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三角形四心的向量性质练习.doc

三角形“四心”的向量

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一已知 A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若uuur uuur uuur

0．则 G 是△ABC 的重心．

GA GB GC

uuur uuur uuur

证明：如图 1 所示，因为GA GB GC 0，

所以uuur uuur uuur GA (GB GC) ．

uuur uuur

以 GB ， GC 为邻边作平行四边形 BGCD ，

uuur uuur uuur uuur uuur

则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．

又因为在平行四边形BGCD 中， BC 交GD 于点E，

uuur uuur uuur uuur

所以 BE EC，GE ED ．

所以 AE 是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例 1

uuur uuur

b ，如图 2 所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA a ， OB

uuur uuur

OC c ，试用 a， b， c 表示 OG ．

解：设 AG交 BC于点M，则M是 BC的中点，

a OG GA

b OG GB

c OG GC

图 2

a b c OG GA GB GC

而 a b c 3OG0

a b c

变式：已知 D ，E ，F

分别为 △ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点．则

uuur uuur uuur AD BE CF

0．

证明：如图的所示，

3 GB 2 CF

3 GC

AD BE CF

3 (GA GB GC)

GA GB GC 0

uuur uuur uuur

AD BE CF 0 ．．

图 3

变式引申：如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点，

uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD)．

uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明： Q PO (PA PC) ， PO 2 (PB PD) ，

uuur 1 uuur uuur uuur uuur

PO 4 (PA PB PC PD) ．

点评：（ 1）证法运用了向量加法的三角形法则，

证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则．（ 2）若 P

uuur uuur uuur uuur

与 O 重合，则上式变为 OA OB OC OD 0．

例 2. 已知 O 是平面内一点，

A, B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足

1 ，

0,，则动点 P 的轨迹一定通过

ABC 的

OAABBC

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

题 2：已知 O 是平面上一定点， A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满uuur uuur uuur uuur

[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur

解：由已知得 AP (AB AC ) ，设BC的中点为D，则根据平行四边形法

则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过△ ABC的重心，选 C.

题 3：已知 O 是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P

uuur uuur

( uuur

uuur

) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过

满足OP OA

| AB | sin B| AC | sin C

△ABC的()

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

uuur

uuur uuur

( uuur

uuur

) ，

解：由已知得 AP

| AB | sin B | AC | sin C

uuur uuur uuur

由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ，∴ AP ( AB AC) ，

| AB |sin B

设 BC的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心，故选 A .

题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O 为△ ABC的外心，动点 P 满足

uuur uuur

(1 uuur

(1 2

uuur

R, 0) ，则P的轨迹一定

OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (

通过△ ABC的( )

A. 内心

B. 垂心

C. 重心

D. AB 边的中点

uuur uuur uuur 1 uuur uuur

2(1 uuur

解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]

1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur

= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则

3 3

uuur uuur

0 ，所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上，知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到

但不与重心重合，故选 D.

uuur uuur uuur

题 8：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC =0, 则 O 点是△ABC

的 ()

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

解：若 OA OB OC =0, 则 OA OB

OC ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四

边形 OAC 1 ，设 1 与交于点，则

为

的中点，有 uuur uuur uuuur ， AB D AB OA OB OC 1 B OC D

uuuur uuur 得 OC 1 OC ，即 C 、O 、D 、 C 1 四点共线，同理 AE 、BF 亦为△ ABC 的中线，

所以 O 是△ABC 的重心 . 选 C .

uuur

1 uuur uuur uuur

题 9：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 PO

(PA

PC)(其中 P 为

平面上任意一点 ), 则 O 点是△ ABC 的(

)

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur 解：由已知得 3PO

OA OP OB OP

OC OP ，

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

∴ 3PO 3OP OA OB OC ，即 OA OB OC = 0，由上题的结论知 O 点

是△ ABC 的重心 . 故选 C .

例 4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设 AC = b ， CB = a ，则 AD = AC +CD = b+ 1

a, EB EC CB =

∵A, G, D 共线， B, G, E 共线

∴可设 AG =λ AD ， EG = μEB ,

则 AG λ AD λ

1 λ a, F

= = (b+

a)=λb+

EG = μEB = μ( 1 b+a)= 1

μb+μa,

2 2

∵ AE EG

即： 1 b + ( 1 μb+μa) =λb+ 1

λa

∴ (μ1

λ)a + (1

μ 2

∵

a, b

不平行， 2

λ+

)b = 0

1 0

2 2

AD ∴

3 AG

2 2

即： AG = 2GD 同理可化： AG = 2GD , CG= 2GF

二、三角形的外心的向量表示及应用

命题二：已知 G 是 △ ABC 内一点，满足 MA

MB MC ，则点 M 为△

ABC 的外心。

例 2 已知 G 、M 分别为不等边△ ABC 的重心与外心，点 A ，B 的坐标分别为 A （-1，0），B （1，0），且 GM ∥ AB ，（ 1）求点 C 的轨迹方程；（2）若直线

l 过点（0，1），并与曲线交于 P 、Q 两点，且满足 OP OQ 0 ，求直线 l 的方程。

y 解（1）设（Cx,y ），则 G （

），

其中 x, y 0 ，

由于GM ∥AB ，

故 m y

，

外心 M （0，

），

M 为外心

图 5

MA MC ，得 ( x 0)

(

1 ( y

) 2

轨迹 E 的方程是 3x 2

y 2

3 ( xy

题 5：已知 O 是平面上的一定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点

uuur uuur uuur uuur

uuur

OC ( uuur

uuur AC

) , [0, ) , 则动点 P 的轨

满足 OP

| AB | cos B | AC | cosC

迹一定通过△ ABC 的(

)

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

uuur

解：设 BC 的中点为 D ，则

OD ，

uuur

( uuur AB

uuur

) ，

则由已知得 DP

| AB | cos B | AC | cosC uuur u uur uuur uuur uuur uuur

AB BC AC BC )

∴ DP BC( uuur uuur

| AB | cos B | AC | cosC

uuur

uuur uuur

| AB | | BC | cos(

|AC| | BC | cosC

= (

uuur

) |BC |

|BC |)=0.

| AB | cosB | AC |cosC

∴DP ⊥BC ，P 点在 BC 的垂直平分线上，故动点 P 的轨迹通过△ ABC 的外心 . 选 C .

题 12：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若

uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

)

(OA OB ) AB =(OB OC ) BC =(OC OA) CA = 0，则 O 点是△ ABC 的(

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

解：由已知得：

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur (OA OB ) (OB OA) = (OB OC ) (OC OB) =(OC OA) (OA OC)=0

uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2

OB OA OC OB =OA

OC =0

uuur uuur uuur

|OA| |OB| |OC |. 所以 O 点是△ABC 的外心. 选 A .

三、三角形的垂心的向量表示及应用

命题三：已知 G 是△ ABC 内一点，满足GA GB GA GC GB GC ，则点G 为垂心。（2005 全国文 12）

证明:由PA PB PB PC得 PA PB PB PC0 .

即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0

则 PB CA,同理 PA BC, PC AB

所以 P 为ABC的垂心 .

点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。

2 2 2 2 2 2

变式：若 H 为△ ABC所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB 则点 H 是△ ABC的垂

心

证明 : HA 2 2

2 2

HB BC A

(HA HB)?BA (CA CB) ? BA

得(HA HB CA CB) ? BA 0 H

即(HC HC)?BA 0 B

图 6

AB HC

同理 AC HB，BC HA

故 H 是△ ABC的垂心

例 4. 如图， AD 、BE 、CF 是△ ABC 的三条高，求证： AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设 BE 、CF 交于一点 H ， AB = a, AC = b,

AH = h,

则 BH = h a , CH = h b , BC = b a

∵BH AC ,

CH AB

∴ (h a) b 0 (

) ( h b ) a h ( b a ) 0

(h a) a

a b

∴ AH BC

又∵点 D 在 AH 的延长线上，∴ AD 、BE 、CF 相交于一点

题 4：已知 O 是平面上的一定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P

uuur uuur uuur uuur

( uuur AB uuur AC

) , [0, ) , 则动点 P 的轨迹一定

满足 OP OA | AB | cos B | AC | cosC

通过△ ABC 的( )

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心 uuur uuur uuur

( uuur AB uuur AC

) ，解：由已知得 AP | AB | cosB | AC |cosC

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB BC AC BC )

∴AP BC ( uuur uuur

| AB | cosB | AC |cosC

uuur uuur

B) uuur uuur

uuur

| AB | | BC | cos(

| AC | | BC | cosC

) = (

= (

uuur

|BC |

|BC |)= 0，

| AB | cosB | AC |cosC uuur uuur

∴ AP

BC ，即 AP ⊥BC ，所以动点 P 的轨迹通过△ ABC 的垂心，选 B.

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

题 10：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OB OC OC OA ，则

O 点是△ ABC 的(

)

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

0 uuur uuur uuur

解：由OA OB OB OC ，则 OA OB OB OC ，即 OB (OA OC) 0， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 得OB CA 0 ，所以 OB

CA . 同理可证 OC

AB ，OA BC .

∴O 是△ ABC 的垂心 . 选 D.

题 11：已知 O 为△ABC 所在平面内一点，满足

uuur

uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 ，则 O 点是△ ABC 的 () |OA|

|BC|

|OB | |CA | =|OC |

|AB| A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 外心

uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2

解：由已知得 | OA | |OB | |CA | |BC|

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (OA OB ) (OA OB) =(CA BC ) (CA BC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA (OA OB) =(CA CB) BA

BA (OA OB AC BC)=0 uuur uuur

uuur uur

BA 2OC

，∴ OC ⊥ BA .

= 0

uuur

uuur uuur uuur

同理 OA CB ， OB AC . 故选 A.

四、三角形的内心的向量表示及应用

命题四： O 是内心ABC 的充要条件是

AB AC

OB ( BA BC

OC (

CA CB

OA ( )

|BA | )

|CA |

) 0

|AB | AC |BC | |CB |

变式1：如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e1 , e2 ,e3 ，则 O 是 ABC 内心的

充要条件是OA

( e1 e 3 ) OB ( e1 e2 ) OC ( e 2 e 3 ) 0

变式2：如果记 AB , BC , CA 的单位向量为e

, e

3 ，则 O 是

ABC

内心的

充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。

例 4（ 2003 江苏）已知 O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三

个点，满足 OP OA ( AB AC

)，0, ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC

AB AC 的内心。

解：如图 OP OA AP 由已知

OP OA ( AB AC )，

AB AC

AP ( AB AC)，0,

AB AC

设AB

AD ，

AE ，AB AC

D、E在射线 AB 和 AC上。AP AD AE

E P

图 7

AP 是平行四边行的对角线。

又AD AE，

ADPE是菱形。

点 P 在EAD即CAD 的平分线上。

题 1：已知 O 是平面上一定点， A 、B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点

P 满

uuur uuur

uuur

[0, ). 则 P 点的轨迹一定通过△ ABC 的

足 OP

uuur

|AB| |AC|

A. 外心

B. 内心

uuur

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur

uuur uuur uuur

解：由已知得 AP

uuur

， uuur

是 AB 方向上的单位向量，

uuur 是

|AB| |AC|

| AB| |AC|

uuur

P 在∠ BAC 的角

AC 方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点

平分线上，故点 P 的轨迹过△ ABC 的内心，选 B.

uuuv

uuuv uuuv uuuv uuuv R ，则 P 点的轨迹一定通过

1、若动点 P 满足 AP

(|AC| AB

|AB| AC)

，

ABC 的（

） .（答案： B ）

A. 重心

B. 内心

C. 垂心

D. 外心

练习：在直角坐标系 xoy 中，已知点 A(0,1)和点 B(–3, 4)，若点 C 在∠ AOB 的平

uuur uuur

分线上，且 | OC | 2 ，则 OC =_________________.

略解：点

在∠AOB

的平线上，则存在 (0, )使

uuur

3 4 3 9 uuur

OB ) = (0,1) ( 2，可得

( uuur

uuur

5 ,)=(

) , 而 |OC|

|OA|

|OB|

uuur

( 10 , 3 10 ) .

，∴ OC

5 5

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

uuur

题 6：三个不共线的向量

AB CA OA, OB,OC 满足 OA (

uuur

uuur ) =OB

|AB|

|CA|

uuur uuur

uuur

)

=OC ( uuur

uuur ) = 0，则 O 点是△ ABC 的 (

|BC|

|CA |

uuur

( uuur BA

+ CB

)

uuur | BA| |CB |

A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 外心

uuur

uuur 解： AB

CA uuur

uuur 表示与△ ABC 中∠ A 的外角平分线共线的向量，由

|AB| | CA|

uuur uuur

uuur

) = 0 知 OA 垂直∠ A 的外角平分线，因而 OA 是∠ A 的平分线， OA ( uuur

uuur

|AB|

|CA|

同理， OB 和 OC 分别是∠ B 和∠ C 的平分线，故选 C .

uuur uuur uuur

题 13：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 aOA bOB cOC = 0，则 O 点是

△ ABC 的()

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur uuur uuur uuur ，则 ( a uuur uuur uuur

解：∵OB OA AB ，OC OA AC b c)OA bAB c AC = 0，

uuur bc

uuur uuur uuur uuur uuuruuur ( AB AC AB AC

得 AO

uuur uuur ) .

因为 uuur 与 uuur 分别为 AB 和 AC 方向上的

a b c |AB| |AC|

| AB| |AC|

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

单位向量，设 AP

uuur

uuur ，则 AP 平分∠ BAC. 又 AO 、 AP 共线，知 AO

| AB| |AC|

平分∠ BAC. 同理可证 BO 平分∠ ABC ，CO 平分∠ ACB ，所以 O 点是△ ABC 的内

心 .

uuur

uuur uuur

题 14：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 aPA bPB cPC 其中

a b c

是△ ABC 所在平面内任意一点 )，则 O 点是△ ABC 的

(

)

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur

cPC cPA bPA

cAC ，

解：由已知得 PO

PA bPB

= PA

bAB

a b c a b c

uuur

uuur bc

uuur uuur

bc uuur uuur

uuur bAB

c AC

AB AC

∴ AO

(

) =

( uuur

uuur ) ，

a b c a b c c b

a b c | AB | | AC |

由上题结论知 O 点是△ ABC 的内心 . 故选 B.

五、三角形外心与重心的向量关系及应用

命题五：设△ ABC 的外心为 O ，则点 G 为△ ABC 重心的充要条件为：

(OA OB OC) 3

证明：如图 8，设 G 为重心，连结 AG 并延长，交 BC 于 D ，则 D 为 BC

的中点。 A

∴ OG OA AG OA

AD OA

(AB AC)

O G

(OB

OA OC

OA)

(OA OB OC ) B

图 8

反之，若 OG

(OA OB OC) ，

则由上面的证明可知： AG

1(AB

AC)

设 D 为 BC 的中点，则 AD

(AB AC)，

从而 AG

AD ，∴ G 在中线 AD 上且 AG= 2 AD ，即 G 为重心。

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用

命题六：设△ ABC 的外心为O，则点H 为△ ABC 的垂心的充要条件是OH OA OB OC。

证明：如图 2，若 H 为垂心，以 OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，

则OD OB OC

∵O 为外心，

∴ OB=OC，

∴平行四边形 OBDC为菱形

H O

∴ OD⊥BC，而 AH⊥BC，∴ AH∥ OD，B C

图 9

∴存在实数，使得 AH OD OB OC

∴ OH OA AH OA OB OC①。

同理，存在实数，，使得

OH OB BH OB OC OA②

OH OC CH OC OA OB③

比较①、②、③可得， 1 ，

∴OH OA OB OC

反之，若 OH OA OB OC ，则 AH OB OC ，

∵O 为外心，∴ OB=OC

∴ AH ?CB (OB OC)?(OB OC) |OB |2|OC |20

∴AH⊥CB，同理， BH⊥ AC。

∴ H 为垂心。

例 6、已知 H 是△ ABC的垂心，且 AH=BC，试求∠ A 的度数解：设△ ABC的外接圆半径为 R，点 O 是外心。

∵ H 是△ ABC的垂心

∴OH OA OB OC

∴AH OH OA OB OC

∴

AH 2 |

|2 (

OB OC

) 2 2 2 (1 2 cos2

)

∵BC OC OB，

∴

BC 2

|2 ( )2 2

(1 2cos2

)

OC OB

∵AH=BC，

∴ 1 2cos2A 1 2 cos2A

∴cos2A 0

而∠ A 为△ ABC的内角，

∴0＜2A＜ 360°从而 2A=90°或 270°

∴∠A 的度数为 45°或 135°。

uuur uuur uuur uuur

题 16：设 O 为△ ABC的外心， H 为△ ABC的垂心，则OH OA OB OC .

证明：在△ ABC的外接圆 O 中作直径 BD，连接 A

uuur uuur

AD、DC，则有：OB OD , AD⊥AB, DC⊥BC, D 又 H 是垂心，则 AH⊥BC, CH⊥ AB, O

∴CH∥AD, AH∥DC, 于是 AHCD是平行四边形， B C uuur uuur

∴ AH DC .

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

∴ OH OA AH OA DC OA OC OD OA OB OC .

练习1：△ABC 的外接圆的圆心为 O，两边上的高的交点为 H，

uuur uuur uuur uuur

OH = m(OA OB OC ) ，则实数m =____________.

解 1：由上题结论知 m = 1.

uuur uuur uuur 解 2：∵ O 为△ ABC的外接圆的圆心，所以(OB OC ) BC ，又H为三角uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

形的垂心，则 AH BC ，故 AH ∥ (OB OC) ，设 AH (OB OC) .

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 则 OH OA AH OA OB OC ，又 OH = m(OA OB OC ) ，所以m=1.

练习 2：△ ABC中， AB=1, BC = 6 , CA = 2,△ABC的外接圆的圆心为O，若uuur uuur uuur

, 的值.

AO AB AC ，求实数

uuur uuur uuur uuur uuur 1 . 分别取 AB、AC 的中点 M 、

解： BC AC AB ，两边平方得AB AC

1 uuur 2

uuur uuur

uuuur uuuur uuur

( uuur uuur 1

N，连接 OM、 ON. 则OM AM AO = AB AB AC)=(

2 ) AB AC .

又 O 为△ ABC的外接圆的圆心，则uuuur uuur

，即有

OM AB 0 .

= 0

uuur uuur

2 2 4 0. 解得 4 ，

3 .

同理有 ON AC = 0，得

2 5 5

七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

命题七： △ABC 的外心、重心、垂心分别为 O 、G 、H ，则 O 、G 、H 三点共线（ O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且 OG=

。

2 GH

证明：如图 10，由命题五、六知，连结

AG 并延长，交 BC 于 D ，则 D 为

BC 的中点。

(OA OB OC) ，

OB OC

，

∴ OH

3OG

H ∴O 、G 、 H 三点共线，且 OG=

。

2 GH

在 ABC 中， O,G,H 分别是 ABC 的外心、重心、垂

图 10

心。

（ 1）求证： OH OA OB

OC ；

G H

（2）求证： O, G, H 三点共线；

（3）若 AH OA ，求 BAC 的大小 .

解：连接 BO 并延长交 ABC 外接圆于点 D 连接 AD,CD,AH,CH,显然 AH BC ， CD

，所以 AH//CD ，同理 CH//DA ，所以HA CD

，即

OA OH

OD OC

OB OC ，所以 OH

OA OB OC

因为G 是是 ABC 的重心，所以 OG AG

2 1

AB AC

3 2

AB AC

OA =1

OA OB OC 。

OA ，则 OH

OA OA ，所以 OB

OA ，两边平方并注意到

OC ，又 cos BOC =cos2 BAC =

， BAC 或 2

2 3

例 7、已知 O （ 0，0），B （1，0），C （b ，c ），是 OBC 的三个顶点。试写出 OBC 的重心 G ，外心 F ，垂心 H 的坐标，并证明 G 、F 、H 三点共线。（2002 年全国）

解：重心 G 为 b 1 c ，设 H 点的坐标为 (b, y 0 )

( , )

3 3

∵

BC ，BC=(b-1， c)，

b(b 1) cy 0

，故

y 0

b(1 b) c

H 点的坐标为 (b,

b(1 b)

)

设外心 F 的坐标为 (1

, y 1 ) 由|FO|=|FC| ，得 y 1

b(b 1) c 2 ，

所以 F 点的坐标为（，）。

从而可得出 GH=（

，），FH=（，）

FH ，GH ∥FH ， F 、G 、H 三点共线。

点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的

重要工具。它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破。

例 8、已知 P 是非等边△ ABC 外接圆上任意一点，问当 P 位于何处时， 2

22 取得最大值和最小值。

PA +PB +PC

解：如图 11，设外接圆半径为 R ，点 O 是外心，则

222

2 ( PO OB) 2 ( PO OC) 2

P A

PA+PB +PC=(PO OA)

6R 2

2( PO OA PO OB PO OC)

6R 2

2PO (OA

OB OC)

图 11

6R 2

2PO OH （由命题六知： H 为垂心，）

∴当 P 为 OH 的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值

6R 2+2R ·OH

当 P 为 OH 的延长线与外接圆的交点时，有最小值

6R 2－2R ·OH

八、与三角形形状相关的向量问题

uuur

题 17：已知非零向量

uuur

满足 AB

AC 与 AC

( uuur uuur ) BC=0且

| AB| |AC| uuur uuur 1

)

uuur

，则△ ABC 为(

|AB| |AC| 2

A. 三边均不相等的三角形

B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形

D. 等边三角形

uuur

解：由 AB

( uuur

uuur ) BC = 0，知角 A 的平分线垂直于 BC ，故△ ABC 为等腰

|AB| |AC|

uuur uuur 1

uuur uuur 1 三角形，即

AB AC

cos A

AB AC

|AB| = |AC| ；由 uuur

uuur

，

|AB| |AC|

|AB| |AC |

∴ A = 600 . 所以△ ABC 为等边三角形，选 D .

uuur uuur uuur uuur uuur

题 18：已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，满足 | OB OC | |OB OC 2OA |，

则△ ABC 一定是 ( )

A. 等腰直角三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等边三角形

uuur uuur uuur uuur uuur

解：由已知得 | CB | |OB OA OC OA |

uuur uuur uuur uuur

| AB AC| |AB AC |，可知以 AB 与 AC 为邻边的平行四边形是矩形，所以 AB ⊥AC ，选 B .

uuur uuur uuur

题 19：已知△ ABC ，若对任意 t

R ， | BA tBC | ≥ | AC | ，则△ ABC( )

A. 必为锐角三角形

B. 必为钝角三角形

C. 必为直角三角形

D. 答案不确定

uuur uuur uuur

uuur uuur

uuur

解法：∵ CA

BC ，∴ |CA |

|AC | |BA BC|，

uuur uuur uuur uuur ∴|BA tBC |≥ | BA BC | ①

uuur uuur

①式右边表示 A 、C 两点之间的距离，记 tBC BP ，则①式左边表示直线

uuur

BC 外一点 A 与直线 BC 上动点 P 之间的距离，由 | PA | ≥ | CA |恒成立知， A 在直

线 BC 上的射影就是 C 点，所以 AC ⊥BC ，故选 C . uuur uuur uuur

解法：令，过点作 ⊥ 于点

ABC

BC D, 由| BA tBC |≥ | AC | ，

2 AD

uuur 2 uuur uuur t 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 ，得|BA| 2tBA BC |BC| ≥|AC|

，令 f (t) =| BA | 2tBA BC t |BC | uuur 2 uuur 2

uuur uuur

BA BC

则 f (t) ≥ | AC |

恒成立，只要 f (t) 的最小值大于或等于 | AC | ，而当 t =

uuur

|BC |2

时， f (t)取最小值，此时：

uuur 2 uuur 2 cos 2

uuur

uuur 2 ，

|BA| 2|BA|

cos |BA| ≥|AC|

uuur sin 2

uuur uuur uuur 即| BA |2 ≥ | AC |2 ，∴ | BA | sin ≥|AC|，从而有|AD|≥ |AC|,

∴ ACB

2 , 故选 C.

题 20：已知 a, b, c 分别为△ ABC 中∠ A, ∠ B, ∠ C 的对边， G 为△ ABC 的重心，

uuur uuur uuur )

且 a GA b GB c GC = 0, 则△ ABC 为 (

A. 等腰直角三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等边三角形

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

解：∵ G 是△ ABC 的重心，∴ GA GB GC = 0, 又 a GA b GB c GC = 0, uuur uuur uuur uuur

uuur uuur ∴ aGA bGB c(GA GB) = 0, 即 (a

c)GA (b c)GB = 0 .

uuur uuur

∵ GA , GB 不共线，∴ a –c = b –c = 0, 即 a = b = c.

∴△ ABC 为等边三角形 . 选 D.

九、与三角形面积相关的向量问题

三角形四心的向量特征及应用

本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期三角形“四心”的向量特征及应用浙江省上虞市春晖中学林国夫（邮编：312353）翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ== 证明如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3 1?+?=?. 故0=++GC GB GA . 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB . 即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3 1, 故 .CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为 =++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠??λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知, 点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S . 由于)''sin ''2 1(:)sin 21 (:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠??∠??=ΔΔ | |||1'21'λλ?=?=PB PB PA PA ,即||||21''λλ?=ΔΔPB A APB S S ,

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0．证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过图3

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故C tan B tan A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA || BC || BA |AC | AB |( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1 ．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+ +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

与三角形四心相关的向量结论

与三角形“四心”相关的向量结论濮阳市华龙区高中张杰随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。问题：设点O 在ABC ?内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ，则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131， ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。结论：设O 点在ABC ?内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明：已知O 点在ABC ?内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心，又EOF BOC S nr S ??=1，DOF AOC S mr S ??=1，DOE AOB S mn S ??=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时，点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点O 在ABC ?内部，且40OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是： A ．2：1 B ．3：1 C ．4：3 D ．3：2 分析：由上述结论易得：1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==?O BC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设O 点在ABC ?内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ?重心，则0=++OC OB OA 分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ?内心，则0=++OC c OB b OA a 分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a :: 结论3： O 为ABC ?的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析：易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。一、重心(baryce nter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论1 : 若G为ABC所在平面内一点，则G 是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD GA GB GC 0 GA GB GA 2GD, 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2: 1 —. 若P 为 ABC 所在平面内点，贝S PG (PA PB 3 G 是ABC 的重心 PC) - 1 — 证明：PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 GA GB GC 0 G 是ABC 的重心二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3: H 是ABC 的垂心证明：HA HB HB HC HB ? S- HB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心若H 为ABC 所在平面内一点，则HA HB HB HC HC HA (HA

结论4: 2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2 若H 为 ABC 所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB H 是ABC 的垂心 2 2 2 2 HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2 HB HC HC HA 同理可证得，HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5: 若0是ABC 所在平面内一点，则 OA OB OC 0是ABC 的外心证明：由外心定义可知命题成立 2 2 证明：由HA BC 结论6: 若0是ABC 所在平面内一点，则

向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】：以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积） 3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2（AP就表示AP向量|AP|就是它的模） 5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】 1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与

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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用知识点总结 1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心，则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S ： S tan A ：： AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3．O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是：： sin ：： ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4． O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) ， O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ： b ： c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ； P 范例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）（A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ，则原解析：因为是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， AB

三角形“四心”向量表示

三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一．知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心??=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |OC | BC || BA |( OB AC | AB |OA =-?=-?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才 O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++

讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D

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平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

三角形“四心”与向量的完美结合

三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一．知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心;

(完整版)三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。一．各心的定义。 1．重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。 2．垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。 3．外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。 4．内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二．各心的向量表示。在三角形ABC 中，点O 为平面内一点，若满足： 1．0=++OC OB OA ，则点O 为三角形的重心。分析：由OB OC OA +=-，以OC OB ,为邻边作一平行四边形OBEC ，点D 为BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则，有OB OC OE +=，交BC 于D ，从而有OA AO OD OE -===2 故O 为重心。

E C B 2==，则点O 为三角形的外心。 3 ．OA OC OC OB OB OA ? =? =?， +=+=+，则点O 为三角形的垂心。分析：由OA OC OC OB OB OA ?=?=?有三个等式，其中一个如OC OB OB OA ?=?，则有0)(=-OC OA OB ，有0=?CA OB ，故AC OB ⊥。同理可证，点O 为三角形的垂心。 D C 而在三角形ABC 中，记OA a =，OB b =，OC c =，则由2222BO AC CO AB +=+ 2222)()(+-=+-，展开为c a b a ?=?22，则0)(=?- 故OB AC ⊥ ，同理可证OA BC ⊥，从而点O 为三角形的垂心。 40=++，则点O 为三角形的内心。分析：若点O 为三角形ABC 的内心。如图，延长AO ，过点C 作BO CE //，由于 CDE BDO ??与相似，有DB CD OB CE =，由AD 为角A 的平分线，有AB AC DB CD =，

三角形四心[向量形式]

若 O 是 ? ABC 的重心，则 S 3 ?ABC 故 OA + OB + OC = 0 若 O 是 ?ABC (非直角三角形)的垂心，则 S ：： S ：S ：： | AB | - + AC ) ， λ ∈ [0,+∞ ) 则 P 点的轨迹一 . .. . .. 三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 ; = S = S S ?BOC ?AOC PG = 1 ( P A + PB + PC ) ? G 为 ?ABC 的重心. 3 ; 2）O 是 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ：S ：S ?BOC ?AO C ; ?AOB = tan A tan B tan C 故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 0 3）O 是 ?ABC 的外心 ? | OA |=| OB |=| OC | (或 OA 2 = OB 2 = OC 2 ) 若 O 是 ?ABC 的外心则 ?BOC ：S ?AOC ?AOB = sin ∠BOC sin ∠AOC sin ∠AOB = sin2A : sin2B : sin2C 故 sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 4）O 是内心 ?ABC 的充要条件是 OA ? ( AB AC AC ) = OB ? ( BA | BA | - BC | BC | ) = OC ? ( CA | CA | - CB | CB | ) = 0 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ?ABC 内心的充要条件可以写成： OA ? (e 1 + e 3 ) = OB ? (e 1 + e 2 ) = OC ? (e 2 + e 3 ) = 0 O 是 ?ABC 内心的充要条件也可以是 aOA + bOB + cOC = 0 若 O 是 ?ABC 的内心，则 S ：S ?BOC ：S ?AOC ?AOB = a ：b ：c 故 aOA + bOB + cOC = 0或 sin AOA + sin BOB + sin COC = 0 ; | AB | PC + | BC | P A + | CA | PB = 0 ? P ?ABC 的内心; 向量 λ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)； | AB | | AC | 二．范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动 AB 点 P 满足 OP = OA + λ ( AB AC 定通过 ?ABC 的（） B e 1 A e 2 C （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为 AB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单 P AB 位向量分别为 e 和 e ，又 OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = λ (e + e ) ，由菱形的基本性质知 AP 1 2 1 2 平分 ∠BAC ，那么在 ?ABC 中，AP 平分 ∠BAC ，则知选 B. 学习参考

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O是的重心; 若O是的重心，则故; 为的重心. 2）O是的垂心; 若O是(非直角三角形)的垂心，则故 3）O是的外心(或) 若O是的外心则故 4）O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成： O是内心的充要条件也可以是若O是的内心，则故; 的内心; 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；二．范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP 平分，那么在中，AP平分，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D） A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由. 即则所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且则点H是△ABC的垂心证明:

三角形四心(向量形式)

（证略））例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析:由0=?-??=?PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=?=-?即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ?的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明作图如右，图中=+ 连结BE 和CE ，则CE=GB ， BE=GC ?BGCE 为平行四边形?D 是 BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0?GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3 1PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心

∴GC GB GA ++=0?CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3 1PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ? 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =， 2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。 (四)．将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ?内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ? 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ?的三顶点距离相等。故O 是ABC ? 的外心，选B 。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2 OP =21-，同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形. 反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有 C

高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结汇编

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍： 1．“四心”的概念与性质 (1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13 (PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3， y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33 . (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2 ＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心． (4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心． 2．关于“四心”的典型例题 [例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△