面面垂直性质定理

§2.3.4平面与平面垂直的性质

教学目标：

1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定

2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理

3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识

教学重、难点：

重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导

难点：运用性质定理解决实际问题

教学过程：

师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。

而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的：

（§2.3.4平面与平面垂直的性质）

那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面作一条直线与地面垂直？

现在把这个问题数学符号化：

已知：α⊥βα∩β=CD

求证：β一直线与α垂直

在右边把这两个平面的形象图作出来：

分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β作BE⊥CD于点B,在α过点B作AB⊥CD

证明：

在β作BE⊥CD于点B，在α过点B作AB⊥CD

BE⊥CD ABE为直二面角

α⊥βα∩β=CD

AB⊥BE

CD⊥BE BE⊥α

AB∩CD＝B

这样上面的问题就得以解决证明

像这样的，两个平面垂直，其中一个平面一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理

定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一平面垂直。

我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。

接下来看到书上第二个思考题

思考一：设α⊥β，点P在平面α，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？

分析：点P可以在α与β的交线上，也可以不在交线上，那么作两个图：

解：设α∩β=c ，过点P作b⊥c，由性质定理得b⊥β过一点有且只有一条直线与另一个平面垂直，故a与b重合，则a在平面α

推论：两个平面垂直，那么经过平面一点垂直于另一平面的直线在这个平面。

这个推论用来证明一条直线在一个平面。这种方法就叫做“同一法”。

例：如图，平面α⊥β，直线a满足a⊥β，a不在平面α，试判断a与平面α有什么位置关系？

分析：从图上观察可知a//α，要证明这个结论，则需在α找一直线和a平行，根据前面所学直线和平面垂直的性质定理有同时垂直于同一平面的两直线平行。下面写一写证明过程：

证明：

在α作b⊥c

b⊥β

α∩β=c α⊥β a//b a⊥βa不在平面α

b在平面α

a//α

课堂小结

对于面面垂直的性质定理要注意的是两个垂直的平面是前提，我们可以通过面面垂直得到线线垂直再进一步得到线面垂直。这些转化规律在问题的应用中起到了决定性的作用，是解题的突破口。

再一个就是证明过平面一点的直线在这个平面用到“同一法”也就是说证明另一条直线和这条直线重合。

面面垂直性质定理

§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）

那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD

证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD BE⊥CD 二面角∠ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？

面面垂直的性质

平面与平面垂直的性质 一、教学重点 对性质定理的理解 二、教学难点 性质定理的引入和证明 三、教学设计 （一）复习回顾 1、面面垂直的定义； 2、面面垂直的判定。（二）探究新知 1、探究问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一 条直线与地面垂直？ 2、猜想 在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、推理证明 已知：α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB. 求证：CD⊥β. 证明： 此命题就是面面垂直的性质定理。 定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直； （2）为判定和作出线面垂直提供依据。

（三）概念巩固 练习：判断下列命题的真假 1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。 2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。 3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。 4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面。 （四）巩固深化、发展思维 思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线CD与平面α具有什么位置关系？ 猜想：直线CD必在平面α内。 推理证明 （引导）要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策? 证明： 注：（1）此题运用了“同一法”来证明； （2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内. 3、用语言叙述就是:；

（五）应用巩固 上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。 已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。 求证:a⊥γ. （引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明. 证明： 此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。（六）课堂总结 1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？ 2．空间垂直关系有哪些？如何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直关系转化的依据？ 线线垂直线面垂直面面垂直 （七）课堂作业 1、课本73页练习 2、课本74页习题B组第3题 四．目标检测： （一）基础达标 1．P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）. A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（）. A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C. 若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

面面垂直的判定性质定理例题.docx

面面垂直的判定 1、如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面 BCC1 B1是菱形，且 B1C A1B 证明：平面 AB1C平面A1BC1 2、如图 ,AB 是⊙O的直径 ,PA 垂直于⊙ O所在的平面 ,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点 , 求证 : 平面 PAC⊥平面 PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是菱形，∠ BCD＝60°，E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD，求证：平面 PBE⊥平面 PAB；

4、如图，在四面体ABCD中， CB＝CD， AD⊥BD，点 E、 F 分别是 AB、BD的中点．求证：(1) 直线 EF∥平面 ACD； (2) 平面 EFC⊥平面 BCD. 5、如图 , 在四棱锥 S-ABCD中, 底面 ABCD是正方形 ,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M是 SD 的中点 ,AN⊥SC,且交 SC于点 N. (I) 求证 :SB∥平面 ACM; (II)求证:平面SAC⊥平面AMN.

面面垂直的性质 1、S 是△ ABC所在平面外一点， SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC. 2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD证明 :AB⊥平面 VAD

3、如图，平行四边形 ABCD 中，DAB 60，AB 2, AD 4 将CBD沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD 。求证： AB DE 4、如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD， ∠BAD=60°， E、F 分别是 AP、AD的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD

面面平行的判定教案

平面与平面平行的判定 一、教材分析 1.1教材所处地位与作用 本节课是人教版数学必修（2）第二章第二节第2课内容——平面与平面平行的判定。本节课是在学生学习了线线、线面关系后，已具有一定的空间几何知识和一定的数学能力和方法的基础上进行的。两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。它揭示了线线平行，线面平行，面面平行的内在联系，体现了转化的思想。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的空间想象能力，逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习平面与平面的垂直打下基础。 1.2教学重点、难点 1.2.1教学重点 平面与平面平行的判定定理的理解 1.2.2教学难点 平面与平面平行的判定定理的应用（新教材将线面平行的性质安排在面面平行的判定之后，使得定理无法用理论推理来完成。因此，我采用观察感知，操作发现的研究方法来解决这一难点。通过讨论加深印象，设计更多的例子练习直线与直线的平行。）根据上述教材内容分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我将教学目标分为三部分进行说明： 1.3目标分析 1.3.1知识技能目标 1、了解面面平行判定定理的发现过程。 2、理解证明过程必须的三个条件。 3、运用定理进行证明和解决生活中有关的实际问题。 1.3.2过程与方法 1、学生通过观察、探究、思考，得出两平面平行的判定定理，体验如何把语言文 字描述为数学符号。 2、通过问题的提出与解决，培养学生探究问题、解决问题的能力。通过对例题的

推证，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力。进一步增强学生空间想象能力、空间问题平面化的思想。 1.3.3情感态度价值观 1、通过主动参与探究活动，体验在科学发现中获得成功的喜悦，体验生活中的数学美，激发学习兴趣，养成勇于开拓和创新的科学态度。 2、在师生对图形分析的过程中，培养学生积极进行教学交流，乐于探索创新的科学精神。 3、通过同学之间讨论、互动，培养互帮互助的合作精神。 二、教法、学法 2.1 教法 美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教育的生命线”。遵循“教必须立足于学”的教学理念，为了立足于学生思维发展，着力于知识构建在教法上我采用启发式讲解法。通过采用提出疑问，引导学生自主思考、探索通过直观感知、操作确认逐步发现平面与平面平行判定的方法，加深对判定定理的理解。通过问题探究激发学生学习的积极性和创造性，让学生分享到探索知识的方法和乐趣。 2.2 学法 以学生观察实践、自主探究、合作交流为主要形式的启发式讲解法。强调动脑思考，动手操作，亲身体验，注重多感官参与，多心理能力的投入，通过教师在教学过程中的点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现与领悟。 三、教学设计 3.1 教材 普通高中课程标准实验教科书人教A版必修2 3.2 教学目标 知识与技能：理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用。 过程与方法：主动地去获取知识、发现问题并解决问题 情感态度与价值观:进一步培养观察、发现的能力及空间想象能力 3.3 教学重点

高中数学复习教案：直线、平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质 [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直． (3)推论：如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 2．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围是0°≤θ≤180°. 4．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言

判 定定理一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直 ? ? ? l⊥α l?β ?α⊥β 性质定理两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直? ? ? α⊥β l?β α∩β＝a l⊥a ?l⊥α [常用结论] 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. () (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行．() (4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出 “直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件．故选B.] 3．(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β.() A．若l⊥β,则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥m C．若l∥β,则α∥βD．若α∥β,则l∥m A[∵l⊥β,l?α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确．]

面面垂直的判定和性质教案

面面垂直的判定定理和性质定理教学设计 高二数学 彭立丽 一、 教学目标 1． 知识目标：使学生理解和掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题。 2．能力目标：加深学生对化归思想方法的理解及应用． 3．情感目标：通过计算机软件演示来陶冶学生的数学情操．在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团对精神。 二、教学重点、难点 重点：两个平面垂直的判定定理； 难点：两个平面垂直的性质定理及应用 三、教学方法与教学手段 教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．． 教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。 四、教学过程 （一）复习提问：1、直线和平面垂直的判定定理 2、直线和平面垂直的性质定理 （二）导入新课：瓦匠师傅砌墙的图片（多媒体展示） （三）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （要求学生熟练掌握定理内容的符号形式） 例题： A 是ΔBCD 所在平面外一点，AB=AD ，BC=CD,E 是BD 的中点， 求证：(1)BD ⊥平面AEC (2)平面AEC ⊥平面BCD 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （要求同上） 例题：如图，平面AED ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形 求证：EA ⊥CD （四）归纳小结：（从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结） （五）巩固练习1：直角三角形？问：此三棱锥中有几个面已知, ,CD BC BCD AB ⊥⊥ 巩固练习2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC 判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系，并证明。 （六）作业：

面面平行的判定定理

2、平行于同一个平面的两个平面平行。 问题1:若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？ 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 问题2:分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？(共面) 问题3:长方体中,平面ABCD 内哪些直线会与直线D B ' '平行？怎么样找到这些直线？ (平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可) (二)研探新知 例1、如图,已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//,求证:a // b 。 证明:因为b a ==γβγαI I ,,所以βα??b a ,,又因为βα//,所以a ,b 没有公共点,又因为a ,b 同在平面γ内,所以a // b 。 归纳(两个平面平行的性质定理)如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号语言:b a b a //,,//?==γβγαβαI I 。 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 课堂练习1:判断下列命题就是否正确。 (1)如果a ,b 就是两条直线,且a // b ,那么a 平行于经过b 的任何平面。 (2)如果直线a 与平面α满足a // α,那么a 与α内的任何直线平行。 (3)如果直线a ,b 与平面α满足a // α,b // α,那么a // b 。 (4)如果直线a ,b 与平面α满足a // b ,a // α,b α?,那么b // α。 例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。 已知:ββααβα∈∈∈∈D B C A CD AB ,,,,//,//,求 证:AB = CD 。 证明:因为AB // CD ,所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α与β分别相交于AC 与B D,因为α // β,所以BD // AC ,因此,四边形ABDC 就是平行四边形,所以AB = CD 。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型归纳

2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳 与垂直相关的几个重要结论 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ?α?a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的转化 1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； ②判定定理1： ???? ?m ，n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；

⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β． 题型一、直线与平面垂直的判定与性质 1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ； 2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ； (2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．

高中数学必修二2.2.1线面与面面平行的判定

2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？

探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定 性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D

面面垂直性质定理及习题

面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4 一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8 1．理解面面垂直的性质定理 2．会用性质定理解决有关问题 3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化 4．利用面面位置关系解决有关问题 二、学习重点 面面垂直的性质定理及应用 学习难点 “线线、线面、面面”判定及性质定理的应用 三、知识链接 1．面面垂直的判定定理 2．面面平行的判定与性质定理 3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理 四、学习过程 1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理 （1）符号语言： （2）图形语言： 2．如何对定理加以证明： 性质定理体现了什么关系？ 它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。 3．对性质定理的应用 例：P44 练习4

拓展：P43 例3 五、基础达标 1、判断下列命题是否正确，说明理由： （1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β （2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ （3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。 2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角 α-l-β的平面角，并说明理由。 3、判断下列说法是否正确： （1）若平面α内的两条相交直线分别平面β内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行； 4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l?α，且l∥α,求证：l∥β。 5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定 教学目标 1、知识与技能 （1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小； （2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系； （3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化． 2、过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的平面角及面面垂直的认识； （2）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点 二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定． 教学难点 二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定． 教学过程 一、课前准备 （预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处） 复习1：若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线； 直线与平面垂直的判定定理_______________________________． 复习2：什么是直线与平面所成的角? 直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 探索新知 探究1：二面角的有关概念 图１ 问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么? 新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --．

图2 问题：二面角的大小怎么确定呢？ 新知2：如图3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角． 图3 反思:(1)两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？ (2)你觉的二面角的大小范围是多少？ (3)二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？ 探究2：平面与平面垂直的判定 问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？ 新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图4，α垂直β，记作αβ⊥ . 图4 问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？ 新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 重难点突破 例1 如下图 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点， 求证：ABC PAC ABC PAB 平面，平面平面平面⊥⊥， PBC PAC 平面平面⊥． l

平面与平面垂直的性质定理教学设计说明

平面与平面垂直的性质定理教学设计 一．教材分析 （1）教材的地位和作用：《平面与平面垂直的性质》选自《普通高中课程标准实验教科书》数学第二册（人 教A版）第三节第4课时，平面与平面垂直问题是 平面与平面的重要容，也是高考考查的重点，求解 的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅 助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把 问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和 应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空 间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养。 （2）从知识体系看，“平面与平面垂直的性质”是线面垂直与面面垂直容的延续，不仅可以加深利用线面 垂直证线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。因 此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直关系的纽 带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的 相互转化。 二．学情分析： （1）学生已有的知识结构：在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，

判定定理，及线面垂直的性质定理，学生已具备 了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和 一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。 （2）教学对象：高一年级的学生，已有一定的立体感，学习兴趣较浓，具有一定的想象能力和分析问题、 解决问题的能力。但由于年龄的原因，思维尽管 活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不 够严谨。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主 要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思 维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借 助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分 析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和 体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、 猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想 象能力和分析问题、解决问题的能力。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节容与线面垂直的性质定理及应用进行类比，这是积极 因素，应因式利导，不利因素是学生的抽象概括 能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助 教学。 三．设计理念

直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】 知识目标： 理解线线、线面、面面垂直的概念、判定与性质 能力目标： （1）画出线线、线面、面面垂直的直观图； （2）利用线线、线面、面面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例； （3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 情感目标： （1）经历对线线、线面、面面、几何体的垂直及对应直观图形的认知，发展空间想象思维． （2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维． （3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用． （4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识． 【教学重点】 直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】 判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与 1 平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.

【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 图9-43 强化练习 ．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

面面平行判定定理教学设计

2．2．2面面平行的判定 教学目标 一、知识与技能 1.理解面面平行判定定理并初步应用； 2.化归与转化思想在解决实际问题中的应用。 1.体会“类比”的数学思想; 2.经历面面平行定理的探究过程,得出面面平行的判定定理. 三、情感态度与价值观 引导学生反思新旧知识间的联系，促进学生养成善于联系的思考问题，从实际生活中获知数学知识。 教学重点 面面平行的判定定理及其应用 教学难点 面面平行判定定理的探究过程及其应用 教辅手段 黑板，PPT 教学过程 一、问题导入： 复习线面平行的判定方法，引入本节课的课题 二、新知探究 1、两平面的位置关系（借助PPT），引导学生发现两平面的位置关系——即平行和相交； 2、教师提问：如何能判别两平面平行呢？显然当一个平面内的所以直线都和另一个平面不相交时，两平面平行。 教师总结：这个问题告诉我们，判定两平面平行问题，可以证明一个平面内的所有直线与另一个平面平行，即面面平行转化为线面平行，但要证明所有直线和另一个平面平行是很困难的。 教师提问：同学们思考一下，能否将“所有直线：化为有代表性的”一条“或”几条直线“呢？ 3、学生探究(以长方体模型为例）: α,平行吗？ （1）平面β内有一条直线与平面α平行，β α,平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，β 4、经过观察讨论解决问题 （PPT）定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 5、教师分析并书写证明过程。 三、理解应用：

四、课堂练习: 五、作业：课本58页 1、2、3

六、小结: 1、两个平面的位置关系：相交、平行 2、判定两个平面平行的方法： 1）使用“两个平面互相平行”的定义 2）两平面平行的判定定理或推论 3、找线线平行的方法：三角形中位线定理；平行四边形的平行关系 4、数学思想方法：转化的思想 七.板书设计 2.2.2 面面平行的判定 知识总结 1、两个平面的位置关系：相交、平行； 2、判定两个平面平行的方法； 3、数学思想方法： 转化的思想课题 例题分析过程： 八、教学后记：

人教版高中数学-平面与平面垂直的判定

第九届全国高中青年数学教 师优秀课观摩与评比活动 《平面与平面垂直的判定》（人教A版高中课标教材数学必修2）

平面与平面垂直的判定教学设计 一、教学内容解析： 1.教材的地位与作用： 本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上，介绍二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。 2.教学重点、难点： 重点：平面与平面垂直的判定定理及应用 难点：二面角大小的度量 二、教学目标设置： 1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。 2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。 3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。 4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。 三、学生学情分析：

1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容. 2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性. 3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效. 四、教学策略分析： 我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果. 为此我采用如下形式： 1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力. 2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念. 3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助. 五、教学基本流程(总体设计) 从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念 ↓ 构建二面角的的平面角 ↓ 直二面角 ↓