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微积分第七章习题答案

7.2 平面图形的面积习题7.2

1. 求由下列各组曲线所围成的图形的面积：（1）2

y x =

与228x y +=（两部分都要计算）

；解：

根

据

2221,28y x x y ?=?

?+=?

得交点为

()()

2,2,2,2-，所

以

212121442,86.233S x dx S S πππ-?==+=-=-???

（2）1

y x =

与直线y x =及 2.x = 解：2113ln 2.2S x dx x ??=-=- ????

（3）,x

y e y e -==与直线1x =。解：()1

01 2.x x

S e e dx e e

-=+-? （4）ln y x =，y 轴与直线()ln ,ln 0y a y b b a ==>> 解：ln ln .b

y a

S e dy b a ==-?

（5）2

1y x =-，2

y x =

；解：根据21,

23y x y x

?=-?

?=??

得交点

为1212,,3939??----+-+ ????，所

以2

213S x x dx ?=--= ?

? （6）11

2,,124

y x y x y x ==

=+；解：根据2,1

y x y x =???=+??得交点为48,77?? ???，根据1,2114

y x y x ?

=????=+??得交点为()4,2，所以4

4740

71111221.24

27S x x dx x x dx ?

???=-++-= ? ???????

（7）()2

,2,0y x y x y ==-=；

解：根据()

2,2y x y x ?=??=-??得交点为()1,1，所以()1222

0122.3S x dx x dx =+-=?? （8）2

,,2y x y x y x ===；

解：根据2,y x y x ?=?=?得交点为()()0,0,1,1，根据2,

2y x y x

?=?=?得交点为()()0,0,2,4所以

()()122017

22.6

S x x dx x x dx =-+-=??

（9）()2,sin 0y x y x x x π==+≤≤；解：()20

sin .2

S x x x dx π

+-=

2.求抛物线2

43y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积。解：'

24y x =-+，所以()0,3-处切线为43y x =-，()3,0处切线为26y x =-+，联立43,

y x y x =-??

=-+?得

交点为3,32?? ???

，所以

()()

2230

43432643.4S x x

x dx x x x dx =---+-+-+--+-=?

3.求抛物线2

2y px =及其在点,2p p ??

???

处的法线所围成的图形的面积。解：'

22yy p =，所以点,2p p ??

???

处切线斜率为1,所以法线斜率为1,-法线为32x y p =-+，它与2

2y px

=的另一交点为9,32p p ??

- ???，所以223316.223p p y S y p dy p p -??=-+-= ??

?? 4.求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）2cos a ρθ= 解：2

.S a π= (2) 3

cos ,sin x a t y a t == 解：()()0

4222

sin cos 12sin cos .8

S a t d a t a t tdt a π

π===??

(3)

()22cos a ρθ=+ 解：()()220

222cos 18.2

S a d a π

θθπ=+=? 5.求由星形线3

cos ,

sin x a t y a t

?=??=??所围图形的面积。解：()()0

4222

sin cos 12sin cos .8

S a t d a t a

t tdt a πππ===??

6.求由曲线44

441x y a b

+=所围图形的面积。

解：

()(

)11511114444000244111511544,3442a

S ab x dx ab t t dt abB ab --==-=-??????ΓΓΓ ? ? ???

????=== ?????Γ ???

??? 7.求由三叶玫瑰线sin3r a θ=一瓣与极轴所围的面积。

解：()22

1sin 3.212

a S a d π

πθθ=

8.求由曲线()()12y x x x =--与0y =所围成图形的面积。解：()()()()()()2

011121212.2

S x x x dx x x x dx x x x dx =

--=-----=?

9.求对数螺线()ae θρπθπ=-≤≤及射线θπ=所围成的图形的面积。

解：()222221.24

a S a e d e e π

θπ

ππθ--==-? 10.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1）3cos ρθ=及1cos .ρθ=+

解：联立

3cos ,

1cos ρθρθ

=??

=+?得交点

33,,,2323ππ????- ? ?????

，所以

()()22

320311521cos 3cos .2

S d d ππ

ππθθθθ??=++= ?????

(2) ρθ=及2cos 2.ρθ=

解

：

联

立

2,cos 2ρθρθ

?=??=??得交

点

,6π?

????

所

以

)

4061

12cos 22

2S d d ππ

ππθ

θθθ??=+=+ ?????

11.求位于曲线x

y e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。解：曲线x

y e =上点(

0,x x e 处的切线为()0

00x x y e

e x x -=-，若其过原点，则01x =，切线为1

x y e

，所以0ln .2e

y e S y dy e ??

-= ???

? 12.求由抛物线2

4y ax =与过焦点的弦所围成的面积的最小值。

解：焦点为(),0a ，过此点的直线为()y k x a =-，不妨取()0,k ∈+∞。

由()

4,y ax y k x a ?=??=-??得交

点

(

22121,a a a k k ?? ?

+ ? ??

，所

以

(

(()3

21222232118.43a a k

k y y S a dy a k a k +??=+-= ???

()()

()

1314

222

31311883k k k k

k S a

+-++==-，所以当k →+∞，即弦为x a =时面积最小，为

28.3

a 13.求由曲线()()sin ,cos sin 0a a a ρθρθθ==+>所围图形公共部分的面积。

解：由()sin ,cos sin a a ρθρθθ=???=+??

得交点,2a π?? ???，于是()2

322224

212cos sin .2244a a a S a d ππππθθθ?? ???=++=-?

7.3 体积习题7.3

1. 把抛物线2

4y ax =及直线()000x x x =>所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积。

解：()0

42.x V ax dx a x ππ=

2.由3

,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。

解：2

0128.7x V x dx ππ==?2

306428.5y V y dy πππ=?-=?或者240642.5

y V x dx ππ==?

3.把星形线2/3

2/32/3x

y a +=所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积（图7.18）。解：

33003222.105a

V y dx a x dx πππ??==-= ???

4.用积分方法证明球缺的体积（图7.19）为

2.3H V H R π??=-

证明：()222.3R

R H

H V R y dy H R ππ-??=-=-

5.求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）2

,,y x x y ==绕y 轴。

解：1

003.10

V ydy y dy π

ππ=-=??

或)

12032.10

V x

x dx π

π==

? （2）arcsin ,1,0,y x x y ===绕x 轴。

解：()

arcsin 2.4

V x dx πππ=

(3)()2

516,x y +-=绕x 轴。

解：(

55160.V dx ππ-??=-=???

6.求圆盘2

x y a +≤绕()0x b b a =->>旋转所成旋转体的体积。

解：)(

)

222.a

V b b dy a b ππ-?

=-=?

7.设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2,2a b 和2,2A B ，求此截锥体的体积。

解：根据比例可算出平行于上下底面且距上底面为x 的截面为半轴长为()x A a a h -+

和()

x B b b h

-+的椭圆，其面积为

()()x A a x B b a b h h π--?

???

+ ???

???

，

所

以

()()022.6h x A a x B b aB bA AB ab

V a b dx h h h ππ--????+++=++= ???????

? 8.计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（图7.20）。

解：显然x 处等边三角形的边长为，此三角形面积为

)22R x -，所以

)

223

V R x dx -=-=

9.计算曲线()sin 0y x x π=≤≤和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积。解：20

2sin 2.V x xdx π

ππ=

10.设抛物线2

y ax bx c =++通过点()0,0，且当[]0,1x ∈时，0y ≥。试确定,,a b c 的值，使得抛物线

2y ax bx c =++与直线1,0x y ==所围图形的面积为

，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。

解：根据抛物线2

y ax bx c =++通过点()0,0，可知0,c =2

y ax bx =+。根据

()1

bx dx +=

?可得698

a b +=。

该图形绕

轴旋转的

体

积

为

()2

645

23135

81243a ab b ax bx dx a a πππππ??+=

=++ ????

，当53a =-时体积最小，此时 2.b = 11.求由曲线3

y x =，直线4x =及x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。解：34

512

2.7

V x x dx ππ=

12.求圆盘()2

21x y -+≤绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。

解：3

24.V x ππ=

?=?

13.求由2

y x =与2y =所围图形绕x 轴及y 轴旋转而成旋转体体积。

解：2

2.5

x V y π=

2.y V ydy ππ==?

14.求由x

y ach

=与0,,0x x a y ===所围图形绕x 轴旋转而成旋转体体积。解：()32

2204.8

x a V a ch dx e e a ππ-==-+? 15.求由()sin 0y x x π=≤≤与x 轴所围图形绕x 轴旋转而成旋转体体积。解：()

sin .2

V x dx π

ππ=

16.求由摆线

()()

sin ,

021cos x a t t t y a t π=-??≤≤?

=-?? 与x 轴所围图形绕x 轴旋转而成旋转体体积。解：()223

23230

1cos 5.a

V y dx a t dt a ππ

πππ=

=-=?

17.求由2

2y px =与()

()2

40y x p p =->所围图形绕x 轴旋转而成旋转体体积。

解：联立()

2222,4y px y x p ?=??=-??得交点,2p p ?? ???，所以()232

02524.12p p p V pxdx x p dx p πππ=?+?-=?? 18.求由()()2

0x y b a

b a +-=>>所围图形绕x 轴旋转而成旋转体体积。

解：(

2.a

V b b dx a b ππ-??=+--

=???

19.求由()sin 0,0y x x y π=≤≤=所围图形绕2

x π

旋转而成旋转体体积。

解：220

2sin 2.2V x xdx π

ππππ??

-=- ???

7.4 平面曲线的弧长和旋转体的侧面积习题7.4 1. 计算曲线ln y x =

x ≤≤

解：13

1ln .22

s =

=+ 2.

计算曲线)3y x =

-上相应于13x ≤≤的一段弧的长度（图7.26）

。

解：3114

.3s ===?? 3. 计算半立方抛物线()32

213

y x =-被抛物线23x y =截得的一段弧的长度。

解：联立

()3222

1,33y x x y ?=-???

?=??

得交

点

? ?。对

()3

2213

y x =

-求导得

()()

()()4

2''2

221,12

x yy x y

x y -=-=

-，所以

182.99s ==

-? 4. 计算抛物线2

2y px =从顶点到这曲线上的一点(),M x y 的弧长。

解：2,,2y dx y x p dy p =

，所以02p s ==?

5. 将绕在圆（半径为a ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切，细线端点画出的轨迹叫做圆的渐

伸线，其方程为

()()cos sin ,sin cos .x a t t t y a t t t =+=-

算出此曲线上对应于0t π≤≤的一段弧的长度（图7.27）。解：

0.2a

s atdt π

π=

==?

6. 在摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。解：设分点对应0t ，则

4.t π

即

04sin sin .22t t t dt dt π=?

?解得02

.3t π

=对应分点为23,322a a π????- ? ? ? ??

???。 7. 求曲线1ρθ=相应于

θ≤≤的一段弧长。

解：35ln .212s θ=

=+ 8. 求心形线()1cos a ρθ=

+的全长。解：0

8.s a π

θ==?

9. 求抛物线2

y x =

被圆223x y +=所截下的有限部分的弧长。解：联立2221,

23y x x y ?

???+=?

得交点()

，所以2ln .s ==

10. 求抛物线2

y ax =在x b =-

到x b =之间的弧长。

解：(0

ln 2.2s ab a

==+?

11. 求阿基米德螺线r a θ=从0θ=到0θθ=之间的弧长。

解：(0

ln .2

s θθθ=

12. 求曲线sin ,cos t

x e t y e t ==从0t =到1t =一段弧长。解：

)1.t s dt e =

==-?

13. 求()

2ln 1y x =-上相应于1

x ≤≤

的一段弧长。解：122

2011ln 3.12x s dx x +=

==--? 14. 求曲线4

cos ,sin x a t y a t ==的弧长。解：

(

)

2sin 21.

s a t a a ====?

15. 求曲线()0mt r ae m =>当0r

a ≤≤时的弧长。

解：0

.s m

16. 求曲线ln cos y x =由0x =到02x a a π??

=<< ??

一段弧的弧长。解：()0

ln sec tan .a

s a a =

=+?

17. 证明：悬链线()0x

y ach

a a

=>自点()0,A a 到()

,P x y 的弧长 s

证明：0

x s ash a =

===

18. 设一半径为R 的球，被相距()02H H R <<的两平面所截，求所得圆台的侧面积。解：设此球为2

x y R +=绕x

轴旋转而成，则00

22.x H

x P RH ππ+==?

19. 求半径为R 的球的表面积。

解：设此球为2

x y R +=绕x

轴旋转而成，则2

24.R

P R π

π-==?

20. 求抛物线24y ax =由顶点到3x a =的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的侧面积。

解：()

'2424,.a a

yy a y

y x

===

所以230562.3a a P ππ==? 21. 求双纽线22

cos 2r a θ=绕极轴旋转所得的旋转体的侧面积。

解：2402241.2P a π

πθπ??

=?=- ? ??

?? 22. 求悬链线x

y ach a

=相应于x b ≤的一段弧绕x 轴及y 轴旋转所得的旋转体的侧面积。

解：2222.b

x b

b P ab a sh a

ππ-==+?

2222.b

ach

y a

b b P absh a ch a a a

ππππ==-+?

23. 求曲线tan 04y x x π??

=≤≤

绕x 轴旋转所得的旋转体的侧面积。

解：

)40

2tan ln

P π

ππ

π==+?

24. 求2/3

2/32/3x

y a +=绕x 轴旋转所得的旋转体的侧面积。

解：参数方程为3

cos ,

sin x a y a θθ

?=??=??，所以

1222sin .5

P a a π

πθπ=?=

? 7.5 功水压力和引力习题7.5

1. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力()F N 与伸长量()s cm 成正比，即

()F ks k =是比例常数。

如果把弹簧由原长拉伸6cm ，计算所做的功。解：6

0.010.18.W ksds k =

。

2. 直径为20cm 、高为80cm 的圆筒内充满压强为2

10/N cm 的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩

小一半，问需要做多少功？解：80

240

8010

0.0110800ln 2.W dx x

ππ?=

??=?

3. 一颗人造地球卫星的质量为173kg ，在高于地面630km 处进入轨道。问把这颗卫星从地面送到630km 的高空处，克服地球引力要做多少功？已知2

9.8/,g m s =地球半径6370.R km = 解：2

,6370000

Mm mg G

=所以2

6370000GM g =。

()

2630000

630000

173

63700009.8173

971972820.63700006370000M W G

dx dx x x ???===++?

4. 一物体按规律3

x ct =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由0x =移到x a =时，

克服介质阻力所做的功。

解：1223333dx v ct c x dt =

==，阻力为242339f v c x μμ==，所以2427

3333

0279.7

a W c x dx c a μμ==? 5. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁

钉击入木板1.cm 如果铁锤每次锤击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？

解：1

101,h

W kxdx kxdx +=

=??

，所以

()21111.222

h =+

- 1.h = 6. 设一圆锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，今以泵将水吸尽，问要做多少功？

解：2

1510009.83.141057697500.15x W xdx -??

???= ???

7. 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？解：2240

.33

x W g x r dx r g ρπρπ??=

-= ??

8. 如果10N 的力能使弹簧伸长1cm ，现在要使这弹簧伸长10cm ，问需做多少功？解：10

0.0110 5.W xdx =

?=?

9. 有一弹簧，原长1m ，每压缩1cm 需力0.05N 。若从80cm 长压缩到60cm 长，问外力做功多少？解：()8060

0.010.051000.3.W x dx =

?-=?

10. 有一横截面面积为2

20S m =，深为5m 的水池，装满了水，要把池中的水全部抽到高为10m 的水塔顶

上去，要做多少功？解：()5

2010125010009.812250000.W g x dx ρ=

?+=??=?

11. 有一长l 的细杆，均匀带电，总电量为Q 。在杆的延长线上，距A 端为0r 处，有一单位正电荷。求这

单位正电荷所受的电场力。如果此单位正电荷由距杆端A 为a 处移到距杆端b 处，电场做的功是多少？

解：()()0

2001111.ln .r l

b r a Q

k b a l Q Q Q l F dx k W k dx k x l r r l l x x l l a b l ++????=

=-=-= ? ?+++??

???

12. 有一矩形闸门，宽2m ，高3m ，水面超过门顶2m 。求闸门上所受的水压力。解：()3

02210.52205800.F g x dx g ρρ=+=?=?

13. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，椭圆水平轴长2m ，竖直轴长1.5m 。当水箱装满水时，计算

水箱的一个端面所受的压力。

解：(

)0.75

0.750.7517309.25.F g x ρ-=+?=? 14. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m 。较长的底边与水面相齐。计算闸门的

一侧所受的水压力。

解：20

20614373366.5x F gx dx ρ-??

= ???

15. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离

水面3cm ，试求它每面所受的压力。解：

()

40.013 1.67.3

F g x dx ρ=+=? 16. 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a b >，液

体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。解：()20

sin sin .2

gab F g h x adx gabh ρα

ραρ=

+=+

17. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点

M ，试求这细棒对质点M 的引力。解：取y 轴通过细直

棒，质点在

轴上，则

(

)

(

)

300

1.l

x y m a

m y

F G

dy F G

dy Gm a a

μμμ??

=-=== ?++?? 18. 设有一半径为R 、中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M 。

试求这细棒对质点M 的引力。

解：取坐标系使得质点在原点，细棒占据半径为R 的上半圆，则由对称性显然0,x F =

而

sin 2

2sin 2.R y R Gm F R ???μ-==? 或另一解法：22

222sin

2sin .y Gm m R

F G

d R R

π?

μμθθ+

19. 设星形线3

cos ,sin x a t y a t ==上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离立方，在原点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力。解：

()

6262

2cos sin cos sin 3.

F G

a t a t a

t a t Ga π

=++=?由对称性，

3.5

y Ga F =

20. 设有两均匀细杆，长度分别为12,,l l 质量分别为12,M M ，它们位于同一条直线上，相邻两端点之距离

为a ，试证二者之间的引力为

()()()

1212

1212ln .a l a l m m F G l l a a l l ++=

++ 证明：

()()()()

12112121220001212111212121211ln .l l l M M l l M M F G dy dx G dx l l a l x l a l x y a l x a l a l m m

G l l a a l l ??

??? ?==- ?+-++- ?++-??

++=++??? 21. 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度为(

))/.x kg m ρ=

问x 为何值时，[]0,x 一段的质量为全棒质量的一半。

解：

01,2x

?可解得5

.4x =

22. 今有一细棒，长度为10m ，已知距左端点x 米处的线密度是()()60.3/x x kg m ρ=+。这个细棒的质

量。解：()10

60.375.m x dx =

+=?

23. 某质点作直线运动，速度为

2sin 3V t t =+

求质点在时间间隔T 内所经过的路程。解：()32

1cos3sin 3.33T

T T

s t t dt -=

+=+?

24. 一质点在阻力影响下做匀减速直线运动，速度每秒减少2m ，若初速度为25/m s 。问质点能走多远？解：()2520

252155.s t dt =

-=?

25. 油类通过油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小。实验确定，某处的流速v 和该处到管子中心的

距离r 有关系式()

22v k a r =-，其中k 为比例常数；a 为油管半径。求通过油管的流量（图7.36）。

解：()4

2.2

ka P k a

r rdr ππ=-=

大一上学期微积分期末试卷及答案

1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o)

5、若则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3

2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、、判断题无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+

2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

微积分试卷内含答案

11-12微积分A 卷湖北汽车工业学院微积分(一)(下)考试卷（ 2011-2012-2）一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='?]sin [2 x tdt 2 sin 2x x ． 2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- . 4．??+-=D dxdy y x I )432(，其中D } 4) ,{(22≤+=y x y x ，则=I π16 . 5．微分方程) 1)( 1(22y x y --='的通解为C x y +-=2 ) 1(arcsin . 6．平面曲线2 x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为15/2π . 7．设数项级数∑∞ =1n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞ =++1 1 )(n n n u u 的和为 1 2u s - ．二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则 dx c x f b a ?+)(等于 )(A )()(c a F c b F ---. )(B )()(c a F c b F +-+. )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+. 【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=b ，则b a ? 等于 )(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(.

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

微积分期末测试题及答案

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ .

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为（A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为（A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）

1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分）八、设，求.（本题6分）徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二）一、填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

微积分试卷及答案4套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

(D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（）。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题(6X2) 1?设f(x) 2cosx,g(x) (1严在区间(0,—)内()。 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数 2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)紺勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1)n B X n si n - n n 2 1 1 C X n-(a 1) D X n cos a n 5、若f "(x)在X0处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o)

1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2 x ;3 y 也厂,?1)^ 4?0) lim (x 1)(x m) 5 解：原式=x 1 (x 1)(x 3) m 7 b limU 」2 x 1 x 3 4 7,a 6 1、 2、、判断题无穷多个无穷小的和是无穷小 lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X 0处连续不可导( ) 5、 (x) 在 0,1 f '(x) 0令 A f'(0) f'(1),C f(1) f (0),则必有 A>B>C() 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 x im 0 1 e x2 解：原式=lim x 0 1 x lim e x2 ( 2x x 0 J 2x 3 1 lim e x x 0 2 若 f (x) (x 3 10)4,求f ''(0) 解: 4( x 3 24x f'(x) f ''(x) f ''(x) 0 3 2 2 , 3 10) 3x 12x (x .3 3 2 3 (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 10)3 3 . 3 3 4 , 3 2 24x (x 10) 108x (x 10) 4 I o 2 3 求极限 lim(cos x) x x 0