小学数学二下专项训练——巧填数阵图

二下

基础知识

填空

1、四千零九十写作（），八千写作（）

三百零七写作（），二个千，五个百是（）

2、甲数是125，比乙数多18，乙数是（）。

3、老师有20个本子，最少还要买（）个就可以平均分给7个小朋友了。

4、从一个钝角上剪去一个直角后得到的角是（）。

5、32个百加上6个十是（）；差和减数都是1700，被减数是（）。

6、383中左边的3表示（），右边的3表示（）。

7、20比一个数少5，这个数是（）。

8、被除数和除数（0除外）相等，商是（）。

9、如果被减数不变，减数减少10，那么差就会（）。

10、正方形四条边（），四个角都是（）。

11、3m＝( )cm 9cm＝( )mm 50dm＝( )m 5km10m＝( )m

12、按规律填数：3785 , 3885 ,（）,（）, 4185 , ( )

13、填“＞”，“＜”或“＝”：

2时○200分1时30分○90分

3080○2985 10个十○2个百

1000-30○700 200分○2小时

判断

1．下午第一场电影是1小时30分开映。（）

2、3米、400厘米、350厘米按从大到小的顺序排列是400厘米＞350厘米＞3米（）

3、最小的四位数减１就是最大的三位数（）

4、求比72多20的数是多少，用加法计算（）

5、3点整、3点半、9点整、9点半的时针分针都成直角。（）

6、两个数相除，被除数一定大于除数。（）

7、在除法里，商不一定小于除数。（）

选择

1、3000是（）可以看成

①30个千②30个百③30个十

2、一个钝角可以分成（）。

A．一个直角和一个锐角 B.两个锐角 C.不能确定

列竖式计算

100－81＝ 400－380＝

根据算式提问题或条件。

1、小鸡有6只，小鸭是小鸡的5倍，？算式是：6＋6×5

2、小鸡有8只，，小鸭有多少只？算式是：8÷2

能力提高

1、把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等.

2、把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15.

3、把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2.

4、把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.

5、把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12.

6、把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15.

把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等19.

拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等21，又应该怎样填？

我会做一做

把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入右图中，使得每条直线上的3个数的和相等.

练习十二

1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是1

2.

2.把3～8这6个数，填在下图中使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.

3. 把1，2，3，4，5这五个数分别填入下面的○里，使横行、竖行的三个数相加都得10.

4.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为20.

5. 将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.

6.把数字1，2，3，5，6，7，9填在下面的○里，使每边上的和为15.

人教版小学三年级数学第16讲 数阵图(一)

第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

(完整版)4年级有趣的数阵图

4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。

把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。

例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。

小学数学 数阵图(一).教师版

1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图

【答案】 【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且 数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ （） 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： （2）h g f e d c b a a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8 若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，

第十二讲巧填数阵图教师

第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.

【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. （1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）. （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 （4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.

四年级数学数阵图(二)例题讲解

第17讲数阵图（二） 例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。 解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。 因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4 或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b

c＝2。 值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。 解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

小学数学《数阵图》练习题(含答案)

小学数学《数阵图》练习题（含答案） 课前复习 1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16. 【答案】 【答案】 2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18. 【答案】 3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是6 4. 【答案】 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图： 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.

认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？ 左上图有两条直线，每条直线上都有 3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15. 数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习. 辐射型数阵图 【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10. 【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a= 10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。 【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等. 【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。

四年级数学巧填数阵图

巧填数阵图 课前练习： 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米，求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行1分钟10秒相遇，如果背向而行30秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12。

例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少 例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数，使每个圈内的和都等于17。 课堂练习

1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的和等 于55，求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了10与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数，使每个圈内的和都等于15。

四年级数学数阵图讲解(一)

四年级数学数阵图讲解（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1.9＋4＋2.8＋6＋1.8＋5＋2. 8＋4＋3.7＋6＋2.7＋5＋3.6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法：

上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：

巧填数阵图

巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一 个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能 重复出现. 拓展练习 (1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和 都得15. 在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18. 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填

什么数？ 拓展练习 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15. 把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12. 拓展练习 把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈

一上奥数数阵填数填符搭配路线排队

1.数阵图类型 发射型： 封闭型 2.突破方法： ①找数字出现最多的线，用加减法去算 ②头中尾，填中间，大小大小手拉手 3.数阵图歌 数阵图，真有趣，每条线，和相等 数越多，先找他，头中尾，中间填 1.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于10. 2.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 3.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 4.把4、5、7、8四个数填在四个空格里，使得横行、竖行三个数相加等于18. 5.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于10. 6.在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于18. 7.把数字1、2、3、4、6、7、8、9分别填入下面八个圆圈中，使每条线上的三个数字的和等于15. 8.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都相等. 9.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都等于9. 10.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加都相等. 11.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加和都等于14. 12.把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数和都等于15. 13.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 8简单数阵 知识点： 课堂共同学习

14.把5、5、7、7、9、9分别填在下面的圆圈里，使每条边上都有5、7、9. 1.填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 2.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于8. 3.要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 4.在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于1 5. 5.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12. 6.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 7.把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 8.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为 20. 9.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 10.在每个方格内，只能填1、2、3三个数字，使横行、竖行的三个数相加都相等，但每一横行、竖行的三个数字互不相同. 5 4、6 3 4和8,5和7随便填 1.相邻数加法和减法的特征： ①加法特征：大小、大小和相等，是横式变形的根本. ②减法特征：相邻两数相减，差永远是1.（减法相等的依据） 课后自我提升 9横式填数 知识点：

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个

a小学数学奥赛5-1-3-3数阵图(三).教师版

1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐 射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）； 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 例1】把0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8 题 数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 考点】数阵图与数论难度】 3 星题型】填空 解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、 E 分别只能是0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为45-10=35. 设所形成的等差数 列的首项为a1，公差为 d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于 0+1+5=6 ，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 答案】 2 种可能 例2】将1~ 9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．

小学数学 数阵图(三).教师版

5-1-3-3.数阵图 教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、【解析】 E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 【答案】2种可能 【例2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．

小学一年级奥数 简单的数阵图

简单的数阵图 课前活动套tào 圈quān 游yóu 戏 xì 仔zǐ细xì观guān 察chá，聪cōng 明míng 的de 小xiǎo 朋péng 友yǒu ，你nǐ知zhī道dào 小xiǎo 象xiàng 套tào 中zhōng 了le 哪nǎ几jǐ个gè数shù吗ma ？请qǐng 将jiāng 套tào 中zhōng 的de 这zhè几jǐ个gè数shù填tián 在zài 下xià面mian 左zuǒ图tú中zhōng 的de 圆yuán 圈quān 里lǐ，使shǐ每měi 行háng 、每měi 列liè的de 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú15，你nǐ能néng 做zuò到dào 吗ma ？ 【例1】(★★) 请qǐng 你nǐ用yòng 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9填tián 空kòng ，使shǐ得dé每měi 一yí道dào 题tí中zhōng ， 同tóng 一yī个gè数shù字zì不bù能néng 重chóng 复fù出chū现xiàn 。 【例2】(★★★) 将jiāng 1～16这zhè十shí六liù个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 方fāng 框kuàng 中zhōng ，使shǐ横héng 行xíng 、竖shù行háng 、斜xié行háng 的de 和hé都dōu 相xiāng 等děng 。【例3】(★★★) 请qǐng 把bǎ2，3，4，5，6这zhè五wǔ个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 的de 空kòng 格gé中zhōng ， 使shǐ每měi 条tiáo 线xiàn 上shàng 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú 12。

四年级数学上册数阵图(三)讲解

四年级数学上册数阵图（三）讲解 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题. 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析与解：由上图看出，三组数都包括左.右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法.

例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行.每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4. 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内. 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图. 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.

分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法. 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.

小学数学解题方法之数阵图

小学数学解题方法解题技巧之数阵图 【方阵】 例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。 （长沙地区小学数学竞赛试题） 讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。 （l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。 再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。 （“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4=21

而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。 三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。 例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。 （1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。 设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。所以，（a＋b）之和至少是7。 故，和数的最小值是24。 【其他数阵】 例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。 已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

小学奥数16数阵图

1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。 例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。 （28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3 其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3 其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a ＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。 例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。

一年级奥数巧填数阵图

第十二讲巧填数阵图 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子?一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1?7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数 之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了? ”你能帮她们填一填吗 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 ,7, 8, 每边上的和为9 每边上的和为13

拓展练习 6 在每个方格中填入适当的数 18 拓展练习 15 ? 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于 使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为 18，下面每个方框里应填什么数? 4**(1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得 11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得 15 1 1 ■ 1 2 3 . n n 3 E □ — □ □ k J fj 5 2

13. A ........... ?F 把2, 3, 4, 5, 6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于 把1 , 2, 3, 4, 5, 6六个数，分别填入O 内，使每条线上 3个数的和相等 15 . 1 2.

7 拓展练习 O O 8 19 拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等 等于15 21,又应该怎样填? 1?9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都 把2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等 练把 把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数分别填入 O 里，使每条直线上的三个数相加的和都为 12

二年级奥数数阵图带答案

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图： 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！

如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。【解答】 如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。【解答】 知识分类一：基础数阵图 1 1 3 3 25 3 4 1 24 5

如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。 【解答】 将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。 【解答】 8 1 8 7 9 3 5 7 2 6 10 4

把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。 【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。 【答案】 把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。 【答案】 5 8 219 7 5 3 知识分类二：数阵图进阶

第十二讲 巧填数阵图 教师

第十二讲 巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有 些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.

【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. （1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）. （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 （4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.