高中数学立体几何判定定理与性质
高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论
文字语言
公理 1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理 2
如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论
1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2
经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行符号语言图像语言
A l ,
B l , A, B
l
P
l 且 P l
A, B, C不共线
A, B,C确定一个平面
A
有且只有一个平面，
使A, a
a b P
有且只有一个平面，
使a,b
a ∥ b
有且只有一个平面，
使a,b
a ∥ b
a ∥ c
b ∥ c
作用
①用来验证直线
在平面内；
②用来说明平
面是无限延展的
①用来证明两
个平面是相交关
系；
②用来证明多
点共线，多线共
点。
用来证明多点共
面，多线共面
用来证明线线平
行
二、平行关系
文字语言符号语言图像语言作用
（ 1）公理 4 （平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行（ 2）线面平行的判定定理a ∥ b
b ∥ c
a ∥ c
如果平面外一条直
线和这个平面内的
一条直线平行，那
么这条直线和这个
平面平行。
（ 3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一
个平面平行，经过
这条直线的平面和
这个平面相交，那
么这条直线和交线
平行。
（4）面面平行的
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 ,那么这两个平面平行 .
（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
（6）面面平行的性质定理如果两个
平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行。
（7）面面平行的性质如果两个平面平行 ,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（8）面面平行的性
a ∥ b
a a ∥
b
b∥
b a ∥ b a
a ∥
b ∥
a b O∥a
b
OO
∥OO
∥
a a ∥ b
b
∥
a∥
a
质如果一条直线 ∥
垂直于两个平行平 l
l
面中的一个平面，
那么它也垂直于另
一个平面。
（ 9）面面平行的性 ∥
质
∥
∥ 平行于同一个平面
的两个平面平行。
三、垂直关系
文字语言
符号语言
图像语言
作用
（ 10）三垂线定理
PA
在平面内的一条直线， 如
PO O
PO
果和这个平面的一条斜
a a
AO
线的射影垂直， 那么它也
a
和这条斜线垂直
（ 11）三垂线定理的逆定 PA
理
在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线垂直 ,那么它也和这条斜线的射影垂直 .
（ 12）线面垂直的判定定 理
如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（ 13）线面垂直的判定如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平 面
（ 14）线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 , 那么这两条直线平行 。
PO
O
a AO
a PO
a
l
m l n
m n B l
m n
a ∥
b b
a
a a ∥ b
b
（ 15）线面垂直的性质 ∥
如果一条直线垂直于一 aa ∥ b 个平面 ,那么这条直线垂 b
直于这个平面内的所有
直线
（16）面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一
个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（17）面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。AB
AB
CD
AB AB CD
AB