梅文鼎作《平三角举要

由于时代的原因和清朝统治者的需要，这种不符历史实际的“西学中源”说在清代曾广为流传，并成了延缓西学深入传播的一个重要因素和统治者维系其王道正统的一个思想武器。梅文鼎的这一错误与其卓越学识的不和谐，乃是当时整个中华民族和中国社会在西方科技文明的冲击下所处两难境地的一种反映。

然而把梅文鼎的科学活动放在整个清代学术思潮演变的大舞台上加以审视，就会发现他在其中扮演了一个十分关键的角色。梁启超说：“我国科学最昌明者，惟天文算法。至清而尤盛，凡治经者多兼通之，其开山之祖，则宣城梅文鼎也。”①通过梅文鼎这一人物，也可从一个侧面看到中西两种文化由尖锐对立到开始交融的历史过程及其独特的方式。梅瑴成受家学熏陶，从小就跟祖父学习数学和历法。他勤于动脑、动手，20 岁以后，在祖父的指导下，开始参予

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历算书稿的校订和制图工作。康熙四十一年（1702 年），为祖父的《勿庵历算书目》校正。次年，李光地迎梅文鼎到保定官署设馆校书，梅瑴成同去，一面学习，一面参予梅文鼎所著《弧三角举要》、《环中黍尺》和《堵测量》等算书的校订和绘图。

康熙五十一年，帝诏开蒙养斋，征召梅瑴成到内廷学习和编纂历算书籍；同时一起学习和参加编书的还有何国宗、陈厚耀、明安图等。梅瑴成等所编书，总名《律历渊源》，分三大部分：《律吕正义》、《历象考成》和《数理精蕴》共100 卷，分别论乐律、历法和数学。前一部于康熙五十三年完成，另两部于康熙六十一年完成，前后共用10 年时间。全书于雍正元年（1723 年）九月刊刻出版。

清初，被尊称为“算学第一”的天文家梅文鼎提出著名的“西学中源说”。根据“西学中源说”，当时传入中国的西方数学、天文学等都源于中国上古的勾股术，地圆说在我们自己的经书中也早有记载，在这些人的眼中，西方那套科学，没有什么了不起的，因为它们的根还是在中国。其实，这种思想在当代的很多人

眼中还是这样，西方现代科学技术，他们都能在《易经》等中国古典著作中找到起源，譬如计算机的二进制、玻尔的互补理论、普利高律的耗散结构理论等，他们都能在中国古典著作找到起源。可以这样说，这些除了能提高我们的民族自信心的作用，其余没有什么作用，甚至只是满足一下我们的虚荣心罢了。

《平三角舉要》、《方圓冪積》文本研讀內容摘要

陳彥宏

台灣師範大學數學系研究生

一、《平三角舉要》內容摘要

《平三角舉要》是梅文鼎早期的作品。梅文鼎以明末傳教士編譯的《大測》、《測量全義》等書為基礎，對有關三角形的算法作了系統的整理。此書原名《三角法舉要》，因梅氏後來又寫成論球面三角的《弧三角舉要》五卷，《梅勿庵先生曆算全書》和《梅氏叢書輯要》的編者遂將此書更名為《平三角舉要》。全書共分為五卷，序言即道出此書一個很重要的目的：嘗詴以傳統句股理論整合三角術。

西法用三角，猶古法之用句股也。但三角有鈍角，而句股無之，論者遂謂句股之數有所窮，殊不知銳角形須分為兩句股，鈍角形須補成句股，…，然則句股雖不能備三角之形，而能兼三角之理，三角不能出句股之外，而能盡句股之用，一而二，二而一者也。

底下便將各卷之內容作一簡略之摘要：

在梅文鼎的時代，三角術並未發展成一門獨立的學科，主要的定義、公式與定理都是經由幾何的方法推導而得，因此，《平三角舉要》一書中含有各種圖形，作為輔助說明之用。

值得一提的是，除了介紹各種三角形的算法外，在卷三出現了「以量代算」這樣的方法，以書中的「三角求積第二術」為例：

三角求積第二術以中垂線乘半周得積，謂之以量代算。

假如鈍角形，乙丙邊五十八步，甲乙邊一百一十七步，甲丙邊八十五步，求積。

術平分甲、乙兩角，各作線會于心，從心作十字垂線至乙甲邊如心庚，即中垂線也，乃量取中垂線心庚，得數一十八步。合計三邊而半之一百三十步為半周，以半周乘中垂線，得積。

丙

乙

甲

心

庚

在三角形中，先作兩角平分線以求出內心，再由內心對某一邊作垂線，然後“直接量取”此一垂線長度即可得該三角形內切圓之半徑長，姑且不論其「精確性」和「嚴謹性」，這樣的方法，在當時三角術的核心內容還是以大地及天文測量問題為背景的年代，確實已經足夠！

二、《方圓冪積》內容摘要

《方圓冪積》是梅文鼎研究圓與球體的專著。《勿庵曆算書目》作二卷，各種刻本均為一卷。其內容包括方圓相容（有方中容圓、圓中容方）、方圓周徑相求（有同積較徑、同積較周、同徑較積較周、同周較積較徑）、圓錐與球及圓柱表面積、體積之間的關係。

全書多以條列方式敘述，不過，在討論同底等高之圓柱與圓錐間的關係時，他利用如下圖之“切割”方法進行了詳細的推導。

另外，梅氏亦利用三維的「出入相補」方法，正確地推導出球體公式，這項成就對當時而言，著實意義深遠！底下便簡單摘錄其論述內容。

梅文鼎首先敘述其“切割”方式：

甲戊丙丁渾圓體。從丑乙、辰乙、癸乙、子乙、卯乙、寅乙等各半徑，各自其渾冪透至乙心，以半徑旋行而割切之，則成上下兩圓角體，一甲卯辰丑乙以甲丑卯辰割渾圓之面為底，乙為其銳。此割圓曲徑，自丑而甲而辰，居圓周三之一，一丙癸寅子乙以子丙寅癸渾圓之割面為底，乙為其銳。此割圓曲徑亦三之一，如三百六十之一百二十。此上下兩角體相等，皆居全渾體四之一。中腰成鼓形，而上下兩面並穵空各成虛圓角其外則周遭皆凸面，如丑戊子及辰丁癸之割圓狀。此割圓曲徑，自辰而丁而癸，居圓周六之一，為三百六十之六十。

此鼓形體，倍大於上下兩角體，居渾圓全體之半。若從戊乙丁腰橫絕之為二，則一如仰盂，一如覆碗，而其體亦渾圓四之一也。

接著，梅氏再論為何以上述之切割方式會得到四個體積相等之立體：

詴於乙丙子癸角體，從子寅癸橫切之，則成子未癸午小圓面，為所切乙子寅癸小圓角體之底，乃子寅小半徑，乘子未癸小半周所成也。然則以子寅小半徑，乘子未癸小半周，又以乙寅半半徑為高乘之，而取其三之一，即小角體矣。

詴又于中腰鼓體，從丑子及卯寅及辰癸諸立線，周遭直切之，脫去其外鼓凸形，即成圓柱體之外周截竹形。又從酉乙申橫切之為兩一仰盂，一覆碗。則此覆碗體舉一式為例，可直切斷而伸之，亦可成方角體，此體以乙寅半半徑，乘子未癸午小圓全周為底其形長方，此長方角體必倍大于小圓角體。何也？兩法並以小半徑，及半半徑，兩次連乘，取三之一成角體，而所乘者，一為小圓全周，一為小圓半周，故倍大無疑也。

又丙癸寅子亦可成角體，與乙子寅癸等。覆碗體既倍大，則兼此兩角體矣。

上段說明先將「凸形」切去，得到「圓柱體之外周截竹形」體積是上下兩角體的兩倍，然後

又角體內，既切去一小角體，又穵去一相同之小角體，則所餘者為丙癸寅子圓底仰盂體。

鼓體內既穵去如截竹之體，則所餘者為內平如丑子或辰癸外凸如子戊丑及辰丁癸之空圈體，

而此體必倍大于圓底仰盂體。何以知之？蓋兩體並以半徑為平面丑子與癸丙並同。並以圓周六之一為凸面，而腰鼓之平面以半徑循圓周行，圓底仰盂之平面，則以半徑自心旋轉。周行者，兩頭全用；旋轉者，在心之一頭不動，而只用一頭，則只得其半矣，故決其為倍大也。

準此而甲丑卯辰，亦為穵空之圓覆碗體，而只得鼓體之半矣。由是言之，則上下角體各得中腰鼓體之半，而鼓體倍大于角形，渾體平分為四，夫復何疑。

推導出球體積為圓錐體積之四倍，再利用之前所得的圓錐體公式，便可得到正確的球體體積公式！

三、參考資料

1.劉鈍，〈平三角舉要提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》

數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。

2.劉鈍，〈方圓冪積提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》

數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。

三角欧洲语三角一词源于希腊文τριγωνου（三角形）μετρυ（度量）。合义：三角形度量之术。邓玉涵的《大测》是我国第一部三角学译作。《大测·序》：“大测者，测三角形法也。”

象限《易·系辞下》：“太极生两仪，两仪生四象。”梅文鼎《三角形举要》：“全圆四分之一，谓之象

限。”

度、分、秒《周髀算经·卷下》：“天三百六十五度四分之一。”《数书九章·卷3》：“常度三百九十分。

初行率：二十三分九十七秒。”我国古代一周分为365 1/4度，一度分为100分，一分分为100秒。

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割在《大测》中除余切、余割分别切线、割线外，已选译名

与今用者相同。梅文鼎《三角形举要》解释这六个词：“割圆直线如弓之弦，谓之通弦。通弦半之，谓

之正弦。”“有正角，即有正弦，……，即有余弦。”“引半径，透于平面之外，与切圆直线相遇，为割线、切线；而各有正、余，复成四线：正割、正切、余割、余切。”

梅文鼎解释六词来源通俗易懂。任一角都有相应上述六条线段。如再加正矢（半径与余弦之差），余矢（半径与正弦之差）二线段，成为八线。辛亥革命前我国数学界称三角学为“八线”，源于此。

弪（弧度）1871年英人汤姆森创radian一词作为用半径长度量同圆弧长的角度单位。仿此，把汉

字“经”改造新字“弪”以命名这一概念。李锐夫《三角学》（商务印书馆，1936）、《平面三角形》（人民

教育出版社，1956）曾用此词。

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清代著名学者、大学士李光地对《河图洛书》的推崇堪称登峰造极。李光地《御篡周易》以《河图》为“加减之原”，《洛书》为“乘除之原”。似此，《河图洛书》便成为中

国数学之源,不仅如此,李光地又作《洛书勾股图》，认为《洛书》是勾股术之原。而依〔清〕数学家徐光启、梅文鼎的看法,勾股术乃西方数学之根本（徐光启著《几何原本序》称：“几

何原本者,度数之宗”。又著《几何原本杂议》称：“能精此书者，无书不可精”。梅文鼎

著《几何摘要·要目》称：“几何原本为西算之根本”。又著《几何通解》称：“几何不言

勾股。然,其理并勾股也。”）,《洛书》既为勾股术之源，自然亦便是西方数学根本之根本。此外,李光地并认为：“《河图洛书》之中，有天地人之数，又有天地人之象，还有天地人

之道”（见李光地《御纂周易》。）这一古老而神秘的文献不仅是中国文字、文章之源,东

西方数学之源。而且是一切人文社会科学、一切文化创造之根本。

甚至当代学者亦对《河图洛书》给予极高的评价。认为它“高度概括,高度抽象，宇宙、人类、天文、地理无所不包,从远古直到今天电子计算机的研制成功即曾受到《河图洛书》的

启示，甚至从某种意义上可以说，至今世界范围内还没有任何一部象这样奇特的书，故它被誉为“宇宙魔方”（徐金星、许桂声《河洛史话》，中州古籍出版社1995 年版。）。

明末之学者，或谈性天、弄理学，或疲精死神于举业，或不入城市埋首故纸，一切实学，均鲜研究，治科学者更如凤毛麟角。而徐光启、李之藻、方以智之后，科学人才更显凋零。及至清初，幸有一人挺身而出，全面整理中国传统数学、天文学，上承晚明传入之西学，下启乾嘉历算学大兴之格局，更为晚清再度吸纳西学埋下伏笔。

斯人即梅文鼎（1633-1721），字定九，号勿庵，安徽宣城县人，清初著名天文、数学家。

江永目之为“历算第一名家”，钱大昕称之为“国朝算学第一”，梁启超则说：“我国科学最昌

明者，惟天文算法。至清而尤盛，凡治经者多兼通之，其开山之祖，则宣城梅文鼎也”。

梅文鼎出生的那年，正好是伽利略发表《两大世界体系的对话》的第二年，文鼎也确实担起了“会通中西”的责任。少年时代文鼎即酷爱天文、算术，跟随父亲及塾师，“仰观星气，辄

了然于次舍运旋大意”（杭世骏《梅文鼎传》）。青年时代，文鼎又从学逸民倪道人，写成

《历学骈枝》，令道人自叹不如。30多岁时，他在南京遇见方以智的儿子方中通，从后者那里获知西方算学之大概，也奠定了一生学术的基础。（钱宝琮《梅勿庵先生年谱》）

在中青年时代，梅文鼎也未能免俗，曾数入科场，但均无斩获。1678年再度乡试时，他偶然得到一部西方历学书，日夜研读，随行赴考的亲戚只好将书藏起来。文鼎就发飙了：“余不卒业是书，中怦怦若有所亡，文于何有？”（梅庚《绩学堂诗钞序》）这时候他对科学的热心，已远胜科举。他后来更在《中西算学通自序》中说，如今所谓学士，多靠贴括章句进身，谈到数术度量则茫然，身负计量运筹职责的官吏，不懂科学的“十人而九”。其对科举养就的酸腐官吏的鄙视，跃然而出。

1705年，已是老人的文鼎受到康熙在南巡中的召见，两人于舟中对谈天文与数学三日，随后康熙手书“绩学参微”赐梅。这两人的际会，象征着当时宫廷与民间追求科学风气的汇合，可算清代学术史上的一件盛事。

总体观照，文鼎对科学的贡献，首先在于肯定科学的地位。他曾自问自答说：有人问我，历学是儒者之学么？我说，当然是，据说儒者是“通天地”之人，如果他连头戴的天都不知道有多高，还奢谈什么“通天地”呢？（《梅氏丛书辑要.杂著.学历说》）文鼎的第二大贡献，在于抛弃偏见，努力从西学中汲取营养。他说：“法有可采何论东西，理所当明何分新旧……去中西之见，以平心观理……务集众长以观其会通”。（《梅氏丛书辑要.堑堵测量》）文鼎的第三大贡献，则是破除中国传统历算学中的谶纬迷信。他在著作中曾举十数个实例证明所谓天文家观天象占祸福的虚妄，并进一步说，只要客观规律明了，那么巫婆神汉均无处遁形：“历学明，则占家无所容”。

具体而言，梅文鼎的学术成就主要在两方面，一是以布衣身份为徐乾学邀入史馆，编定《明史.历志》；二是《梅氏丛书辑要》，共收其天文、数学著作23种，为有清第一部有系统的天文、数学丛书，清代流传甚广的御制《数理精蕴》，也多从其间取材。在传统数学方面，文鼎整理研究了一次方程组解法、勾股形解法及求高次幂正根等方法，并率先对传统数学进行“分科”，划为算法和量法。在西方传入数学方面，文鼎也进行了全面整理、会通，并有所创造。比如用勾股算法推出球面直角三角形的边角关系公式，用直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理等。要之，相对中国旧有的算学、历学，文鼎更重视对概念的解释和定义，重视逻辑推理，重视图解法，而此三样均是旧算学、历学所欠缺的。

不过，梅文鼎也有局限。比如他始终认为中国古代的勾股术是一切数学之本，并妄想以之统一整个几何学。然而，他在《几何通解》中用勾股术证明的15道几何命题，全都含有二次项的恒等变换，因此不难借助同样属于二次变换的勾股术来证明。但是，要将欧几里德的几何学全都建立在勾股上，是不可能的，无异于在沙滩上种花。

此外，在康熙的号召下，梅文鼎也热衷于鼓吹“西学中源”。在当时，将“西学”披上“中源”的外衣，有利于其在国内传播，包含一定积极因素。不过，与此同时，这种牵强附会也增加了国内士人的骄妄与固步自封。直到今天，我们还能看到类似“莱布尼茨受《易经》影响创造二进制并用于计算机设计”、“《周易参同契》中的场论”、“玻尔受《太极图》启示而发明互补性原理”一类的鬼话或神话，源头大约正可上溯到文鼎那里呢。

梅文鼎活了近90岁，活得很长，足够他开创出一个“宣城学派”。当时对科学有同样热爱的士人，不少都奔投其门下。比如秀水张雍敬，“裹粮走千里”，往见梅文鼎；又如江夏刘允恭，变卖家产千里来投，受业其门；还有个叫揭暄的老头儿，80岁了仍远赴宣城访问梅文鼎，切磋算学精义。“宣城学派”最重要的收获之一，则是清代皖派汉学先驱江永，他曾为专著《翼梅》，对梅氏著作进行修订、讨论。江永的弟子，乾嘉时期的顶尖学者戴震，也有专著《勾股割圆记》，大可看作对文鼎的致意。

对此，梁启超在《中国近三百年学术史》中亦有详尽描述：“自王（锡阐）、梅（文鼎）提倡斯学之后，许多古算书渐渐复活，经学大师大率兼治算。戴东原校《算经十种》，大辟町畦；而李尚之、汪孝婴、董方立能为深沉之思，发明算理不少。晚清则西欧新算输入，而李壬叔、华若”材苊家。盖有清一代，作者绳绳不绝”。

梅文鼎

勾股举隅为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，全书一卷，其中的主要成就，是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广。书中首列「和较名义」，其次以两幅「弦实兼勾实股实图」来说明勾股定理，其论说

的根据是出入相补原理，

在内容上，本书大致上可分作两部分，一为勾股算术，另一主要为勾股测量。前者梅文鼎对其评价很高，他认为此式「乃立之根也。而其理皆具古图中，学者所宜深玩。」这里的「古图」指的即是赵爽注《周髀算经中》之「勾股圆方图」，对此式的证明也是利用此图来完成的。

值得注意的是，「弦与勾股和求勾股用量法」一题中所用的尺规作图之方法，与徐光启《勾股义》中「勾股求容圆」来作比较，可以发现梅文鼎在尺规作图的概念已相当正确，显示梅文鼎对《几何原本》有一定深

度的了解。另外，从梅文鼎在测量问题上所使用的出入相补法来看，其内容相当贴近杨辉乃至於刘徽的作法，有别於明末西方传入的测量方法，这一点颇值得我们来作后续探究

《几何通解》的主要诉求是「以勾股解《几何原本》之根」，梅文鼎的作法是采用传统的勾股方法来解《几

何原本》前六卷的部分命题，

其中，梅文鼎花了相当多的篇幅说明「理分中末线」（即黄金比例），其曰：「几何不言勾股，然其理并勾股也，故其最难者以勾股释之则明。惟理分中末线似与勾股异源。今为游心立法之初，而仍出於勾股。」由此，

可见梅文鼎对传统勾股术的重视。

勾股定理即为商高定理又叫毕氏定理，我从以前就很喜欢这个东西，第一次接触这个东西的时候，我就觉得很有趣，记得我第一次喜欢数学，是在国小的时候，老师说A：B＝C：D 然后内项相乘会等於外项相乘，我第一次听到觉得好不可思议喔！於是反反覆覆的去计算，真的是这样，於是我觉得数学好有趣。第二次就是商高定理了，我已经忘了是什麼时候，只是a2+b2=c2 让我觉得好有趣，而且我很喜欢三角形，从这

之后，我觉得数学是一科还蛮有趣的科目，我就还蛮喜欢数学的。《勾股舉隅》、《幾

何通解》文本研讀內容摘要

台北縣福和國中黃清揚老師一、作者簡介

梅文鼎（1633-1721），字定九，號勿庵，安徽宣城人。他生於明崇禎六年。他自幼受家庭教育，九歳（1641）熟五經，通史事，早年拜塾師羅王賓，15歳（1647）補博士弟子員。約在29歳時，梅文鼎跟隨倪觀湖（1616-？）學習明代頒用的《大統曆法》，收獲甚大，不久即完成《曆學駢枝》，這是他的第一部著作。縱觀梅文鼎的一生，除經人推薦曾參加編寫《明史?曆志》的工作之外，他終身鑽研數學和曆法，不曾有過任何官職。此外，他也得到不少朋友的幫忙和支持，晚年更得到康熙皇帝的讚譽，使得他的學術地位更加穩固。

梅文鼎生平著述有百種之多，幾乎涉及到當時已傳入的西方數學的各個方面，並且也作到了初步的消化和闡發，其所著各書大多根據《幾何原本》（前六卷）、《同文算指》以及《崇禎曆書》。他去世之後，魏荔彤的兼濟堂刊刻了《梅勿庵曆算全書》，這是魏氏聘請梅文鼎的朋友、著名數學家楊作枚編輯整理的。梅文鼎之孫梅瑴成晚年認為這套書「仇校不精，編次紊亂」，於是做了增減合併，更名為《梅氏叢書輯要》（1761）。以下介紹收錄在《梅氏叢書輯要》中第十七卷的《勾股舉隅》及第十八卷的《幾何通解》，兩者著作的年代約在18世紀後期。

二、《勾股舉隅》內容摘要

勾股舉隅為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，全書一卷，其中的主要成就，是對勾股定理的證明和對勾股算術算法的推廣。書中首列「和較名義」，其次以兩幅「弦實兼勾實股實圖」來說明勾股定理（如下圖），其論說的根據是出入相補原理，

在問題的陳述上，本書以問題、法、論曰為主，法為算法，論曰為證明，若有另外的算法，則再加上「又法」及「論曰」，部分題目則給出了「又簡法」，即速算法。書中的每個問題皆附上圖形，圖形的目地主要是用來說明出入相補法。在內容上，本書大致上可分作兩部分，一為勾股算術，另一主要為勾股測量。前者共列14 題，後者則為6問。前者內容如下：

其中「勾股積與弦較較求諸數」（5）、「勾股積與弦較和求諸數」（6）、「勾股積與弦和較求諸數」（7）、「勾股積與弦和和求諸數」（8）、「勾股較、弦和和求諸數」（11）、「勾股較、弦和較求諸數」等六個問題在歷史上是首度出現。此外，梅文鼎對這些題目中所給的算式中，最重要的是

，

梅文鼎對其評價很高，他認為此式「乃立之根也。而其理皆具古圖中，學者所宜深玩。」這裡的「古圖」指的即是趙爽注《周髀算經中》之「勾股圓方圖」，對此式的證明也是利用此圖來完成的。

值得注意的是，「弦與勾股和求勾股用量法」一題中所用的尺規作圖之方法，與徐光啟《勾股義》中「勾股求容圓」來作比較，可以發現梅文鼎在尺規作圖的概念已相當正確，顯示梅文鼎對《幾何原本》有一定深度的了解。另外，從梅文鼎在測量問題上所使用的出入相補法來看，其內容相當貼近楊輝乃至於劉徽的作法，有別於明末西方傳入的測量方法，這一點頗值得我們來作後續探究三、《幾何通解》內容摘要

《幾何通解》的主要訴求是「以勾股解《幾何原本》之根」，梅文鼎的作法是採用傳統的勾股方法來解《幾何原本》前六卷的部分命題，其內容大致如下：

其中，梅文鼎花了相當多的篇幅說明「理分中末線」（即黃金比例），其曰：「幾何不言勾股，然其理並勾股也，故其最難者以勾股釋之則明。惟理分中末綫似與勾股異源。今為游心立法之初，而仍出於勾股。」由此，可見梅文鼎對傳統勾股術的重視。

四、參考文獻

孔國平，〈會通中西的天算家梅文鼎〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁139-177。

梅文鼎，《幾何通解》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。

梅文鼎，《勾股舉隅》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。

劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論集》（南京：江蘇教育出版社，1990），頁182-218。

劉鈍，〈《勾股舉隅》、《幾何通解》提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷四（鄭州：河南教育出版社，1993），頁431-432。

錢寶琮，〈梅勿奄先生年譜〉，收入《李儼、錢寶琛科學史全集》第九卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁107-139。

明代由于政治社会等种种原因,特别如明末徐光启所指出的那样,一方面“名理之儒,土苴天下之实事”,另一方面“妖妄之术,谬言数有神理”,致使中国传统数学濒于灭绝,以后全为西方欧几里得传统所凌替以至垄断,康乾之世曾有一度重视。

在中国数学发展史上，清代是由古典数学向近代数学的转型时期。这一时期，数学研究是相当活跃的，就数学家人数和有关专著的数量而言，超过了以往的任何时代。明代末年，由于历法改革的需要，陆续引进了欧氏几何学、三角学和笔算等西方数学。入清之后，这项工作仍在继续进行，其中最重要的是由波兰传教士穆尼阁（J．N．Smogolenski，1611—1656）和薛凤祚所介绍的对数方法。

薛凤祚（1600—1680），与清初著名天文学家和数学家王锡阐有“南王北薛”之称。所著《历学会通》于1664 年刊行。《历学会通》主要讲述天文学，此外还有数学、医药学、物理学、水利、火器、兵法等内容。名为“会通”，表明他的目的是想把中法西法融会贯通起来。该书的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》（1653 年），《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1～20000 的六位对数表和六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。书中把今天所说的“对数”

称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17 世纪最重要的发现之一，它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析几何和微积分这三种当时西方最重要的数学方法中，也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识，比《崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等，且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中，增加了半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。

明末清初还传入了西方的一些计算工具，如纳皮尔算筹、伽利略比例规、计算尺（尚无游标、滑尺）、筹式计算器和帕斯卡计算器（机械式加法器）等。这些计算工具有些是外国制造的，有些则是国内自行研制的，现今仍收藏在故宫博物院。在17 世纪，我国有四算之称，即珠算、笔算、筹算（非指中国古代用算筹进行的筹算）和尺算，后三者都是由西方传入的。

梅文鼎被誉为“历算第一名家”的民间天文、数学家。康熙二十八年（1689），梅文鼎来到北京，在大学士李光地家中教馆。次年，梅文鼎应李光地之邀，将其研习天文历法的心得以问答形式撰成一书，取名《历学疑问》。康熙四十一年（1702），康熙帝读到李光地进

呈的《历学疑问》，对书中的观点非常欣赏。三年后的夏天，康熙帝在南巡的归途召见梅文鼎，连续三日在运河上的御舟中同梅文鼎谈论天文、数学，并亲书“绩学参微”四字，表彰他的研究工作。康熙帝曾通过在宫中任《律历渊源》汇编官的梅文鼎之孙瑴成代为致意。文鼎弟文鼐、文鼏、子以燕、孙瑴成、玕成，以及曾孙多人皆通晓天文、数学。康熙六十年（1721），梅文鼎于宣城家中逝世，康熙帝即命江宁织造曹頫营地监葬。

梅文鼎从事学术活动的年代，正是康熙帝对西方科学产生了浓厚兴趣的时期。这位皇帝在宫廷的躬习西学和梅文鼎在民间对中西历算的会通，汇成了清代初期中国天文和数学研究的一个高潮。在中国科学史上，梅文鼎可以说是一个承前启后的人物：前有明末传统历算的衰颓和西方科学的输入；后有清中叶乾嘉学派对包括历算在内的传统学术的复兴。梅文鼎的天文和数学研究在他那个时代具有强烈的启蒙色彩。

他生前编定的《勿庵历算书目》内收天文著作62 种、数学著作26 种。他去世之后，先后由魏荔彤和梅瑴成组织人力刊刻发行了《梅氏历算全书》和《梅氏丛书辑要》两套丛书。以编排较为合理的《梅氏丛书辑要》为例，其子目依次为：《笔算》5卷（附《方田通法》和《古算器考》）、《筹算》2 卷、《度算释例》2 卷、《少广拾遗》1 卷、《方程论》6 卷、《勾股举隅》1 卷、《几何通解》1 卷、《平三角举要》5 卷、《方圆幂积》1 卷、《几何补编》4 卷、《弧三角举要》5 卷、《环中黍尺》5 卷、《堑堵测量》2 卷、《历学骈枝》5 卷、《历学疑问》3 卷、《历学疑问补》3 卷、《交食》4 卷、《七政》2 卷、《五星管见》1 卷、《揆日纪要》1 卷、《恒星纪要》1 卷、《历学答问》1 卷、《杂著》1 卷，另有附录 2 卷系梅瑴成的作品。

梅文鼎对传统数学的研究以《方程论》为最早。传统数学中有关线性方程组的内容正是当时传入的西方数学所不具备的，梅文鼎写作此书的一个动机就是提醒学人不要认为数学是西方的专擅。在这部书中，他还提出了将传统的“九数”划分为“算术”和“量法”这两大类的思想，他说：“夫数学一也，分之则有度有数。度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。

是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股；算术最浅者粟布，稍进为衰分，为均输，为盈朒，而极于方程。方程于算术，犹勾股之于量法，皆最精之事，不易明也。”

当时《几何原本》只有前6 卷译本，梅文鼎在《测量全义》、《大测》等书透露的线索的启发下，对后几卷的内容进行了探索，多数成果都被写进他的《几何补编》一书之中。

在当时传入中国的西方科学知识中，三角学是难被人理解和接受的一部分内容。中国古代虽然有勾股术，但一般角的概念却相对地缺匮，而“三角法异于勾股者，以用角也”。梅文鼎作《平三角举要》和《弧三角举要》，可以说是中国人撰写的第一套三角学教科书。

对于中西之争，梅文鼎基本上能够持中平公正之心，这与他对数学本质的看法是有关系的。他在《中西算学通序》中写道：“数学者征之于实，实则不易，不易则庸，庸则中，中则放之四海九洲而准。”

康熙帝关心科学技术，不仅热心学习新的科技知识，而且亲自参加科学研究和实验，这在封建帝王中可说是绝无仅有的。1712 年他命梅瑴成等编撰《律历渊源》100 卷，于1723 年编成印行。其中数学部分为《数理精蕴》共53 卷，包括上编“立纲明体”5 卷，下编“分条致用”40 卷，数学用表4 种8 卷，这是一部当时中国传统数学和引进的西方数学知识的百科全书，基本上反映了当时国内的数学水平。由于这部书是以康熙名义主持编撰和出版的，所以流传很广，影响也较大，在相当长一段时间内是学习和研究数学必须参考的重要著作。《数理精蕴》是在梅文鼎数学著作、白晋和张诚等进讲的讲稿等基础上编成的，比较全面地叙述了算术、几何、代数、三角等学科的成就。其中较新的内容有对数表的造表方法。关于对数和对数表，《历学会通》已有所介绍，但没有造表方法。

从康熙帝晚年开始，雍正年间，乾隆年间，不少人开始致力于对中国古籍的辑佚、考证、校勘和注疏，以及对传统文化的研究，形成了以整理古典文献为主要目标的乾嘉学派。

经过戴震、阮元等著名学者的努力，我国早已失传的许多数学著作，如算经十书，宋元数学家秦九韶、杨辉、朱世杰、李冶的主要著作，都陆续通过由《永乐大典》辑录、据私人藏书家所藏珍本抄录等各种途径被发掘出来，整理出版，其中朱世杰《算学启蒙》的刊刻底本还出自朝鲜刻本。

这些古典数学专著重新出现后，立即引起不少数学家的重视，并纷纷为之注释校勘和进行深入研究，作出了相当突出的成绩。其中李潢（？—1811）《九章算术细草图说》、《海岛算经细草图说》、《辑古算经考注》、《四元玉鉴细草》和《〈数书九章〉大衍求一术考注》，罗士琳《四元玉鉴细草》等，都有不少独到的见解。乾隆嘉庆时期著名学者焦循（1763—1820）著《加减乘除释》，使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具体数字，分析《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》中各种算法的规律，提出了一些有关加减乘除的基本运算律，如加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律及分配律，整指数的二项式定理等，向着理论算术的发展迈出了重要的一步。

乾隆嘉庆时代的学者通过整理和研究古代算书的辛勤劳动，使濒于湮没无闻的数学典籍重放光芒，为后世研究古代数学发展史和了解祖国古代数学的辉煌成就，保存了极为宝贵的文献，这是乾嘉学派的重大功绩。还有一部重要作品，就是阮元主编的《畴人传》46 卷（1799 年）。在封建史家编撰的正史中，极少为科学家或技术专家专门立传。《畴人传》则完全是数学家和天文学家的传记，着重表彰他们卓越的科学成就，这在中国历史上是一件创举。

对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究，是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等，创造和发展了“增乘开方法”，解决了高次方程正实根的求解问题，但是对于该方程是否还有其他的根，方程根与系数之间的关系，则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题，当时被

导线测量、三角高程、支导线计算说明

工地通路测 导线测量、三角高程、支导线计算 操作模式分为两种： 1、现场联机全站仪现场测量、记录、平差； 2、对已经有整理好的内业资料情况，提供数据导入功能，导入测量记录完成平差计算。 一、现场联机全站仪测量、记录、平差操作流程： 1、点击主界面导线平差，进入导线平差界面，点击底部按钮创建导线 2、输入导线的起终点闭合数据。起点后视点位起点测站的后视点，终点前视为终点测站的前视点。 3、添加测站，写入测站名称、后视名称、前视名称。 4、点击测站条目弹出测回列表对话框，点击添加测回按钮进入测量界面。 5、输入仪器高、前后视棱镜高。 6、连接全站仪后点击测量完成正镜后视、正镜前视、倒镜前视、倒镜后视测量，软件获取全站仪数据并记录（或者手工输入数据），点击确定按钮完成本测回测量。 7、逐个完成测站和对应的测回测量。 8、在导线测量界面点击右上角三个点导出测量记录和导线平差计算表。

二、导入已有的导线观测数据： 1、导入工地通路测导线观测文件 点击导线平差界面右上角三个点，点击导入工地通观测文件，弹出导入对话框，在手机存储目录中找到数据文件，点击完成导入。 2、导入附合导线进行平差计算并完成成果表

点击导线平差界面右上角三个点，点击附合导线平差计算按钮，弹出导入对话框，对话框中提示要导入的文件格式的内容，本文件在Excel编辑上按照要求编辑后，选择单元格右键复制，黏贴到一个TXT文件中，将这个TXT文件发送到手机上，在手机存储目录中找到数据文件，点击完成导入，软件同时完成附合导线简易平差计算，并生成计算表。 3、导入三角高程数据计算并完成成果表 点击导线平差界面右上角三个点，点击三角高程计算按钮，弹出导入对话框，对话框中提示要导入的文件格式的内容，本文件在Excel编辑上按照要求编辑后，选择单元格右键复制，黏贴到一个TXT文件中，将这个TXT文件发送到手机上，在手机存储目录中找到数据文件，点击完成导入，软件同时完成三角高程平差计算，并生成计算表。 4、导入支导线数据进行计算并完成成果表 点击导线平差界面右上角三个点，点击支导线计算按钮，弹出导入对话框，对话框中提示要导入的文件格式的内容，本文件在Excel编辑上按照要求编辑后，选择单元格右键复制，黏贴到一个TXT文件中，将这个TXT文件发送到手机上，在手机存储目录中找到数据文件，点击完成导入，软件同时完成支导线计算，并生成计算表。 说明： 1、当遇到闭合导线时，实际上闭合导线计算和附合导线计算原理是一致的，闭合点只需要 填写为原来的起算点。 2、遇到闭合三角高程时，只需要将附合点填写为闭合点。 3、观测时设置为水平角为左角，竖直角为天顶零。 ============================================== 工地通路测工作环境为android4.0以上智能手机和设备，主要用于公路、铁路、市政、地铁工程施工测量。包括路线坐标高程计算和放样，坐标里程反算，桥涵、路基挖填方及断面、隧道断面、隧道仰坡、锥坡测量，坐标里程批量正反算，面积测量、控制测量、指南针，利用GPS计算坐标、里程、偏距，地图导航，测量记录，通讯对讲，科学计算器、缓和曲线参数计算、角度单位转换、坐标正反算等功能；支持超高、加宽、路基边坡渐变、隧道断面渐变；软件可生成路线平面图、路基土石方断面图、隧道断面检测图。 软件可与各品牌全站仪、RTK通讯测量，包括徕卡、尼康、宾得、三鼎、索佳、南方、拓普康、中纬、天宝、科维、科力达、中翰、徕纳得等品牌，同时完成计算、绘图、记录，实现测量信息化。

边角三角网平差程序的设计书

边角三角网平差程序设计书 一、课程设计的目的 学生在学习完误差理论与测量平差基础、测量平差程序设计基础等课程的基础上，设计一个完整的测量数据处理程序，培养学生综合应用量数据处理与计算机应用能力，培养学生主动学习，创新设计能力。 二、课程设计的任务和内容 1.课程设计任务： 在两周的时间内应用者Matlab程序设计语言编制一个完整的边角网严密平差程序,要求有简易的界面，数据输入采用文本输入，采用间接平差模型完成平差的基本计算，能够画出控制网图，输出基本的计算结果，并根据设计过程完成设计报告。 程序设计主要内容包括： 系统功能设计 界面设计 流程设计 代码书写 程序调试 三、课程设计阶段 准备阶段 研究设计任务书，分析设计题目，熟悉原始数据，明确设计内容和要求；制定课程设计计划和进度。 熟悉算法模型 阅读误差理论与测量平差基础教材，掌握平面控制网数据处理的数学模型，

这里主要是指方向观测量、角度观测量、边长观测量的观测方程和误差方程的构成，研究平面观测数据的组织方法，设计Matlab算法，实现计算的自动表达。 功能设计阶段设计程序要实现的功能 平差程序的基本功能包括数据的输入，平差计算，精度评定、成果输出等； 4.流程和界面设计阶段 根据平差计算的过程和程序功能，画出流程图，设计简易界面实现数据的输入和平差计算和成果输出。在此基础上，根据功能要求，设计简便的界面。 5．代码书写和调试阶段 按照计算流程图和界面设计，根据方向观测值，边长观测值的误差方程的组成，设计Matlab算法，实现误差方程的自动构成，分阶段书写代码，调试实现各个阶段的功能。 6.设计报告撰写阶段 设计报告是对整个设计过程进行综合总结提高，内容包括课设的目的意义、程序设计的内容、算法设计、设计心得等根据设计过程和对测量数据处理以及程序设计的理解进行独立撰写。 四、组织方式进度安排 以小组为单位，每小组5-6人，分工合作共同完成程序设计任务，时间两周， 进度安 排如下：

三角网条件平差计算

§3-4 三角网条件平差计算 2学时 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。 三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。 一、网中条件方程的个数 三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。 要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数： r = n - t 由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。

导线平差计算

导线平差计算 1 简介 闭合导线和附合导线是长输管道站场和穿跨越测量常用的控制手段，其优点是可以同时完成平面和高程控制测量。导线平差原理请查阅相关文献。不同平差软件的平差方法步骤基本相同，本文件基于南方平差易软件平台介绍导线（闭合导线、附合导线是最简单的导线控制网）平差的操作方法。 2 规范性引用文件 下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。 《长距离输油输气管道测量规范》（SY/T 0055-2003） 《工程测量规范》（GB 50026-2007） 3 操作步骤 （1）录入数据 录入数据是将导线测量数据录入平差软件。可以采用手工或文件方式录入（建议采用后者，选菜单“文件/打开”）。其数据格式如下： [NET] 控制网信息 [PARA] 控制网参数 [STATION]坐标和高程信息（11表示高程已知，如果无坐标则无法在平差易中看到和输出地图）[OBSER] 观测的转角、平距、高差等信息 下图为导入数据窗口： 图3-1 导入数据窗口 （2）坐标推算（F3）

选菜单“平差/推算坐标”，根据已知条件（测站点信息和观测信息）推算出待测点的近似坐标。为构建动态网图和导线平差作基础。 （3）概算 选菜单“平差/选择概算”→配置概算参数→输出概算结果。下图为“选择概算”的配置参数窗口： 图3-2 配置概算参数 （4）调整观测数据 将概算结果调整到输入的观测数据中，重新导入。 （5）计算方案的选择 对于同时包含了平面数据和高程数据的导线, 一般处理过程应为：先进行平面处理, 然后在高程处理时软件会使用已经较为准确的平面数据（如距离等）来处理高程数据。对精度要求很高的平面高程混合平差，您也可以在平面和高程处理间多次切换，迭代出精确的结果（但建议平面和高程分开了平差）。 针对导线平差，需要设置中误差及仪器参数、高程平差参数、限差及等级内容。 选菜单“平差/平差方案”即可进行参数的设置，如下图：

三角高程测量

§4-6 三角高程测量 一、三角高程测量原理及公式 在山区或地形起伏较大的地区测定地面点高程时，采用水准测量进行高程测量一般难以进行，故实际工作中常采用三角高程测量的方法施测。 传统的经纬仪三角高程测量的原理如图4－12所示，设A点高程及AB两点间的距离已知，求B点高程。方法是，先在A点架设经纬仪，量取仪器高i；在B点竖立觇标（标杆）， 并量取觇标高L，用经纬仪横丝瞄准其顶端，测定竖直角δ，则AB两点间的高差计算公式为： 故（4-11） 式中为A、B两点间的水平距离。 图4-12 三角高程测量原理 当A、B两点距离大于300m时，应考虑地球曲率和大气折光对高差的影响，所加的改正 数简称为两差改正： 设c为地球曲率改正，R为地球半径，则c的近似计算公式为： 设g为大气折光改正，则g的近似计算公式为： 因此两差改正为：，恒为正值。 采用光电三角高程测量方式，要比传统的三角高程测量精度高，因此目前生产中的三角高程测量多采用光电法。

采用光电测距仪测定两点的斜距S，则B点的高程计算公式为： （4-12) 为了消除一些外界误差对三角高程测量的影响，通常在两点间进行对向观测，即测定hAB 和hBA，最后取其平均值，由于hAB和hBA反号，因此可以抵销。 实际工作中，光电三角高程测量视距长度不应超过1km，垂直角不得超过15°。理论分析和实验结果都已证实，在地面坡度不超过8度，距离在1.5km以内，采取一定的措施，电磁波测距三角高程可以替代三、四等水准测量。当已知地面两点间的水平距离或采用光电三角高程测量方法时，垂直角的观测精度是影响三角高程测量的精度主要因素。 二、光电三角高程测量方法 光电三角高程测量需要依据规范要求进行，如《公路勘测规范》中光电三角高程测量具体要求见表4-6。 表4-6 光电三角高程测量技术要求 往返各 注：表4-6中为光电测距边长度。 对于单点的光电高程测量，为了提高观测精度和可靠性，一般在两个以上的已知高程点上设站对待测点进行观测，最后取高程的平均值作为所求点的高程。这种方法测量上称为独立交会光电高程测量。 光电三角高程测量也可采用路线测量方式，其布设形式同水准测量路线完全一样。 1．垂直角观测 垂直角观测应选择有利的观测时间进行，在日出后和日落前两小时内不宜观测。晴天观测时应给仪器打伞遮阳。垂直角观测方法有中丝法和三丝法。其中丝观测法记录和计算见表4-7。表4-7 中丝法垂直角观测表 点名泰山等级四等 天气晴观测吴明 成像清晰稳定仪器Laica 702 全站仪记录李平 仪器至标石面高1.553m 1.554 平均值1.554m 日期2006.3.1

三角高程测量误差分析报告(精)

三角高程测量 1 三角高程测量的基本原理 三角高程测量是通过观测两点间的水平距离和天顶距（或高度角）求定两点间的高差的方法。它观测方法简单，不受地形条件限制，是测定大地控制点高程的基本方法。目前，由于水准测量方法的发展，它已经退居次要位置，但在山区和丘陵地带依然被广泛采用。 在三角高程测量中，我们需要使用全站仪或者经纬仪测量出两点之间的距离(水平距离或者斜距和高度角，以及测量时的仪器高和棱镜高，然后根据三角高程测量的公式推算出待测点的高程。三角高程测量 由图中各个观测量的表示方法，AB两点间高差的公式为： H=S0tanα+i1-i2① 但是，在实际的三角高程测量中，地球曲率、大气折光等因素对测量结果精度的影响非常大，必须纳入考虑分析的范围。因而，出现了各种不同的三角高程测量方法，主要分为：单向观测法，对向观测法，以及中间观测法。 1.1 单向观测法 单向观测法是最基本最简单的三角高程测量方法，它直接在已知点对待测点进行观测，然后在①式的基础上加上大气折光和地球曲率的改正，就得到待测点的高程。这种方法操作简单，但是大气折光和地球曲率的改正不便计算，因而精度相对较低。 1.2 对向观测法 对向观测法是目前使用比较多的一种方法。对向观测法同样要在A点设站进行观测，不同的是在此同时，还在B点设站，在A架设棱镜进行对向观测。从而 就可以得到两个观测量：直觇：

h AB= S往tanα往+i往-v往+c往+r往② 反觇： h BA= S返tanα返+i返-v返+c返+r返③ S——A、B间的水平距离； α——观测时的高度角； i——仪器高； v——棱镜高； c——地球曲率改正； r——大气折光改正。 然后对两次观测所得高差的结果取平均值，就可以得到A、B两点之间的高差值。由于是在同时进行的对向观测，而观测时的路径也是一样的，因而，可以认为在观测过程中，地球曲率和大气折光对往返两次观测的影响相同。所以在对向观测法中可以将它们消除掉。 h=0.5(hAB- hBA =0.5[( S往tanα往+i往-v往+c往+r往-( S返tanα返+i返-v返+c返+r返] =0.5(S 往tanα往-S返tanα返+i往-i返+v返-v往④ 与单向观测法相比，对向观测法不用考虑地球曲率和大气折光的影响，具有明显的优势，而且所测得的高差也比单向观测法精确。 1.3 中间观测法 中间观测法是模拟水准测量而来的一种方法，它像水准测量一样，在两个待测点之间架设仪器，分别照准待测点上的棱镜，再根据三角高程测量的基本原理，类似于水准测量进行两待测点之间的高差计算。此种方法要求将全站仪尽量架设在两个待测点的中间位置，使前后视距大致相等，在偶数站上施测控制点，从而有效地消除大气折光误差和前后棱镜不等高的零点差，这样就可以像水准测量一样将地球曲率的影响降到最低。而且这种方法可以不需要测量仪器高，这样在观测时可以相对简单些，而且减少了一个误差的来源，提高观测的精度。全站仪中间观测法三角高程测量可代替三、四等水准测量。在测量过程中，应选择硬地面作转点，用对中脚架支撑对中杆棱镜，棱镜上安装觇牌，保持两棱镜等高，并轮流作为前镜和后镜，同时将测段设成偶数站，以消除两棱镜不等高而产生的残余误差影响。

三角网坐标平差

三角网坐标平差 时间:2009-12-27 来源:本站作者:节选 §12.1三角网坐标平差 第十二章概述 间接平差又称参数平差。水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。因此，坐标平差法都按方向平差。 间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。 本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。 水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未知数可采用一定的法则予以消掉。由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。 为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。坐标平差的第一步是列组误差方程式。对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。 12.1.1方向误差方程式的建立和组成 在测站k上观测了等方向 其方向观测值为

测量平差 条件方程t的判定知识分享

测量平差条件方程t的判定

§3-4 三角网条件平差计算 2学时 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。 三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。 一、网中条件方程的个数

三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如 图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网 中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、 一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小 及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。 要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观 测数t，从而确定了多余观测数： r = n - t 由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测 数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。 1.网中有2个或2个以上已知点的情况 三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数 据。无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定 一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p 个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。 t = 2 ·p(3-4-1) (1) 测角网 图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。如果三角网中观测量全部是角度时。 总观测值个数：n = 23 必要观测数：t = 2 · p =12

三角高程测量

§4-6三角高程测量 一、三角咼程测量原理及公式 在山区或地形起伏较大的地区测定地面点高程时，采用水准测量进行高程测量一般难以进行，故实际工作中常采用三角高程测量的方法施测。 传统的经纬仪三角高程测量的原理如图4 —12所示，设A点高程及AB两点间的距离已知，求B点高程。方法是，先在A点架设经纬仪，量取仪器高i ;在B点竖立觇标（标杆），并量取觇标高L,用经纬仪横丝瞄准其顶端，测定竖直角3,则AB两点间的高差计算公式为： 故'「一「』十 A 十(4-11 ) 式中二为A、B两点间的水平距离 图4-12三角高程测量原理 当A、B两点距离大于300m时，应考虑地球曲率和大气折光对高差的影响，所加的改正数简称为两差改正: 设c为地球曲率改正，R为地球半径，则c的近似计算公式为：-

y ——0.014 —设g为大气折光改正，则g的近似计算公式为：’ 因此两差改正」为：2尺，孑恒为正值。 采用光电三角高程测量方式，要比传统的三角高程测量精度高，因此目前生产中的三角高程测量多采用光电法。 采用光电测距仪测定两点的斜距S，则B点的高程计算公式为: 12） - 二_ 匚I _ ' ---------- -- （4 - 为了消除一些外界误差对三角高程测量的影响，通常在两点间进行对向观测，即 测定hAB和hBA，最后取其平均值，由于hAB和hBA反号，因此」可以抵销 实际工作中，光电三角高程测量视距长度不应超过1km，垂直角不得超过15°。理论分析和实验结果都已证实，在地面坡度不超过8度，距离在1.5km 以内，采取一定的措施，电磁波测距三角高程可以替代三、四等水准测量。当已知地面两点间的水平距离或采用光电三角高程测量方法时，垂直角的观测精度是影响三角高程测量的精度主要因素。 二、光电三角高程测量方法 光电三角高程测量需要依据规范要求进行，如《公路勘测规范》中光电三角高程测量具体要求见表4-6 表4-6光电三角高程测量技术要求

三角高程网高程平差结果

三角高程网高程平差结果 -------------------------------------------------------------------- APPROXIMATE HEIGHT -------------------------------------------------------------------- No. Name Height(m) -------------------------------------------------------------------- 1 S0 219.959200 2 N2 212.532800 3 N1 157.143292 4 S246 181.979042 5 N0 207.851742 6 S2 242.626692 7 N3 151.135300 -------------------------------------------------------------------- KNOWN HEIGHT -------------------------------------------------------------------- No. Name Height(m) -------------------------------------------------------------------- 1 S0 219.95920 2 N2 212.53280 -------------------------------------------------------------------- MEASURING DATA OF HEIGHT DIFFERENCE -------------------------------------------------------------------- No. From To Observe(m) Distance(km) Weight -------------------------------------------------------------------- 1 N1 S246 24.84150 0.6120 1.634 2 N1 S0 62.81591 0.8580 1.166 3 N1 N0 50.70845 0.5250 1.905 4 N0 S2 34.7749 5 0.6900 1.449 5 N0 N2 4.67680 0.1830 5.464 7 N0 S246 -25.87270 0.8380 1.193 8 N0 S0 12.09575 0.7320 1.366 9 N2 S0 7.42785 0.7420 1.348 10 N2 S2 30.10300 0.6560 1.524 11 N2 N3 -61.39750 0.3340 2.994 13 S2 N3 -91.50100 0.5710 1.751 16 S2 S0 -22.67050 0.1810 5.525 20 S0 S246 -37.96760 0.5190 1.927 -------------------------------------------------------------------- ADJUSTED HEIGHT -------------------------------------------------------------------- No. Name Height(m) Mh(mm) -------------------------------------------------------------------- 1 S0 219.959200

测量平差期末试题

一、填空。（每空1分，共22分） 1．与的比值称为相对中误差。 2．误差椭圆的三个参数是________、________、_________。 3．闭合导线按条件平差时条件方程式的个数等于___个，分别是 ____个____________________条件和____对_______________________条件。 4 ．设某平差问题中，观测值个数为n个，必要观测数为t个，若按条 件平差，条件方程的个数等于______个，法方程的个数等于_______个。 若按间接平差，误差方程式的个数等于______个，未知数的个数等于 ______个，法方程的个数等于____个。 5．根据误差传播定律，若某一站观测高差的中误差为2mm，在A、B 两点间共观测了4站，则A、B两点间高差的中误差为mm。 6．导线网按条件平差，所列条件方程中的未知数，既有___________的 改正数，也有___________的改正数。 7．在水准测量中若已知每公里观测高差的中误差均相等，且又知各水准 路线的长度为Si（I=1，2，……n），则观测高差的权可用公式_________ 求出。 8．偶然误差的特性为：绝对值较小的误差出现的可能性；绝对值相等的正负误差出现的可能性；偶然误差的理论平均值。 1．__________、_________和_________合称为观测条件。 2．水准路线的定权方法有两种：根据_________定权和根据_________定权。 3．由三角形闭合差来计算测角中误差的公式为，称其为菲列罗公式。 4．由不等精度的双观测值之差计算单位权中误差的公式为σ0= ，由等精度的双观测值之差计算观测值中误差的公式为。 5 ．单导线按条件平差时条件方程的个数永远等于个，附合导线中个坐标方位角条件和一对条件，闭合导线中一个条件和对闭合条件。6．常用的衡量精度的指标有、、、 1.独立边角同测网条件方程式的种类，除了具有测角网和测边网的条件式外，还具有反映边角关系的二种条件，它们是和。 2.按间接平差时，首先要设定个独立未知数，在进行水准网的平差时，可以选择作为未知数，也可以选择为未知数，但最好选择为未知数。

测量平差 条件方程t的判定

§３-4 三角网条件平差计算 2学时 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长,计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成,总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。 三角网的种类比较多,网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等;根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网,网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角),根据数学理论,以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值,就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据,或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束,从而增强其可靠性,这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。 一、网中条件方程的个数 三角网平差的目的,是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图3-９所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的４个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据,就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。 要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t,从而确定了多余观测数: r ＝n - t 由条件平差原理知,多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此,问题的关键是判定必要观测数ｔ。 １.网中有２个或２个以上已知点的情况

[整理]10控制网平差计算

§9.1 条件平差原理 在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1 ??n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。 9.1.1基础方程和它的解 设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为： ?? ? ????=++++=++++=++++0???0???0 ???221122112211οο οr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数； 0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数 以i i i v L L +=?（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程 （9-2） 式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 （9-3） 令 ?????? ? ??=?n n n n r r r r b b b a a a A 2 1 2121 ?? ? ????++???++=++???++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ?? ?? ?? ? =++???++=++???++=++???++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ?????? ? ?? =?n n L L L L 211 ?????? ? ?? =?n n L L L L ????2 11 ????? ?=?b a r w w W 1 ????? ? =?n v v V 211 ???? ?=?οοb a A o r 1 1 ?n L n n P ?1 ?n V 1 ??n L 1 ??n L ? ?? ? ?=?n n p p P 000021

三角高程测量

J08-KC-08-A 三角高程测量 1 三角高程测量基本公式 仪器高 1i 觇标高 2v 参考椭球面 A ′B ′ 水准面 PE ，AF 切线PC （水准面PE 的） 切线PM （也就是视线） 光程曲线PN （切线PM 的光程曲线） 垂直角12α，实测的，但真正的垂直角应为0 α， 012αα-称为折光角 图1 三角高程测量示意图 高差计算公式为： NB MN EF CE MC BF h --++==12 （1） 22 0120120221v s R K i s R tg s --++ =α 212 0120v i Cs tg s -++=α 式中： C ——球气差系数，C =（1-K ）/2R 0s ——为实测的水平距离 2 21s R ——地球弯曲差

2 2s R K ——大气垂直折光差，K 为折光系数，一般在0.1～0.16之间，可用实验方法测定。 2 三角高程导线测量基本要求 （1） 三、四等及等外高程导线测量，每公里高差中数的偶然中误差?M 和全中误差 w M 应符合表1 的规定。 表 1 mm （2） 高程导线天顶距测量，一测回观测值中误差Z M 应符合以下规定。 三等 "3.1≤Z M 四等 "5.1≤Z M （3） 各等级高程导线的路线长度应符合表2的规定。 表 2 km （4） 高程导线的环线、附合路线闭合差和检查已测测段高差之差，不得超过表3的规定。 表 3 mm （5） 高程导线的视线长度和视线倾角应符合表4的规定。

J08-KC-08-A 4 m 表 表 5 m 表 6 （°） 3 三角高程导线测量流程 3.1 路线设计与埋石 （1）高程导线的路线设计应根据任务书的要求，收集测区及附近的地形图、交通图、水准点、气象等方面的资料，设计最佳方案，编写技术设计。 （2）测站和置觇点宜选择在高出周围地面的地形特征点上，尽量提高视线的高度。视线高度和地面障碍物的距离不小于1.5m。 （3）视线和置觇点应尽量避免通过有强烈背景光和强磁场的地方，以及有吸热、散热变化大的区域，

南方平查易三角高程实例

三角高程实例 这是三角高程的测量数据和简图，A和B是已知高程点，2、3和4是待测的高程点。 三角高程原始数据表 三角高程路线图（模拟） 上图中r为垂直角 在平差易中输入以上数据，如下图“三角高程数据输入”所示： 三角高程数据输入 在测站信息区中输入A、B、2、3和4号测站点，其中A、B为已知高程点，其属性为01，其高程如“三角高程原始数据表”；2、3、4点为待测高程点，其属性为00，其它信息为空。因为没有平面坐标数据，故在平差易软件中也没有网图显示。

此控制网为三角高程，选择三角高程格式。如下图“选择格式”所示： 选择格式 注意：在“计算方案”中要选择“三角高程”，而不是“一般水准”。 在观测信息区中输入每一个测站的三角高程观测数据 测段A点至2号点的观测数据输入如下图“A－>2观测数据”所示： A－>2观测数据 测段2点至3号点的观测数据输入如下图“2－>3观测数据”所示： A－>2观测数据 测段3点至4号点的观测数据输入如下图“3－>4观测数据”所示： A－>2观测数据 测段4点至B点的观测数据输入如下图“4－>B观测数据”所示： 4－>B观测数据 以上数据输入完后，点击“文件\另存为”，将输入的数据保存为平差易格式文件（格式内容详见附录A）为： [STATION] A,01,,,96.062000,1.30 B,01,,,95.97160, 2,00,,,,1.30 3,00,,,,1.35 4,00,,,,1.45 [OBSER] A,2,,1474.444000,27.842040,,1.044000,1.340 2,3,,1424.717000,85.289093,,3.252100,1.350

教学目标掌握三角网条件评差方法和程序

教学目标掌握三角网条件评差方法和程序

第3讲 教学目标：掌握三角网条件评差方法和程序。 重点难点：条件方程列立，闭合差检核 第3章控制网平差 3—1 概述 在测量工作中，常要确定某些几何量的大小。由几何量组成的模型称为几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用t来表示。必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型，t只与几何模型有关，与实际观测无关。 约定：L~――真值，L――平差值，Ｌ――观测值

在一个几何模型中，除了t 个独立量以外， 若再增加一个量，则必然产生一个相应函数关系 式。例，必要量选为1~L 、2~L 、1~S ，若增加一个量3 ~L ， 则存在 180~~~321=++L L L ， 若再增加一个量2~S ，则有 1212~sin ~sin ~~L L S S = 由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t 个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。 在测量工程中，为了求得一个几何模型中各 量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n 个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即n ＜t ，显然它无法确定该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t 个独立量，n =t ，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使

条件平差习题

条件平差习题 一、重点内容及难点 1. 水准网条件平差 ● 条件方程列法 ● 权的确定方法 2. 边角网条件平差 ● 条件方程个数确定方法 ● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件 3. 条件方程线性化 11112 ?()()()()()()()????n n i i n i f f f f f L f L V V V f L V L L L L =????=++++=+????∑ ● 极条件方程及线性化 ● 符合三角网条件方程 4. 理解条件平差的函数模型和随机模型 ● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用 二、公式汇编及条件平差计算步骤 1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、 必要观测值的个数t 及多余观测个数r = n – t ， 2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程 平差值条件方程 ?()0F L = 改正数条件方程 0=+W AV 3. 据具体情况确定观测值的权阵； )(21n p p p diag P = 4. 组成法方程式，求出联系数； W NK = 1K N W -=- 5. 算出观测值改正数和观测值的平差值L ?； 1T V P A K -=

V L L +=? 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ?代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有的条件关系式； 0)?(=L F 7. 计算单位权方差和单位权中误差；r PV V T =20 ?σ 8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。对平差值函数全微分，应用广义传播律计算平差 值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。 12????(,,,)n f L L L ?= ????T LL Q fQ f ??= 2 ????0?D Q ????σ= 三、思考题： 1. 发现误差的必要条件是什么？ 2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？ 3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？ 4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？ 5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？ 6. 设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？ 7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？ 四、计算题 5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度 和高差为：

平差数据录入示例

通过实例来介绍导线、水准、三角高程的数据输入方法。 导线实例 这是一条符合导线的测量数据和简图，A、B、C和D是已知坐标点，2、3和4是待测的控制点。 原始测量数据如下： 测站点角度(°′″)距离（米）X (米)Y（米） B8345.87095216.6021 A85.302111474.44407396.25205530.0090 2254.323221424.7170 3131.043331749.3220 4272.202021950.4120 C244.183004817.60509341.4820 D4467.52438404.7624导线图如下： 导线图 在平差易软件中输入以上数据，如下图“数据输入”所示：

数据输入 在测站信息区中输入A、B、C、D、2、3和4号测站点，其中A、B、C、D为已知坐标点，其属性为10，其坐标如“原始数据表”；2、3、4点为待测点，其属性为00，其它信息为空。如果要考虑温度、气压对边长的影响，就需要在观测信息区中输入每条边的实际温度、气压值，然后通过概算来进行改正。 根据控制网的类型选择数据输入格式，此控制网为边角网，选择边角格式。 如下图“选择格式”所示： 选择格式 在观测信息区中输入每一个测站点的观测信息，如下表 B、D作为定向点，它没有设站，所以无观测信息，但在测站信息区中必须输入它们的坐标。 以A为测站点，B为定向点时（定向点的方向值必须为零），照准2号点的数据输入如下图“测站A的观测信息”所示：

测站A的观测信息 以C为测站点，以4号点为定向点时，照准D点的数据输入如下图“测站C的观测信息”所示： 测站C的观测信息 2号点作为测站点时，以A为定向点，照准3号点，如下图“测站2的观测信息”所示： 测站2的观测信息 以3号点为测站点，以2号点为定向点时，照准4号点的数据输入如下图“测站3的观测信息”所示： 测站3的观测信息 以4号点为测站点，以3号点为定向点时，照准C点的数据输入如下图“测站4的观测信息”所示：