高考概率文科大题

2014年高考文科数学试题分类汇编：概率一、选择填空题

1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()

A.1

18B.

1

9 C.

1

6 D.

1

12【答案】B

2．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()

A.4

5B.

3

5 C.

2

5 D.

1

5【答案】B

3．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()

A.1

5B.

2

5 C.

3

5 D.

4

5【答案】B

4．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()

A.π

2B.

π

4 C.

π

6 D.

π

8【答案】B

5．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() 【答案】C

A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2

6．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．

【答案】1 3

7．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1

种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【答案】1 3

8．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书

相邻的概率为________．【答案】2

3

9．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【答案】13

10．[2014·广东卷12] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 【答案】25

11．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【答案】0.18

12．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 【答案】932

二、解答题：

1． [2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：

现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，

{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }

，

{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．

因此，事件M发生的概率P(M)＝6

15＝

2

5.

2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：

(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，

(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，

(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，

(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，

则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，

所以P(A)＝3

27＝

1

9.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．

所以P(B)＝1－P(B)＝1－3

27＝

8

9.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9.

3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．

解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得

P(A)＝150

1000＝0.15，P(B)＝

120

1000＝0.12.

由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为

P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本

车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24

100＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.

4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．

解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为

8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10 000×0.20a

a＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．

(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．

设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，

则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．

所以所求概率为P(M)＝3 10.

5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．

解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．

D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．

E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．

F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .

(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，

所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )

＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31.

(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1， P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06. 若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1， 所以k 的最小值为3.

6．[2014·江西卷21] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率． (1)求p (100)；

(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；

(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )， S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．

解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.

(2)F (n )＝???n ，1≤n ≤9，

2n －9，10≤n ≤99，

3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.

(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；

当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝

???0，1≤n ≤9，

k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.

1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝

???0，1≤n ≤8，

k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *

，b ∈N ，

n －80，89≤n ≤98，

20，n ＝99，100.

由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.

当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）

＝9171＝1

19.

当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *

)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k

20k ＋9

关于k 单调递增，

故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8

169. 又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.

7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．

解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，

所以P ＝C 24＋C 23＋C 2

2C 29

＝6＋3＋1

36＝

518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.

{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44

C 49＝1126；

{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，

或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49

＝20＋6126＝13

63； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝11

14.

所以随机变量X 的概率分布如下表：

因此随机变量X的数学期望

E(X)＝2×11

14＋3×

13

63＋4×

1

126＝

20

9.