2.7函数图像学案

2.7函数的图像

知识精要

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换作图 (1)平移变换

(2)对称变换

①y ＝f (x )――――――――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；

④y ＝a x

(a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．

⑤y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换

①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1

a 倍，纵坐标不变

0

a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．

②y ＝f (x )――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变

0

(1)若f(a ＋x)＝f(b －x)，x ∈R 恒成立，则y ＝f(x)的图象关于x ＝a ＋b 2

成轴对称图形，

若f(a ＋x)＝－f(b －x)，x ∈R ，则y ＝f(x)的图象关于点(a ＋b

2，0)成中心对称图形．

(2)函数y ＝f(a ＋x)与函数y ＝f(b －x)的图象关于直线x ＝1

2(b －a)对称．

基础自测

1.函数y ＝x |x |的图象大致是(

)

2．函数y ＝1－1

x －1

的图象是(

)

3．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈????

??

－π2，π2的图象大致是(

)

4．(2015·重庆模拟)函数f (x )＝4x ＋1

2x 的图象( )

A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝x 对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

5．已知函数f (x )＝???

log 2x (x ＞0)，

2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则

实数a 的范围是 ．

典型例题：

题型一 作函数的图象

例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝

x ＋2

x －1

； (3)y ＝x 2－2|x |－1.

(4)作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．

变式1、作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝

x ＋2

x ＋3

.

题型二 识图与辨图

例2 (1)现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(

)

A ．④①②③

B ．①④③②

C ．③④②①

D ．①④②③

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为(

)

变式2 、如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到

直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(

)

题型三函数图象的应用

例3(1)若方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是．(2)已知函数f(x)＝

?

?

?sin πx，0≤x≤1，

log2 015x，x>1.

若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()

A．(1,2 015) B．(1,2 016)C．[2,2 016] D．(2,2 016)

变式3、函数f(x)＝(

1

2)

|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于() A．2B．4C．6D．8

课堂练习能力提升

1.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

2.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是．

3.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()

A．10个B．9个C．8个D．1个

4.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()

A.?

?

?

?

?

0，

1

2 B.?

?

?

?

?

1

2，1C．(1，2) D．(2，＋∞)

答案

基础自测ABDD 5. 0a 1≤

例题：例2 (1)D (2) B 变式2 C

例3 51,4

（，） （2）D 变式3 C

课堂练习 C [)-1+∞， A B