集合知识点+练习题

第一章集合

§1．1集合

基础知识点：

⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，

也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N排除0的集.

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；

5.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大

发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；

而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元

素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；

⑸艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系所有第三象限的点

6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。

例如，（1）A表示“1~20以的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.

典型例题

例1．用“∈”或“?”符号填空：

⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；

⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为2

1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ，数m 的值。

第二课时

基础知识点

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{

}”括起来表示集合的方法

叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x 2

，3x+2，5y 3

-x ，x 2

+y 2

}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3) 从51到100的所有整数的集合； (4) 小于10的所有自然数组成的集合； (5) 方程2

x x =的所有实数根组成的集合；

⑹ 由1~20以的所有质数组成的集合。

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）围，再画

一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}()

x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2

+3x+2}

是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意： 1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？ 2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。 例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x 2

-x-2>0的所有解组成的集合;

（2）方程2

20x -=的所有实数根组成的集合

（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：

1.由方程x 2

－2x －3＝0的所有实数根组成的集合；

2.大于2且小于6的有理数；

3.已知集合A ＝{x|-3

+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是

3、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的部来表示一个集合，如下图所示：

二、集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {x ∈R ∣0

3. {x ∈R ∣x 2

+1=0} 由此可以得到

集合的分类:::()empty set ?????-?

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合

典型例题

【题型一】 元素与集合的关系

1、设集合A ＝｛１，32+-a ｝,B=｛1,a ２

｝,且A=B ，数a 的值。

2、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２

｝若1∈A,数a 的值。

【题型二】 元素的特征

A 表示任意一个集合A

3,9,27 表示{3，9，27}

1、已知集合M=｛x ∈N ∣x

+16

∈Z ｝,求M

巩固练习： 一选择题：

1.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π?Q ；③0∈N ；④0?φ其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.方程组 的解组成的集合是( )

A.｛2,1｝

B.｛-1,2｝

C.（2,1）

D.｛（2,1）｝

3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝

B.｛3,2,1,0｝

C.｛-2,-1,0,1,2｝

D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

4. 已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )

A ．3∈A

B ．1∈A

C ．0∈A

D ．－1?A 二填空题：

5．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是________．

6．已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.

7. 集合M=｛y ∈Z ∣y=

x

+38

,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝ 。

8. 已知集合A ＝｛2a,a 2

-a ｝，则a 的取值围是 。

三、解答题：

9．已知集合A ＝{x|ax 2

－3x －4＝0，x ∈R }．

(1)若A 中有两个元素，数a 的取值围； (2)若A 中至多有一个元素，数a 的取值围．

???=-=+13

y x y x

1.1.2 集合间的基本关系

基础知识点

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；

（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生； 观察可得：

⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两

个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B ，或B 包含A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?A)

用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。 如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。

⒊真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

4.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

练习：填空：

⑴2 N ； {2} N ； φ A;

⑵已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

典型例题

1.写出集合｛a,b,c ｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

2.已知集合M 满足｛2,3｝?M ?｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M 。

3.已知集合A ＝｛x |x 2

-2x-3=0｝,B=｛x |ax=1｝，若B A ，则实数a 的值构成的集合是（ ）

B A 表示：A B ?

A.｛-1,0,

31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛3

1

,0｝ 4.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?，数m 的取值围。

巩固练习

1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;

(5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2

-3y+2=0};

(6) A={1,3}，B={x|x 2

-3x+2=0};

(7) A={-1,1}，B={x|x 2

-1=0};

2、设A={0，1}，B={-1,0,1,2,3}，问A 与B 什么关系？

3、已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，数a 的取值围。

4、若集合{

}==-+=N x x x M ,062}{

0))(2(=--a x x x ，且N M ?,数a 的值.

1.1.3 集合间的基本运算

基础知识点

C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},

1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{},

B x x

C x x ==是无理数是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B

的并集，即A 与B 的所有部分，

记作A ∪B ， A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A A ∪B ＝A ? , A ∪B ＝B ? . 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），

记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

Venn 图表示：

常见的五种交集的情况：

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩

B B ∩A

A ∩

B ＝A ? A ∩B ＝B ? 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。 3.一些特殊结论

⑴若A B ?,则A ∩B=A ； ⑵若B A ?,则A ?B=A ； ⑶若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ?φ=A 。

A B A(B) A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集）

典型例题

【题型一】 并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1

解：A ∪B={x|-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。 解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图

A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2

【例3】已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2

+2x +13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B

【题型二】 并集、交集的应用

例：.已知｛3,4，m 2

-3m-1｝∩{2m ，-3}=｛-3｝,则m ＝ 。

巩固练习

1、 设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，则A ∩B ＝ 。

2、设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，则A ∪B ＝ 。

3、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A ∪B ＝ 。

4、已知集合M ＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。

5、设A ＝｛不大于20的质数｝，B ＝{x|x ＝2n+1,n ∈N*}，用列举法写出集合A ∩B ＝ 。

6、若集合A ＝｛1，3，x ｝,B=｛1,x 2

｝,A ∪B ＝｛1，3，x ｝,则满足条件的实数x=_____________

7、满足条件M ∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M 的个数是 。

8.已知集合A ＝｛x|-1≤x ≤2｝,B=｛x|2a ＜x ＜a+3｝,且满足A ∩B ＝ ，则实数a 的取值围是 。

集合的基本运算㈡

基础知识点

全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？

集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集

合A 相对于全集U 的补集, 记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{}

,U C A x x U x A =∈?且 Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析 ,

,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??==

,

U U C U C U =??=

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。 典型例题

【例1】．设全集{}

{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，， 求U C A ，U C B ．

【例2】设全集{}{}{}

4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ， A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。 （结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）

【例3】设全集U 为R ，{

}

{}

2

2120,

50A x x px B x x x q =++==-+=，若

{}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。（答案：{}2,3,4）

C A，并且【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤3｝,A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x2-2x-3=0｝,求

U

C A和集合B的关系。

判断

U

巩固练习

1.若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=__________________；

2.若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C S B=__________________-；

3.若S={1，2，4，8}，A=?，则C S A=___________；

4.若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= ；

5.已知全集U=R,集合A={x|0

6.已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合为__________________

提高容：

7.A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B.

8.已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A

∩B，A∪B.

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ）

一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 . ①、3A 且3B ；②、3A 且3B ； ③、3

A 且3

B ；④、3

A 且3

B 。

2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值围是

3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k

R ｝，

且(C I A )∩B ＝

，则实数k 的取值围是

4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为

5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=?

???

，，，，，则b a -= 6、设集合M =},2

14

|{},,4

12

|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填

、、、?、

＝、N M ?、N

M ?) 7、设集合{}

R x x x A ∈≥-=,914, ?

??

???∈≥+=R x x x x

B ,03, 则A ∩B =

8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于

9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}

2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值围是

10、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2，3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 11、集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =

≥-≥=≤-+?≠?，b 的取值围

是 .

12、定义集合运算：{

}

,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合

A B * 的所有元素之和为 13、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．

的个数是 14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的

有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____

人。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！

15、(13分)已知全集U={}

22,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，数的a ，b 值。

16、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合

P 的所有子集

17、(16分)已知集合A ={}

37x x ≤≤，B ={x |2

18、(18分)已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则

11a

A a

+∈-。 (1)若3a =-，求出A 中其它所有元素；

(2)0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？ (3)根据(1)(2)，你能得出什么结论

19、(14

分)集合

{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，

{}2|280C x x x =+-=

满足,A

B φ≠，,A

C φ=数a 的值。

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅱ）

一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个

2、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，

{}2

|20,x x

x Z -=∈ 是空集中，错误的个数是

3、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2

A t t x x

B ∈==，用列举法表示B 4、集合A={x| x 2

+x -6=0}, B ={x | ax +1=0}, 若B ?A ，则a =__________

5、设全集U ={

}

2

2,3,23a a +-，A ={}2,b ，C U A ={}

5，则a = ，b = 。

6、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.

7、已知集合A ={x |2

0x x m ++=}, 若A∩R =?，则实数m 的取值围是 8、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得

正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.

9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 10、设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|

1

2

--x y =3}，则C U A = . 11、集合M =｛y ∣y = x 2

+1，x ∈ R ｝，N =｛y ∣ y =5- x 2

，x ∈ R ｝，则M ∪N = ． 12、集合M ={a |

a

-56

∈N ，且a ∈Z }，用列举法表示集合M =｛ ｝ 13、已知集合}023|{2

=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值围 ；若至少有一个元素，则a 的取值围 。

14、已知集合}023|{2

=+-=x ax x A 至多有一个元

素，若至少有一个元素，则a 的取值围 。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 15、(15分)已知集合A ={}

2320,.x ax x a R -+=∈ (1)若A 是空集，求a 的取值围；

(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值围。

16、(13分)已知全集U=R ，集合A ={}

,022=++px x x {}

,052=+-=q x x x B

{}2=?B A C U 若，试用列举法表示集合A 。

17、(14分)设2

2

2

{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果

A B B =，数a 的取值围。

18、(16分)已知集合}023|{2

=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{2

2

=-+++=a x a x x B ， (1)若}2{=B A ，数a 的值；(2)若A B A = ，数a 的取值围；

19、(14分)已知集合}02|{2

≤-+=x x x A ，B ={x|2

}0|{2>++=c bx x x C ，且满足φ=??C B A )(，R C B A =??)(，求b 、c 的值。