ABCD，
∴PA⊥BD，
∴PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BMD，
∴平面BMD⊥平面PAC，
过点A在平面PAC作AT⊥MO于点T，则AT⊥平面BMD，
∴AT为点A到平面BMD的距离，
∵C，A到平面BMD的距离相等，
在△MAO中，AT==；
（2）连接ON，则△ONC为直角三角形，设∠OCN=θ（0＜θ＜），过N作NQ⊥OC于点Q，则NQ⊥平面ABCD，==NQ=NCsinθ=OC?cosθsinθ=×sin2θ≤，
∴V
N﹣BCD
当且仅当θ=时，V最大，此时AP=AC=2，
以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则有点
、
，
设平面MND的一个法向量为，则有，取y=1，
则有，
∵直线PC⊥平面BND，∴平面BND的一个法向量为，易知二面角M﹣ND﹣B的平面角为锐角α，则．
20．已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2，2），C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．
（Ⅰ）求线段ON 的长；
（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my+b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）先求出p 的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；
（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y 的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2，2），得22=4p ， 故p=1，c 的方程为y 2=2x … C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y=
，则′=
，
故C 在点M 处的切线斜率为，切线的方程为y ﹣2=（x ﹣2）， 令y=0得x=﹣2，所以点N 的坐标为（﹣2，0），
故线段ON 的长为2 … （Ⅱ）l 2恒过定点（2，0），理由如下：
由题意可知l 1的方程为x=﹣2，因为l 2与l 1相交，故m ≠0 由l 2：x=my+b ，令x=﹣2，得y=﹣，故E （﹣2，﹣
）
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 由
消去x 得：y 2﹣2my ﹣2b=0
则y 1+y 2=2m ，y 1y 2=﹣2b …
直线MA 的斜率为==，同理直线MB 的斜率为，
直线ME 的斜率为
因为直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，所以
+
=2×
=1+
，
即=1+=1+，…整理得：，
因为l
2
不经过点N，所以b≠﹣2
所以2m﹣b+2=2m，即b=2
故l
2的方程为x=my+2，即l
2
恒过定点（2，0）…
21．已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）先确定原方程无负实数根，令g（x）=，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t?（﹣∞，]，从而求出t的范围；
（Ⅱ）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=1，可得x=e x（1﹣t）＞0，
∴原方程无负实数根，
故有=1﹣t．
令g（x）=，则g′（x）=，
∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=，
∴函数g（x）的值域为（﹣∞，]；
方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t?（﹣∞，]，
∴1﹣t＞，
∴t＜1﹣，
∴当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；
（Ⅱ）f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]
由题设，x＞0，f′（x）≤0，
2018年高三数学模拟试题理科
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
2017高考全国Ⅰ卷理科数学试卷及答案(word版)
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，
它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2020-2021高考理科数学模拟试题
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3高考数学试卷及答案-Word版
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