2015年高考数学《新高考创新题型》之2：函数与导数(含精析)

之2.函数与导数（含精析）

一、选择题。

1．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”

，已知()5411

2012

f x x mx =

- 22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．31

(,

)9

-∞ B ．31[,5]9 C ．(,3]-∞ D ．(),5-∞

2．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,R x Q

f x x Q

∈?=?∈?e

被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集,Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题： ①

()()0

f f x =； ②函数

()

f x 是偶函数；

③任取一个不为零的有理数T ,

()()

f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；

④存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ?为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设函数()x f 的定义域为D ,若函数()x f 满足条件：存在[]D b a ?,,使()x f 在[]b a ,上

的值域是??

?

???2

,2b a 则称()x f 为“倍缩函数”，若函数()()

t x f x

+=2log 2为“倍缩函数”，则

的范围是（ ）

A.??

? ??+∞,4

1

B.()10， ?

?

? ??210.，C D. ??

? ??410， 4．函数(),0

,ln 20

,322

????

?>-≤+--=x x x x x x f 直线m y =与函数()x f 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为d c b a ,,,，有以下四个结论

①[)4,3∈m ②[)

4,0e abcd ∈ ③562112,2a b c d e e e e ??+++∈+

-+-????

④若关于x 的方程()m x x f =+恰有三个不同实根，则m 取值唯一. 则其中正确的结论是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

5．)(x f 是定义在D 上的函数, 若存在区间D n m ?],[， 使函数)(x f 在],[n m 上的值域恰为],[kn km ，则称函数)(x f 是k 型函数．给出下列说法:

型函数； x 是

下列选项正确的是（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．②④

D ．①④

6．已知函数()121f x x =--，[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，

1()(())n n f x f f x -=，2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.

则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）

A.2n 个

B.2

2n 个 C.2(21)n -个 D.2n

个

二、填空题。

7．若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有

()()02

121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。

给出下列四个函数中：⑴ ()x x f 1= ⑵ ()2

x x f = ⑶ ()1

212+-=x x x f ， ⑷

()???<≥-=0

02

2

x x

x x x f ，能被称为“理想函数”的有_ _ （填相应的序号） 。

8．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ?组成的集合：对于函数()x ?，存在一个正数M ，使得函数()x ?的值域包含于区间[],M M -.例如，当

()()()()31212,sin x x x x x A x B ????==∈∈时，，.现有如下命题：

①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ?∈?∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+?，则 ④若函数()()()2ln 22,1

x

f x a x x a R x =++

>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）

9．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数

y=lo 1

2

,,x

y x y ==??，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A 点的纵坐

标是2，则D 点的坐标是 。

10．若函数f （x ）为定义域D 上的单调函数,且存在区间D b a ?],[（其中a

)(是)0,(-∞上的正函数，则实数k 的取值范围是

三、解答题。

11.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数

关系式为116t a

y -=?

? ?

??

（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到25.0毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （千台），其总成本为()x G （万元），其中固定成本为3.2万元，并且每生产1千台的生产成本为4万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()x R （万元）满足

()20.58 1.2,05

311.4

,5x x x R x x x ?-+-=?

+>?≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（Ⅰ）写出利润函数()x f y =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？

13.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放(14k k ≤≤且)k R ∈个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函

数关系式近似为()y k f x =?，其中()()216

1059()21151645x x

f x x x ?-≤≤??-=??-<≤??

.根据经验，当水中

洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.

（Ⅰ）若投放k 个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值 ； （Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

1．C

【解析】由已知条件得'

43

11()443

f x x mx x =

--，则''32()4f x x m x =--，所以3240x mx --≥在()1,3恒成立，则24m x x ≤-，因为24

x x

-在()1,3递增，所以

24

3x x

->-，所以3m ≤-．

4．A

【解析】当0x ≤时，22()23(1)44f x x x x =--+=-++≤，当0x =时，(0)3f =，由图可得，当直线m y =与函数()x f 的图像相交于四个不同的点，则[)4,3∈m ，故①正确；

由①得2

11

(

,]c e e

∈，56[,)d e e ∈，2a b +=-，2ln 2ln c d -=-，所以2ln ln 2c d -=-，即4cd e =，故4

abcd e ab =，由于20()()()12

a b ab a b --≤=--<=，故[)

4,0e abcd ∈，故②正确；422e a b c d c d c c +++=-++=-++，由对号函数的图像得4

e y c c =+，当

211

(

,]c e e

∈递减，故 4

56211e e c e e c e

+≤+<+，所以?

??

???-+-+∈+++21,21265e e e e d c b a ，故③正确；若关于x 的方程()m x x f =+恰有三个不同实根，则()y f x =的图像与y x m =-+有三个不同交点，过()y f x =的图像上(1,4)-和(0,3)的直线3y x =-+正好与2ln y x =-相切，故有三个公共点，而与2

()23f x x x =--+相切的直线15

4

y x =-+与2ln y x =-有两个

交点，故此时也有三个公共点，故④错误，综上，正确的命题有①②③．

89

10

5．C

【解析】由题意知0>k ，m n <．

即方程2

340kx x -+=有两个不同的非零实根，

是k 型函数，故①错误．

28480m m -+=，此方程无实数根；

（c ）当1n <时，有

综上所述，②正确．

对③，函数)0(2)(23≤++=x x x x x f 是k 型函数, 利用导数知识可得

0n =，且(1,)3m ∈--则函数在区间[,]m n 上的最大值为0，最小值为()327

f -=-，要

使4

km =-，只要取4k =-，显然这时4

k <，且函数)(x f 在],[n m 上的值域恰为

解，即01)(2

2

2

=++-x a a x a 有两个不同的非零解

m ，n ．由0>?得3-a ，

C ． 6．D.

【解析】函数12, 02

()121122,1

2

x x f x x x x ?

≤≤??=--=??-<≤??，当1[0,]2x ∈时，

1()

20

f x x x x ==?=， 当1

(,1]2

x ∈时，12

()223

f x x x x =-=?=，∴1()f x 的1阶不动点的个数为2，当

1[0,]4x ∈，1()2f x x =，2()40f x x x x ==?=，当11

(,]42

x ∈，1()2f x x =，

22()245f x x x x =-=?=，当13(,]24x ∈，1()22f x x =-，22

()423

f x x x x =-=?=，

当3(,1]4x ∈，1()22f x x =-，24()445

f x x x x =-=?=

∴2()f x 的2阶不动点的个数为2

2，以此类推，()f x 的n 阶不动点的个数是2n

个. 7．()4

【解析】根据题中理性函数的说明需满足：定义域为R 的奇函数，且在定义域内为单调递减函数。图中所给四个函数⑴定义域不是R 排除，⑵为偶函数排除；⑶为定义在R 上的奇函数，当其为减函数，也排除，⑷经检验符合题意.故选⑷. 8．①③④

【解析】（1）对于命题①“()f x A

∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ?∈，a D ?∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，

故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A

∈”的充要条件是“b R ?∈，a D ?∈，()f a b =”∴命题①是真命题；

（2）对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴()M f x M -≤≤．例如：函数()f x 满足()25f x -<<，则有()55f x -≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈， 则()f x 值域为R ，()(),f x ∈-∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M -≤≤．∴()()f x g x R +∈．则()()f x g x B

+?．∴命题③是真命题．

（4）对于命题④∵函数

()l n (2)f x a x =+2x >-，a R ∈）有最大值，

∴假设a >2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；

假设0a <，当x →

-

2)x +→-∞，∴l n (2)a x +→+∞，则()

f x →+∞．与题意不符．∴0a =．

即函数

2x >- 当0x >

2，∴101x x

<

≤

+()f x <≤当0x =时，()0f x =； 当0

x <时

，12x x +

≤-，∴)0x <． ∴()12f x -

≤≤()f x

故答案为①③④． 9．19,216??

???

【解析】因为A 点的纵坐标是2，即1

22

x =?=，即D

点的横坐标12，且B 点的

纵坐标是2。即1

2

24x x =?=，即B 点的横坐标4，亦即C 点的横坐标4，则

4

916y ==??

，即C 点的纵坐标是916 ，则D 点的坐标是19,216??

??? 10．?

?? ?

?

--43,1 【解析】因为函数f （x ）=x 2

+k 是（-∞，0）上的正函数，所以a ＜b ＜0， 所以当x ∈[a ，b]时，函数单调递减，则f （a ）=b ，f （b ）=a ， 即a 2

+k=b ，b 2

+k=a ，两式相减得a 2

-b 2

=b-a ，即b=-（a+1），

代入a 2

+k=b 得a 2

+a+k+1=0，由a ＜b ＜0，且b=-（a+1），∴a ＜-（a+1）＜0，

即，?????->-

<∴???>+--<1

21,011a a a a a 解得-1＜a ＜-21. 故关于a 的方程a 2

+a+k+1=0，在区间（-1，-2

1

）内有实数解，

记h （a ）=

21，则 h （-1）＞0，h （-21

）<0，即1-1+k+1＞0且012

141<++-k 解得k ＞-1且m ＜-43即-1＜m ＜-4

3;故答案为：??? ?

?

--43,1． 11．

【解析】从函数图象可以看出，当00.1t ≤≤时，y 与t 是正比例函数关系，可设

)0(≠=k kt y ，图象过点)1,1.0(，用待定系数法求k 便可，而当1.0≥t 时，

116t a

y -=?? ???

，

图象过点)1,1.0(，用待定系数法求出a 便可，最后把函数关系写成分段函数形式；第二步分两种情况解不等式，一句话分段函数问题分段解决. （1）由图知，当00.1t ≤≤时，可设y kx =， 由于点()0.1,1在直线上可得10k =。此时10y t =

当0.1t >时，由0.11116a

-??

= ?

??

可得0.1a =

综上0.110t (00.1)1(0.1)16t t y t -≤≤??

=???> ?

???

?

由题意可知0.25y ≤，即41≥

y . 当1.00≤≤t 时，40

1

4110≤?≤t t ，则1040t ≤≤；当

1.0>t 时，

41)161(

1.0≤-t 53>?t ;所以1040t ≤≤或5

3

>t 因此由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室。

12．（Ⅰ）()f x =()()R x G x -=20.54 4.4,05

8.2,5x x x x x ?-+-?->?

≤≤;（Ⅱ）当工厂生产4千台产

品时，可使赢利最大，且最大值为3.6万元.

【解析】（Ⅰ）由已知分析的出总成本() 3.24.G x x =+再根据利润=销售收入-总成本，即可求出()x f y =的解析式；（Ⅱ）当5x >时，函数为减函数，当0≤x ≤5时，函数为二次函数，取对称轴4x =时，可取得函数的最大值.

（Ⅰ）由题意得() 3.24.G x x =+

∴()f x =()()R x G x -=20.54 4.4,05

8.2,5

x x x x x ?-+-?->?≤≤．

（Ⅱ）当5x >时，∵函数()f x 递减，∴()f x <(5)f =3.2（万元）． 当0≤x ≤5时，函数()2

()0.54 3.6,f x x =--+

所以当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）． 所以当工厂生产4千台产品时，可使赢利最大，且最大值为3.6万元． 13.（Ⅰ）12

5

k =

；（Ⅱ）14. 【解析】（Ⅰ）将3x =代入16

(

1)49k x

-=-，求得k 的值； （Ⅱ）当4k =时，()()216

4(1)05924(11)51645x x

y x x ?-≤≤??-=??-<≤??，当05x ≤≤时，由4y ≥，解得

15x ≤≤；当516x <≤时，由4y ≥，解得515x <≤；所以115x ≤≤，故有效去污时间