电路原理(邱关源)习题答案相量法
第八章 相量法
求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：
（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；
（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠
25)5()5(22=-+-=a
13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)
故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F
（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二
象限）
（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F
（4） 9010104∠==j F
（5） 180335∠=-=F
（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F
注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：
2221a a a += 12arctan a a =θ
和 θcos 1a a = θsin 2a a =
需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：
（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；
（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
解：（1）56.992.2)73sin(10)73cos(1073101j j F -=-?+-?=-∠=
（2）85.1376.56.112sin 156.112cos 156.112152j F +-=+=∠=
（3）56.006.1152sin 2.1152cos 2.11522.13
j F +-=+=∠= （4）1090104j F -=-∠=
（5）518051-=-∠= F
（6）07.707.7)135sin(10)135cos(10135101j F --=-+-=-∠=
8－3 若?∠=∠+∠175600100 A 。求A 和?。
解：原式=??sin 175cos 17560sin 60cos 100j ja A +=++ 根据复数相等的
定义，应有实部和实部相等，即
?cos 17510060cos =+ A
虚部和虚部相等
?sin 17560sin = A 把以上两式相加，得等式
020*******=-+A A
解得
???-=?+±-=069.20207.10222062541001002A
所以 505.01752307.10217560sin sin =?==A ?
34.30=?
8－4 求8－1题中的62F F ?和62F F 。
解： 19.7361.913.1435)20.978.2()34(62∠?∠=+?+-=?j j F F
68.14305.4832.21605.48-∠=∠=
94.6952.019.7361.913.143520.978.23462∠=∠∠=++-=j j F F
8－5 求8－2题中的51F F +和51F F 。
解： 1805731051-∠+-∠=+F F
5)73sin(10)73cos(10--+-= j 27.10278.956.908.2-∠=--=j
10721807321805731051∠=+-∠=-∠-∠=F F
8－6若已知。,)60314sin(10,)60314cos(521A t i A t i +=+-=
A t i )60314cos(43
+=
（1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图；
（2） 1i 与2i 和1i 与3i 的相位差；
（3） 绘出1i 的波形图；
（4） 若将1i 表达式中的负号去掉将意味着什么？
（5） 求1i 的周期T 和频率f 。
解：（1）
)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(51 -=-+=+-=t t t i )30314cos(10)60314sin(102 -=+=t t i
故1i ，2i 和3i 的相量表达式为
A I A I A I 6024,30210,12025321∠=-∠=-∠=
其相量图如题解图（a ）所示。
题解8－6图
（2） 90)30(1202112-=---=-=???
180601203113-=--=-=???
（3）1i （t ）的波形图见题解图（b ）所示。
（4）若将1i （t ）中的负号去掉，意味着1i 的初相位超前了180
。即1i 的参考方向反向。
（5）1i （t ）的周期和频率分别为
ms s T 2002.031422====πωπ
Hz T f 5002.0121====πω
注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。
8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为V U 30501∠=V U 150100,2-∠-=，其频率Hz f 100=。求：
（1）写出1u ， 2u 的时域形式；（2）1u 与2u 的相位差。
（1）V t ft t u )30628
cos(250)302cos(250)(1 +=+=π V t ft t u )180150628
cos(2100)1502cos(2100)(2 =-=--=π V t )30628
cos(2100 += （2）因为V U 30501∠=V V U 30100150100,2∠=-∠-=
故相位差为 03030=-=?，即1u 与2u 同相位。
8－8 已知：V t t u )120314cos(2220)(1 -= V t t u )30314cos(2220)(2 +=
（1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率f 和周期T ；
（2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差；
（3） 如果把电压2u 的参考方向反向，重新回答（1），（2）。
解：（1）波形如题解8－8图（a ）所示。
题解8－8图
有效值为 V u u 220
21==2u 频率 Hz f f 502314221====ππω
周期 s f T T 02.0501121===
=
（2）1u 和2u 的相量形式为
V U 1202201-∠= V U 302202∠=
故相位差为 1503012021-=--=-=???
相量图见题解图（b ）所示。
（3）2u 的参考方向反向，2u （t ）变为－2u （t ），有效值、频率和周期均
不变，－2u （t ）的相量为V U 150200*********-∠=-∠=
故 1u 和 2u 的相位差为 30)150(12021=---=-=???
波形图和向量图见题解图（a ）和（b ）。
8－9 已知一段电路的电压、电流为：
V t u )2010sin(103 -=
A t i )5010cos(23 -=
（1） 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。
解：（1）V t t u )11010cos(10)2010sin(1033 -=-=，故u 和i 的相量分别为
V U 110210-∠= A I 5022-∠=
其波形和相量图见题解图(a)和图（b ）所示。
题解8－9图
（2）相位差 60)50(110-=---=-=i u ???，说明电压落后于电流 60。
8－10 已知图示三个电压源的电压分别为：
V t u a )10cos(2220 +=ω，V t u b )110cos(2220 -=ω，
V t u c )130cos(2220 +=ω，
求：（1）3个电压的和；（2）bc ab u u ,；（3）画出它们的相量图。
题解8－10图
解：a u ，b u ，c u 的相量为
V U a 10220∠=
V U b 110220-∠=
V U c 130220∠=
（1）应用相量法有
13022011022010220∠+-∠+∠=++c b a U U U
0=
即三个电压的和 0)()()(=++t u t u t u c b a
（2） 11022010220-∠-∠=-=b a ab U U U V 403220∠=
130220110220∠--∠=-=c b bc U U U V 803220-∠=
（3）相量图如题解8－10图所示。
题解8－10图
8－11 已知图（a ）中电压表读数为V V 30:1； V V 60:2；图（b ）中的V V 15:1；
V V 80:2； V V 100:3。（电压表的读数为正弦电压的有效值。）求图中电压s U 。
题8－11图
解法一：
（a ） 图：设回路中电流 0∠=I I
，根据元件的电压、电流相量关系，可得
题8－11图
V RI I R U R 0300∠=∠==
V I X I jX U L L L 906090∠=∠==
则总电压 V j U U U L R S 6030+=+=
所以s u 的有效值为
V U S 08.67603022=+= （b ） 图：设回路中电流相量A I I
0∠=，因为 V RI I R U R 0150∠=∠==
V I X I jX U L L L 908090∠=∠==
V I X I jX U C C C
9010090-∠=-∠=-=
所以总电压 V j j j U U U U C L R S 20151008015-=-+=++=
故s u 的有效值为
V U S 25201322=+= 解法二： 利用相量图求解。设电流 0∠=I I 为参考相量，电阻电压R U 与
I 同相位，电感电压L U 超前I
90，电容电压c U 要滞后I 90，总电压s U 与各元件电压向量构成一直角三角形。题解8-11图（a ）和（b ）为对应原图（a ）和（b ）的相量图。由题解图（a ）可得
V U U U L R S 08.6760302222=+=+= 由题解图（b ）可得
V U U U U L C R S 258)80100(15)(2222=-+=-+=
题解8－11图
注：这一题的求解说明，R ，L ，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我
们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。
8－12 已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为A A 5:1；A A 20:2；A A 25:3。求：（1）图中电流表A 的读数；（2）如果维持1A 的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A 的读数。
题8－12图
解法一：
（1）R ，L ，C 并联，设元件的电压为
0∠=====U U U U U C L R
根据元件电压、电流的相量关系，可得
A R U R U I R 05∠===
A j A X U jX U I L L L 2090-=-∠==
A j X U jX U I C C C 25902590=∠=∠=-=
应用KLC 的相量形式，总电流相量为
A j j j I I I I C L R 45255525205∠=+=+-=++= 故总电流表的读数A I 07.725===
（2）设 0∠=====U U U U U C L R
当电流的频率提高一倍后，由于A R U R U I R 05∠===不变，所以U U R =不
变，而L X L ω2=增大一倍，C X C ω21
=减小一倍，因此，有
∠?===20212L j U jX U I L L ω
A c j U jX U I C C 90509025221
∠=∠?=-=-=ω
所以 40550105j j j I I I I C L R +=+-=++=
即，电流表的读数 A A 31.4040522=+=
题解8－12图
解法二： 利用相量图求解。设
L R U U U U ==∠=0C U =为参考向量，根据元件电压、电流的相位关系知， R I 和U
同相位，C I 超前 90，L I 滞后U 90，相量图如题解8－12图所示，总电流I 与R I ，C I 和L I 组成一个直角三角形。故
电流表的读数为
A I I I L C R 22)(-+=
即 （1）
A 07.7)2025(522=-+= （2）A 31.40)1025(522=-+=
注：从8－11题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电
压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向较方便，如8－11题。对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如8－12题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。
8－13 对RL 串联电路作如下两次测量：（1）端口加90V 直流电压（0=ω）时，输入电流为3A ；（2）端口加Hz f 50=的正弦电压90V 时，输入电流为1.8A 。求
R 和L 的值。
题解8－13图
解：由题意画电路如题解8－13图所示。
（1）当s u 为90V 直流电压时，电感L 看作短路，则电阻 Ω===30390i u R s
（2）当s u 为90V 交流电压时，设电流A I I
08.10∠=∠=，根据相量法，有
8.18.130?+?=+=L L S jX I jX I R U
故 22308.190L S X U +?== Ω=-=4030)8.190(22L X
根据L X L ω=，解得
H f X X L L L 127.0100402====ππω
8－14 某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时，它可能是
什么元件？
（1）???+=+=A t i V t u )13510sin(2)4510cos(10 （2）???==A t i V t u )100cos(2)100sin(10
（3）???-=-=tA i tV u sin cos 10 （4）???=+=A t i V t u )314cos(2)45314cos(10
解：（1）把电流变为余弦形式有A t t i )4510cos(2)9013510cos(2 +=-+=，
u 和i 的相量为 V U 45210∠=， A I 4522∠=
则 Ω∠= 05I U
即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系可知这是一个Ω5的电阻元件。
（1） 把电压变为余弦形式有
V j t u )90100cos( -= （2） u 和i 的相量为 45210∠=U A I 022∠=
则 L jX R j I U +=+=∠=)1(25455 即这是一个
Ω
=25
R 的电阻和Ω=25L X 的电感的串联组合。
8－15 电路由电压源V t u s
)10cos(1003=及R 和L ＝0.025H 串联组成。电感端电压的有效值为25V 。求R 值和电流的表达式。
解：由题意画电路的相量模型如题解8－15图（a ）所示，相量图如题解图（b ）所示。由于
02100∠=s U
Ω=?==25025.0103L X L ω
故电流的有效值为 A X U I L L 12525===
题解8－15图
由图（b ）知电阻电压的有效值为 V U U U L S R 144.6625)2100(2222=-=-=
所以电阻为 Ω===144.661144.66I U R R
I 滞后S U 的角度（因为是感性电路）为
70.20210025arcsin arcsin
===S L Z U U ?
因此电流的瞬时表达式为
A t t i )70.2010cos(2)(3 -= 也可根据 A j jX R U I
L S 70.20125144.662100
-∠=+=+=
得
A t t i )70.2010cos(2)(3 -=
8－16 已知图示电路A I I 1021==。求I 和S U 。
解：设S U 为参考相量。1I 与S U 同相位，2I 超前S U 90，相量图如题解8－
16图所示。由图可知
题解8－16图 题解8－16图
A
I I I 2101010222
221=+=+=
451arctan arctan 12
===I I Z ?
由电路图知
V RI U S 10010101=?== 故S U 和I 分别为
V U S 0100∠= A I I Z 45210∠=∠=?
8－17 图示电路中A I S
02∠=。求电压U 。
解： L L R S jX U R U I I I
+=+= 即V
j I U S
4524520211∠=-∠∠=+=
题8－17图