初中数学 与三角形有关的计数探索规律题赏析

与三角形有关的计数探索规律题赏析

河北 王爱东 张小民

“探索规律”型问题是近几年中考必考题型之一，而这类题又是个一个难点，因而探究其一般解法与规律对顺利解答该类问题显得尤为重要，为帮助同学们掌握这种类型题的解题方法，现以中考中与三角形有关的计数探索题为例说明如下：

例1 图1—1是一个△AOB ，将其作如下划分：

第一次划分：如图1—2所示，分别取OA 、OB 的中点A 1、B 1，连A 1B 1，再作∠AOB 的平分线，得

到三角形的总数为6个，分别为△AOB 、△AOC 、△COB 、△A 1OB 1、△A 1OC 1、△C 1OB 1；

第二次划分：如图1—3所示，在△C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到三角形的总数为11个；第三次划分：如图1—4所示；……依次划分下去.

（1）根据题意，完成下表：

（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到三角形的总数为2005个？为什么？

析解：（1）仔细观察并认真分析图1—2，可以发现三角形的个数比图1—1多了5个，即1＋5＝6（个）；同理，图1—3中三角形的个数比图1—2中三角形的个数也多5个，即6＋5＝1＋5＋5＝1＋5×2＝11（个）。由此，不难发现每划分一次，三角形的总个数多出5个，故第三次划分后三角形的总个数为1＋5×3＝16（个）；第4次划分后三角形的总个数为1＋5×4＝21（个）。划分n 次三角形的总个数为1＋5n （或5n ＋1）。故表格右列空白处依次填16、21、5n ＋1。

A B 图1—（1）

C B 图1—（2）A 1

B 1

C 1

A

第一次划分

C B 图1—（3）A 1

B 1

C 1

A 第二次划分

C B

图1—（4）

A 1

B 1

C 1

A 第三次划分

（2）不能得到2005个三角形，因为满足5n ＋1＝2005的正整数n 不存在。

例2 如图2，在图2-1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2-2中，互不重叠的三角形共有7个，在图2-3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个

（用含n 的式子表示）.

析解：此题同例1类似，分析新给图形及互不重叠的三角形的个数可得，4＝1＋3×1，7＝1＋3＋3＝1＋3×2，10＝1＋3＋3＋3＝1＋3×3，…，可以看出，自图1开始，图中互不重叠的三角形的个数＝1＋3×图号序号数，故答案为3n ＋1。

解后反思：通过以上两题的解答过程可以看出，解答这类问题，一是由图（形）想数，二是对数寻找规律进行分拆，以寻找其共同的规律.这里有一个“数感”问题，需要同学们在学习中不断积累“数感”方面的经验.希望以上两例能起到抛砖引玉的作用！

图（1

）

图（2

）

图（3）