第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解
第八章 热传导方程的傅里叶解
第一节 热传导方程和扩散方程的建立
8.1.1 热传导方程的建立
推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。
热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即
x u
q k
x
?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相
反，即热量由高温流向低温。
研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有
x u q k
x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u
q k z
?=-?
或
q k u =-?r
即热流密度矢量q r
与温度梯度u ?成正比。
下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。
第一步，定变量。研究介质x 位置处在t 时刻的温度(,)u x t 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x 到x x +?一段微元长度，在t 到t t +?时间内温度的变化(,)(,)u u x t t u x t ?=+?-。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A ，质量密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t 到t t +?时间内吸收的热量为：
Q c m u c A x u ρ=????=???? （8-1.2）
在t 到t t +?时间内，同过x 位置处的横截面的热量为：
1x x x Q q A t k u A t =???=-?? （8-1.3）
在t 到t t +?时间内，同过x x +?位置处的横截面的热量为：
2x x x
x x
Q q A t k u A t +?+?=???=-?? （8-1.4）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为(,)F x t ，则该热源在微元内产生的热量为：
(,)3Q F x t t A x =???? （8-1.5）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。
123Q Q Q Q =-+
即
(,)x x
x x x
c A x u k u A t k u A t F x t t A x ρ+?????=-??+??+????
(,)x x
x x
x
u u u c k F x t t
x
ρ+?-???
=+??
得到：
(,)t xx k F x t u u c c ρρ
=
+ 令
a =
(,)(,)F x t f x t c ρ=
则得到热传导方程为
(,)2t xx u a u f x t =+ （8-1.6）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
2t xx u a u = （8-1.7）
8.1.2 扩散方程的建立
扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。 8.1.3 热传导问题的定解条件
与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。 初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布(,)0u x 其边界条件有三种：
第一边界条件：已知细杆端点的温度(,)0u t 或者(,)u l t 。
第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的x u 。例如：当介质x =0端和外界绝热，此时(,)00x u t =。
第三边界条件：例如，已知端点x =l 与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为(,)u l t ，与其接触的介质的温度为()1t θ，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x =l 流入介质的热量为
[(,)()]1Q h u l t t A θ=-
由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x =l 流出热量为：
(,)x Q ku l t A '=-
由Q Q '=，就可以得出第三边界条件为
(,)(,)()()1x ku l t hu l t h t t θθ+==
其中，k 为热传导系数，h 为热交换系数。
第二节 混合问题的傅里叶解
8.2.1 混合问题的解
对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：
()200(0,0),
(8 2.1)0,0
(0),(8 2.2)(0).
(8 2.3)
t xx x x l t u a u x l t u u t u x x l ?===?=<<>-??
==>-??=<<-?? 第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。 令
)()(),(t T x X t x u =
将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：
()()20T t a T t λ'+= （8-2.4）
0)()(=+''x X x X λ （8-2.5）
第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。 将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得()X x 的边界条件：
0)0(=X ，0)(=l X （8-2.6）
第三步,求解本征值问题
通过讨论分析得出只有0>λ时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此，0>λ时解（8-2.5）式得
()X x A B =+.
将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有
0;sin 0.A A B =???
+=??
即0;
0.
A B =???=?? 于是
0sin =l λ，即πλn l = ()Λ,3,2,1=n .
得到本征值：
2
??
?
??=l n n πλ ()Λ,3,2,1=n
相应的本征函数是：
x l
n x X n πsin
)(= 第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值n λ，解（8-2.5）式得出相应的)(t T n :
2
(
)()n a t l
n n T t C e
π-=.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
2
(
)(,)sin
n a t l
n n n u x t C e
x l
ππ
-= ()Λ,3,2,1=n . 得到方程的一般解为
2
(
)1
(,)sin
n a t l
n n n u x t C e
x l
ππ
∞
-==∑ （8-2.7） 第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数)(x ?定出叠加系数n C ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数sin
m x l
π
的正交性得到系数为 02()sin d l n n x C x x l l
πφ=? （8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
()2
0(,0),(8 3.1)().
(8 3.2)
t xx t u a u x t u x x ?=?=-∞<<∞>-??=-∞<<∞-??
解：令
)()(),(t T x X t x u =
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
()()20T t a T t λ'+= （8-3.3）
0)()(=+''x X x X λ （8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
2
()a t T t Ce λ-= （8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当0λ<时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此，0λ≥，令2
λμ=。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与μ有关系的一系列解，记为
22
()a t T t e μμ-= （8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
()()cos ()sin X x A x B x μμμμμ=+
于是得到热传导的一系列解为
22
(,)[()cos ()sin ]a t u x t e A x B x μμμμμμ-=+ （8-3.7）
由于这里的μ没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则(,)u x t 的一般解为公式（8-3.7）对所有μ值对应解的叠加，由于μ为连续实数，因此，(,)u x t 的一般解为公式（8-3.7）对
μ从-∞到+∞进行积分。即
22
(,)[()cos ()sin ]d a t
u x t e A x B x μ
μμμμμ∞
--∞=+? （8-3.8）
把初始条件代入上式得到：
()[()cos ()sin ]d x A x B x ?μμμμμ∞
-∞
=+? （8-3.9）
其中傅里叶系数：
()()cos 1d 2A μ?ξμξξπ∞
-∞=
? （8-3.10） ()()sin 1d 2B μ?ξμξξπ∞
-∞
=? （8-3.11）
把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：
22
1(,)()[cos ()d ]d 2a t u x t e x μ?ξμξμξπ
∞
∞
--∞
-∞
=
-?
? （8-3.12）
利用
2
d x
e x ∞
--∞
=?
222
2()41cos ()d 2x a t a t
e x ξμμξμπ
--
∞
--∞
-=
?
因此，(,)u x t 可以写为
22()4(,)()d x a t
u x t e
ξ?ξξ--
∞
-∞
=
?
（8-3.12）
8.3.2热传导傅里叶解的物理意义
细杆上ξ位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为：
22()4(,)()d x a t
u x t e
ξξξ--
=
解（8-3.12）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。
第四节 一端有界的热传导问题
8.4.1 左端有界热传导定解问题的解
()200(0,0),(8 4.1)0
(0),(8 4.2)(0).
(8 4.3)
t xx x t u a u x t u t u x x ?==?=<<∞>-??
=≥-??=<<∞-?? 方法1：直接用分离变量法求解。 解：令
)()(),(t T x X t x u =
将此代入泛定方程（8-4.1），得到两个常微分方程：
()()20T t a T t λ'+= （8-4.4）
0)()(=+''x X x X λ （8-4.5）
将此代入边界条件（8-4.2），得到：
()00X = （8-4.6）
解式（8-4.4）得到：
2
()a t T t Ce λ-= （8-4.7）
由公式（8-4.7）可以看出：当0λ<时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此，0λ≥，令2
λμ=。（8-4.4）和（8-4.5）的解为与μ有关系的一系列解，记为
22
()a t T t e μμ-= （8-4.8）
解式（8-4.5）得到：
()()cos ()sin X x A x B x μμμμμ=+
把边界条件（8-4.6）代入上式得到：()0A μ=，因此
()()sin X x B x μμμ=
于是得到热传导的一系列解为
22
(,)[()cos ()sin ]a t u x t e A x B x μμμμμμ-=+ （8-4.9）
由于这里的μ没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则(,)u x t 的一般解为公式（8-4.9）对所有μ值对应解的叠加，由于μ为连续实数，因此，(,)u x t 的一般解为公式（8-4.9）对
μ从-∞到+∞进行积分。即
22
(,)()sin d a t
u x t B e x μ
μμμ∞
--∞=? （8-4.10）
把初始条件代入上式得到：
()()sin d x B x ?μμμ∞
-∞
=? （8-4.11）
得出：
()()sin 0
1
d B μ?ξμξξπ
∞
=
?
（8-4.12）
把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：
22
1
(,)(){[cos ()cos()]d }d 2a t u x t e x x μ?ξμξξμξπ
∞
∞
--∞
=
--+?
? （8-4.13）
利用
2
d x
e x ∞
--∞
=?
222
2()41cos ()d 2x a t a t
e x ξμμξμπ--
∞
--∞
-=
?
222
2()41cos ()d 2x a t a t
e x ξμμξμπ
+-
∞
--∞
+=
?
因此，(,)u x t 可以写为
222
2()()440
(,)()[-]d x x a t
a t
u x t e
e
ξξ?ξξ-+-
-
∞
=
?
（8-4.14）
方法2：把半无界拓展为无界
如何拓展？
先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。由第三节可知，无界热传导问题的解为
2
2
()
4
(,)()d
x
a t
u x t e
ξ
?ξξ
-
-
∞
-∞
=?
在0
x=点，有：
2
2
4
(0,)()d
a t
u t e
ξ
?ξξ
-
∞
-∞
=
2
2
4
2
(0,)()d
2
a t
x
u t e
a t
ξ
ξ
?ξξ
-
∞
-∞
=
当()x
?为奇函数时，(0,)0
u t=满足第一类齐次边界条件。
当()x
?为偶函数时，(0,)0
x
u t=满足第二类齐次边界条件。
所以：
（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
()
()
2
(0,0)
0(0)
(0)
(0)
t xx
x
t
t
u a u x t
u t
u x x
u x x
?
?
=
=
=
?=<<∞>
?
=≥
?
?
=<<∞
?
?=---∞<<
?
则其解为
22
22
()()
44
(,)()d()d
x x
a t a t
u x t e e
ξξ
?ξξ?ξξ
--
--
∞
-∞
=--
??
把第二项积分变量和区间变为0-+∞，则
22
22
()()
44
00
(,)()d()d
x x
a t a t
u x t e e
ξξ
?ξξ?ξξ
-+
--
∞∞
=?
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
()()2000
(0,0)0
(0)(0) (0)
t xx x x t t u a u x t u t u x x u x x ??===?=<<∞>?
=≥??
=<<∞??=--∞<
2222()()0
440
(,)()d ()d x x a t
a t
u x t e
e
ξξ?ξξ?ξξ---
-
∞
-∞
=
-
把第二项积分变量和区间变为0-+∞，则
2222()()440
(,)()d ()d x x a t
a t
u x t e
e
ξξ?ξξ?ξξ-+-
-
∞
∞
=
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？
在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用分离变量法已经进行了分析说明。
对于非齐次方程的解法在这里详加分析说明。 例如：强迫振动的定解问题：
()212000(,)(0,0),(0.1)(),()
(0),(0.2),()(0).
(0.3)
tt xx x x l t t t u a u f x t x l t u t u t t u x u x x l μμ?ψ====?=+<<>??
==>??==<
I:()2000(0,0),(1.1)0,0
(0),(1.2),()(0).(1.3)tt xx x x l t t t u a u x l t u u t u x u x x l ?ψ====?=<<>??
==>??==<
(0),(2.2)0,0(0).(2.3)tt xx x x l t t t u a u x l t u t u t t u u x l μμ====?=<<>??
==>??==<
III :2000(,)(0,0),(3.1)0,0
(0),(3.2)0,0(0).
(3.3)
tt xx x x l t t t u a u f x t x l t u u t u u x l ====?=+<<>??
==>??==<
(,)I II III u x t u u u =++
方程I 直接用分离变量法求解；方程II 为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。
下面研究方程III 的解法。
基本解法一 将未知解展开为本征函数法
该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法）。
基本解法二 非齐次方程齐次化找出特解(,)v x t
2000(,)(0,0),(3.1)0,0
(0),(3.2)0,0(0).
(3.3)
tt xx x x l t t t u a u f x t x l t u u t u u x l ====?=+<<>??
==>??==<
2(0,0)(0,)0,(,)0
(0)(,0)(,0),(,0)(,0)(0)
tt xx t t w a w x l t w t w l t t w x v x w x v x x l ?=<<>?
==>??=-=-<
则(,)v x t 满足常微分方程的边值问题：
2
0(,)(0,0)
0,0
(0)tt xx x x l v a v f x t x l t v v t ==?=+<<>??
==>?? 该方法的关键在于找出特解(,)v x t ，适用于(,)f x t 比较简单的情形。
第七章习题第11题、第14题为非齐次方程，其中的自由项比较简单，可以用该方法求解。
第七章第11题：
2sinh (0,0),
(1)(0,)0,(,)0
(0),(2)(,0)0,(,0)0(0).
(3)
tt xx t u a u b x x l t u t u l t t u x u x x l ?=+<<>?
==≥??==<
分析：由于方程（1）的非齐次项知识x 的函数，就可以把特解函数也取为只是x 的函数，即令
(,)(,)()u x t w x t v x =+
其中()v x 满足：
()sinh ()(),()()
24000
5b v x x
a v v l ?''
=-??
?==?
（4）式的解两次积分很容易求出来。求出()v x 后，再求(,)w x t 的定解问题：
2(0,0)(0,)0,(,)0
(0)(,0)(,0),(,0)(,0)(0)
tt xx t t w a w x l t w t w l t t w x v x w x v x x l ?=<<>?
==>??=-=-<
基本方法三 冲量定理法
该方法的基本思路是将强迫振动问题转化为无穷多个自由振动的叠加，而每一个自由振动的初始位移和初始速度为前一个自由振动产生的位移和速度。
2000(,)(0,0),
(3.1)0,0
(0),(3.2)0,0(0).
(3.3)
tt xx x x l t t t u a u f x t x l t u u t u u x l ====?=+<<>??
==>??==<
(,)f x τ独自干扰产生的弦的振动位移(,)v x t 满足：
2()(0,)0,
(,)0(,)0,(,)(0)
tt xx t v a v t v t v l t v x v f x x l τττ?=>?
==??==<
求解上述(,)v x t 的定解问题，然后对(,)v x t 按时间叠加后，持续强迫力(,)f x t 所产生的振动位移为：
(,)(,;)0
d t
u x t v x t ττ=?
对于热传导问题的非齐次方程，处理方法相同。
第八章习题解答