连续信号与系统频域分析的MATLAB实现
实验十三 连续信号与系统频域分析的MATLAB 实现
一、实验目的
1. 掌握连续时间信号频谱特性的MATLAB 分析方法；
2.掌握连续系统的频率响应MATLAB 分析方法方法。
二、实验原理
1. 连续时间信号的频谱---傅里叶变换
非周期信号的频谱密度可借助傅里叶变换作分析。傅里叶正变换和逆变换分别为：
Matlab 的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解傅里叶变换和逆变换的符号运算函数fourier()和ifourier()。两函数的调用格式如下。
（1）傅里叶变换
在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。fourier()有三种调用格式：
① F=fourier(f )
求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω； ② F=fourier(f ,v )
求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =；
③ F=fourier(f ,u ,v )
对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。
（2）傅里叶逆变换
在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式：
① f=ifourier(F )
求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1
ωj F x f -=F ； ② f=ifourier(F ,u )
求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1ωj F u f -=F 。
③ f=ifourier(F ,v ,u )
求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1jv F u f -=F
由于fourier()和ifourier()是符号运算函数，因此，在调用fourier()和ifourier()之前，需用syms 命令对所用到的变量（如t ,u ,v ,w ）作说明。举例如下。
例13-1．求单边指数函数)()(2t e t f t ε-=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。
解：编写如下M 文件，
syms t w f
f=exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');
F=fourier(f) subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:]);
subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]);
subplot(3,1,3);ezplot(angle(F),[-10:10])
运行后，可得如下的文本和如图13-1所示图形结果。
F = 1/(2+i*w) 上式相当于：ω
ωj j F +=21)( 要说明的是，相频特性图中，相位的单位为“弧度”。
例13-2．求211)(ω
ω+=j F 的傅里叶逆变换)(t f 。 解：编写如下M 文件， syms t w
F=1/(1+w^2);
f=ifourier(F,w,t)
ezplot(f)
运行后，可得如下的文本和如图13-2所示图形结果。
f=1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t) 上式相当于：t t t e t e t e t f 2
1)(21)(21)(=-+=-εε 2. 连续系统的频域分析
线性时不变（LTI ）系统如图13-3所示。若系统的冲激响应为)(t h ，频率响应为)]([)(t h j H F =ω，则激励)(t f 和响应)(t y 在时域和频域的关系如下：
图13-1
图13-2
)
()()()(*)()(ωωωj H j F j Y t h t f t y ?== 系统的频率响应函数为 其中，)(ωj H 为系统的幅频特性，反映了输出与输入信号幅度之比随输入信号角频率变化的规律；)(ω?为系统的相频特性，体现了输出与输入信号的相位差随输入信号角频率变化的规律。
若描述系统的微分方程为
由微分方程的系数构成向量：],,...,,[011a a a a a N N -=，],,...,,[011b b b b b M M -=。
系统的频率响应函数是一个非常重要的参数，Matlab 工具箱中提供了专门用于分析连续系统频率响应的freqs( )函数。利用freqs( )函数可求出系统频率响应的数值解，也可绘出其幅频特性和相频特性曲线。freqs( )函数的调用形式有如下四种。
（1）H ＝freqs(b,a, w1:dw:w2)
该调用方式，可求得指定频率范围（w1~w2）内相应频点处系统频率响应的样值。其中，w1、w2分别为频率起始值和终止值，dw 为频率取样间隔。
如，输入如下命令：
a=[1 2];
b=[1]; %系统微分方程为)()(2)(t f t y t y =+'
H=freqs(b,a,0::2) %计算在0~2(rad/s)频率范围内以 rad/s 间隔取样的频响样值
运行结果为：
H =
- - - -
（2）[H,w]＝freqs(b,a)
该调用方式，将计算默认频率范围内200个频点上系统频率响应的样值，并赋值给返回向量H ，200个频点则记录在向量w 中。
（3）[H,w]＝freqs(b,a,n)
该调用方式，将计算默认频率范围内n 个频点上系统频率响应的样值，并赋值给返回向量H ，n 个频点则记录在向量w 中。
（4）freqs(b,a)
该调用方式将绘出系统的幅频特性和相频特性曲线。
若输入如下命令：
a=[1 2]; b=[1];
frqs(b,a,0::2)
运行结果如图13-4所示。
图13-3 图13-4
三.实验内容
1. 图13-5（A）所示系统中，低通滤波器的频率响应如图13-5（B）所示，且
t
e
t s
f t=
)(t
t
=-ε。编写M文件，绘出f(t),x(t),y(t)的幅频特性和相频特性图。
(
)
cos(
10
),
)(
图13-5
2. 描述系统的微分方程如下。编写M文件，绘出系统的频率响应H(j)的幅频、相频响应曲线。
3. 利用MATLAB求图13-6所示的有源二阶电路的冲激响应、阶跃进响应和频率特性，画出幅频、相频响应曲线。
图13-6
四. 实验报告要求
列出M文件和运行结果。
总结运用函数fourier、ifourier、freqs分析连续信号、连续系统频率特性的方法。
syms t w f F
f=exp(-t)*sym('Heaviside(t)')
F=fourier(f)
subplot(3,3,1);ezplot(f);title('f:波形');
subplot(3,3,2);ezplot(abs(F),[-20:20]);title('f:幅频特性');
subplot(3,3,3);ezplot(imag(log(F)),[-20:20]);title('f:相频特性');