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11离散数学a卷

上海海洋大学试卷

姓名：学号：专业班名：

一、选择填空题（每空3分，共45分） 1、下列句子中有（）个是命题。

（1）我是老师。（2）禁止吸烟! (3) 蚊子是鸟类动物。（4）我在说谎。（5）月亮比地球大。 A. 1 B . 2 C. 3 D. 4 2、下列公式中，哪个是永真式（）

A ()q p q →∧

B ()p q p ∧→

C ()p p q →∧

D ()p q q ∨→

3、命题公式()()p q p q ∧?∨?∧?的成真赋值为，主合取范式为。

4、将命题“没有一个运动员不是强壮的”谓词符号化为

5、公式()()xP x xQ x ?→?的前束范式为

6、下列命题中为假命题的是( )（其中P （A ）为A 的幂集）

A ．{}()P ?∈? B. ({})P ??? C. (){}P ??? D.()({})P P ?∈? 7、设集合A=(1,3)，B=[2,4) ,则A

B ⊕= 。 8、设,,R Z N 分别表示实数、整数和自然数集，

设函数1:{0,1,2}f N →，()mod 3f x x =，（x 除以3所得的余数），

2:,()2

f R R f x →=，3:,()||f Z N f x x →=，4:f N N N →?，(),1f x x x =<+>

则上述函数中是满射的有。

9、设集合{1,2,3}

A ，请写出A上的一个关系R使其既具备对称性又具备反对称性。

10、当n 时，无向完全图

K既是欧拉图又是哈密顿图。

11、右边的有向图的邻接矩阵为

12、设无向树有3个3度顶点，2个2度顶点，其余都是树叶，则其有片树叶。

13、带权4，6，8，10，12的最优二元树T的权是，T对应的二元前缀码是。

三、（8分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A和C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。设p：开关A关闭，q：开关B 关闭，r：开关C关闭，G表示灯亮。求G的主析取和主合取范式。

四、（8分）在自然推理系统中，构造并证明下列推理。（命题逻辑推理证明）若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学。若小李喜欢数学，则他也喜欢物理。小张确实喜欢数学，但小李不喜欢物理。所以，小赵喜欢数学。

五、设集合{,,,}A a b c d =，R 为A 上的二元关系，且{(,),(,),(,),(,)}R a b b c c a d d =，（1）求R 的关系矩阵；（3分）（2）求R 的性质；（3分）

（3）求R 的传递闭包t （R ）；（4分）

（4）设{(,),(,),(,)}S a c c b d c =，求1S R - ；（4分）

（5）在关系R 中添加最少的有序对使其成为A 上的等价关系，不妨令该等价关系为*R ，求*R 及商集*/A R 。（4分）

六、（10分）设集合{1,2,3,4,6,8,12,24}A =， R 为A 上的整除关系，则R 为偏序关系。（1）求该关系的哈斯图；（2）令{2,3,6}B =，求B 的最大元、最小元、极大元、极小元、上界和下界。

八、（5分）已知,,,,,,

a b c d e f g七人中，会讲的语言分别为：

a英语、德语，:b英语、汉语，:c英语、意大利语、俄语，:d汉语、日语，:

:e意大利语、德语，:f俄语、日语、法语，:g德语、法语

问能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能和身边的人交谈？

九、（6分）已知无向赋权图G=,

（1）该图是否为欧拉图，如果不是，

最少添加几条边可以将其变为欧拉图？

请在上图中画出。

（2）求该图的最小生成树。

，

离散数学第11章形式语言与自动机

第11章形式语言与自动机 1．写出字符串011的全部前缀、后缀和子串。解：前缀：{0，01，011，ε}，后缀：{1，11，011，ε}，子串：{0，01，011，ε，11，1} 2.以合理的顺序展开下列语言，把它们写成带省略号的列举法表示。 (1){ab }* ，(2){a ，b }* ，(3){a }* {b }* ，(4){a n b 2n |n ≥0}。解：（1）{ε，ab ，abab ，ababab ，…} （2）{ε，a ，b ，aa ，ab ，ba ，bb ，aaa ，aab ，aba ，abb ，…} （3）{ε，a ，b ，ab ，aa ，bb ，aaa ，aab ，bbb ，abb ，…} （4）{ε，abb ，aabbbb ，…} 3.现有文法G [S ]：S →aAb ，A →BcA ，A →B ，B →idt ，B →ε，给出下面几个句子的推导过程。 (1)aidtccb (2)ab (3)aidtcidtcidtb 解：(1) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtccAb →aidtccBb →aidtccb (2)S →aAb →aBb →ab (3) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtcidtcAb →aidtcidtcBb →aidtcidtcidtb 4.指出G ＝({S }，{a ，b }，P ，S )属于哪一型文法，其中P ＝{S →bSS ，S →a }，并用集合的形式写出它产生的语言。解：该文法属于上下文无关文法。 {以b 开头以aa 结尾且字符a 的个数比字符b 的个数多1的所有符号串} 5.设M ＝({p ，q ，r }，{a ，b }，δ，p ，{r })为有限自动机，其中δ如表11-1所示，画出M 的状态转换图，并用格局转换推导式证明字符串abaab ∈L (M )。表11-1 解：M 的状态转换图如图11-1所示： (p ,abaab )├(q ,baab )├(p ,aab )├(q ,ab )├(r ,b )├(r ,ε) 其中r ∈F ，即(r ,ε)是终止格局 6.设有一个NFA ：M =({ p ，q ，r ，S }，{0，1}，δ，p ，{S })，其中状态转换函数δ如表11-2 所示，试构造与它等价的DFA 。表11-2 图11-1

离散数学第10章

第十章 3. 在R 中定义二元运算，使得,a b R ?∈有 *a b a b ab =++ 证明构成独异点解：（1）,,R a b R φ≠?∈，存在唯一*a b a b ab R =++∈，所以为代数系统。 (2) Z z y x ∈?,,,有(*)**(*)x y z x y z xy yz xz xyz x y z =++++++=，所以结合律成立。 (3) 设存在幺元为e R ∈，对x R ?∈，幺元应满足 e x e x ex x =++= x e x e xe x =++= 所以幺元为0R ∈。所以构成独异点 8. 设{}0,1,2,3G =,若4?为模4乘法，则4,?G 构成什么？（2）零元为0，幺元为1，且运算表对称，结合律考虑4种情况 222,333,223,233,结合律成立。（3）幺元为1 （4）零元为0，所以0的逆元不存在。所以4,?G 构成半群，独异点，不能构成群。 10. 设{0,1}A x x R x =∈≠且，在A 上定义了六个函数如下： 11231 1 1 456(),(),()1()(1),()(1),()(1) f x x f x x f x x f x x f x x x f x x x ----===-=-=-=- 令F 为这6个函数构成的集合，运算为函数合成运算 (1) 给出运算的运算表 (2) 验证,F <> 是一个群。解：(1)

(2) a) 由运算表可得：运算封闭，且F 不是空集，所以,F <> 为一个代数系统。 b) 函数复合运算满足结合律。 c) 单位元为f1 d) f1-1=f1, f2-1=f2, f3-1=f3, f4-1=f5, f5-1=f4, f6-1 =f6, 所以,F <> 为群

北航离散数学第11章习题答案

第11章习题答案 3. 对图11.3的有向图，找出从u 1到u 4的长度为2,3,4的所有通路，并找出顶点u 4上的长度为2,3,4的所有回路。用M 2，M 3，，M 4 ，来验证这些结果。解：从u 1到u 4长度为2的通路有1条：（u 1,u 2,u 4）从u 1到u 4长度为3的通路有2条：（u 1,u 2,u 3，u 4），（u 1,u 4,u 2，u 4）从u 1到u 4长度为4的通路有3条：（u 1,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 1,u 2，u 4,u 2，u 4），（u 1,u 4,u 2， u 3，u 4）顶点u 4上的长度为2的回路有1条：（u 4,u 2,u 4）顶点u 4上的长度为3的回路有1条：（u 4,u 2,u 3，u 4）顶点u 4上的长度为4的回路有2条：（u 4,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 4,u 2，u 4,u 2，u 4） M =?? ??????????0010 101011001010 M 2=?? ??????????11 00111010201110 M 3 =????????? ???10 20 212022102120 M 4 =????????????221 323031403230 由M 2 ，M 3 ，，M 4 中的第1行第4列的元素可见，从u 1到u 4长度为2，3，4的通路分别有1 条，2条，3条。由M 2，M 3，，M 4 中的第4行第4列的元素可见，u 4上的长度为2,3,4的回路分别有1条，1条，2条，说明所找的上述通路和回路正确。 5. 设有向图D 具有顶点集合{u 1，u 2，…，u n }，M 是D 的邻接矩阵。证明对于i ≠j 和k=1,2,…， n-1，如果M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，则u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。证明：假设u i 和u j 属于D 的同一个强分图，则u i 和u j 互相可达。由定理9.2可知，从一顶点到另一顶点可达，则有基本通路，因此存在u i 到u j 的基本通路。已知有向图D 中有n 个顶点，根据定理9.4：n 个顶点的有向图中，任何基本通路的长度都不超过n-1。因此存在 u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路。然而，根据定理11.1和已知条件：M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，说明从u i 到u j 不存在长度小于或等于n-1的通路。这与前面所述存在u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路矛盾，因此u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。 6. 试用图11.4的有向图的邻接矩阵求出可达性矩阵，并利用可达性矩阵求其强分图。解： M=????????????????0001010000000010100000010 M 2 =??? ? ???? ??? ?????010******* 00010 1000001000

离散数学课后习题答案第四章

第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z 和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。不封闭（3）全体n n ?实矩阵集合（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为 +?-=--?=R 1111111ο （6）n 关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n 运算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题 7．设 * 为+Z 上的二元运算+∈?Z y x ,， X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数. (1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3

离散数学复习

离散数学复习第一章命题逻辑基本概念 1．掌握命题及相关概念 2．理解各联结词的逻辑关系 3．会将复合命题符号化 4．会求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值、成假赋值及判断公式的类型第二章命题逻辑等值演算 1．记住基本等值式，会应用它们进行公式的等值演算 2．了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念 3．理解极大项、极小项的概念 4．掌握求主析取范式和主合取范式的方法(等值演算和真值表法) 5．会用主范式判断公式的类型及进行简单应用 6．了解联结词完备集的概念第三章命题逻辑的推理理论 1．理解并记住推理形式结构的两种形式： (1) A1∧A2∧…∧A k→B (2) 前提：A1, A2, … , A k 结论：B 2．掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）3．记住自然推理系统P系统中的推理规则 4．掌握自然推理系统P系统中的推理方法第四章一阶逻辑基本概念 1．会进行命题的符号化 2．理解公式的解释 3．理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系 4．对于给定的解释会判断公式的真值，或判定真值不确定（即仍不是命题）第五章一阶逻辑等值演算与推理 1．理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 2．会使用置换规则、换名规则(约束条变项)、代替规则(自由变项) 3．会求给定公式的前束范式 4．正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之间的关系 5．在F系统，对给定的推理，正确地构造出它的证明第六章集合代数 1. 掌握集合的表示法 2．能够判别元素是否属于给定的集合 3．能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系第七章二元关系 1. 掌握二元关系、空关系、全域关系、恒等关系、关系的定义域、值域、域、逆关系、左复合、右复合、限制、像的概念； 2．掌握关系的集合表达式、关系矩阵和关系图三种表示法； 3．掌握关系的基本运算和关系的幂的运算性质，掌握关系的五个性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等五个性质； 4．掌握关系的闭包的概念，会应用关系的性质求出关系的闭包（自反闭包、对称闭包和传递闭包）；

离散数学章节练习 1 KEY

离散数学章节练习 1 范围：命题逻辑班级：________________ 学号：________________ 姓名： ________________ 一、单项选择题 1.给定如下4个语句，其中是命题的是 ( ) A.现在开始考试！ B. 我正在考试。 C.我正在说谎话。 D. 你是大学生吗? 2. 设p:17=5,q 地球是方的,r ：4×4>8,s 现在是夏季,结果为真的公式是 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r C. s →q ∧r D. (p ∧r)∨(q ∧s) 3.给定如下4个语句，其中是复合命题的是 ( ) A. 我会游泳。 B.如果天不下雨,我就去踢足球。 C.新闻联播每天都有。 D.火星上有人吗? 4.命题公式(p ∧q)→q 为 ( ) A.矛盾式； B.可满足式； C.重言式； D.合取范式。 5．设P ：我是青年学生，Q ：我有社会责任感。命题：“除非我不是青年学生，否则我有社会责任感”符号化正确的是 ( ) A ．?P ∧Q B ． P →?Q C ．?P →?Q D ．?Q →?P 6. 下列命题公式为重言式的是 ( ) A ．(P ∨?P)→Q B ．P →(P ∨Q) C ．Q ∧?Q D ．P →?Q 7.命题逻辑中一组公式H 1，H 2， ···,H n .，C ，存在关系H 1∧ H 2∧···∧H n ?C 当且仅当H 1∧H 2∧···∧H n →C 是 ( ) A. 矛盾式。 B. 永假式。 C. 可满足式。 D. 永真式。 8.给定如下4个语句，其中是不是命题的是 ( ) A.我现在在考试 B. 今天没有下雨 C.如果你来，我就来 D. 2X+3>8 9. 设p:现在是白天,q ：1中国比日本人口少，,r ：猪是可以飞的,s 我是女生,结果为真的公式是 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r C. s ∨q →q ∧r D. (p ∧r)∨(q ∧s) 10.公式p ∧ q ∨ r 合取范式是 ( ) A. (p ∧r)∨(q ∧r) B. (p ∨r) ∧ (q ∨r) C. (p ∨q) ∧ (q ∨r)) D. (p ∨q) ∧ (p ∨r)) 11. 命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 。 12. 下列语句中，是命题的是。 ( ) A 请把门关上 B 地球外的星球上也有人 C x + 5 > 6 D 下午有会吗？ 13. 设p:17>5,q:正常人会走路,r ：美国不在亚洲,s:太阳比月亮小，结果为假的公式是 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r C. s →q ∧r D. (?p ∧r)∨( ?q ∧s) 14. 命题公式((p →q) →(?q →?p)) ∨r 的类型是 ( ) A. 永真式。 B.永假式。 C. 非永真式可满足式。 D. 重言式 15.给定如下4个语句，其中是真命题的是 ( ) A.冬天会下雪 B. 请给我一个苹果 C.我正在说谎话。 D. 3+4<20 16.下烈公式中是矛盾式的是 ( ) A ． r →p ∧s B. p ∨?p → p ∧?p C. s →q ∧r D. (p ∧r)∨(q ∧s) 17. 对命题“除非交通阻塞，否则他不会迟到”符号化（p ：交通阻塞，q:他迟到）后的公式正确的是 ( ) A. p →?q B. p →q C.q →p D. ? p →q 18.给定如下4个语句，其中是命题的是 ( ) A.2055年元旦会下雪。 B. 我是一名在校大学生？ C.我现在说的不是真话。D. 请向国旗敬礼！ 19. 设p:我是少先队员,q 太阳每天从东方升起,r ：黄山是世界上最高的山,s 所有人都喜欢中国,结果为假的公式是 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r C. s →q ∧r D. (p ∧r)∨(q ∧s) 20.公式(p ∧r)∨(p ∧s)的主析取范式中有几个最小项 ( ) A.1 B. 3 C. 5 D.7 21. 下列是真命题的有 ( ) A ．3>7； B ．不是每一个人都会飞； C ．你不能说假话； D ．有的人会飞。 22. 下列公式中为永真式的公式是 ( ) A ． r → r ∨（p ∧s ） B. p →q ∧r C. s →q ∧r D. (p ∧r)∨(q ∧s) 23.给定如下4个语句，其中是假命题的是 ( ) A.这次，我一定要考好！ B. “15>27”是错的 C.我正在说谎话。 D.15>27 24.下列公式为永假式的是 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r C. s →q ∧r D. (p ∧r) ∧ (?p ∧s) 25. 设 p ：天冷，q ：小王穿羽绒服，命题“除非天冷，小王才穿羽绒服”.符号化为 ( ) A ．p →q B. q →p C ．?q →p D . q →?p 26.下列公式中，不是p →(q →p)的代换实例的是 ( ) A. F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)) B. F(x,y)→G(x,y)→F(x,y) C. F(y,x)→(G(x,y)→F(x,y)) D. F(x,y)→(G(x,y)→F(y,x)) 27.给定如下4个语句，其中是假命题的是 ( ) A.请来北京参加会议！ B. 北京是中国的首都。 C 上海人口比长沙多 D. 中国人均身高2.48米 28. 下面那个公式不是可满足式 ( ) A ． r →p ∧s B. p →q ∧r

离散数学第10章习题答案

第10章习题答案 1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈V v v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。 (2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得∑∈V v v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。 2.证明设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。由握手定理知 ∑=n k k v d 1 )(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。 3. 解由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=n i i d 1 ≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、 (3)、(5)能构成无向图的度数列。 (1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。 (5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、 3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。 4.证明因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。 5. 解具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。 6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。 (1)(3)(5) (6) (9)(10) (13) (14)

华东师范大学离散数学章炯民课后习题第10章答案

P179 1. 给出下列序列的一个递推关系：（4）{n 2+3n} （6）{1+(-1)n } 解： (4) a n =a n-1+2n+2(n>0)，a 0=0 (6) a n =a n-1+2(-1)n (n>0)，a 0=2 或110 220n n n a a a --=?=?=?，a 0=2 3. 设含连续三个0的n 位二进制串的数目是s n ，请给出{s n }的递推关系和初始条件。解：a n = a n-1 +a n-2 +a n-3+2n-3 (n≥3)，a 0=0，a 1=0，a 2=0 4. 设{1,2,…,n}的错排列数是D n ，请给出{D n }的递推关系和初始条件。解：D n =(n-1)(D n-1+D n-2)，D 1=0，D 2=1 10（2）求初值问题的通项公式：a n =10a n-1-25a n-2；a 0=-7，a 1=15。解：特征方程：r 2-10r+25=0，特征根：r 2=r 1=5 通解：a n =(α+βn)5n 由a 0=α50=α=-7和a 1= (-7+β)51 =15解得：α=-7，β=10 初值问题的解：a n =(-7+10n)2n *12（2）. 求递推关系的一个特解： a n ＝8a n-2-16a n-4+n 24n 。解：特征方程：x 4=8x 2-16，特征根：x 1=-2，x 2=2 一个特解：T n =n 0(a+bn+cn 2) 4n = (a+bn+cn 2)4n 代入递推关系：(a+bn+cn 2)4n =8(a+b(n-2)+c(n-2)2)4n-2-16(a+b(n-4)+c(n-4)2)4n-4 即9cn 2+(9b+8c)n+(8a+4b-16+c)=0 9c=0 9b+8c=0 8a+4b-16+c=0 解得：c=0,b=0,a=2 特解：2n 24n 13（2）. 写出序列{1,0,1,0,1,0,…}的生成函数。解：1+x 2+x 4+x 6+…=2i 2i 01x 1x ∞ ==-∑

离散数学各章要点11

主要内容集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）；集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）. 2. 半群与独异点的两条幂运算规则：x n x m=x n+m , (x n)m= x nm 3. 半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）；独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭, 单位元属于A） 4. 通过笛卡儿积构造直积 5. 同态映射的判别：υ(xy)=υ(x)υ(y) （对于独异点要加上υ(e)=e） 6. 集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）. 7. 特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶. 8. 元素的幂与元素的阶 9. 群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质. 10 子群的定义 11 子群的三个判定定理及其应用 12 典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C, 若干个子群的交集 13 陪集的定义及实例. 14 陪集及其代表元素之间的关系. 15 陪集的四条性质. 16 有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及两个推论. 17 正规子群的定义及实例. 18 正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法. 19 商群的定义及其实例. 20 群同态映射的定义与典型同态映射的实例. 21 特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）.

22 同态核与同态像 23 同态映射的性质：同态映射保持元素及子群的对应性, 同态核的性质, 同态基本定理. 24 循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群） 25 无限循环群G=只有两个生成元a和a-1；n阶循环群有υ(n)个生成元. 26 无限循环群G=有无数个子群, 对于任何自然数m, 都是G的子群；n阶循环群恰有d个子群, 其中d是n的正因子个数. 27 n元置换的不同表法之间的转换, 置换乘法及求逆. 28 n元对称群及其子群--n元交错群学习要求 1. 判断给定集合和运算是否构成半群和独异点. 2. 了解半群及独异点中的幂运算规则. 3. 判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点. 4. 了解半群及独异点的直积概念. 5. 了解半群或独异点的同态映射的概念. 6. 能判断给定集合和运算是否构成群. 7. 了解有限群、无限群、平凡群、交换群、Abel群. 8. 会求有限群的阶、元素的幂、元素的阶. 9. 能求群方程的解. 10 能使用消去律及群的其他性质证明有关群的简单命题. 11 会证明群的子集是子群 12 了解几个典型子群的定义 13 在群G中会求已知子群H的右（或左）陪集. 14