九年级数学下第27章《相似》单元专项训练(含答案)
第27章相似专项训练
专训1证比例式或等积式的技巧
名师点金：
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个
三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
(第1题)
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD ＝CE，DE交AC于点F，
试证明：AB·DF＝BC·EF.
(第2题)
三点找三角形相似法
3．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：DC CF
＝.
AE AD
(第3题)
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长 线于 D ，交 AB 于 E.
求证：AM 2 ＝MD·ME.
(第 4 题)
构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点，AP 的垂直平分 线分别交 AB ，AC 于点 M ，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
(第 5 题)
等比过渡法
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE∥BC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于 点 G ，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE 是 Rt
(第 6 题)
△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P ，连接
AP ，作 BG⊥AP 于点 G ，交 CE 于点 D.
求证：CE 2＝DE·PE.
两次相似法
8．如图，在Rt 于E，交AD于F.
BF AB
求证：＝.
BE BC (第7题)
△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC
(第8题)
9．如图，在 ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)AM MN
＝.
AB AC
(第9题)
等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AE AC
＝.
AF AB
(第10题)
等线段代换法
11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF ∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
(第11题)
12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
(第12题)
专训2巧用“基本图形”探索相似条件
名师点金：
几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，
有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
平行线型
1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E ，过点 E 作 ED∥BC 交 AB 于点 D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果 S ＝3，S ＝2，DE ＝6，求 BC 的长．
△ADE
△BDE
(第 1 题)
相交线型
2．如图，点 D ，E 分别为△ABC 的边 AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点 O ，且
EO
BO
DO
＝ ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由． CO
(第 2 题)
子母型
3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD⊥BC 于点 D ，E 为 AC 的中点，ED
的延长线交 AB 的延长线于点 F.求证：
AB DF
＝ .
AC AF
(第 3 题)
旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC ，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)
AD BD ＝ .
AE CE
(第 4 题)
专训 3
利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系
名师点金：
判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系
推出 “平行或垂直 ”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出 “相等 ” 是判断数量关系的常用方法．
证明两线段的数量关系
类型1：证明两线段的相等关系
1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC，BE 与 CD 交于点 O ，直线 AO 与 BC 边交 于点 M ，与 DE 交于点 N.
求证：BM ＝MC.
(第 1 题)
2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.
求证：AD＝DB.
(第2题)
类型2：证明两线段的倍分关系
3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：1
DE＝ BC.
2
(第3题)
4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.
求证：AC＝2CE.
(第4题)
证明两线段的位置关系
类型1：证明两线段平行
5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.
(第5题)
6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．
(第6题)
类型2：证明两线垂直
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.
(第7题)
1
8．如图，已知矩形ABCD，AD＝ AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点
3
G，求证：EG⊥DF.
(第8题)
专训4相似三角形与函数的综合应用
名师点金：
解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压
轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解
答．
相似三角形与一次函数
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与
4 5
直线AD交于点A ，，点D的坐标为(0，1)．
3 3
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
(第1题)
相似三角形与二次函数
2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过A，B，C(1，0)三点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．
(第2题)
3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y 轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．
(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；
(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(第3题)
相似三角形与反比例函数
4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，k
3)，双曲线y＝ (x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
x
(1)求k的值及点E的坐标；
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．
(第4题)
专训5全章热门考点整合应用
名师点金：
本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念
概念1：成比例线段
1．下列各组线段，是成比例线段的是()
A．3 B．2 C．3 D．1cm，6
cm，5
cm，9
cm，2
cm，7 cm，9cm cm，
0.6 dm，8cm cm，
1.8 dm，6cm cm，
3 cm，4cm
2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为
5 cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.
概念2：相似多边形
3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．
(第3题)
概念3：位似图形
4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．
(第4题)
2个性质
性质1：平行线分线段成比例的性质
5．如图，在△R t ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
(第5题)
性质2：相似三角形的性质
6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S ＝5，BC＝10，求DE的长．
△FCD
(第6题)
1个判定——相似三角形的判定
7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.
(第7题)
8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP 交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
(1)求证：△PAC∽△PDF；
(2)若AB＝5，＝，求PD的长．
(第8题)
2个应用
应用1：测高的应用
9．如图，在离某建筑物CE 4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有
一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？
(第9题)
应用2：测宽的应用
10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m有一棵树，在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．
(第10题)
1个作图——作一个图形的位似图形
11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点 O 为位似中心，把△A BC 缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．
(第11题)
1个技巧——证明四条线段成比例的技巧
12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC
的延长线于点P，Q.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若点M为PQ的中点，求证：PM 2＝CM·BM.
(第 12 题)
答案
专训1
(第 1 题)
1．证明：如图，过点 C 作 CM ∥AB 交 DF 于点 M. ∵CM∥AB，∴△CMF ∽△BDF.
∴
BF BD ＝ .
CF CM
又∵CM∥AD，∴△ADE ∽△CME.∴
AE AD
＝ .∵D 为 AB 的中点，
EC CM
BD AD BF AE
∴ ＝ .∴ ＝ ，即 AE·CF＝BF·EC. CM CM CF EC
2．证明：过点 D 作 DG ∥BC ，交 AC 于点 G ， ∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.
∴
EF CE AB AD ＝ ， ＝ .
DF DG BC DG
∵AD＝CE ，∴
CCCCCCCC ＝ .∴
＝ ，
DDDDDDDD
即 AB·DF＝BC·EF.
点拨： 过某一点作平行线，构造出“ A ”型或“ X ”型的基本图形，通过相 似三角形转化线段的比，从而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，
DC CF
∴△DAE∽△FCD，∴＝.
AE AD
4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.
∴AM ME
＝.∴AM2＝MD·ME.
MD AM
(第5题)
5．证明：如图，连接PM，PN.
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
BP BM
∴＝，即BP·CP＝BM·CN.
CN CP
6．证明：(1)∵AB＝A C，∴∠ABC＝∠ACB.∵D E∥B C，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠C ED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠A BE，∴△DEF ∽△BDE.
DE EF
(2)由△DEF∽△BDE 得＝，∴DE
BD DE2
＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠
BED＝∠D FE.∵∠GDE＝∠E DF，∴△G DE∽△EDF.∴DG·DF＝DB·EF.
7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，DG DE
＝，∴D E2＝DG·DF，∴DE DF
∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.
∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
AE PE
∴＝，即AE·BE＝PE·DE.
DE BE
又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
AE CE
∴＝，即
CE CE BE2
＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.
8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，
∴△BDF∽△BAE，得BD BF ＝. AB BE
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA，得AAAAAAAA＝，∴＝. BBBBBBBB
9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，
∴△AMB∽△AND.
(2)由△AMB∽△AND得AM AB
＝，∠BAM＝∠DAN. AN AD
又AD＝BC，∴AM AB ＝. AN BC
∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，
∴∠B＝∠MAN.
∴△AMN∽△BAC，∴AM MN ＝. AB AC
10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得 AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝
AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AE AC ＝. AF AB
11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC ＝∠A CB，∴B P＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠A CB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴
CP PF
＝ ，即 CP PE CP
2 ＝PF·PE.∵
BP ＝CP ，∴BP 2
＝PE·PF.
(第 11 题)
(第 12 题)
12．证明：如图，连接 PA ，则 PA ＝PD ，∴∠PDA＝∠PAD. ∴∠B＋∠BAD＝∠DAC ＋∠CAP.
又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA ，∴△PAC∽△PBA，∴
PA PC
＝ ，
PB PA
即 PA 2
＝PB·PC，∴PD
2
＝PB·PC.
专训2
1．(1)证明：∵ED∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴
AE DE
＝ .
AC BC
∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB ＝∠EBC.
∴∠DBE＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴
AE BD
＝ ，
AC BC
即 AE·BC＝BD·AC.
(2)解：设 h 表示△ADE 中 DE 边上的高，
△ADE
h 表示△BDE 中 DE 边上的高， △BDE
h 表示△ABC 中 BC 边上的高．
△ABC
∵S
△ADE
＝3，S
△BDE
＝2，∴ S h 3 ＝ ＝ .
S h 2
△BDE △BDE
∴
h 3
＝ . h 5 △ABC
△ADE △ADE △ADE
DE h 3
∵△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ .
BC h 5
△ABC ∵DE＝6，∴BC＝10.
2．解：相似．理由如下：因为
EO DO
＝ ，∠BOE＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所
BO CO
以△BOE ∽△COD，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO.所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ， 所以△ADE∽△ABC.
3．证明：∵∠BAC＝90°，AD ⊥BC 于点 D ， ∴∠BAC＝∠ADB ＝90°.
又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，
∴△ABC∽△DBA.∴
AB DB
＝ ，∠BAD＝∠C.
AC DA
∵AD⊥BC 于点 D ，E 为 AC 的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD. 又∵∠F＝∠F，
∴△DBF∽△ADF.∴
DB DF AB DF
＝ .∴ ＝ .
AD AF AC AF
(第 3 题)
点拨： 当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不 相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替 换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，DE⊥AB 于点 E ，DF ⊥AC 于点 F ，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”
得 AE·AB＝AD 2 ，
AF·AC＝AD 2 ，∴AE·AB＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC. 又∵∠ADE＝∠ABC ，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC ，∴
AD AB
＝ .
AE AC
AD BD
∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴ ＝ .
AE CE
△ADE
专训3
1．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴NE ON
＝. MB OM
同理可得DN ON DN NE DN MC ＝.∴＝.∴＝. MC OM MC BM NE BM
∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴AN NE ＝. AM MC
AN DN DN NE DN BM 同理可得＝，∴＝.∴＝.
AM BM BM MC NE MC
∴MC BM
＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.
BM MC
(第2题)
2．证明：如图，
过C作CG∥AB交DF于G点．
AD AE BD BF ∵CG∥AB，∴＝，＝，
CG CE CG CF
AE BF AD BD
∵＝，∴＝，
CE CF CG CG
∴AD＝BD.
3．证明：∵B D⊥AC，C E⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠A CE＝30°，∴AD AB
＝
1 AE 1 AD AE DE AD 1
1 ，＝，∴＝.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝
2 AC 2 AB AC BC AB 2 2
BC.
4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，
△B DM∽△C EM，△B AM∽△C FM，∴BD BM BA BM BD BA
＝，＝，∴＝.又∵BA＝2BD，CE MC CF MC CE CF
∴CF＝2CE.又 AM 平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴ AC＝2CE.