学科:数学
教学内容:极限经点答疑(二)
例2 用定义证明.x 01lim
x =∞
→
规范证法 设()x
1x f =
,对于任意给定的ε>0,要使()ε<=
=
-|
x |1x
1|0x f |,只要
ε
>1|x |就可以了.因此,对于任意给定的ε>0,取ε
=
1M ,则当|x|>M 时,
().01lim
01|0|x =ε<-=
-+∞
→x
,x
x f 所以恒成立
有时,我们还需要区分x 趋于无穷大的符号.如果x 从某一时刻起,往后总是取正值而且无限增大.则称x 趋于正无穷大,记作x →+∞,此时定义中,|x|>M 可改写为x>M ,如果x 从某一时刻起,往后总取负值且|x|无限增大,则称x 趋于负无穷大,记作x →-∞,此时定义中的|x|>M 可改写成x<-M .
例3 02lim 2021lim 1x x ==??
?
??-∞
→+∞→x x
)(,)(
.021lim )1(x =?
?
?
??+∞→x
下面证明
思路启迪 根据定义,要证,021lim x =?
?
?
??+∞→x
即证对于任意给定的ε>0,总存在M>O ,使
当x>M 时,ε<-??
?
??021x
即可.
规范证法 设().21x f x
??
?
??=对任意给定的ε>0,要使
()ε
?
?
??=-??? ??=-x
x 21021|0x f |,只要ε
>
12
x
,即()12
g 11
g
1x <εε
>
设就可以了.因此,对于任意给定的1>ε>0,取()12g 11
g
1M <εε=设,则当x>M 时,
()ε<-??
? ??=-021|0x f |x
恒成立,所以.021lim x =?
?
?
??+∞→x
02
im l x
x =-∞
→同理可以证明
当x →∞时,f(x)以A 为极限的几何意义是:对于任意给定的正数ε(无论多么小),在坐标平面上作两平行直线y=A-ε与y=A+ε,两直线之间形成一个带形区域.不论ε多么小,
即不论带形区域多么狭窄,总可以找到M>0,当点(x ,f(x))的横坐标x 进入区间(-∞,-M)U(M ,+∞)时,纵坐标f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内.此时y=f(x)的图形处于带形区域内.ε越小,则带形区域越狭窄,如图2—7所示.
8.什么是函数左极限与右极限?
前面讲了0x x →时函数f(x)的极限,在那里x 是以任意方式趋于0x 的.但是,有时我们还需要知道x 仅从0x 的左侧()0x x <或仅从0x 的右侧()0x x >趋于0x 时,f(x)的变化趋势.于是,就要引进左极限与右极限的概念.
例如,函数()??
?≥<=0
01x x
x x f ,图形见图2-8.
容易观察出,当x 从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1;而当x 从0的右侧趋于0时,f(x)趋于0.我们分别称它是x 趋于0时的左极限与右极限.
再考察x y =当x 趋于0时的极限.由于函数的定义域为[0,+∞)因此只能考察其右
极限.对x y -=
,由于其定义域为(-∞,0],因此,当x 趋于0时,只能考察其左极限.
定义:如果当x 从0x 的左侧()0x x <趋于0x 时,f(x)以A 为极限,即对于任意给定的ε>0,总存在一个正数δ,使δ<- x x lim 或().A 0x f 0=-如果当x 从0x 的右侧()0x x >趋于 0x 时,f(x)以A 为极限,即对于任意给定的ε>0,总存在—个正数δ,使当δ <-<0x x 0时,|f(x)-A|<ε恒成立,则称A 为0x x →时f(x)的右极限,记作()A x f =+→0 x x lim 或 ().A 0x f 0=+ 根据左、右极限的定义,显然可以得到下列定理. ()()() A.x f lim x f lim 成立的充分必要条件是 x f lim 定理:0 x x x x x x ===-+→→→ 例1 设()()的极限是否存在. x 0时,f 研究当x ,0 x 2x 0x 2x f →?? ?≥<= 思路启迪 要看当x →0时,f(x)的极限是否存在,就应先求出x →0时f(x)的左、右极限,并看f(x)的左、右极限是否相等.若相等,则极限存在;反之,则极限不存在. 规范解法 当x<0时,()22lim x f lim 0x 0x ==- - →→;而当x ≥0时,()02x lim x f lim 0 x 0x ==+ + →→.左、 右极限都存在,但不相等.所以,由上面的定理可知,()x f 0 x lim →不存在. 例2 研究当x →0时,f(x)=|x|的极限. 思路启迪 因为f(x)=|x|,所以应对f(x)分情况讨论,得到f(x)为一个分段函数,再按照例1的方法讨论f(x)的极限. 规范解法 (),0 x x 0x x |x |x f ?? ?≥<-==已知()0x lim x f lim 0 x 0 x ==++→→,可以证明, ()()0x lim x f lim 0 x 0 x =-=--→→,所以,由上面的定理得0.|x |lim 0 x =→ 9.怎样计算函数的极限? 要计算函数的极限,需知道函数极限的运算法则,它们的证明完全和数列的情形相仿. 函数极限的四则运算法则: 如果()()b,x g lim a,x f lim 0 x x x x ==→→那么()()[]()()[]x g x f lim b,a x g x f lim 0 x x x x ?±=±→→ ()() ()0b b a x g x f lim b,a 0 x x ≠= ?=→.这些法则对于 x →∞时的情况仍然成立.由以上法则易得 ()[]()x f lim C x Cf lim 0 x x x x →→=(C 是常数),()[] ()n x x n x x x f lim x f lim 00 ?? ? ???=→→(n 是正整数).利用这些法则求下面几个函数的极限. 例1 求().12x 3x lim 2 1 x +-→ 思路启迪 由于该极限中的每一项都存在极限,所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算. 规范解法 () 12x 3x lim 2 1 x +-→ 2. 1231 2x) lim 3(1x lim 2lim 31 lim 23x lim 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 1x =+-=+-=+-=+-=→→→→→x x lim 点评 若极限式各项中,有一项或几项的极限不存在,就不能直接利用函数极限的四则 运算法则来做. 例2 求.1 3x 5x 2x lim 2 2 x +-+→ 思路启迪 与例1类似. 规范解法 因为() 5x 2x lim 2 2 x -+→ 5, 52225 lim x lim x) lim 2(2 2 x 2 x 2 2 x =-+?=-+=→→→ ()0,71231lim lim 313x lim 2 x 2 x 2 x ≠=+?=+=+→→→x ( ) () . 7 513x lim 5x 2x lim 1 3x 5x 2x lim 所以:2 x 2 2 x 2 2 x = +-+= +-+→→→ 点评 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当0x x →时分母极限不为0的分 式函数,根据极限运算法则可以得出()().x f x f lim 0x x 0 =→ 例3 求.7x 8x 12x lim 2 3 x ++∞ → 思路启迪 将分子分母同除以3x ,使分子分母的极限存在. 规范解法 将分子分母同除以3x ,得 ∞=+ + =++∞ →∞ →23 x 2 3 x x 7x 8x 12lim 7x 8x 12x lim 例4 求.4 x 2x lim 4 x --→ 思路启迪 将分子有理化,使分子分母极限存在. ( )()()() () ( ). 412 x 1lim 2 x 4x 4 x lim 2x 4x 2x 2x lim 4 x 2x lim 规范解法 4 x 4 x 4 x 4x =+=+--=+-+-=--→→→→ 例5 已知()??? ??≥+-+<-=. x x x x , x x x f 01 1 3013 2 求()()().x f lim ,x f lim ,x f lim x x 0 x -∞ →+∞ →→ 思路启迪 要求()x f lim 0 x →,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为 其左,右极限值,若不相同,则极限不存在. ()()()()()()(). 1x lim x f lim 0,1 x 13x x lim x f lim 1,x f lim 所以 1. 1 x 13x x lim x f lim 1,1x lim x f lim 规范解法 x x 3 2x x 0 x 3 2 x 0 x 0 x 0 x -∞=-==+-+=-=-=+-+=-=-=-∞ →-∞ →+∞ →+∞ →→→→→→+ +-- 10.什么是函数两个重要极限? 1x sinx lim (1)0 x =→ 证明:首先证明 1.x sinx lim x =+ →如下图2-9, 是以点O为心,半径为1的圆弧,过A 作 圆弧的切线与OB 的延长线交于点C .设∠DOB=x(按弧度计算),则,2 x 0π<<显然,△AOB 的面积<扇形AOB 的面积<△AOC 的面积.即x tan 2 1x 21x sin 21< < 或sinx sinx>0除之,得x cos 1x sin x 1< < 或x x sin x cos < .∵1cosx lim 0 x =→, ∴ 1.x sinx lim 0 x =+ →(根据夹挤定理,参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1). 其次,当x<0时,设x=-y,当-→0x 时,有+ →0y ,则()=--=+ - →→y y sin lim x sinx lim y 0 x 1.y siny lim 0 y =+ → 一些其他函数的极限.1.利用此公式可以求x sinx lim x =∴→ 例1 求.x tanx lim x → 思路启迪 将tanx 写成x cos x sin ,代回原式,使之出现 x x sin 这个重要极限. 规范解法 1.cosx lim x sinx lim x cosx sinx lim x tanx lim x 0x 0 x 0 x == =→→→→ 例2 求()k为非0常数,x sinkx lim x → 思路启迪 将kx 看成一个新变量t ,即令t=kx ,则x →0时,t →0. 规范解法 k.t sint lim k kx sinkx lim k x sinkx lim t 0 x 0 x =?=?=→→→ 例3 求2 x x cosx 1lim -→ 思路启迪 先将1-cosx 用半角公式化成2 22 x sin ,就可以利用特殊极限0.x sinx lim x =→ 规范解法 2 2 x 2 x x 2x 2sin lim x cosx 1lim →→=- . 2111212 x 2x sin lim 2 x 2x sin lim 2 1 2x 2x sin lim 212x 42x 2sin lim 0 x 0 x 2 0x 22 0x =??=?= ????? ? ?????? =?? ? ???=→→→→ 注意:我们在利用1x sinx lim x =→时,一定要注意x 的趋向形式,x 是趋向于0的,若x 是趋向于无穷的或者x 是趋向于除0以外的其他值,则该极限等式就不一定成立了. 下面大家来看另一重要极限 e x 11lim (2)x x =? ?? ? ? +∞→ 我们先讨论x →+∞的情形.因[x]≤x<[x]+1,[注:“[ ]”是取整数符号,在y=[x]中, 对任意的x ∈R ,对应的y 是不超过x 的最大整数.例如:[2.5]=2,[3]=3,[0]=0,[-π]=-4, 故[][]x 11x 111x 11+≤+??? ??++,而[][] [][]1 x x x x 11x 111x 11+? ?? ? ??+≤? ?? ? ? +?? ? ??++,但由于 e n 11lim n n =??? ? ? +∞→,而x →+∞时,[x]取正整数值而趋于+∞,所以从∞→∞→=??? ? ? ++n n n lim 1n 11lim e 1e 1n 111n 111 n ==??? ???????? ?? ++? ?? ? ?+++和e 1e n 11n 11lim n 11lim n n 1n n =?=??? ??+??? ??+=? ?? ??++∞→+∞→ ,得到[][] e 1x 11lim x n =??? ? ??+++∞→和[][]e x 11lim 1 x n =??? ? ??+++∞→.由极限性质即得到 e x 11lim x n =??? ? ? ++∞→.再证e x 11lim x n =? ?? ? ? +-∞→,作代换x=-y ,则=???? ? ?-=? ?? ? ? +-y x y 11x 11 ???? ? ?-+?? ??? ??-+=???? ??-+-1y 111y 111y 111 y y .但x →-∞时,y-1→+∞,上式右端以e 为极限,所以左端也以e 为极限.证毕. 例4 求.x x im x x ? ?? ? ??-∞→1l 22 思路启迪 先把极限式变形,使之变成可以利特殊极限e x 11im l x x =? ?? ? ? +∞→的形式. 规范解法 x x x x x x x x im x x x x im x x im ?? ? ??+=?? ? ??-?+=??? ? ??-∞→∞→∞→1l 11l 1l 22 .x im x im x x x x ?? ? ?? -+???? ??+-=∞→∞→111l 111l . e e t im t im t im x im ,t x t t t t t x x 1 1 1 11 11 11 111l 11l 11l 11 1l 11111 111---∞→-∞→--∞→∞→=?=???? ? ?+???? ????????? ??+=??? ? ??+=??? ??+-= +- 则有 设 e 1e t 11im l t 11im l t 11im l 1x 1 1im l ,t 11x 12t t 2t 1 t 2t x x 2 22 222=?=??? ? ??+ ???? ? ??+ =???? ??+=?? ? ??-+= -∞→∞→+∞→∞→则有 再令 .1e e 1x x im l 1 x 2 2x =?=??? ? ??--∞→所以 11.什么是函数的连续性? 现实世界中很多变量的变化是连续不断的,如气温、物体运动的路程,金属丝加热时长度的变化等等,都是连续变化的.这种现象反映在数学上就是函数的连续性,它是微积分的 又一重要概念. 下面我们先引入函数改变量的概念与记号. 函数改变量(或称函数增量). 定义:设变量t 从它的初值1t 改变到终值2t ,终值与初值之差12t t -称为变量t 的改变量,.t t t 12-=?记作 [注:改变量可以是正的,也可以是负的.] 设有函数y=f(x),给自变量x 一个改变量△x ,当自变量x 从0x 改变到x x 0?+时,函数y 相应的改变量为△y .如图2-10所示,△y 为: ()().x f x x f y 00-?+=? 对于函数y=f(x)定义域内一点0x ,如果自变量x 在点0x 处取得极其微小的改变量△x 时,函数y 相应的改变量△y 也极其微小,且当△x 趋于0时,△y 也趋于0,则称函数y=f(x)在点0x 处是连续的.如图2-11.而对图2-12来说,在点0x 处不满足这个条件,所以,它在点0x 处不连续. 下面给出函数在一点处连续的定义. 定义:设函数y=f(x)在点0x 的某个邻域内有定义,如果当自变量x 在点0x 处取得改 变量△x 趋于0时,函数相应的改变量△y 也趋于0,即0y im l 0 x =?→?或写作 ()()[]0x f x x f im l 000 x =-?+→?,则称函数f(x)在点0x 处连续. 例1 证明函数.x x y 处连续在给定点02= 思路启迪 要证0.Δy lim 处连续,即证 在点x x y 0 Δx 02 ==→ 规范证法 当x 从0x 处产生一个改变量△x 时,函数2x y =相应改变量为 ()().x x x 2x x x y 2 02 02 0?+?=-?+=?因为() [ ]02l l 2 =?+?=?→?→?x x x im y im x x ,所以 2 x y =在给定点0x 处连续. 在上面的定义中,令x x x 0?+=,则0x x x -=?,那么当0x →?时,必有0x x →,且 ()()()() 000x f x f x f x x f y -=-?+=?,因而0 y im l 0 x =?→?可以写为 ()()[],0x f x f im l 0x x 0 =-→即()().x f x f im l 0x x 0 =→因此,函数在点0x 处连续,也可以如下定义: 设函数y=f(x)在点0x 的某个邻域内有定义,如果0x x →时,函数f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点0x 处的函数值()0x f ,即有()()0x x x f x f im l 0 =→,则称函数f(x)在点0x 处连 续. 因此,求连续函数在某点的极限,只须求出函数在该点的函数值即可.前面例1已证明 2 x y =在点0x 处连续,故有.x x im l 2 2x x 0 =→ 例2 证明正弦函数f(x)=sinx 在R 上连续. 思路启迪 要证f(x)=sinx 在R 上连续,只需证明对任意的.x sin x sin im l ,R x 0x x 00 =∈→ 规范证法 对任意ε>0,解不等式 .12x x cos ,2|x x |2x x sin |x x | 2 x x 2 2 x x cos 2 x x sin 2 2x x cos 2x x sin 2|x sin x sin |0 0000 0??? ? ??≤+-≤-ε<-=-≤+-=+?-=-因为 取δ≤ε,于是,对任意ε>0,总存在δ≤ε(其中δ>0),当δ<-|x x |0时,有 ε<-|x sin x sin |0,即正弦函数sinx 在0x 连续,因为0x 是R 上任意—点,所以正弦函数 sinx 在R 上是连续函数.同理可知,余弦函数cosx 在R 上也是连续函数. 12.什么是函数在一个区间上的连续性? 如果函数f(x)在开区间(a ,b)内每一点连续,则称函数f(x)在开区间(a ,b)上连续;如果函数f(x)在闭区间[a ,b]内每一点(非端点)都连续,且函数f(x)在左端点a 右连续,在右端点b 左连续,则称函数f(x)在闭区间[a ,b]上连续.一般地,对任何—个区间I ,如果函数f(x)在区间I 内的每一点(非端点)都连续,且当区间I 含有端点时,函数f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续,在右端点指的是左连续),则称函数f(x)在区间I 上连续. 例如,函数f(x)=sin x 在区间(-∞,+∞)内每一点都是连续的,因而可说函数f(x)=sinx 在区间(-∞,+∞)上连续. 又如,函数()x x f = 在区间[0,+∞)内的每一点(不包括端点x=0)都是连续的.又在 区间的左端点x=0满足00x im l 0 x ==+→,则()x x f = 在x=0点右连续,因此可说函数 ()x x f = 在区间(0,+∞)上连续.利用连续函数的定义和性质,可以证明,—切基本初等 函数在它们的定义域内都是连续的. 计算极限()x f im l a x →.若已知函数f(x)是初等函数,而a 又属于函数f(x)的定义域,则 函数f(x)在点a 连续,根据连续定义,“lim ”与“f ”可交换次序,即()() x im l f x f im l a x a x →→=, 于是,计算连续函数f(x)在点a 的极限就变成了计算函数f(x)在点a 的函数值f(a). 例 .x x x x im x 15 865l 2 2 3 +-+-→ 思路启迪 可以先将极限式的分子,分母分解,这就会出现重复项x-3.由于函数15 x 8x 6x 5x 22 +-+-在点3的极限只与3附近点x 的函数值变化有关与点3无关,即x ≠3或x-3 ≠0,因此可以消去分子与分母中的公共因式x-3. 规范解法 ()()()().35x 2x .21532 35 x 2 x im l 5x 3x 2x 3x im l 3x 3x ?? ? ??---=--=--=----=→→连续在点原式 13.求函数极限有哪些方法? 在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算. 我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法. 例1 求()() ()().x x g x f ,x g x f im x x 初等函数的某个邻域内有定义的 是在与其中00 l → 思路启迪 由于f(x)与g(x)是在0x 的某邻域内有定义的初等函数,所以 ()() x g x f 也是在 0x 的某邻域内有定义的初等函数.根据初等函数的连续性可求出该极限. 规范解法 由初等函数的连续性,得()()()(),x g x g im l ,x f x f im l 0x x 0x x 0 ==→→ ()()()() ()()()()()???? ? ????==≠=∞≠=→0时, x f x 当g 型 00 未定式0时,x f 0,x 当g 0时, x 当g x g x f x g x f lim 故000000 0x x 0 例2 求( ) () ().x arctan x x g im x im x x 直接代入法2 24 6l l 5l 2 4 2 2 2 ?++?+→→ 思路启迪 由于当x →2时,分子、分母的极限都存在,并且分母的极限不为0,所以可 以将x →2直接代入分子、分母,根据初等函数的连续性,分别求出分子分母的极限,再求商即可. 规范解法 ( ) ( ) 2 l 2l 4 6l l 5l 2 2 4 2 2 2 x arctan im x im x g im x im x x x ?++?+= →→→原式 ( )() .g g π π 4 4 6100 l 32 2 4 26l 522 4 2 = ? ?=++??+= 例3 求().x x x x x x im x 约去零因式法12 1672016l 2 3 2 3 2 +++----→ 思路启迪 由于将x →-2代入分母,可得分母极限为0,所以此题不能用直接入法.根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了. 规范解法 ()()()() 6521032l 2 22+++--+= -→x x x x x x im x 原式 ()() ()() 3252l 6 5103l 222 2 ++-+=++--=-→-→x x x x im x x x x im x x .73 x 5x im l 2 x -=+-=-→ 例4 ().x x im x 通分法?? ? ??-- -→11 13 l 3 1 思路启迪 因为,x 13 im l 3 1 x ∞=-→∞=-→x 11im l 1 x ,所以不能直接用求函数极限差的运算法 则,可将函数通分变形后再求极限. 规范解法 ()()()().x x x im x x x x x im x x 112 l 1121l 2121=+++=++-+-=→→原式 例5 求().x x x x x im x 项分子、分母同除以最次1 3282l 3 4 2 3---++∞ → 思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项4x ,使分子、分母的极限都存在. 规范解法 4 3 4 2 13 12821l x x x x x x im x - + - ++=∞ →原式 .00 0020 00=-+-++= 点评 一般地 ??? ????<=>∞=++++++--∞ →.m n 0,m n b a ,m n b x b x b a x a x a im l 00m 1 m 1m 0n 1n 1n 0x 例6 求().x x im x 有理化法314 5l 1 -+- → 思路启迪 求函数极限时,若碰到分子,分母中有根号的情形,经常会把分子或分母有理化,使原极限可求. 规范解法 3 2 3 3233 1 114545145l x x x x x x x x im x + + ++ ?++ ++? - +-=→原式 ()() ()( ) . x x x x x im x 510 14511 1l 3 3 2 1 = ++ -++ -= → 例7 求()().N n ,m x x im m n x 变量替换法∈- -→11l 1 思路启迪 分子,分母中分别有n x ,m x 直接求极限不好求,可以采用变量规换的方法,令.x t mn = 规范解法 于是时则当,t ,x ,x t mn 11→→= ()()()() .n m t t t t t t t t im t t im n m t n m t =++++-++++-=--=--→→12121 1 1111l 11l 原式 例8 求().x sin x x cos im x 利用重要极限法?-→1l 0 思路启迪 出现 1.x sinx lim 要极限sinx,想到利用重 x =→ 规范解法一 . 21sinx x 2x 2x sin 21lim sinx x 2x 2sin lim 原式2 0x 2 0x =?????? ???????=?=→→ 规范解法二 .x cos x x sin im x cos x sin x x sin im x x 2 12 12 22 1l 22 222l 0 2 = ? ? =??=→→原式 规范解法三 () x cos x sin x x sin im x cos x cos x sin x x cos im x x +?=++??-=→→1l 111l 2 00原式 .x cos x x sin im x 2 111l 0 = +? =→ 2008年山东高考数学理科 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)满足M ?{a 1, a 2, a 3, a 4},且M ∩{a 1 ,a 2, a 3}={ a 1·a 2}的集合M 的个数是 (A )1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z =8,则 z z 等于 (A )1 (B )-i (C)±1 (D) ±i (3)函数y =lncos x (- 2 π<x <)2π 的图象是 (4)设函数f (x )=|x +1|+|x -a |的图象关于直线x =1对称,则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 (5)已知cos (α- 6π)+sin α=473,sin()56 πα+的值是 (A )- 5 3 2 (B ) 532 (C)-54 (D) 5 4 (6)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 (A)9π (B )10π (C)11π (D)12π (7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 (A ) 511 (B )681 (C )3061 (D )408 1 (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的最新山东高考数学理科试题及答案1
2020高考数学专题复习----立体几何专题