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6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)

基本初等函数及图形

(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）

(2) 幂函数 μ

x y =，μ是常数；

(3) 指数函数 x

a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；

(4) 对数函数

x y a log =(a

是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；

1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间)

,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当

u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；

2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。

3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）.

如果m>n 图形于x 轴相切,如果m

4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.

1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.

2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.

3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

(5) 三角函数

正弦函数x

y sin

=，)

(+∞

-∞

∈

x，]1,1

∈

y，

余弦函数x

y cos

=，)

(+∞

-∞

∈

x，]1,1

∈

y，

正切函数x

y tan

=，2

π+

≠k

，k Z

∈，)

(+∞

-∞

∈

y，

余切函数x

y cot

=，πk

x≠，k Z

∈，)

(+∞

-∞

∈

y；

1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)

2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,

在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方.在定义

域是单调增函数.

a<1在实用中很少用到/

(6)反三角函数

反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，

]2,2[π

π-

∈y ，

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，

反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，

)2,2(π

π-

∈y ，

反余切函数x

y cot

arc

=，)

(+∞

-∞

∈

x，)

,0(π

∈

y．

小结：

函数名称函数的记号函数的图形函数的性质

指数函数

a):不论x为何值,y总为正数;

b):当x=0时,y=1.

对数函数

a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点

b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间

(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增.

幂函数(a为任意实数)

这里只画出部分函数图形的一

部分。

令a=m/n

a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;

b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;

c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.

三角函数

(正弦函数)

这里只写出了正弦函数

a):正弦函数是以2π为周期的周期函数

b):正弦函数是奇函数且

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：2

2y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x

=αcos 正切：x

=αtan 余切：y x =αcot

正割：x

αsec 余割：y r =αcsc

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．

线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。商数关系：αααcos sin tan =

，α

αsin cos cot =。平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵

απ

、

απ

-2

、

απ+23、απ

-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α2

tan 1tan 22tan -=

二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α

α2

tan 1tan 22tan -=。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．

来表示。七、和差化积公式

2cos 2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ …⑴ 2sin

cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=- …⑵ 2

cos

2cos

2cos cos βαβ

αβα-+=+ …⑶ 2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=- …⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2sin 2cos 2cos 2sin 22

sin sin βαβαβαβαβ

αβαα-++-+=?

??-+

+= 2sin 2cos 2cos 2sin

22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=???

??--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2sin 2sin 2cos 2cos 22

cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=?

??-++= 2sin 2sin 2cos 2cos

22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=???

??--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

[])sin()sin(2

cos sin βαβαβα-++=

[])sin()sin(2

sin cos βαβαβα--+=

? [])cos()cos(2

cos cos βαβαβα-++=

? [])cos()cos(2

sin sin βαβαβα--+-

=? 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （）

其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

2sin b a b +=

?，2

2cos b a a +=

?，a

b =

?tan 。十、正弦定理

R C

B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB

C ?外接圆半径）十一、余弦定理

A bc c b a cos 2222?-+=

B ac c a b cos 2222?-+=

C ab b a c cos 2222?-+=

十二、三角形的面积公式高底??=?2

1ABC S

B ca A bc

C ab S ABC sin 2

1sin 2

1===?（两边一夹角）

R abc

S ABC 4=

?（R 为ABC ?外接圆半径） r c

b a S ABC ?++=

（r 为ABC ?内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=?…海仑公式（其中

b a p ++=

）

十三诱导公式

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α2tan 1tan 22tan -=

二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

五类基本初等函数及图形

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高中数学基本初等函数知识点梳理

第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且

常用的三角函数公式大全

三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+

tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(