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完整的数学建模(铅球投掷)

承诺书

我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C

我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话):

所属学校(请填写完整的全名):四川理工学院黄岭校区

参赛队员(打印并签名) :1.

2.

3.

日期: 2012 年 05 月21 日

编号专用页

评阅编号(由评委团评阅前进行编号):评阅记录表

完整的数学建模(铅球投掷)

铅球投掷问题

摘要

本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论,研究了根据实际怎样控制水平距离的因素,才能使得铅球飞行更远.运用了力学知识,抛物线规律及数学软件的辅助,建立了各种最佳投掷模型。即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度,一般而言使出手速度在14m/s左右,对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大,而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力,同时采用旋转投掷法,从腰间发力,在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用.

关键词:铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳

一、问题的提出

铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度,并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1:

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图1 铅球投掷场地

根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s,出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。需解答一下问题:

1.建立数学模型,将预测的投掷距离表示为出手速度、出手角度,找出最佳出手角度。

2.由于出手速度与出手角度相互影响,并同时影响出手距离,应该怎样对出手速度与出手角度折中,才能得到最大的出手距离。

3.分析影响铅球投掷距离的因素,根据结果分析教练员对运动员训练的目标和方向。

二、基本假设

1. 铅球是个质点。

2.忽略空气阻力。

h:出手高度

v:出手速度

:出手速度与水平面的夹角

s :投掷距离

g :重力加速度 为9.8

1h :铅球跃过的最高点与投掷点的水平距离

t1:铅球到达最高点的时间 t2:铅球从最高点到落地的时间

三、建立模型

3.1问题一模型的建立 3.1.1建立模型 由下图所示可得:

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图2 投掷铅球抛物线

图中的h1就代表h.

221sin =

2v h g

?

11=cos x v t ? 2121+=2

h h gt

1sin =

v t g

?

22=cos x vt ? 12=+s x x

从而可以得出

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: 222v Sin s g ?=+ 当投掷距离取得最大值时可以得下列关系式

:

2cos 2sin 2cos 22sin 20v gh ??-?=…………[1]

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由上是化简可以得 3.1.2问题一的分析

0290?≤?<,cos2?在定义域内单增,则易知:

当出手高度一定时:最佳出手角度随出手速度增大而增大. 当出手速度一定时:最佳出手角度随出手高度增大而减小.

结论:

手角度,并且最佳出手角度可由方程得到.

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3.2问题二模型的建立 3.2.1建立模型

由于速度与角度相互有关联,并且要找到一种折中办法使抛球的距离最大,则想到找到速度与角度的函数,函数是由数学软件根据给出的数据进行拟合而来所以得到两个方程,F(v,u)(速度v 与角度u 两个变量所组成的方程),X(v,u)(抛球距离x 关于变量v 与变量u 的函数),从而由两个函数关系并且根据角度与速度的实际变化范围求得抛球距离x 的最大值. 由题中提供的数据即:

表1 运动员投掷铅球数据

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以出手速度作为变量拟合关于角度的函数,首先作出速度关于角度的散点图,然后拟

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[]Out 1=

图3角度关于速度的散点图.

[]2=396184. 52558.4 v 966.683 v 357133. Log v ?+--(这就是拟合到得角度关于速度的方程)

Out[4]=

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Out[3]= 图3 角度关于速度拟合方程的图 图4拟合曲线与散点图在同一坐标中的显示状况.

由第一问的解答有:

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222v Sin s g ?=+……………………………….① 拟合方程: []2=396184. 52558.4 v 966.683 v 357133. Log v ?+--………………………②可得: s=

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3.2.2问题二的分析

上式是出手距离与出手速度及出手高度的函数关系式,假设高度一定时则只有速度v 一个变量。因此可以取不同的速度v 值而得到不同的出手距离,然后由出手速度与出手角度的关联式,即②式,从而得出对应的出手角度,然后列出一个表格,由表格中得出的数据找出出手角度与出手速度的最佳折中办法。

由题所给的所有数据得到出手高度的平均值为:h=1.99875 ,把此值作为定值。可以得出下面的数据表:

出手速度

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 出手距离

19.4069 19.6086 19.7974 20.0352 20.3208 20.6295 20.936 21.222 出手角度

37.2707 39.4571 38.2309 37.8613 38.0478 .38.497 38.9218 39.0412 出手速度

13.9 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 出手距离

21.466 21.6184 21.5597 21.0534 19.7194 17.1063 13.03 8.32289 出手角度

38.5804 37.2707 34.8489 31.0573 25.644 18.362 8.96963 2.76989 表2 投掷远度影响因素

则由上表可看出来出手距离先随速度变大而变大,当速度增大到14再往上逐渐增大

时,出手距离逐渐减小,出手角度随出手速度的增大同样是先增大后减小,速度从13.1~14.3时出手角度的变化是37.2707~25.644,运动员以这个出手角度范围的角度出

手都不太难,所以角度的考虑是次要因素,而主要因数是成绩评定标准的出手距离,当v 在14m/s 时速度达到最大,所以此时运动员得到的成绩最理想。

结论:速度与角度的最佳折中办法是:使出手速度在14m/s 左右,从而对应的出手角度在37.2707°左右。 3.3问题三模型的建立及求解 3.3.1建立模型

经过上述分析,投掷铅球的远近是一个关于出手高度、出手速度、出手角度相关的复杂变量。其中出手速度的影响最为重要。由此,教练员应该着力提高运动员施力于铅球上的力而提高成绩。

假设:

1.滑步阶段为水平运动,铅球随人体产生一个水平初速度; 2.用力阶段,运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间;

3.作用时间内的推力大小不变离得方向与铅球出手方向相同。……………[3] 符号约定: X:水平位置 Y:竖直位置

0v :初速度

0t :作用时间

F :推力大小 m :铅球质量

水平位置有:x cos =ma F ? 竖直方向有:x sin =ma F mg ?-

()x =0a x''t ()=0a y''y t 0'(0)=v x '(0)=0y 所以在区间0[0,]t 的积分可得:000'(t )=cos +v F x t m ? 000y'(t )=sin t F

t g m

?-

因为有v

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所以得到v 3.3.2问题三的分析

由v 增大作用与铅球上的力和时间以及增

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大初速度均可提高铅球的出手速度。从而提高投掷距离。因此教练员可从以下方面来训练运动员。

1.增大手与铅球间的摩擦力以增大作用时间。

2.采用旋转投掷法,从腰间发力,旋转将力施加到铅球上以增大作用力。

3.在投掷点采用前后脚交替以增大初速度。

四、模型求解

用mathematica7.0软件进行的求解过程如下: 4.1第一问求解

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Solve[h1+h==g*(t2)^2/2,t2]得

显然负值舍去

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笔算可得:222v Sin s g ?=+然后根据参考文献可得:

4.2第二问求解

建立二维数据表,画散点图,拟合方程及散点图与拟合方程在同一图中的显示操作如下:

x={13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08}; y={37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13}; data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,8}];

? =ListPlot[data,PlotStyle PointSize[0.02]]; f=Fit[data,{1,v,v^2,Log[v]},v]; w=Plot[f,{v,13.00,15.00}]; Show[w,shu]

拟合图与问题一的方程求解如下:

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得出s 值如下:s/.{h 1.99875,v a,g 9.8}(其中a 为v 缓慢增大的任意取值,从而可以得出s 关于v 的多组数据).

根据v 的值求对应出手角度?的计算如下:

2(396184. 52558.4 v 966.683 v 357133Log[v])/.v a +--→ (a 同上为v 缓慢增大的任意取值).

五、模型评价

本模型建立了投掷铅球所需的最佳角度范围,研究了速度,夹角以及投掷高度对投掷距离的影响,通过定量和定性分析,得出了投掷的最佳角度,最佳速度,以及应保持怎样的方式投掷.给教练员在训练运动员时提供了有效的参考。但是由于某些假设过于理想,如速度与角度的相互影响,滑步过程的假设,在实际运用中并不能很好的应用。因此在不同的环境,对于不同的人训练时,运动员应选择适当的方法来训练以更好的提高成绩。

六、参考文献

[1]铅球掷远问题的数学模型

http://www.wendangku.net/doc/9abdbfb165ce0508763213cf.html/p-172439703956.html 2012-03-15 12:56:02

[2]日常生活中的数学模型

http://www.wendangku.net/doc/9abdbfb165ce0508763213cf.html/view/e58872c75fbfc77da269b162.html 2010-09-17 [3]杨启帆,康旭升等,数学建模[m].北京:高等教育出版社.2005:5-1.