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历年高考立体几何大题试题

2015年高考立体几何大题试卷

1.【2015高考新课标2,理19】

如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB=16, BC=10, AA 8，点 E , F 分别在 A3 ,

C 1

D 1上，A 1

E D 1

F 4 .过点E , F 的平面

形.

（1题图）

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (n)求直线 AF 与平面所成角的正弦值.

（2） BC 1 AB 1 .

3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 ABDDCBA ，四边形AA^B ,

ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过 A,D,E 的平面交CD 1于F.

(I)证明：EF//RC ;

(n)求二面角 E AD B 1余弦值.

与此长方体的面相交，交线围成一个正方

2.【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱

ABC A , B 1C 1 中，已知 AC BC , BC CC 1，设AB 1的中点为D , BQ B?

E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ；

(2题图)

(3题图)

4.【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD中，已知PA 平面ABCD，且

四边形ABCD为直角梯形，ABC BAD - , PA AD 2, AB BC 1 2

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

面BEC, BE A EC, AB=BE=EC=2，G, F 分别是线段

(I )求证：GF //平面ADE ;

(II )求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

6.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1-中，BAC 90°,

AB AC 2 , AA 4 , A在底面ABC的射影为BC的中点，D为B。的中点.

(1)证明：AD 平面ABC ;

(2 )求二面角A -BD- B1的平面角的余弦值

(4题图) (5题图)

5 .【2015高考福建, 理17】如图，在几何体ABCDE中, 四边形ABCD是矩形，AB A平

BE, DC的中点.

7.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台 DEF ABC 中，

2DE,G,H 分别为

AC, BC 的中点?

(I)求证：

BD//平面 FGH ;

(H)若 CF 平面 ABC , AB

BC,CF DE , BAC

45o

,求平面FGH 与

平面ACFD 所成的角(锐角)的大小

8 .【2015高考天津，理17】如图，在四棱柱 ABCD-A3GD

,中，侧棱

AA 底面ABCD , AB AC , AB=1,

AC = AA =2,AD=CD = 75,且点M 和N 分别为和DQ 的中点.

(I)求

MN //平面 ABCD ;

(II)求二面角D 1 - AC - B_!的正弦值;

(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为-，求线段

AE 的长

9.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥P ABC 中，PC 平面

ABC, PC 3, ACB .D, E 分别为线段AB,BC 上的点，且 2

CD DE . 2,CE 2EB 2.

（1）证明：DE 平面PCD

（2）求二面角 A PD C 的余弦值

10 .【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为M , GH 的中点为N （1 ）请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线MN //平面BDH （3 ）求二面角 A EG M 的余弦值.

（10题图）

D i

题（19）图

（9题图）

I A

—

A i

11 .【2015高考湖北，理

19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑?如图，在阳马P ABCD 中，侧棱PD 底面ABCD ，且PD CD ,过棱PC 的中点E ，作EF PB 交 PB 于点 F ，连接 DE, DF , BD, BE.

(I)证明：PB 平面DEF ?试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需

写出结论)；若不是，说明理由;

(H)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为彳‘求-的值.

起到 1 的位置，如图2 ?

(1)证明： CD 平面 1 C ；

平面 CD ，求平面1 C 与平面1CD 夹角的余弦值.

(11题图)

12 .【2015高考陕西，理 18】如图1，在直角梯形 CD 中，D 〃 C ,

C 1,

D 2, 是 D 的中点,

是C 与的交点?将

(II )若平面

(1)证明：PE FG ; (2)求二面角P - AD - C 的正切值;

13.【2015高考新课标1,理18】如图，，四边形 ABCD 为菱形，Z ABC =120°, E , F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE !平面ABCD, DF 丄平面ABCD, BE =2 DF , AE 丄EC

(I)证明：平面 AEC 丄平面AFC;

(口)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值

15.【2015高考广东，理18】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4 , AB = 6 , BC=3.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、 BC 上，且 AF =2FB , CG = 2GB .

面AEF 平面 EFCB , EF II BC , BC 4 , EF 2a ,

EBC

FCB 60 , O 为 EF 的

中占

八、、

求证： AO BE ; (n ) 求一面

角

F AE B 的余弦值；

(川) 若BE 平面 AOC ，求 J< a 的

值.

14.【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥 A EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平

(14题图)

(13题图)

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

（15题

图）

16。2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台ABCD AB iG D i上、下底面分别是

边长为3和6的正方形，AA 6，且AA1 底面ABCD，点P，Q分别在棱DD j，BC上.（1 ）若P是DD1的中点，证明：AB1 PQ ；（2）若PQ//平面ABB J A，

二面角P QD A的余弦值为亍，求四面体ADPQ的体积

17.【2015高考上海，理19】如图，在长方体CD 1 1C1D1中，1 1，

D 2，、F分别是、C的中点?证明1、C1、F、四点共面，并求

直线CD1与平面1C1F所成的角的正弦值?

2017年高考立体几何大题(理科)

2017年高考立体几何大题（理科）1、（2017新课标Ⅰ理数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90 ∠=∠=. BAP CDP （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90 ∠=，求二面角A-PB-C的余弦值. APD

2、（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1 ,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．

3、（2017新课标Ⅲ理数）（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

4、（2017理）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

5、（2017理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120?得到的，G 是DF 的中点. （Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图