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数学模型习题

第3章 简单的优化模型

3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ,销售速率为常数r ,r k >在每个生产周期T 内,开始的一段时间)0(0T t <<一边生产一边销售,后来的一段时间(t T <0T <)只销售不生产,画出贮存量)(t q 的图形。设每次生产准备费为1c ,单位时间每件产品贮存费为2c ,以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论r k >>和r k ≈的情况。

3.3 在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型。

3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处,若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快,淋雨量越少。将人体简化成一个长方体,高m 5.1=a (颈部以下),宽m 5.0=b ,厚m 2.0=c ,设跑步距离m 1000=d ,跑步最大速度s /m 5=m v ,雨速s /m 4=u ,降雨量h /cm 2=w ,记跑步速度为v 。按以下步骤进行讨论:

(1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,

估计跑完全程的总淋雨量。

(2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,

且与人体的夹角为θ,如图1,建立总淋雨量与速度v 及参数a ,b ,c ,d ,u ,w ,θ之间的关系,问速度v 多大,总淋雨量最少。计算 0=θ,

30=θ时的总淋雨量。

(3)雨从背后吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α,如图

2。建立总淋雨量与速度v 及参数a ,b ,c ,d ,u ,w ,α之间的关系,问速度v 多大,总淋雨量最少。计算 30=α时总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴,速度v 为横轴,对(3)作图(考

虑α的影响),并解释结果的实际意义。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什

么变化。

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图1

图2

3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量,广告费分别是x 和y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额,是它们的广告费在总广告中所占份的函数)(y x x f +和)(y

x y f +。又设公司的收入与售量成正比,从收入中扣除广告费即为公司的利润。试构造模型的图形,并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。

(1)令y

x x t +=,则1)1()(=-+t f t f 。画出)(t f 的示意图。 (2)写出甲公司利润的表达式)(x p 。对于一定的y ,使)(x p 最大的x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。

3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走)。

(1)设腿长l ,步长s ,证明人体重心在行走时升高)(82l s l s <≈δ

(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m ,行走速度v ,证明单位时间所需动能为s mv 62。

(3)设人体质量M ,证明在速度v 一定时每秒行走 =n

m l

Mg 43步作功最小。实际上,m l m M 1,4≈≈分析这个结果合理吗。 (4)将(2)的假设修改为:腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动。证明结果应为ml

Mg n 4=步。分析这个结果合理。 3.7 驶于河中的渡轮,它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同,所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。

3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机,当潮水通过堰坝时,推动水轮机运转,从而带动发电机发电。潮水通过水轮机的瞬时速度可由操作者控制,

那么,要生产最大能量,应如

何控制潮水的瞬时速度?

3.9 为了保证

病人平躺在长宽分

别为p ,q 的病床

上从病房进入手术

室(如图所示),

两条垂直的通道至

少应宽多少?

3.10 观察鱼在水中的运动发现,它不是水平游动,而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

(1)设鱼总是以常速v 运动,鱼在水中净重w ,向下滑行时的阻力是w 在运动方向的分力;向上游动时所需的力是w 在运动方向分力与游动所受阻力之和,而游动的阻力是滑行阻力的k 倍,水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k 倍,写出这些力。

(2)证明当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时(见下图),沿折线ACB 运动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比为(向下滑行不消耗能量))sin(sin sin βαβα++k k 。

(3)根据实际观察

2.0tan ≈α,试对不同

的k 值(1.5,2,3),

根据消耗能量最小的准则

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估计最佳的β值。

B