(word完整版)高等数学教案ch5定积分

第五章定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5. 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.

求曲边梯形的面积的近似值:

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0

把[a,b]分成n个小区间

[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],???, [x n-1,x n],

它们的长度依次为?x1= x1-x0, ?x2= x2-x1,???,?x n= x n-x n-1.

经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2,???, n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即

A≈f (ξ 1)?x1+ f (ξ 2)?x2+???+ f (ξ n)?x n∑

=?

=

n

i

i

i

x f

1

) (ξ.

求曲边梯形的面积的精确值:

显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯

形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记

λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为

∑=→?=n

i i i x f A 1

0)(lim ξλ.

2. 变速直线运动的路程

设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:

我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔?t i , 在每个小的时间间隔?t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔?t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔?t i 内 运动的距离近似为?S i = v (τ i ) ?t i . 把物体在每一小的时间间隔?t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点

T 1=t 0< t 1< t 2

把[T 1 , T 2]分成n 个小段

[t 0, t 1], [t 1, t 2], ? ? ?, [t n -1, t n ] ,

各小段时间的长依次为

?t 1=t 1-t 0, ?t 2=t 2-t 1,? ? ?, ?t n =t n -t n -1.

相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为

?S 1, ?S 2, ? ? ?, ?S n .

在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程?S i 的近似值, 即

?S i = v (τ i ) ?t i (i =1, 2, ? ? ? , n ).

于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即

∑=?≈n

i i i t v S 1)(τ;

求精确值:

记λ = max{?t 1, ?t 2,? ? ?, ?t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程

∑=→?=n

i i i t v S 1

0)(lim τλ.

设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0

及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.

(1)用分点a =x 0

i i x f ?)(ξ (i =1, 2, ? ? ? , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为

∑=?≈

n

i i

i

x f A 1

)(ξ.

(3)记λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→?=n

i i

i

x f A 1

)(lim ξλ.

设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .

(1)用分点T 1=t 0

(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )?t i (i =1, 2, ? ? ? , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=?≈

n

i i

i

t v S 1

)(τ.

(3)记λ=max{?t 1, ?t 2,? ? ?, ?t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→?=n

i i

i

t v S 1

)(lim τλ.

二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.

定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点

a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n =

b ,

把区间[a , b ]分成n 个小区间

[x 0, x 1], [x 1, x 2], ? ? ?, [x n -1, x n ] ,

各小段区间的长依次为

?x 1=x 1-x 0, ?x 2=x 2-x 1,? ? ?, ?x n =x n -x n -1.

在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度?x i 的乘积

f (ξ i ) ?x i (i =1, 2,? ? ?, n ) , 并作出和

∑=?=n

i i i x f S 1)(ξ.

记λ = max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作?b

a dx x f )(, 即

∑?=→?=n

i i i b

a x f dx x f 1

)(lim )(ξλ.

其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.

定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0

n

i i

i

x

f S 1

)(ξ.

记λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作?

b

a

dx x f )(,

即 ∑?

=→?=n

i i i b

a

x f dx x f 1

)(lim )(ξλ.

根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为?=b

a dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S T

T )(21

?=.

说明:

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即

???==b

a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.

(2)和∑=?n

i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.

(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？ 定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.

定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.

定积分的几何意义:

在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分?b

a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =

b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

?∑∑?--=?--=?==→=→b

a n

i i i n i i i b

a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1

01

0ξξλλ.

当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分?b

a dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =

b 之间的各部分面积的代数和.

用定积分的定义计算定积分:

例1. 利用定义计算定积分dx x 21

0?.

解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,? ? ?, n -1), n x i 1=?(i =1, 2,? ? ?, n ) .

取n i i =ξ(i =1, 2,? ? ?, n ), 作积分和

∑∑

∑===?=?=?n

i i

n

i i i n i i n n

i x x f 121

21

1)()(ξξ

)12)(1(6

1113123++?==∑=n n n n i n n

i )12)(11(61n n ++=.

因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以

3

1)12)(11(61lim )(lim 1

02

10=++=?=∞→=→∑?

n n x f dx x n n i i i ξλ.

利定积分的几何意义求积分:

例2. 用定积分的几何意义求?-1

0)1(dx x .

解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面

积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 21

1121)1(1

0=??=-?dx x .

三、定积分的性质 两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=?b

a dx x f . (2)当a >

b 时,

??-=a

b b

a dx x f dx x f )()(.

性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

???±=±b

a b

a b

a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.

证明:?±b

a dx x g x f )]()([∑=→?±=n

i i i i x g f 1

0)]()([lim ξξλ

∑∑=→=→?±?=n

i i i n

i i i x g x f 1

01

0)(lim )(lim ξξλλ

??±=b

a b

a dx x g dx x f )()(.

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

??=b

a b a dx x f k dx x kf )()(.

这是因为∑?=→?=n

i i i b

a x kf dx x kf 1

0)(lim )(ξλ?∑=?==→b

a n

i i i dx x f k x f k )()(lim 1

0ξλ.

性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即

???+=b

c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式

???+=b

c

c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(

成立. 例如, 当a

b b

a c

a dx x f dx x f dx x f )()()(,

于是有

???-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(??+=b

c

c a dx x f dx x f )()(.

性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则

a b dx dx b

a b a -==??1. 性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则

?≥b

a dx x f 0)((a <

b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则

??≤b

a b

a dx x g dx x f )()((a <

b ).

这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ???≥-=-b

a b

a b

a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以

??≤b

a b

a dx x g dx x f )()(.

推论2 ??≤b

a b

a dx x f dx x f |)(||)(|(a <

b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ???≤≤-b

a b

a b

a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ??≤b

a b

a dx x f dx x f |)(||)(|| .

性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ?-≤≤-b

a a

b M dx x f a b m )()()((a

a b a Mdx dx x f mdx )(,

从而

?-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.

性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:

?-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ.

这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6

?-≤≤-b

a a

b M dx x f a b m )()()(,

各项除以b -a 得

?≤-≤b

a M dx x f a

b m )(1,

再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使

?-=b

a dx x f a

b f )(1)(ξ,

于是两端乘以b -a 得中值公式

?-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ.

积分中值公式的几何解释:

应注意: 不论a b , 积分中值公式都成立.

§5. 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动, 在t 时刻所经过的路程为S (t ), 速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0), 则在时间间隔[T 1, T 2]内物体所经过的路程S 可表示为 )()(12T S T S -及dt t v T

T )(21

?,

即 )()()(1221

T S T S dt t v T

T -=?.

上式表明, 速度函数v (t )在区间[T 1, T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1, T 2]上的增量.

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数

设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 并且设x 为[a , b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a , x ]上的定积分

dx x f x

a )(?

称为积分上限的函数. 它是区间[a , b ]上的函数, 记为 Φ(x )dx x f x

a )(?=, 或Φ(x )=dt t f x

a )(?.

定理1 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数 Φ(x )dx x f x

a )(?=

在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为

Φ'(x ))()(x f dt t f dx

d x

a ==?(a ≤x <

b ).

简要证明 若x ∈(a , b ), 取?x 使x +?x ∈(a , b ). ?Φ=Φ(x +?x )-Φ(x )dt t f dt t f x

a x

x a )()(??-=?+

dt t f dt t f dt t f x

a x

x x x

a )()()(???-+=?+

x f dt t f x x x

?==??+)()(ξ,

应用积分中值定理, 有?Φ=f (ξ)?x ,

其中ξ在x 与x +?x 之间, ?x →0时, ξ→x . 于是 Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x x

x x ===??Φ=→→?→?ξξξ.

若x =a , 取?x >0, 则同理可证Φ+'(x )= f (a ); 若x =b , 取?x <0, 则同理可证Φ-'(x )= f (b ).

定理2 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数 Φ(x )dx x f x

a )(?=

就是f (x )在[a , b ]上的一个原函数.

定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 三、牛顿--莱布尼茨公式

定理3 如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则

)()()(a F b F dx x f b

a -=?.

此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x

a )(?都是f (x )的原函数, 所以存在常数C , 使

F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).

由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0, 得C =F (a ), F (x )-Φ(x )=F (a ). 由F (b )-Φ(b )=F (a ), 得Φ(b )=F (b )-F (a ), 即

)()()(a F b F dx x f b

a -=?.

证明: 已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数 Φ(x )=dt t f x

a )(?

也是f (x )的一个原函数. 于是有一常数C , 使

F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).

当x =a 时, 有F (a )-Φ(a )=C , 而Φ(a )=0, 所以C =F (a ); 当x =b 时, F (b )-Φ(b )=F (a ), 所以Φ(b )=F (b )-F (a ), 即

)()()(a F b F dx x f b

a -=?.

为了方便起见, 可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([, 于是

)()()]([)(a F b F x F dx x f b

a b

a -==?. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例1. 计算?1

02dx x .

解: 由于331x 是2x 的一个原函数, 所以

3

1031131]31[33103102=?-?==?

x dx x .

例2 计算23

11x

dx +?-.

解 由于arctan x 是211x +的一个原函数, 所以

3

123

1][arctan 1--=+?x x dx

)1arctan(3arctan --=πππ12

7)4 (3 =--=.

例3. 计算?--1

21dx x .

解:

1

212|]|[ln 1

----=?x dx x =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, π]上与x 轴所围成的平面图形的面积.

解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积 ππ

00]cos [sin x xdx A -==?=-(-1)-(-1)=2.

例5. 汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间: 当t =0时, 汽车速度

v 0=36km/h 3600100036?=m/s =10m/s .

刹车后t 时刻汽车的速度为 v (t )=v 0+at =10-5t . 当汽车停止时, 速度v (t )=0, 从

v (t )=10-5t =0 得, t =2(s ).

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

dt t dt t v s )510()(2

020-==??10]2

1510[2

2=?-=t t (m ), 即在刹车后, 汽车需走过10m 才能停住.

例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0. 证明函数??=x x

dt t f dt t tf x F 00

)()()(

在(0, +∞)内为单调增加函数.

证明: )()( 0x xf dt t tf dx

d x =?, )()(0x f dt t f dx d x

=?. 故

2

000)

)(()()()()()(???-=

'x

x x

dt t f dt

t tf x f dt t f x xf x F 2

00)

)(()()()(??-=

x

x

dt t f dt t f t x x f .

按假设, 当00, (x -t )f (t )> 0 , 所以

0)(0>?dt t f x

,

0)()(0>-?dt t f t x x

,

从而F '(x )>0 (x >0), 这就证明了F (x ) 在(0, +∞)内为单调增加函数. 例7. 求2

1

cos 0

2

lim

x dt

e x

t x ?-→.

解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,

e

x xe x dt

e x dt

e x

x x t x x

t x 212sin lim lim

lim

2

2

2

cos 02

cos 1

2

1

cos 0

==--→-→-→??. 提示: 设?-=Φx

t dt e x 12

)(, 则?-=Φx t dt e x cos 1

2

)(cos .

x

u x t e x x e dx

du u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---?-=-?=?Φ=Φ=?.

§5. 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理 假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =?(t )满足条件: (1)?(α )=a , ?(β)=b ;

(2)?(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ], 则有

dt t t f dx x f b a )()]([)(??β

α'=??.

这个公式叫做定积分的换元公式.

证明 由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [?(t )]?'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的.

假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则

dx x f b

a )(?=F (

b )-F (a ).

另一方面, 因为{F [?(t )]}'=F '[?(t )]?'(t )= f [?(t )]?'(t ), 所以F [?(t )]是f [?(t )]?'(t )的一个原函数, 从而

dt t t f )()]([??β

α'?=F [?(β )]-F [?(α )]=F (b )-F (a ).

因此 dt t t f dx x f b

a )()]([)(??β

α'=??. 例1 计算?-a

dx x a 022(a >0). 解

???-=20sin 0

2

2cos cos

π

tdt a t a dx x a t

a x a

令

??+==202

2022)2cos 1(2

cos π

π

dt t a

tdt a

220

2

4

1]2sin 21[2a t t a ππ

=+=. 提示:

t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2

π=t .

例2 计算xdx x sin cos 520?π

. 解 令t =cos x , 则

x xd xdx x cos cos sin cos 5205

20

??-=π

π

6

1]61[ 1

06105015cos ===-??=t dt t dt t t

x 令.

提示: 当x =0时t =1, 当2

π=

x 时t =0.

或

x xd xdx x cos cos sin cos 5205

20

??-=π

π

6

10cos 612cos 61]cos 61[6620

6=+-=-=ππ

x . 例3 计算?-π

053sin sin dx x x . 解

dx x x dx x x |cos |sin sin sin 2

3

5

3??=-π

π

??-=π

ππ

2

23

20

23

cos sin cos sin xdx x xdx x

?

?

-=π

ππ

2

2320

23sin sin sin sin x xd x xd

54)52(52]sin 52[]sin 52[2

25

2025=--=-=ππ

πx x . 提示: |cos |sin )sin 1(sin sin sin 23

2353x x x x x x =-=-.

在]2

,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x .

例4 计算dx x x ?++4

1

22.

解

???+=?+-++=+3

123

12124

)3(2

12

21 1

22dt t tdt t t dx x x t x 令

3

22)]331()9327[(21]331[213

13=+-+=+=t t .

提示: 2

1

2-=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3.

例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则

??=-a

a a dx x f dx x f 0)(2)(.

证明 因为dx x f dx x f dx x f a

a a

a )()()(00

???+=--, 而 ????-=-=---=-a

a a t

x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()(

)(令,

所以

???+-=-a

a

a

a dx x f dx x f dx x f 00)()()(

???==+-=-a

a

a a

dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([. 讨论:

若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=?-a

a dx x f )(？ 提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而

0)]()([)(0=+-=??-a

a a dx x f x f dx x f .

例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)??=2020)(cos )(sin π

π

dx x f dx x f ; (2)??=π

π

π

0)(sin 2

)(sin dx x f dx x xf .

证明 (1)令t x -=2π, 则

dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0

2

20

--=??

πππ

??

=

-=202

)(cos )]2

[sin(π

π

πdx x f dt t f .

(2)令x =π-t , 则

??---=0

)][sin()()(sin ππ

ππdt t f t dx x xf

??-=--=π

π

πππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ??-=π

π

π00)(sin )(sin dt t tf dt t f ??-=π

π

π00)(sin )(sin dx x xf dx x f , 所以

??=π

π

π

)(sin 2

)(sin dx x f dx x xf .

例7 设函数?????<<-+≥=-01 cos 110

)(2x x

x xe x f x , 计算?-41)2(dx x f .

解 设x -2=t , 则

????---++==-20

1

214

1

2cos 11)()2(dt

te dt t

dt t f dx x f t 2

12121tan ]21[]2[tan 4200

12+-=-=---e e t t .

提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2.

二、分部积分法

设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由 (uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v , 式两端在区间[a , b ]上积分得

vdx u uv dx v u b

a b a b

a '-='??][, 或vdu uv udv b

a b

a b

a ??-=][. 这就是定积分的分部积分公式.

分部积分过程:

][][???='-=-=='????vdx u uv vdu uv udv dx v u b

a b

a b

a b a b

a b

a . 例1 计算xdx arcsin 21

?.

解

xdx arcsin 21

?

x xd x x arcsin ]arcsin [21

21

0?-= dx x x 2

21

01621--?=?π

)1(112

11222

2

10x d x --+=?π

21

2]1[12x -+=π12

312-+=π. 例2 计算?1

0dx e x . 解 令t x =, 则

??=1

01

02tdt e dx e

t x

?=1

02t tde ?-=1

01

0 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e . 例3 设?=20sin π

xdx I n n , 证明

(1)当n 为正偶数时, 22143231π?????--?-=n n n n I n ;

(2)当n 为大于1的正奇数时, 3254231????--?-=n n n n I n .

证明 ?=20sin π

xdx I n n ?--=201cos sin π

x xd n

?--+-=2012 0

1

sin cos ]sin [cos π

πx xd x x n n

?

--=20

22sin cos )1(π

xdx

x n n ?--=-202)sin (sin )1(π

dx x x n n n

??---=-20202sin )1(sin )1(π

π

xdx n xdx n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得

21--=n n I n

n I .

02214342522232212I m m m m m m I m ????--?--?-=,

112325432421222122I m m m m m m I m ????--?--?+=+,

而2200ππ==?dx I , 1sin 201==?π

xdx I ,

因此

22143425222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m ,

32543242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m .

例3 设?=20sin π

xdx I n n (n 为正整数), 证明 22143425222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m ,

32543242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m .

证明 ?=20

sin π

xdx I n n ?--=201cos sin π

x xd n

?---+-=20

222 0 1sin cos )1(]sin [cos π

π

xdx x n x x n n ?--=-202)sin (sin )1(π

dx x x n n n ?

?

---=-20

202sin )1(sin )1(π

π

xdx

n xdx n n n

=(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得 21--=n n I n

n I .

02214342522232212I m m m m m m I m ?????--?--?-=,

112325432421222122I m m m m m m I m ?????--?--?+=+.

特别地 2

200ππ

==?

dx I , 1sin 201==?π

xdx I .

因此 22143425222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m , 32543242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m .

§5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限

dx x f b

a

b )(lim

?

+∞→

存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分, 记作dx x f a )(?+∞

, 即

dx x f dx x f b

a

b a

)(lim

)(?

?+∞→+∞

=.

这时也称反常积分dx x f a )(?+∞

收敛.

如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分dx x f a )(?+∞

就没有意义, 此时称反常积分dx x f a )(?+∞

发散.

类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 如果极限

dx x f b

a

a )(lim

?

-∞→(a

存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的反常积分, 记作dx x f b

)(?∞-, 即

dx x f dx x f b

a

a b

)(lim

)(?

?-∞→∞-=.

这时也称反常积分dx x f b

)(?∞-收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分dx x f b

)(?∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 如果反常积分

dx x f )(0?∞-和dx x f )(0?+∞

都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的反常积分, 记作

dx x f )(?+∞

∞-, 即

dx x f dx x f dx x f )()()(00

???+∞

∞-+∞

∞-+=

dx x f dx x f b

b a a )(lim )(lim

0??+∞→-∞→+=. 这时也称反常积分dx x f )(?+∞

∞-收敛.

如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分dx x f )(?+∞

∞-发散. 定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的反常积分定义为

dx x f dx x f b

a

b a

)(lim

)(?

?+∞→+∞

=.

在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的反常积分定义为

dx x f dx x f b

a

a b )(lim )(??-∞→∞-=. dx x f dx x f dx x f b

b a a )(lim

)(lim

)(0

?

??+∞→-∞

→+∞

∞-+=.

反常积分的计算: 如果F (x )是f (x )的原函数, 则

b a b b

a b a

x F dx x f dx x f )]([lim )(lim

)(+∞

→+∞→+∞

==?? )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞

→+∞

→.

可采用如下简记形式: )()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a

-==+∞

→∞

++∞

?.

类似地 )(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x b

b

-∞→∞-∞--==?,

)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞

+

∞-+∞

∞--==?. 例1 计算反常积分dx x 2

11+?+∞

∞-. 解

∞+

∞-+∞

∞-=+?][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞

→+∞

→-=

πππ=--=)2

(2 .

例2 计算反常积分?+∞

-0dt te pt (p 是常数, 且p >0). 解

∞

+-∞+-+∞

-???-==0

00

]1[][pt pt pt tde p

dt te dt te ∞+--?+-=0

]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e p

te p

高数课本课后必做习题

《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二） 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5（P49） 1（1）~（（14） 习题1—6（P56） 1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5） 习题1—7（P59） 4（1）~（4） 习题1—8（P64） 3（1）~（4）、4 习题1—9（P69） 3（1）~(7)、4（1）~（6） 习题1—10（P74） 1、2、3、5 总习题一（P74） 2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9（1）~（6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14 习题2—3 1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2） 习题2—4 1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4） 习题2—5 2、3（1）~（10）、4（1）~（8） 总习题二 1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1（1）~（16）、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10（1）~（3） 习题3—4 1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14 习题3—5 1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高等数学定积分的应用

授课单元12教案

教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a

d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b??????

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数

第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限

（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx

最新高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y

4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x

第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 、OM 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a b c

－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→ → ==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。