全国高中数学联赛省级预赛模拟试题_3
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式
1．三角函数的积化和差公式
sin α?cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α?sin β=
21
[sin(α+β)-sin(α-β)], cos α?cos β=
21
[cos(α+β)+cos(α-β)], sin α?sin β=
2
1
[cos(α+β)-cos(α-β)].
2．球的体积公式
V 球=
3
4πR 3
（R 为球的半径）。 一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设在xOy 平面上，0 ,0≤x ≤1所围成图形的面积为3 1 。则集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2 | 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ． 32 B ．31 C ．1 D ．6 1 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为 3 π 。则四面体ABCD 的体积等于 A ． 23 B ．31 C ．21 D ．3 3 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1 分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 A ．90 B ．100 C ．110 D ．120 4．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形 5．已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2 +69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 6．设0 b x a -+12 2的最小值是 A ．4ab B ．(a+b)2 C ．(a-b)2 D ．2(a 2 +b 2 ) 7．设a,b>0，且a 2008+b 2008=a 2006+b 2006。则a 2+b 2 的最大值是 A ．1 B ．2 C ．2006 D ．2008 8．如图1所示，设P 为ΔABC 所在平面内一点，并且AP=51AB+5 2 AC 。则ΔABP 的面积与ΔABC 的面积之比等于 A ． 51 B ．21 C ．52 D ．3 2 9．已知a,b,c,d 是偶数，且0 10．将数列{3n-1 }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…。则第100组的第一个数是 A ．34950 B ．35000 C ．35010 D ．35050 11．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点A 关于直线A 1C 、直线BD 1的对称点分别为点P 和Q 。则P ，Q 两点间的距离是 A ． 322 B ．233 C ．423 D ．3 2 4 12．已知F 1，F 2分别为双曲线122 22=-b y a x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点。若| |||122PF PF 的值为8a ，则双曲线离心率 e 的取值范围是 A ．(1,+∞) B ．(0,3] C ．(1,3] D ．(1,2] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知 3sin )2sin(=+αβα，且),(2,21Z k n n k ∈+≠+≠ππβαπβ。则β βαtan ) tan(+的值是_________. 14. 设正数数列{a n }的前n 项之和为b ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1.则数列? ?? ???n a 1中最接近2000的数是_________. 15.不等式2281042222<+--+-< -x x x x 的解集为 _________. 16. 已知常数a>0，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn 为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm 为方向向量的直线相交于点P ，其中，λ∈R 。则点P 的轨迹方程为_________. 三、解答题（共74分） 17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。 18.（12分）设∠A ，∠B ，∠C 是ΔABC 的三个内角。若向量 ??? ??-=??? ??-+-=2cos ,8 5 ,2cos ),cos(1B A n B A B A m ，且m ?n=89. (1)求证：tanA ?tanB=9 1 ； (2)求 2 22sin c b a C ab -+的最大值。 19. （12分）如图2，ΔABC 的内切圆⊙I 分别切BC ，CA 于点D ，E ，直线BI 交DE 于点G 。求证：AG ⊥BG. 20．（12分）设f(x)是定义在R 上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)2 +4。矩形ABCD 的两个顶点A ，B 在x 轴上，C ，D 在函数y=f(x)(0≤x ≤2)的图象上。求矩形ABCI 面积的最大值。 21.（12分）如图3所示，已知椭圆长轴端点A ，B ，弦EF 与AB 交于点D ，O 为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，4 π =∠FDO 。 （1）求椭圆长轴长的取值范围； （2）若D 为椭圆的焦点，求椭圆的方程。 22．（14分）已知数列{x n }中，x 1=a, a n+1= 2 12n n x x +. （1）设a=tan θ?? ? ? ?< <20πθ，若5 4 3< x ，求θ的取值范围； （2）定义在（-1，1）内的函数f(x)，对任意x,y ∈(-1,1)，有f(x)-f(y)=???? ??--xy y x f 1，若21 )(=a f ，试求数列{f(x n )}的通项 公式。 答案： 第Ⅰ卷 1．B ． M ∩Nd xOy 平面上的图形关于x 轴对称，由此，M ∩N 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M ∩N 的图形在第一象限的面积为 .6 1 3121=- 2．C ． 过点D 作DF //CB ，过点A 作AE //BC ，联结CE ，ED ，AF ，BF ，将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为 2 1 31?CE ?CDsin ∠ ECD ?h=.2 1 3．C ． 符合要求的取球情况共有四种： 红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。 故不同的取法数为.1102 52312153312352513=+++C C C C C C C C C 4．A ． 左边=sinA ?cosA+sinA ?cosB+sinB ?cosA+sinB ?cosB = 2 1 (sin2A+sin2B)+sin(A+B) =sin(A+B)?cos(A-B)+sin(A+B), 右边=2sin(A+B). 所以，已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0. 又因为sin(A+B)>0，所以cos(A-B)=1. 故∠A=∠B 。 另一方面，∠A=∠B=300，∠C=1200 也符合已知条件。 所以，ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形。 5．A ． 设g(x)的各项系数和为s ，则 f(g(1))=3s 2 -s+4=188. 解得s=8或3 23 - =s （舍去）。 6．B ． 22222221)1(1a b a x b x a x x x b x a ++=??? ? ??-+-+=-+?21b x x +-?.)(12b a x x +≥- 当b a a x += 时，取得最小值(a+b)2. 7．B ． 因为a 2008+b 2008≥a 2006b 2 +b 2006a 2 , 又(a 2006+b 2006)(a 2+b 2)=a 2008+b 2008+a 2006b 2+b 2006a 2≤2(a 2008+b 2008 ), 且a 2008+b 2008=a 2006+b 2006 , 所以a 2+b 2 ≤2. 8．C ． 如图4所示，延长AP 到E ，使得AP=5 1 AE 。 联结BE ，作ED//BA 交AC 延长线于点D 。由AC AB AP 5 2 51+=，得AC=CD 。故四边形ABED 是平行四边形。 所以 .5 1 =??ABE ABP S S 又 24 121 ==??ABED ABED ABC ABE S S S S ，则.52 =??ABC ABP S S 9．D ． 设a,b,c,d 分别为b-m,b,b+m, .)(2 b m b + 又90)()(2=--+m b b m b ，则.) 30(32 m m b -= ① 因a,b,c,d 为偶数，且0 设m=6k ，代入式①得).4,3,2,1(522 =-= k k k b 代入检验知k=4,b=32. 故m=24,b=32,a,b,c,d 依次为8，32，56，98。 所以a+b+c+d=194. 10.A. 前99项的个数和为1+2+…+99=4950。 而第1组是30，第100组的第一个数应为34950 。 11．A ． 建立空间直角坐标系，有D(0,0,0),A(1,0,0),A 1(1,0,1),C(0,1,0), B(1,1,0),D 1(0,0,1). 设P(x,y,z)，AP 的中点为 .2,2,21?? ? ??+z y x M 由AP ?A 1C=0，MC//A 1C ，得?????=-=+=-+-.2212 1,01z y x z y x 解得.34,32,31??? ??P 同理，.32,34, 31?? ? ??Q 故.322||=PQ 12．C ． 根据双曲线的定义有 |PF 2|-|PF 1|=2a, =+=| |)2|(|||||12 1122PF a PF PF PF |PF 1|+4a+ .84||4||2||412112a a PF a PF PF a =+?≥ 当且仅当| |4||12 1PF a PF ? ，即|PF 1|=2a 时，上式等号成立。 设点P(x,y)(-x ≥a)，由双曲线第二定义得|PF 1|=-ex-a ≥c-a ，即2a ≥c-a. 于是.3≤= a c e 又e>1，故1 .213131sin )2sin(1sin )2sin(]sin )2[sin(21] sin )2[sin(21 sin )cos(cos )sin(tan )tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α βααβααβααβαβββαββαb a 14。1980。 依题意，有 ).2(1 ≥= -n c c b n n n 又b n +c n =1，则 11 =+-n n n c c c ，即.11 11=- -n n c c 由c 1=b 1,c 1+b 1=1,可得c 1=b 1=.2 1 故).1(1,1,11+=+=+= n n a n n b n c n n n 所以，数列? ?? ?? ?n a 1中最接近2000的数是44×45=1980。 15．{x|3-232+< 原不等式即为.2|3)5(3)1(|2 2<+--+-x x 令3=y 2 ，不等式可化为.2|)5()1(| 2222<+--+-y x y x 由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线(x-3)2 -13 2 =y 的两支之间的区域内。因此，原不等式与不等式组?? ?? ?=≤- -3,13)3(222 y y x 同解。所以，原不等式的解集为}.2323|{+<<-x x 16．y 2 +a 2 =2a 2x 2 ，去掉点(0,-a). 设点P(x,y)，则AP=(x,y+a),BP=(x,y-a). 又n=(1,0),m=(0,a)，故m+λn=(λ,a),n+2λm=(1,2λa). 由题设知向量AP 与向量m+λn 平行，有λ(y+a)=ax. 又向量BP 与向量n+2λm 平行，有y-a=2λax. 两方程联立消去参数λ，得点P(x,y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2a 2y 2，即y 2-a 2=2a 2x 2 ，去掉点(0,-a). 17.ξ的取值为5，7，9，则 P(ξ=5)=16 121512=??? ??C , P(ξ=7)=,6452121212 44512=??? ?????? ??C C P(ξ=9)=.64 55 6451611=-- 18．（1）由m ?n=8 9 ,得 892cos )]cos(1[852=-++-B A B A ，即,8 92)c o s (1)]cos(1[85=-+++-B A B A 亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanA ?tanB=.9 1 （2）因C C ab C ab c b a C ab tan 2 1 cos 2sin sin 222 ==-+，而 .4 3 tan tan 289)tan (tan 89tan tan 1tan tan )tan(=??≥+=?-+=+B A B A B A B A B A 所以tan(A+B)有最小值43。当且仅当tanA=tanB=3 1 时，取得最小值。 又tanC=-tan(A+B)，则tanC 有最大值.4 3 - 故2 22sin c b a C ab -+的最大值为.83 - 19．如试题中图2所示，联结AI ，DI ，EI 。则 ∠EDC= 21∠DIE=21(1800 -∠C)=2 1(∠ABC+∠BAC). 又∠EDC=∠DBG+∠BGD ，所以∠BGD=2 1 ∠BAC=∠IAE 。 故四边形AIEG 内接于圆，有∠AGI=∠AEI=900 。 所以.BG AG ⊥ 20．当0≤x ≤1时，有f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2 +4； 当-1≤x ≤0时，有f(x)=f(-x)=-2(-x-1)2 +4； 当1≤x ≤2时，有f(x)=f(x-2)=-2[-(x-2)-1]2+4=-2(x-1)2 +4. 设D(x,t), C(2-x,t). 则t=-2(x-1)2 +4，易知 S 矩形ABCD =|AB|?|BC|=(2-2x)t=3 3)28()28(?? ? ???++-≤?-t t t t t t .9 6 16= 当且仅当38= t ，即361-=x 时，矩形ABCD 面积最大值.9 616 21．（1）建立如图5所示的直角坐标系，D(-1,0)，弦EF 所在直线方程为y=x+1. 设椭圆方程为).,(),,(),0(1221122 22y x F y x E b a b y a x >>=+ 由2DE+DF=0，知y 1+y 2=-y 1,y 1y 2=-2.2 1y 由?? ???+==+,1,122 22x y b y a x 消去x 得(a 2+b 2)y 2-2b 2y+b 2-a 2b 2 =0. 则Δ=4b 4-4(a 2 +b 2 )(b 2 -a 2 b 2 )=4a 2 b 2 (a 2 +b 2 -1)>0（因(a 2 +b 2 >1） 由韦达定理知.2,22 12 222221122221y b a b a b y y y b a b y y -=+-=-=+=+y 消去y 1得2 2 2222 2 2222???? ? ?+-=+-b a b b a b a b ，即0 2a a a a <-- 解得1 因此，椭圆长轴长的取值范围为(2,25). (2) 若D 为椭圆的焦点，则c=1. 故b 2=a 2-1. 可得.19)1(2 2 222 -=--=a a a a b 解得.2 7,2922 == b a 所以，椭圆方程为.17 2922 2=+y x 22．（1）因x 1=a>0，故所有x n >0. 又11 21≤+= +n n n x x x ，所以x n ∈(0,1] 因为x 3< 54，所以5 412222<+x x ，即.023222 2>+-x x 解得2 1 2< x 或x 2>2. 又x 2∈(0,1]，则0 1 而θ θ θ 2sin tan 1tan 21222112=+=+= x x x ，故.212sin 0<<θ 因为2),0(πθ∈，所以12 0π θ< <或 .2 125π θπ<< （2）令x=y=0，得f(0)=0. 令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(-y)=-f(y). 故f(x)为奇函数。 注意到f(x n+1)=),(2)()()(1)(122n n n n n n n n n x f x f x f x x x x f x x f =--=???? ? ?----= ???? ? ?+ 即 ,2) () (1=+n n x f x f 所以，数列{f(x n )}是等比数列。 故f(x n )=f(x 1)?2n-1=f(a)?2n-1=2n-2 . 全国高中数学联赛模拟试题 第一试试题 一、选择题（每空6分） 1．将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。 A ．7 B ．14 C ．4 19C D ．7×5！ 2．若对实数x ∈[10,+∞）恒有|log m x|≥2，则m 取值范围是_________。 A ．（0，1） B ．]10,1( C ．??? ??1010,0 D ．(] 10,11,1010 ??? ???? 3．椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范 围是_________。 A ．????? ??-1,215 B ．??? ??-215,0 C ．??? ????1,23 D ．]415,415[+- 4．若p,q ∈N +且p+q>2007, 0 pq 1 的所有分数的和为_________. A ． 20072006 B ．20082007 C ．2 1 D ．1 5．已知A ，B ，C 为ΔABC 的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C ，则y 的取值范围是______。 A ．[0，2] B ．??? ??-233,2 C ．[-2，2] D ．?? ? ??233,0 6．对任意一组非负实数a 1,a 2,…,a n ，规定a 1=a n+1，若有 ∑ =+-+-n k k k k k a a a a 1 21 12 ∑=≥n i i a 1 λ恒成立， 则实数λ的最大值为_________. A ．0 B. 2 2 C ．1 D ．2 二、填空题（每题9分） 7．四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，腰DA 垂直于底边AB ，PD 是棱锥的高，PD=AD=AB=2CD=1，则二面角A —PB —C 大小为_________。 8．数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, a n+1=(n-1)(a n +a n-1)n ≥2，则{a n }的通项公式为a n =_________。 9．满足条件：对任意x ∈R,都有f(f(x))=x 且f(f(x)+1)=1-x 的函数f(x)有_________个。 10．AM 为抛物线的一条弦，C 为AM 的中点，B 在抛物线上，且BC 平行于抛物线的对称轴，E 为AC 中点，DE//BC ，且D 在抛物线上，则 =BC DE _________。 11．已知平面向量a=(3,-1),b=??? ? ??23,21，若存在非零实数k 和角??? ??-∈2,2,ππαα，使得c=a+(tan 2 α-3)b, d=-ka+(tan α)b ，且c ⊥d ，则k=_________。（用α表示） 12．已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|≤1,|z 2|≤1,|2z 3-(z 1+z 2)|≤|z 1-z 2|，则|z 3|的最大值与最小值的差为_________。 三、解答题（每题20分） 13．设抛物线S 的顶点在原点，焦点在x 轴上，过焦点F 作一条弦AB ，设AO ，BO 延长线分别交准线于C ，D ，若四边形ABCD 的面积的最小值为8，试求此抛物线的方程。 14．给定a>2，数列{a n }定义如下：a 0=1, a 1=a, a n+1=n n n a a a ??? ? ??--2212，证明：对任何k ∈N ，有)42(211112 10--+<+++a a a a a k 。 15．已知a>0, y>0，且0 ≤π，求证：1+cosxy ≥cosx+cosy. 第二试试题 1．见图1，以ΔABC 的三边向外作正方形ABED ，BCGF 和CAIH ，直线DI ，EF ，GH 交成ΔLMK ，其中K=DI ∩EF ，M=DI ∩GH ，L=EF ∩HG 。 求证：ΔKLM 中KM 上的中线LN ⊥BC 。 2．设非负整数数列a 1,a 2,…,a 2007满足：a i +a j ≤a i+j ≤a i +a j +1，对一切i,j ≥1,i+j ≤2007成立。 证明：存在实数x ，使对一切1≤n ≤2007，有a n =[nx]. 3．试找出最大的正整数N ，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N 。 答案： 第一试试题解答 1．D ． 问题等价于求方程x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=20满足i ≠j,x i ≠x j 的正整数解组数，先考虑方程y 1+y 2+y 3+y 4+y 5=5满足0≤y 1≤y 2≤y 3≤y 4≤y 5的非负整数解，设满足y 1+y 2+…+y k =n 满足0≤y 1≤y 2≤…≤y k 的非负整数解组数为f(k,n).则f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7. 所以所求方程正整数解有7×5！组。故选D 。 2.D ． 当x ≥10时，log m x ≥-2即lgx ≤lgm 2 或lgx ≥lgm -2 (m>0且m ≠1)，解得 1 .110 10 <≤m 3．A ． 设椭圆方程为12222=+b y a x (a>b>0), P(r 1cos θ,r 1sin θ),Q ???? ? ???? ??+2cos 2πθr , ???? ????? ?? +2sin 2πθr 即Q(-r 2sin θ,r 2cos θ)，因为P ，Q 在椭圆上，所以 2 222211 111b a r r +=+。设O 到PQ 距离为d.则)(222 22 22121b a c c b a ab r r r r d -=≤+= +=，解 得 .12 1 5<≤-e 4．C ． 记2007=n ，往证 .211=∑pq 当n=2时，显然成立。设当n=k 时成立，当n=k+1时，取所有满足p+q=k, (p,q)=1的pq 1 的 和记为S ，所有形如 kp 1(p 1，qk 1与之对应，而且qk pk pq 111+=，这样的对应是一一对应，所要S k-1=S k ，所以.21=n S 5．B ． 当A=B → 2π，C →0时，y →-2，设A ≥B ≥C ，则C ≤3π，所以sin3C ≥0,所以y>-2；又当A=B=97,9ππ=C 时，2 3 3=y ， 且y=sin3A+sin3B+sin3C ≤?? ? ??---23sin 2)(3cos 23cos 2A C B A ≤.23323sin 123sin 133122 ≤??? ??-??? ??+?A A 6.C ． 因为2 12121 22 1 12 22)(2??? ? ??+≥-++=+-+++++k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ，所以.211112112∑∑∑==+=++=+≥+-n k n k k k k n k k k k k a a a a a a a 又当a 1=a 2=…=a n 时，“=”成立，所以λ最大为1。 7．900 ． 延长AD ，BC 交于E ，连结PE ，则DE=DA ，PA=PE=,2 AE=2，所以PE ⊥PA ，又PD ⊥AB ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAE ， 所以PE ⊥AB ，所以PE ⊥平面PAB 。所以A —PB —C 为直二面角。 8．由a n+1=(n-1)(a n +a n-1)得a n+1-na n =-[a n -(n-1)a n-1]， 所以{a n+1-na n }是首项为a 2-a 1=1，公比为(-1)的等比数列， 所以a n+1-na n =(-1)n-1，所以 ! 1 )1()!1(!11n n a n a n n n ?-=---+ ① 在①中用2，3，…，n-1代替n 并相加得 ! 31 )1(!21)1(!1)!1(22?-+?-+=-a n a n +…+(-1)n-2? .)!1(1-n 所以?? ? ???-?-++?-+? -+-=-)!1(1)1(!31)1(!21)1(!11)!1(221n n an n 。 9．0． 假设存在这样的函数f(x)，则由条件知它为单射，且 f(f(0))=0=f(f(1)+1)，所以f(0)=f(1)+1. ① 又f(f(1))=1=f(f(0)+1)，所以f(1)=f(0)+1，与①矛盾。 10．.4 3 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，点C(x 1,y 1)把AM 参数方程???? ?+=+=θ θsin ,cos 11t y y t x x 代入y 2=2px 得t 2sin 2 θ+2(y 1sin θ-pcos θ)t+2 1y -2px 1=0，所以θ2 1212 1sin 2px y t t -=，又p y px BC 22||2 11-=， 所以 θ2sin 2p BC CM AC =?，同理θ 2sin 2p DE EM AE =?，所以 .43 =BC DE 11． ??? ??-∈-2,2),tan 3(tan 413ππααα。由a ?b=(3,-1)???? ? ??23,21=0 得a ⊥b ，又c ⊥d ，则[a+(tan 2 α-3)b]?[-ka+(tan α)b]=0, 即ka 2=(tan 3α-3tan α)b 2，所以k|a|2=(tan 3α-3tan α)|b|2 , 由题设|a|=2,|b|=1。从而41= k ?? ? ??-∈-2,2),tan 3(tan 413ππααα。 12．.2 由|2z 3-(z 1+z 2)|≤|z 1-z 2|得 2|z 3|-|z 1+z 2|≤|z 1-z 2|和|z 1+z 2|-2|z 3|≤|z 1-z 2|， 所以 21(|z 1+z 2|-|z 1-z 2|)≤|z 3|≤2 1 (|z 1+z 2|+|z 1-z 2|). 又|z 1+z 2|-|z 1-z 2|=)|||(|2|)||(|2212212 2121z z z z z z z z -++≤ -++ .22)|||(|42221=+z z 当且仅当z 1,z 2辐角相差 2 π 时，|z 3|取最大值.2 又|z 3|≥0，当且仅当z 2,z 1辐角相差2 π 时，z 3可以为0，所以|z 3|min =0. 13．解 若抛物线的开口向右，设其方程为y 2=2px(p>0)，设??? ? ? ?1 2 1,2y p y A ， ??? ? ??222,2y p y B ，??? ??-3,2y p C ，??? ??-4,2y p D ，??? ??0,2p F 。 因为A ，O ，C 三点共线，所以p y y p y 222113=- ，所以.123y p y -= 同理，由B ，O ，D 共线有224y p y -=，又因为A ，F ，B 共线，所以y 1y 2=-p 2 , 所以221y p y -=，所以点C 坐标为??? ??-2,2y p ，D 坐标为?? ? ??-1,2y p 。 所以AD//BC//x 轴，所以ABCD 为直角梯形。 由抛物线定义，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|，设∠BFx=θ，则ABCD 面积S ABCD =21|AB|2sin θ=2 3 22sin 2p p ≥θ ，当且仅当2πθ=时，S ABCD 取最小值2p 2 ，由已知2p 2 =8，所以p=2。故所求抛物线方程为y 2 =±4x. 14．证明 记f(x)=x 2 -2，则f(x)在[0,+∞）上是增函数，又 201>a a ，所以??? ? ??=0112a a f a a =a 2-a>a ，所以01 12a a a a >，依此类推有21 1>>-+n n n n a a a a ，再用数学归纳法证明原命题。 （1）当k=0,1时，不等式显然成立。 （2）设当k=m 时，原不等式成立。 当k=m+1时，因为),()()()(0)1()2()1(0112211a f a f a f a f a a a a a a a a a n n n n n n n -----=????= 其中f (0) (a) ()()(1 )()(1)(11)1()1()0()1()0()0(a f a f a f a f a f a f n -+ +++ <1+ [][] ).4(2 1 142114))(()(22112222)1()1(--+=--+=--+?a a a a a a a f a f a 得证。 15．证明 （1）若0 （2）若0 （3）若x>1,y>1，则xy ≤4 )(2 y x +,记t y x =+2，则 0 ≤ 2π,所以xy ≤t 2≤2 π，所以cosxy ≥cost 2 , 又cosx+cosy=2cos ,cos 22 cos 2t y x y x ≤-+ 所以只需证1+cost 2≥2cost ，即证f(t)=1+cost 2 -2cost ≥0. 这里?? ? ? ? ∈2, 1πt ，则?? ? ??-=+?-=22 sin sin 2sin 22)(sin )('t t t t t t t t f ,因为0 t t sin ,所以.0)(' ? ???2,1π上单调递减，又 ,2cos 212ππ-=??? ? ??f 而 3 2 π π > （因为 9 2 2 ππ > ），所以,2 1 3 cos 2 cos = <π π 所以02>??? ? ??πf ，所以f(t)>0。所以原不等式成立。 第二试试题解答 1． 证明 取DI 中点Q ，作AP ⊥BC 于P 。因为 2． ?+=?+= ?)(2 1 )(21= ]cos ||||cos |||[|21 BCH BC AC EBC BC AB ∠?-∠?.0|)|||(||21 )sin ||sin ||(||21=+-=∠+∠?--=ACB ABC 所以AQ ⊥BC ，所以Q ，A ，P 三点共线。 延长AP 至R ，使AR=CG ，则BF AR //，又因为AD //BE ， 所以BFE ARD ???，所以RD //EF ，同理RI //GH ， 所以ΔRDI ∽ΔLKM ，且对应边平行，所以RQ//LN 或RQ 与LN 重合，因为RQ ⊥BC ，所以LN ⊥BC 。2.证明 先证对任意m,n ∈N +,1≤m,n ≤2007，有 m a n a m n 1+<，即ma n （2）设m,n 都小于k 时，命题成立，ⅰ）当m=k,n ⅱ）当n=k, m ?? ?? ?=n a x n max ，则对一切n ∈N +,1≤n ≤2007，有a n ≤nx 再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N ≤209。 再证N 不能小于209。考察子集M 1={1，2，…，91}和M 2={300，301，…，400}，将凡是填有M 1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M 2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。 设有i 行和j 列被染为红色，于是，M 1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij ≥91,从而i+j ≥2ij ≥291≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和.201012''2''>≥≥+j i j i