习 题 一
A 组
1.
判别
{}
,a a b =+∈Q Q 是否为数域？
解 是．
2. 设3
2
()1f x x x x =+++，2
()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解
32()()243f x g x x x x +=+++， 3()()21f x g x x x -=--，
5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．
3．设1993
2199431995()(54)
(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和．
解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以
199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．
4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ． (1) 3
2
2()31,()321f x x x x g x x x =---=-+；
(2) 42()25,
()2f x x x g x x x =-+=-+．
解 (1) 用多项式除法得到
2323222732131
39
23374
1337147399
26299
x x x x x x x x x x x x x x -+-----
+----+---
所以，17262
(),()3999
q x x r x x =
-=--． (2) 用多项式除法得到
24
2432
323222225
1
22252452
57
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-++--+--+-+--+-+--+
所以，2
()1,
()57q x x x r x x =+-=-+．
5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为
()()()()
f a f b af b bf a x a b a b
--+
--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则
(),
().f a ca d f b cb d =+??
=+?
解得
()()()()(),
()()).
c f a f b a b
d af b bf a a b =--???
=--?? 故所得余式为
()()()()
f a f b af b bf a x a b a b
--+
--． 6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除？ (1) 3
()f x x px q =++，2
()1g x x mx =+-； (2) 4
2
()f x x px q =++，2
()1g x x mx =++．
解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，
23
3222221(1)(1)()
x mx x px q x m
x mx x
mx p x q mx m x
m
p m x q m +-++-+--+++--++++-
要求2
()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2
(1)0,0p m q m ++=-=．即2
1,p m q m =--=时，
可以整除．
(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为
22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，
所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或2
2,
1p m q -==时，可以整除．
7. 求()f x 与()g x 的最大公因式: (1) 432
32()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；
(2) 43
32()41,
()31f x x x g x x x =-+=-+；
(3)
42
432()101,
()61f x x x g x x x =-+=-+++．
解 (1) 用辗转相除法得到
3243232432222211134124
31
2213
84
12312233
13122244
33
144
1
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x -++--+---+
++--------+-----------
用等式写出来，就是
2()()(231)f x xg x x x =+---，
2113
3()(231)244
4g x x x x x ????=-+----+ ? ?????，
28
4332313
344x x x x ????---=+-- ???????，
所以()(),()1f x g x x =+．
(2) 同样地，
32
43
3243232322211031
41
1
39
12
333102
113310102031399
161127441329916256
33
316492164953916256
27
256
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x -+-+-+-+--+-++--+--+-+----+---+-+-+-
所以()(),()1f x g x =.
(3) 同样用辗转相除法，可得 ()2(),()1f x g x x =--． 8. 求(),()u x v x 使()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=： (1) 4
3
2
432()242,
()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---：
(2) 4
3
2
32()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+：
(3) 4
3
2
2()441,
()1f x x x x x g x x x =--++=--．
解 (1) 利用辗转相除法，可以得到
3()()(2)f x g x x x =+-， 32()(1)(2)(2)g x x x x x =+-+-，
322(2)x x x x -=-．
因而，()2
(),()2f x g x x =-，并且
()()23(),()2()(1)(2)
()(1)()() (1)()(2)(),
f x
g x x g x x x x g x x f x g x x f x x g x =-=-+-=-+-=--++
所以()1,
()2u x x v x x =--=+
(2) 利用辗转相除法，可以得到
2()2()(639)f x xg x x x =-+-，
21
1()(639)(1)3
3g x x x x x ??=-+--+-- ???，
2(639)(1)(69)x x x x -+-=--+．
因而，()(),()1f x g x x =-，并且
()()2211(),()1(639)()331
1()2()()
3
31122()1(),
3333f x g x x x x x g x f x xg x x g x x f x x x g x ??
=-=-+--
+- ?????=--+- ???????
=-++-- ? ?????
所以21122
(),()13333
u x x v x x x =-+=--．
(3) 利用辗转相除法，可以得到
2()(3)()(2)f x x g x x =-+-，
()(1)(2)1g x x x =+-+．
因而()(),()1f x g x =，并且
()232(),()1()(1)(2)
()(1)(()(3)())(1)()(32)(),
f x
g x g x x x g x x f x x g x x f x x x x g x ==-+-=-+--=--++--
所以32()1,
()32u x x v x x x x =--=+--．
9. 设3
2
3()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的
值．
解 利用辗转相除法，可以得到
2()()(1)(2)f x g x t x t x u =+++-+，
2222
22212()(1)(2)[(1)(2)]()(1)(2)1(1)(1)(1)t t t u t t u t t g x x t x t x u x t t t t ????-+-++-+--??=+++-+++ ?????++++????
由题意，()f x 与()g x 的最大公因式是一个二次多项式，所以
22
2
2
2()(1)(2)0,(1)[(1)(2)]0,(1)t t u t t t u t t t ?+-++-=?+?
?+--?=?+?
解得0,4u t ==-．
10. 设()
242(1)1x Ax Bx -++，求A 和B ．
解 用2
(1)x -去除()f x 42
1Ax Bx =++，得余式1()(42)13r x A B x A B =++--，由题意要求知
1()0r x =，即
420,
130,
A B A B +=??
--=? 解得1,2A B ==-．
11. 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么()(),()()1f x g x h x =． 证明 由条件可知，存在1()u x 和1()v x 使得
11()()()()1u x f x v x g x +=，
存在2()u x 和2()v x 使得
22()()()()1u x f x v x h x +=．
用()h x 乘以第一式得
11()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=，
代入第二式得
[]2211()()()()()()()()()1u x f x v x u x f x h x v x g x h x ++=，
即
[]21212()()()()()[()()]()()1u x u x v x h x f x v x v x g x h x ++=，
所以()(),()()1f x g x h x =．
12. 证明：如果()f x 与()g x 不全为零，且
()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，
那么()(),()1u x v x =．
证明 由于()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，()f x 与()g x 不全为零，所以()(),()0f x g x ≠．两边同时除以()(),()0f x g x ≠，有
()()
()()
()
()1(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x +=，
所以()(),()1u x v x =．
13. 证明：如果()(),()()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与
()g x 的一个最大公因式．
证明 由题意知()d x 是()f x 与()g x 的公因式．再由条件设()()()()()d x u x f x v x g x =+． 又设()h x 为()f x 与()g x 的任一公因式，即()(),()()h x f x h x g x ，则由上式有 ()()h x d x ．故而()d x 是()f x 与
()g x 的一个最大公因式．
14. 证明：()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =，其中()h x 的首项系数为1．
证明 显然()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个公因式．下面来证明它是最大公因式． 设(),()u x v x 满足()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，则
()()()()()()((),())()u x f x h x v x g x h x f x g x h x +=．
由上题结果知，()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又首项系数为1，所以
()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =．
15. 设多项式()f x 与()g x 不全为零，证明()()()()
,1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ??=
? ???
．
证明 设()()(),()d x f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使
()()()()()d x u x f x v x g x =+．
因为()f x 与()g x 不全为零，所以()0d x ≠．上式两边同时除以()d x ，有
()()
()()
1()
()(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x =+，
故()()()()
,1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ??= ? ???
成立．
16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解4
1x +为不可约因式之积． 解 在实数域上的分解式为
()()
4222221(1)211x x x x x +=+-=+++．
在复数域上的分解式为
4122222222x x x x x ????????
+=+-++---+ ??????? ????????
???????． 在有理数域上41x +是不可约多项式．否则，若4
1x +可约，有以下两种可能． （1）41x +有一次因式，从而它有有理根，但(1)0f ±≠，所以4
1x +无有理根．
（2）4
1x +无一次因式，设4
2
2
1()()x x ax b x cx d +=++++，其中,,,a b c d 为整数．于是0a c +=，
0b d ac ++=，0ad bc +=，1bd =，又分两种情况：
①1b d ==，又 a c =-，从而由 0b d ac ++=，得2
2a =，矛盾；
②1b d ==-，则2
2a =-，矛盾． 综合以上情况，即证．
17. 求下列多项式的有理根： (1) 3
2
()61514f x x x x =-+-； (2) 4
2
()4751g x x x x =---；
(3) 5
4
3
2
()614113h x x x x x x =+----．
解 (1)由于()f x 是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为14-的因数．14-的因数有：1,
2,7,14±±±±，计算得到：
(1)4,(1)36,(2)0,(2)72,
(7)140,(7)756, (14)1764,(14)4144,
f f f f f f f f =--=-=-=-=-=-=-=-
故2x =是()f x 的有理根．再由多项式除法可知，2x =是()f x 的单根．
(2) 类似（1）的讨论可知，()g x 的可能的有理根为：11
1,,24
±±
±，计算得到 111171111(1)9,(1)1,5,0,,22464464g g g g g g ????????
=--==--==--=- ? ? ? ?????????
，
故12x =-
是()g x 的有理根．再由多项式除法可知，1
2
x =-是()f x 的2重根． (3) 类似地，()h x 的可能的有理根为：1,3±±，计算得到
(1)28,(1)0,(3)0,(3)96h h h h =--==-=-．
故1x =-，3x =是()h x 的有理根．再由多项式除法可知，1x =-是()h x 的4重根，3x =是()h x 的单根．
18．若实系数方程3
0x px q ++=有一根a bi +（,a b 为实数，0b ≠），则方程3
0x px q +-=有实根2a ．
证明 设原方程有三个根123,,ααα．不失一般性，令1a bi α=+，从而有 2a bi α=-，由根与系数的关系可知
12330()()a bi a bi αααα=++=++-+，
所以32a α=-，即3(2)(2)0a p a q -+-+=，故3(2)(2)0a p a q +-=．这说明3
0x px q +-=有实根2a ．
19. 证明：如果(1)()n
x f x -，那么(1)()n n x f x -．
证明 因为(1)()n
x f x -，所以 (1)(1)0n
f f ==．因此，令()(1)()f x x
g x =-，则有
()(1)()n n n f x x g x =-，
即(1)()n n x f x -．
20. 下列多项式在有理数域上是否可约？
(1) 2
1()1f x x =+；
(2) 432
2()8122f x x x x =-++； (3) 63
3()1f x x x =++；
(4) 4()1p
f x x px =++，p 为奇素数； (5) 4
5()41f x x kx =++，k 为整数．
解 （1）1()f x 的可能的有理根为：1±，而(1)2f ±=，所以它在有理数域上不可约．
（2）由Eisenstein 判别法，取素数2p =，则2不能整除1，而 2(8),212,22-，但是2
2不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．
（3）令1x y =+，代入63
3()1f x x x =++有
654323()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++．
取素数3p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 在有理数域上不可约．
(4) 令1x y =-，代入4()1p
f x x px =++，得
1122
221
4()(1)()p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-，
取素数p ，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以4()f x 在有理数域上不可约．
(5) 令1x y =+，代入4
5()41f x x kx =++，得
4325()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++，
取素数2p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以5()f x 在有理数域上不可约．
一元多项式加减乘除运算
中国计量学院实验报告 实验课程：算法与数据结构实验名称：一元二项式班级：学号： 姓名：实验日期： 2013-5-7 一．实验题目： ①创建2个一元多项式 ②实现2个多项式相加 ③实现2个多项式相减 ④实现2个多项式相乘 ⑤实现2个多项式相除 ⑥销毁一元多项式 实验成绩：指导教师：
二．算法说明 ①存储结构：一元多项式的表示在计算机内可以用链表来表示，为了节省存储 空间，只存储多项式中系数非零的项。链表中的每一个结点存放多项式的一个系数非零项，它包含三个域，分别存放该项的系数、指数以及指向下一个多项式项结点的指针。创建一元多项式链表，对一元多项式的运算中会出现的各种可能情况进行分析，实现一元多项式的相加、相减操作。 ②加法算法
三．测试结果 四．分析与探讨 实验数据正确，部分代码过于赘余，可以精简。 五．附录：源代码#include<> #include<> #include<> typedef struct Polynomial { float coef; int expn; struct Polynomial *next; }*Polyn,Polynomial; 出多项式a和b\n\t2.多项式相加a+b\n\t3.多项式相减a-b\n"); printf("\t4.多项式相除a*b\n\t5.多项式相除a/b\n\t6.销毁多项式\n"); printf("\t7.退出
\n*********************************** ***********\n"); printf("执行:"); scanf("%d",&flag); switch(flag) { case(1): printf("多项式a：");PrintPolyn(pa); printf("多项式b：");PrintPolyn(pb);break; case(2): pc=AddPolyn(pa,pb); printf("多项式a+b：");PrintPolyn(pc); DestroyPolyn(pc);break; case(3): pd=SubtractPolyn(pa,pb); printf("多项式a-b：");PrintPolyn(pd); DestroyPolyn(pd);break; case(4): pf=MultiplyPolyn(pa,pb); printf("多项式a*b：");PrintPolyn(pf); DestroyPolyn(pf);break; case(5): DevicePolyn(pa,pb); break; case(6): DestroyPolyn(pa); DestroyPolyn(pb); printf("成功销毁2个一元二项式\n"); printf("\n接下来要执行的操作:\n1 重新创建2个一元二项式 \n2 退出程序\n"); printf("执行:"); scanf("%d",&i); if(i==1) { // Polyn pa=0,pb=0,pc,pd,pf;//定义各式的头指针，pa与pb在使用前付初值NULL printf("请输入a的项数:"); scanf("%d",&m); pa=CreatePolyn(pa,m);// 建立多项式a printf("请输入b的项
单项式与多项式练习题
单项式与多项式练习题 一、填空题 1．“x 的平方与2的差”用代数式表示为 ． 2．单项式8 53ab -的系数是 ___,次数是 ___；当5,2a b ==-时，这个代数式的是 . 3．多项式34232-+x x 是 次 项式，常数项是 ． 4．单项式2 5x y 、2 2 3x y 、2 4xy -的和为 ． 5．若 32115k x y +与387 3 x y -是同类项，则k = ． 6．已知单项式32b a m 与－3 2 14-n b a 的和是单项式，那么m ＝ ，n ＝ ． 8．已知轮船在逆水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是2千米/时，则这轮船在静水中航行的速度是 千米/时. 9．一个两位数，个位数字是a ，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是 ． 10．若53<一元稀疏多项式计算器实验(报告+程序)
一元稀疏多项式计数器预习报告 ：刘茂学号0062 一、实验要求 (1)输入并建立多项式； (2)输出多项式，输出形式为整数序列：n，c1，e1，c2，e2……cn，en，其中n是多项式的项数，ci，ei分别为第i项的系数和指数。序列按指数降序排列； (3)多项式a和b相加，建立多项式a+b； (4)多项式a和b相减，建立多项式a-b。 （5）多项式求值； （6）多项式求导； （7）求多项式的乘积。 二、测试数据： 1、(2x+5x^8-3.1x^11)+(7-5x^8+11x^9)=(-3.1x^11+11x^9+2x+7); 2、(6x^-3-x+4.4x^2-1.2x^9+1.2x^9)-(-6x^-3+5.4x^2-x^2+7.8x^15 )=(-7.8x^15-1.2x^9+12x^-3-x); 3、(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)+(-x^3-x^4)=(1+x+x^2+x^5); 4、(x+x^3)+(-x-x^3)=0; 5、(x+x^100)+(x^100+x^200)=(x+2x^100+x^200); 6、(x+x^2+x^3)+0=x+x^2+x^3. 7、互换上述测试数据中的前后两个多项式。
三、思路分析 用带表头结点的单链表存储多项式。 本程序要求输入并建立多项式，能够降幂显示出多项式，实现多项式相加相减的计算问题，输出结果。 采用链表的方式存储链表，定义结点结构体。运用尾差法建立两条单链表，以单链表polyn p和polyn h分别表示两个一元多项式a和b。 为实现处理，设p、q分别指向单链表polya和polyb的当前项，比较p、q 结点的指数项。 ①若p->expnexpn，则结点p所指的结点应是“和多项式”中的一项，令指针p后移。 ②若p->expn=q->expn，则将两个结点中的系数相加，当和不为0时修改结点p的系数。 ③若p->expn>q->expn，则结点q所指的结点应是“和多项式”中的一项，将结点q插入在结点p之前，且令指针q在原来的链表上后移。 四、实验程序 //头文件 #include #include #include //定义多项式的项 typedef struct Polynomial{ float coef; int expn; struct Polynomial *next; }*Polyn,Polynomial;
数据结构中实现一元多项式简单计算
数据结构中实现一元多项式简单计算： 设计一个一元多项式简单的计算器。 基本要求： 一元多项式简单计算器的基本功能为： （1）输入并建立多项式； （2）输出多项式； （3）两个多项式相加，建立并输出和多项式； （4）两个多项式相减，建立并输出差多项式； #include #include #define MAX 20 //多项式最多项数 typedef struct//定义存放多项式的数组类型 { float coef; //系数 int exp; //指数 } PolyArray[MAX]; typedef struct pnode//定义单链表结点类型 { float coef; //系数 int exp; //指数 struct pnode *next; } PolyNode; void DispPoly(PolyNode *L) //输出多项式 { PolyNode *p=L->next; while (p!=NULL) { printf("%gX^%d ",p->coef,p->exp); p=p->next; } printf("\n"); } void CreateListR(PolyNode *&L,PolyArray a,int n) //尾插法建表 { PolyNode *s,*r;int i; L=(PolyNode *)malloc(sizeof(PolyNode)); //创建头结点 L->next=NULL; r=L; //r始终指向终端结点,开始时指向头结点for (i=0;i单项式多项式习题精选
精心整理 单项式 一．选择题（共12小题） 1．（2012?遵义）据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（） A．2.02×102B．202×108C．2.02×109D．2.02×1010 2．（2010?德宏州）单项式7ab2c3的次数是（） A．3B．5C．6D．7 3．（2004?杭州）下列算式是一次式的是（） A．8B．4s+3t C．D． 4．下列各式：，，﹣25，中单项式的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个 5．下列关于单项式的说法中，正确的是（） A．系数是3，次数是2 B． 系数是，次数是2 C． 系数是，次数是3 D． 系数是，次数是3 6．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（） A．﹣π，5 B．﹣1，6 C．﹣3π，6 D．﹣3，7 7．下面的说法正确的是（） A．﹣2是单项式B．﹣a表示负数C． 的系数是3 D． x++1是多项式 8．单项式﹣2πab2的系数和次数分别是（） A．﹣2π、3 B．﹣2、2 C．﹣2、4 D．﹣2π9．下列代数式中属于单项式的是（） A．8xy+5 B．C．D．π10．单项式﹣xy2z的（） A．系数是0，次数是2 B．系数是﹣1，次数是2 C．系数是0，次数是4 D．系数是﹣1，次数是4 11．对单项式﹣ab3c，下列说法中正确的是（）
A．系数是0，次数是3 B．系数是﹣1，次数是5 C．系数是﹣1，次数是4 D．系数是﹣1，次数是﹣5 12．在代数式：，m﹣3，﹣22，，2πb2中，单项式的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共8小题） 13．（2012?南通）单项式3x2y的系数为_________． 14．（2011?柳州）单项式3x2y3的系数是_________． 15．（2010?肇庆）观察下列单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，16a5，…，按此规律第n 个单项式是 _________．（n是正整数）． 16．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式_________．（答案不唯一，只要写出一个） 17．（2009?青海）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为_________；第n个单项式为_________．18．（2005?漳州）单项式﹣x3y2的次数是_________． 19．（2004?内江）写出一个系数是2004，且只含x，y两个字母的三次单项式 _________． 20．（2002?青海）单项式的系数是_________；次数是_________．三．解答题（共6小题） m22 22．已知|a+1|+（b﹣2）2=0，那么单项式﹣x a+b y b﹣a的次数是多少？ 23．附加题：观察下列单项式：x，﹣3x2，6x3，﹣10x4，15x5，﹣21x6…考虑他们的系数和次数．请写出第100个：_________． 24．有一串代数式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，A，B，…，﹣19x19，20x20，…
方阵最小多项式的求法与应用分析解析
方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多
数据结构一元多项式的计算
课程设计成果 学院: 计算机工程学院班级: 13计科一班 学生姓名: 学号: 设计地点（单位）： 设计题目：一元多项式的计算 完成日期：年月日 成绩(五级记分制): _________________ 教师签名:_________________________ 目录 1 需求分析 ......................................................................... 错误!未定义书签。 2 概要设计 ......................................................................... 错误!未定义书签。 2.1一元多项式的建立 ............................................................... 错误!未定义书签。 2.2显示一元多项式 ................................................................... 错误!未定义书签。 2.3一元多项式减法运算 ........................................................... 错误!未定义书签。 2.4一元多项式加法运算 ........................................................... 错误!未定义书签。 2.5 设计优缺点.......................................................................... 错误!未定义书签。3详细设计 .......................................................................... 错误!未定义书签。 3.1一元多项式的输入输出流程图........................................... 错误!未定义书签。 3.2一元多项式的加法流程图................................................... 错误!未定义书签。 3.3一元多项式的减法流程图.................................................. 错误!未定义书签。 3.4用户操作函数....................................................................... 错误!未定义书签。4编码 .................................................................................. 错误!未定义书签。5调试分析 .......................................................................... 错误!未定义书签。4测试结果及运行效果...................................................... 错误!未定义书签。5系统开发所用到的技术.................................................. 错误!未定义书签。参考文献 ............................................................................. 错误!未定义书签。附录全部代码................................................................... 错误!未定义书签。
单项式与多项式经典测试题
单项式与多项式测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列说法正确的是（） A.x的指数是0 B.x的系数是0 C.－3是一次单项式 D.－2 3 ab的系数是－ 2 3 2、代数式a2、－xyz、 2 4 ab 、－x、 b a 、0、a2＋b2、－0.2中单项式的个数 是（） A.4 B.5 C.6 D.7 3、下列语句正确的是（） A．中一次项系数为－2B．是二次二项式C．是四次三项式D．是五次三项式4、下列结论正确的是（）
A.整式是多项式 B.不是多项式就不是整式 C.多项式是整式 D.整式是等式 5、如果一个多项式的次数是4次，那么这个多项式的任何一项的次数（） A.都小于4 B.都等于4 C.都不大于4 D.都不小于4 6、下列说法正确的是（） A ．3x 2―2x+5的项是3x 2，2x ，5 B ．3 x －3y 与2x 2―2xy －5都是多项式 C ．多项式－2x 2+4xy 的次数是３ D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6 7、x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（） A 、2)(y x - B 、22y x - C 、y x -2 D 、2y x - 8、某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S 米， 同学上楼速度是a 米/分,下楼速度是b 米/分,则他的平均速度是（）米/分。
A 、2b a + B 、b a s + C 、b s a s + D 、b s a s s +2 9、若3b ma n 是关于a 、b 的五次单项式，且系数是3-，则=mn （）。 A10B-10C15D-15 10、25ab π-的系数是（） A-5B π5-C3D4 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、单项式23 -xy 2z 的系数是__________，次数是__________。 18、单项式2237 xy π-的系数是，次数是。 13、多项式：y y x xy x +-+3223534是次项式； 14、在代数式a ，12 mn -，5，xy a ，23x y -，7y 中单项式有 个。 15、写出一个系数为－1，含字母x 、y 的五次单项式 。 16、多项式x 3y 2－2xy 2－ 43xy －9是___次___项式，其中最高次项的系数是，二次项是，常数项是．
方阵最小多项式的求法与应用
方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小
C语言一元多项式计算
C语言一元多项式计算集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
#include <> #include <> #include <> #define LEN sizeof(node) //结点构造 typedef struct polynode { int coef; //系数 int exp; //指数 struct polynode *next; }node; node * create(void) { node *h,*r,*s; int c,e; h=(node *)malloc(LEN); r=h; printf("系数："); scanf("%d",&c); printf("指数："); scanf("%d",&e); while(c!=0) { s=(node *)malloc(LEN); s->coef=c; s->exp=e; r->next=s; r=s; printf("系数："); scanf("%d",&c); printf("指数："); scanf("%d",&e); } r->next=NULL; return(h);
} void polyadd(node *polya, node *polyb) { node *p,*q,*pre,*temp; int sum; p=polya->next; q=polyb->next; pre=polya; while(p!=NULL&&q!=NULL) { if(p->exp>q->exp) { pre->next=p; pre=pre->next; p=p->next; } else if(p->exp==q->exp) { sum=p->coef+q->coef; if(sum!=0) { p->coef=sum; pre->next=p;pre=pre->next;p=p->next; temp=q;q=q->next;free(temp); } else { temp=p->next;free(p);p=temp; temp=q->next;free(q);q=temp; } } else { pre->next=q; pre=pre->next; q=q->next; } } if(p!=NULL) pre->next=p; else pre->next=q; } void print(node * p) {
七年级数学单项式与多项式例题及练习
单项式与多项式例题及练习 例：试用尽可能多的方法对下列单项式进行分类：3a 3x ，bxy ，5x 2，-4b 2y ，a 3，-b 2x 2， 12axy 2 解：（1）按单项式的次数分：二次式有5x ；三次式有bxy ，-4b 2y ，a 3；四次式有3a 3x ，?-b 2x 2, 12axy 2。 （2）按字母x 的次数分：x 的零次式有-4b 2y ，a 3；x 的一次式有3a 3x ，bxy ， 12axy 2；x 的二次式有5x 2，-b 2x 2。 （3）按系数的符号分：系数为正的有3a 3x ，bxy ，5x 2，a 3， 12axy 2；系数为负的有-4b 2y ，-b 2x 2。 （4）按含有字母的个数分：只含有一个字母的有5x 2，a 3；?含有两个字母的有3a 3x ，?-4b 2y ，-b 2x 2；含有三个字母 的有bxy ，12 axy 2。 评析：对单项式进行分类的关键在于选择一个恰当的分类角度。如按单项式的次数、按式中某个字母的次数、按系数的符号、按含有字母的个数等等。 1、把代数式222a b c 和32a b 的共同点填在下列横线上，例如：都是代数式。 ①都是 式；②都是 。 2、写出一个系数为－1，含字母x 、y 的五次单项式 。 3、如果52)2(4232+---+-x x q x x p 是关于x 的五次四项式，那么p+q= 。 4、若（4a －4）x 2y b+1是关于x ，y 的七次单项式，则方程ax －b=x －1的解为 。 5、下列说法中正确的是（ ） A 、x -的次数为0 B 、x π-的系数为1- C 、－5是一次单项式 D 、b a 25-的次数是3次 6、若12--b y ax 是关于x ，y 的一个单项式，且系数是7 22，次数是5，则a 和b 的值是多少？ 7、已知：12)2(+-m b a m 是关于a 、 b 的五次单项式，求下列代数式的值，并比较（1）、（2）两题结果：（1）122+-m m ， （2）()21-m ●体验中考 1、（2008年湖北仙桃中考题改编）在代数式a ，12mn - ，5，xy a ，23x y -，7y 中单项式有 个。 2、（2009年江西南昌中考题改编）单项式23 -xy 2z 的系数是__________，次数是__________。 3、（2008年四川达州中考题改编）代数式2ab c -和222a y 的共同点是 。
最新单项式与多项式测试题
整式加减综合训练 1、2322431111,,,,,,0,5,372222 a a mn xy a x m n a y x ----+-+①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 代数式中是单项式的是________，是多项式的是________,是整式的是____________. 2、写出下列单项式的系数和次数 3a 的系数是______，次数是______； 32-5ab 的系数是______，次数是______； —23a bc 的系数是______，次数是______； 237x y π的系数是______，次数是______； 3、写出下列各个多项式的项几和次数 (1)1222--+-xz xy yz x 有___项，分别是：_____________________；次数是_____； (2)2143 x x -+-是 次 项式，它的项分别是 ，其中常数项是 ； 4、若28m x y -是一个六次单项式，则210m -+的值为_______. 5、若|2|3(5)k k x y --是关于,x y 的6次单项式，则k=___________________. 6、若－3x a －2b y 7与2x 8y 5a +b 是同类项，则a =__________，b =__________. 7、若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则m n = . 8、多项式32(1)n m a a --++是关于a 的三次二项式，则m=_______，n=_________. 9、在()22 269a k ab b +-++中，不含ab 项，则k = 10、关于x 的多项式35222++-+-bx ax x x 的值与x 无关，则a=______,b=______. 11、若233m n ---的值为，则24-5m n -+的值为________ 12、当1x =-时，代数式6199920012003+--cx bx ax 的值为－2，当1x =时，这个代数式 的值为_____________ 13、一个两位数，它的十位数字为a ，个位数字为b ，若把它的十位数字与个位数字对调， 新数与原数的差为____________________. 14、下列说法中正确的是（ ） A 、5不是单项式 B 、2y x +是单项式 C 、2x y 的系数是0 D 、32 x -是整式 15、如果3 21 22--n y x 是七次单项式，则n 的值为（ ）A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 16、多项式122 +-x x 的各项分别是（ ） A 、1,,22x x B 、1,,22x x - C 、1,,22--x x D 、1,,22---x x
高代求最小多项式
矩阵最小多项式的求法 杨骁 数学与科学学院 指导老师 李永斌老师 [摘要]：本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的两种求法。 [关键词]：方阵；最小多项式。 一、引言 最小多项式在研究线性变换及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，如何求最小多项式非常重要。本文提供了常用的两种方法，利用特征多项式或Jordan 标准型求矩阵的最小多项式。 二、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一个n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式， 则,0)1()()(1 2211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一 个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式， 记为)(λA ψ. 最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C ?∈，则 （1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同. (一)由特征多项式求最小多项式
定理 1 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点. 推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ， 其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1 n m s i i =∑=则A 的最小多项式具 有如下形式： s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ， 其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数. 推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法. 例1 求矩阵 ?? ?? ? ?????=211121112A 的最小多项式. 解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2 --=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能： （1-λ）（4-λ），)4()1(2 --λλ 由于 000000000021112111 2111111111)4)((=???? ??????=??????????---??????????=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ. 有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多 项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出 .)) (),((() (λλλf f f ' 例2 求矩阵
一元多项式计算器
一元多项式计算器 目录 摘要 (1) 1绪论 (1) 2系统分析 (1) 2.1功能需求 (1) 2.2数据需求 (1) 2.3性能需求 (1) 3总体设计 (2) 3.1系统设计方案 (2) 3.2功能模块设计 (2) 4详细设计 (3) 4.1建立多项式 (4) 4.2多项式相加 (4) 4.3多项式相减 (5) 4.4多项式相乘 (5) 4.5计算器主函数 (6) 5调试与测试 (7) 5.1调试 (7) 5.2测试 (8) 6结论 (9) 结束语 (9) 参考文献 (9) 附录1－用户手册 (10) 附录2－源程序 (12)
摘要 随着生活水平的提高，现代科技也日益发达。日常生活中多位计算再所难免，因此设计一个简单计算器可解决许多不必要的麻烦。 开发这样一个程序主要运用了C的结点，链表等方面知识。系统主要实现了多项式的建立，多项式的输入输出，以及多项式加减乘等运算。 报告主要从计算器的程序段，对输入输出数据的要求，计算器的性能，以及总体的设计来介绍此计算器程序的实现过程。 关键词：多项式；链表；结点 1绪论 随着日益发达的科技，计算器已应用于各行各业。设计一个计算器需要运用C中多方面知识，更是以多项式的建立，输入输出，以及结点，链表为主。（扩充） 任务书。。。。。 2系统分析 2.1 功能需求 多项式的建立多项式输入输出多项式加减乘等运算 2.2数据需求 在输入过程中，首先要确定输入的数据，数据不能是字母，只能是数字。不能连续输入数据，必须按要求配以空格输入要计算的数据。 (1) 链节节点数字 (2) 数字 2.3 性能需求 系统必须安全可靠，不会出现无故死机状态，速度不宜过慢。
一元稀疏多项式计算器(数据结构)
院系：计算机科学学院 专业：软件工程 年级： 2013级 课程名称：数据结构 姓名：韦宜（201321092034）指导教师：宋中山 2015年 12 月 15日
题目：设计一个一元稀疏多项式简单计算器 班级：软件工程1301 姓名：韦宜学号：201321092034 完成日期：12月15日 一、需求分析 问题描述：设计一个一元多项式加法器 基本要求： 输入并建立多项式； (2)两个多项式相加； (3)输出多项式：n, c1, e1, c2, e2, …cn , en, 其中，n是多项式项数，ci和ei分别是第i 项的系数和指数，序列按指数降序排列。 (4)计算多项式在x处的值； (5)求多项式的导函数。 软件环境：Windows，UNIX，Linux等不同平台下的Visual C++ 6.0 硬件环境: 512MB内存,80Gb硬盘,Pentium4 CPU,CRT显示器。
二、概要分析 本程序有五个函数： PolyNode *Input()(输入函数)； PolyNode *Deri(PolyNode *head)（求导函数）； PolyNode * Plus(PolyNode *A,PolyNode *B)（求和函数）； void Output(PolyNode*head)（输出函数）； int main()（主函数） 本程序可使用带有附加头结点的单链表来实现多项式的链表表示，每个链表结点表示多项式的一项，命名为node，它包括两个数据成员：系数coef和指数exp，他们都是公共数据成员，*next为指针域，用链表来表示多项式。适用于不定的多项式，特别是对于项数再运算过程中动态增长的多项式，不存在存储溢出的问题。其次，对于某些零系数项，在执行加法运算后不再是零系数项，这就需要在结果多项式中增添新的项；对于某些非零系数项，在执行加法运算后可能是零系数项，这就需要在结果多项式中删去这些项，利用链表操作，可以简单的修改结点的指针以完成这种插入和删除运算（不像在顺序方式中那样，可能移动大量数据项）运行效率高。
最小多项式1
定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。 注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。 我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。 引理1 A 的最小多项式是唯一的。 证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得 12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l . 我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是 A 的最小多项式矛盾。因此21()()g g l l . 同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎ 用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得 引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。▎ 引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。 证明 由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根： 设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得 0O g A X g X l . 因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。▌ 求最小多项式的方法1： （1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。 例1 零方阵的最小多项式是()g l l ；数量矩阵kE 的最小多项式是()g k l l ，从而单位矩阵的最小多项式是()1g l l . 例2 求1111A 的最小多项式。 解 A 的特征多项式3()(1)f l l ，特征值只有1λ=，()f λ的含有1λ-的因式有： 231,(1),(1)l l l . 经检验，A E O ，2()A E O ，所以A 的最小多项式是2()(1)g l l . 引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。 证明 设1B T AT ，则对于任何多项式()g l 有 1()()g B T g A T ，由此得 ： ()()g A O g B O . 由引理2知,A B 的最小多项式互相整除，它们是相等的。▎ 但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）.
单项式多项式练习题
整式练习题 一．选择题： 1.在下列代数式：ab 21 ，b a +2 1，12++b ab ，3+π，2 1 2 + π ，12+-x x 中，多项式有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 2.下列多项式次数为3的是【 】 （A ）－5x 2＋6x －1 （B ）πx 2＋x －1 （C ）a 2b ＋ab ＋b 2（D ）x 2y 2－2xy －1 3.下列说法中正确的是【 】 （A ）代数式一定是单项式 （B ）单项式一定是代数式 （C ）单项式x 的次数是0 （D ）单项式－π2x 2y 2的次数是6。 4.下列语句正确的是【 】 （A ）x 2＋1是二次单项式 （B ）－m 2的次数是2，系数是1 （C ） 2 1x 是二次单项式 （D ）32abc 是三次单项式 5.2a 2－3ab ＋2b 2－（2a 2＋ab －3b 2）的值是【 】 （A ）2ab －5b 2 （B ）4ab ＋5b 2 （C ）－2ab －5b 2 （D ）－4ab ＋5b 2 6.下列说法正确的是（ ） A.8―z 2是多项式 B. ―x 2yz 是三次单项式，系数为0 C. x 2―3xy 2+2 x 2y 3―1是五次多项式 D. x b 5-是单项式 7. 下列结论中，正确的是（ ） A ．单项式5 2ab 2的系数是2，次数是2 B ．单项式a 既没有系数，也没有指数 C ．单项式—ab 2c 的系数是—1，次数是4 D ．没有加减运算的代数式是单项式 8. 单项式―x 2yz 2的系数、次数分别是（ ） A ．0，2 B.0，4 C. ―1，5 D. 1，4 9．下列说法正确的是（ ） A ．没有加、减运算的式子叫单项式； B ．35πab 的系数是3 5，次数是3 C ．单项式―1的次数是0 ； D ．2a 2b ―2ab+3是二次三项式
