分类讨论与转化思想
★【概述】
1、 对于某个问题的研究分两种或两种以上情形，分别加以讨论的方法，就称为
分类讨论法。分类讨论法对于考察学生全面思考问题、训练思维的完整性有着极其重要的作用，是近年来历届中考必考的重要方法之一。
2、转化：也称化归思想。当一个问题条件比较复杂，计算或证明比较困难时，通过已知知识间的联系，把复杂问题转换成简单、易于解决的问题，从而达到解题目的的方法。例如：把二元方程通过消元转化为一元方程解决；把实际问题转化到一个数学模型中解决；转化是研究数学的最基本的方法。
★★【解题基本策略】
把所有的情况进行分类讨论，找出满足要求的条件或结论。通常要把问题进行转化、分解为简单或熟悉的问题解决。
★★★【典型例题解析】
【考点题型1】-----分类讨论思想的运用
【例1】已知一条直线上有A 、B 、C 三点，线段AB 的中点为P ，10=AB ；线段BC 的
中点为Q ，6=BC ，则线段=PQ ；
【例2】某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： 1、若一次购物少于200元，则不予优惠；
2、若一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
3、若一次购物超过500元，其中500元以下部分（含500元）给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠. 小李两次取该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李同样多的物品，他需付款多少元？
根据题意可知函数解析式为：y=x （0≤x ＜200），y=0.9x （200≤x ＜500），y=0.8x+450（x ≥500） ∵200×0.9=180
∴小明付款198元所购的实际价值有两种情况，即198元或198÷0.9=220元 ∵554＞500
∴小明付款554元所购的实际价值设为x 元，则450+0.8（x-500）=554 解得x=630
∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为198+630=828（元）或220+630=850（元）
即所付款数为450+（828-500）×0.8=712.4（元）或450+（850-500）×0.8=730（元）．
答：小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款712.4元或730元
【例3】已知A 是⊙B 上一点，直线CD 切⊙B 于点C ，在切线CD 上有一点D ,满足CAB CAD ∠=∠,则四边形ABCD 的形状是 。 图一无法构成四边形ABCD 证明图二 证明： ∵CD 为切线
∴∠BCD=90°-------① ∵点A 点C 均在圆B 上
∴△ABC 为等腰三角形，且∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°----② 若满足∠CAB=∠CAD ，则，∠BAD=90°-----③ ∵任意多边形的内角和为(n-2)*180 ∴∠ADC=90°------④
由①②③④知道，四边形为矩形
【例4】（成都市理科实验班考题）已知AB 是半圆⊙O 的直径，C 是半圆⊙O 上一点，且2
AC BC OC ?=,则CBA ∠的度数等于多少？ 过点C 作CD 垂直AB
（利用三角形面积相等）因为AC*BC=AB*CD=2OC*CD 且已知AC*BC=OC*OC OC=2OD
那么在直角三角形OCD 中，角COD=30度或是150度，所以角CBA=75度或15度
【例5】（乐山）阅读下列材料：
我们知道x 的几何意义是：在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即0x x =-，也就是说x 就是数轴上数x 对应的点与0对应的点之间的距离。这个结论可以推广为：
12x x -表示数轴上1x 、2x 对应点之间的距离。
比如：1、解方程：2x =，易得：2x =±。
2、解不等式：12x ->。如图①所示，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1和3，则12x ->的解集为：1x <-或3x >。
3、解方程：125x x -++=。有绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值。在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或-2的左边，若x 对应点在1的右边，由图②可看出2x =；同理：若x 对应点在-2的左边，可得3x =-。
所以：原方程的解为：2x =或3x =- 参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程34x +=的解为 ； （2）解不等式：349x x -++≥
（3）若34x x a --+≤对任意的实数x 都成立，求a 的取值范围。
解：（1）1或．
（2）和的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与的两侧．
当在3的右边时，如图（1），
O x
y
A
B C D
E
易知．
当在的左边时，如图（1），
易知．
原不等式的解为或
（3）原问题转化为： 大于或等于最大值．
当时，，
当，随的增大而减小，
当时，，
即的最大值为7．
故．
【例6】（眉山）如图：已知直线1
12
y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）. （1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当PAE ?是直角三角形时，求点P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，并求出点M 的坐标。
解：（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入
得，解得
∴抛物线的解折式为；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，即E点的坐标（）
又∵点E在直线上
∴解得（舍去），，
∴E的坐标为（4，3）；
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，
设P1（a，0）易知D点坐标为（-2，0）
由Rt△AOD∽Rt△POA得即，
∴a=，
∴P1（，0）；
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、3）由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，
Rt△AOP∽Rt△PFE
由得，解得，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；（Ⅲ）抛物线的对称轴为，
∵B、C关于对称，
∴MC=MB，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大，易知直线AB的解折式为y=-x+1，
∴由得，
∴M。
◆目标训练1
1、若0≠ab ，则
b
b a
a +
的取值不可能是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、2-
2、直线1-=x y 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在y 轴上，若ABC ?为等腰三角形，则满足条件的点C 的坐标为 ；
当CA=CB 时，则C 位于AB 的中垂线上，符合条件的只有坐标原点O ，即只存在一个△； 当BC=BA 时，符合条件的最多有3个； 当AC=AB 时，符合条件的也最多有3个； 所以，符合条件的c 点最多有3+3+1=7个 3
、
如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角线APQ 。当点P 运动到原点O 处时，记Q 得位置为B 。 （1）求点B 的坐标；
（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值；
（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
题型：解答题难度：偏难来源：湖南省中考真题
答案（找作业答案--->>上魔方格）
解：（1）过点B 作BC⊥y 轴于点C ， ∵A（0，2），△AOB 为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=，OC=AC=1，
即B （
）；
（2）不失一般性，当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时， ∵∠PAQ=∠OAB=60°， ∴∠PAO=∠QAB， 在△APO 和△AQB 中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB ， ∴△APO≌△AQB 总成立， ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°；
（3）由（2）可知，点Q 总在过点B 且与AB 垂直的直线上， ∴AO 与BQ 不平行，
①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB ∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形，
当AB ∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°， 又OB=OA=2，可求得BQ=
，
由（2）可知，△APO ≌△AQB ， ∴OP=BQ=
，
∴此时P 的坐标为（-
，0）；
②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形，
当AQ ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°， 又AB= 2，可求得BQ=2
，
由（2）可知，△APO ≌△AQB ， ∴OP=BQ=2
，
∴此时P 的坐标为（2，0），
综上所述，P 的坐标为（-，0）或（2
，0）。
4、（福建）如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(4，0)，以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，OC 为弦，60AOC ∠= ，P 是x 轴上的一动点，连结CP ．
（1）求OAC ∠的度数； （2）如图①，当CP 与⊙A 相切时，求PO 的长； （3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与⊙A 相交于点Q ，问PO 为何值时，
OCQ △是等腰三角形？
① ② （备用图）
1）OA=AC 首先三角形OAC 是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC 是个等边三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC 与圆A 相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC 中，有∠PCA 的度数，有A 点的坐标也就有了AC 的长，可根据余弦函数求出PA 的长，然后由PO=PA-OA 得出OP 的值．
（3）本题分两种情况：
①以O 为顶点，OC ，OQ 为腰．那么可过C 作x 轴的垂线，交圆于Q ，此时三角形OCQ 就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO 可在直角三角形OCP 中，根据∠COA 的度数，和OC 即半径的长求出PO ．
②以Q 为顶点，QC ，QD 为腰，那么可做OC 的垂直平分线交圆于Q ，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC 于D 的话，可在直角三角形AOQ 中根据∠QAE 的度数和半径的长求出Q 的坐标；然后用待定系数法求出CQ 所在直线的解析式，得出这条直线与x 轴的交点，也就求出了PO 的值．
D
E
A B
C
A
O
B
C D F
G
E
【考点题型2】-----转化思想的运用
【例7】如图：CD AB //，DC AE ⊥，12=AE ，15=BD ，20=AC ，求梯形ABCD
的面积；
【例8】(杭州市)以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O , 过点D 作直线切半圆于点F ,交AB 边于点E .则三角形
ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )
A 、3:4
B 、4:5
C 、5:6
D 、6:7
根据切线长定理得，BE=EF ，DF=DC=AD=AB=BC ． 设EF=x ，DF=y ，
则在直角△AED 中，AE=y-x ，AD=CD=y ，DE=x+y ． 根据勾股定理可得： （y-x)^2+y^2=（x+y)^2， ∴y=4x ，
∴三角形ADE 的周长为12x ，直角梯形EBCD 周长为14x ， ∴两者周长之比为12x ：14x=6：7．
【例9】（浙江嘉兴）如图，已知ABC ?，6AC BC ==，90C ∠=?。O 是AB 的 中点，⊙O 与AC 相切于点D 、与BC 相切于点E ，设⊙O 交OB 于F ，连DF 并 延长交CB 的延长线于G 。 （1）求ADG ∠的度数；
（2）求由DG 、GE 和弧ED 所围成图形的面积（阴影部分）．
（1）连接OD ．根据切线的性质得到OD⊥AC，则OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再结合对顶角相等和等边对等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）阴影部分的面积=直角三角形CDG 的面积-（正方形的面积-扇形ODE 的面积）．根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB 、OD 的长，以及圆心角∠DOE 的度数．进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积．
【例10】⊙O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于A 。 （1）求HAO ∠sin 的值；
（2）如图，设⊙O 与x 轴正半轴交点为P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交x 轴于点G ，若DEF ?是以
EF 为底的等腰三角形，试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化，请说明理由。
解：（1）点D （4，3）在⊙O 上，
∴OD2=42+32， ∴OD=5，
∴⊙O 的半径r=OD=5；（1分）
（2）如图1，连接HD 交OA 于Q ，则HD ⊥OA ，连接OH ，则OH ⊥AH ， ∴∠HAO=∠OHQ
∴sin ∠HAO=sin ∠OHQ=OQ OH =3 5 ；
（3）连接DH 交y 轴于点Q ，连接OH 交BC 于点T （如图2）． ∵D 与H 关于y 轴对称， ∴DH ⊥EF ，
又∵△DEF 为等腰三角形， ∴DH 平分∠BDC ，
A
B
O
M
F E C G
∴∠BDH=∠HDC ， ∴ BH = CH ，
∵HO 为⊙O 半径， ∴OT ⊥BC ， ∴∠CGO=∠QHO ，
∴当E 、F 两点在OP 上运动时，sin ∠CGO 的值不变
◆目标训练2
1、如图：周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形， 这矩形ABCD 的面积为（ ）
A 、98
B 、196
C 、280
D 、284
2、若抛物线(1)(9)y a x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。若90ACB ∠=?，则a = ；
3、m 为何值时，方程
2
25111
m
x x x +=+--会产生增根？ 4、（2009北京）已知：如图，在ABC ?中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径。
（
1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当4BC =，1
cos 3
C ∠=
，求⊙O 的半径；
（1）如图，连接OM ，则OM=OB ， ∴∠1=∠2， ∵BM 平分∠ABC ， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OM ∥BC ， ∴∠AMO=∠AEB ，
在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线， ∴AE ⊥BC ， ∴∠AEB=90°， ∴∠AMO=90°， ∴OM ⊥AE ， ∴AE 与⊙O 相切；
（2）在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线，
∴BE=BC ，∠ABC=∠C ，
∵BC=4，cosC=，
∴BE=2，cos ∠ABC=， 在△ABE 中，∠AEB=90°，
∴，
A
B
C
D
M N
E
∴ 设⊙O 的半径为r ，则AO=6-r ， ∵OM ∥BC ， ∴△AOM ∽△ABE ，
∴，
∴，解得，
∴⊙O 的半径为。
5、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接EN 、AM 、CM 。 （1）求证：AMB ?≌ENB ?；
（2）①、当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②、当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；
（3）当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长. 解：⑴∵△ABE 是等边三角形， ∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，
∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，
∴△AMB ≌△ENB （SAS ）
⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小 ②连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，
AM ＋BM ＋CM 的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ， ∴AM ＝EN.
∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ， ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM ＝MN.
∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长 ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ， ∴∠EBF ＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x ，则BF ＝√3/2x ，EF=x/2 在Rt △EFC 中， ∵EF 2＋FC 2＝EC 2，
（x/2）2+（√3/2x+x ）2=（√3+1）2 解得x=√2
作业
科目： 数学 姓名： 家长签字：
1、如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第二次输出的结果为12， ，第2009次输出的结果为 ；
2、半径分别为5cm 、4cm 的两圆⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，其公共弦长
6AB cm =，则两圆的圆心距12O O = ；
3、若抛物线(1)(9)y a x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。若
90ACB ∠=?，则a = ；
4、已知二次函数21
2
y x bx c =++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点
x
1
2
x 3
x +x x
B （－1，0）和点
C ，顶点为P 。
（1）求这个二次函数的解析式，并在坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
x
y O
分类讨论思想
分类讨论思想
第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的
结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.
分类讨论思想的应用
分类讨论思想的应用 摘要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻 辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解 题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 关键词：分类讨论思想三角形四边形方程 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-095-02 分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解 和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于 培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。 分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根 据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下 得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的 问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 一、在几何图形中的分类讨论思想 （一）在三角形中的分类讨论 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中无论边还是顶角底角，不确 定的情况下要分类，分情况求解，有时要分钝角三角形，直角三角形，锐角三角形，分别讨论解决 1、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角， 所以必须分情况讨论。 例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）（B） （C）或（D）或 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的角由 于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当角为顶角时,它的两个底角为 ; （2）当角为底角时,顶角为 . 综上所述,该等腰三角形的顶角为或 ,选择（D）. 拓展:若把题目中的角改为角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗? 2、在等腰三角形中求边： 等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类 讨论。 例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】 （A）9cm （B）12cm （C）15cm （D）12cm或15cm 分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.
第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想 Word版含解析
第三讲 分类讨论思想 思想方法解读 考点 由概念、法则、公式引起的分类讨论 典例1 (1)2015·福建高考]若函数f(x)＝??? ?? －x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x>2 (a>0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 解析] 因为f(x)＝?? ? －x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x>2， 所以当x ≤2时，f(x)≥4； 又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以?? ? a>1， 3＋log a 2≥4. 解得1解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所 以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式， 所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－2 2n ＋1 ＝2 ＋2? ?? ??? 12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2? ?? ??? 1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2? ?? ?? ?1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n 2n ＋1 四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标． 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
对数学教学中分类讨论思想的感悟
对数学教学中分类讨论思想的感悟 博兴一小王晓红 分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。它在数学概念的确立，数学事实的发现，数学理论的推导学知识的运用中，能让学生了解数学知识形成的过程，对培养学生思维的创造性，发散性与灵活性以及整体文化素质产生深刻而持久的影响。 数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”因此，要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素质，就应该重视数学思想的方法教学。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。 下面针对数学教学中渗透分类讨论思想谈一下我自己粗浅的认识： （一）在概念教学中渗透分类讨论思想 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。 在概念教学中，我总能注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。 如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。 （二）在法则、定理、公式导出过程中运用分类讨论思想 有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。 又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 为什么要根据 圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如右图） 去证， B C A A C D C
分类讨论思想的应用
分类讨论思想的应用 李增旺 例1 一组数据：2，3，4，x 中，若中位数与平均数相等，则数x 不． 可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解析：因为x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确 定方法，可知x 的取值分为三种情况： （1）当x ≤2时，中位数为5.2232=+，平均数为4 432+++x ，所以5.24 432=+++x ，解得x ＝1； （2）当2＜x ＜4时，中位数为23+x ，平均数为4 432+++x ，所以234342 x x ++++=，解得x ＝3； （3）当x ≥4时，中位数为5.3234=+，平均数为4 432+++x ，所以234 3.54 x +++=，解得x ＝5. 故选B . 例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学10次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为98分、99分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得98分、99分的次数均不为0)： （1）求甲同学在前10次测验中的平均成绩. （2）根据前10次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第1位) 解：（1）甲同学在前10次测验中的平均成绩是 94195296197398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. （2）①若乙同学得98分的次数为1，得99分的次数为2，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398199210 ??????＋＋＋＋＋=96.7（分）. 在前10次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛. ②若乙同学得98分的次数为2，得99分的次数为1，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. 甲同学在前10次测验中的方差2s 甲= 10 1×［(94－96.6)2＋2×(95－96.6)2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.24， 乙同学在前10次测验中的方差2s 乙=101×［4×(95－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98
分类讨论思想
分类讨论思想 一、含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 二、常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。 5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。 三、高中数学中相关的知识点 1.绝对值的定义；
1.二次函数对称轴的变化； 2.函数问题中区间的变化； 3.函数图像形状的变化； 4.直线由斜率引起的位置变化； 5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； 6.立体几何中点、线、面的位置变化等。 七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象。即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。 第二步：根据公式、定理确定分类标准。运用公式、定理对分类对象进行区分。 第三步：分类解决“分目标”问题。对分类出来的“分目标”分别进行处理。 第四步：汇总“分目标”。将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。
【2020年高考必备】导数中分类讨论思想的应用及分类
导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数
为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确?不确定，因此二次函数定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'2'0a?1?axa?y?2?y0，再例，可直接判断出当时，'2'0?a?01a2y??ax??y，此时不需要对参数是否，则可直接判断出当时，为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； ②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； ③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； ④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。 例1.已知函数2?1x?ax)?(a?1)ln(fxf(x)的单调性。，讨论函数2?aax?12f(x)(0,??)，的定义域为解析：函数'?)f(x x a?0时，当'(x)?0ff(x)在定义域内单调递增。，故函数a??1 时，当'(x)?f0f(x)在定义域内单调递减。，此时 a?10?1?a?时，令当'??x0?f(x)，解得2a1?1aa?当 ''),??x?[]?x?(0,?(x)f0?0f(x)?时，；当时，2a2a1?a?1a)xf(在故????)(0,x]x?[?,单调递减。单调递增，在a22a注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符a非负状态下的单调性，切记，切记。号相同，很容易判断 例2.已知函数2?x?a ln(x)?xxff(x)在定义域上的单调性。，讨论2?xx?a2解析：'a?8??1?)(x?0)(xf，
物质的分类及转化 教学设计
物质的分类及转化教学设计 【教学目标】 〔知识与技能〕 1、学会从不同角度对常见物质进行分类。 2、理解单质、氧化物、酸、碱、盐等物质之间的相互转化关系。 〔过程与方法〕 1、掌握化学物质的分类方法，了解物质的组成、结构和性质的关系；认识化学变化的本质。 2、认识比较和分类等科学方法对化学研究的作用。尝试按不同的方法对物质进行分类。 3、初步了解通过化学反应实现物质相互转化的重要意义。 〔情感、态度与价值观〕 1、了解化学家研究物质及其变化的方法和重要内容。 2、体会定量研究的方法和学习化学的重要作用。 ［教学重点］培养学生学会从不同角度、不同的标准去思考问题的能力 ［教学难点］引导学生从物质的宏观性质的学习和研究转入从微观角度分析研究问题［教具准备］多媒体投影仪图片若干 ［课时安排］2课时 ［教学过程］第一课时 ［引言］“科学是美的，每个科学家都有这种感觉。”（杨振宁语）化学世界绚丽多彩，千姿百态，奥秘无穷。下面我们一些来看一组图片。 ［展示］：教材的几幅图片。 ［板书］一、物质的分类 ［师］化学物质在我们日常生活中有很多重要应用，在你的生活经历中留下深刻印象的有哪些？请各位同学在纸上写出一些实例，再进行小组交流。 自己完成实例后，小组讨论：在日常生活中我们经常接触的化学物质有：水、氧气、金属、碳、塑料、二氧化碳、汽油、淀粉、纤维素、蛋白质等。 ［师］在这些丰富多彩的化学物质中，为了获得生活和发展需要的物质，并更好地利用这些物质为人类服务，化学家们需要将众多的物质进行分类研究，需要探索物质转化的条件和转
化时所遵循的规律。如何来分类呢？
［师］给出常见的一些物质，如：空气、乙醇、硫酸铵、铜、、碘、氢气、石墨、食盐水等。请同学们分组讨论。如何给这些物质进行分类？ ［生1］我们小组将物质分成了混合物和纯净物。 混合物有：空气和食盐水；纯净物为：乙醇、硫酸铵、铜、、碘、氢气、石墨。 ［生2］我们小组将物质分成了单质和化合物。 单质有：铜、、碘、氢气、石墨；化合物有：乙醇、硫酸铵。空气和食盐水是混合物。 ［生3］我们小组将物质分成了气态、液态和固态。 气态为：空气、氢气；液态为：乙醇、食盐水；固态为：硫酸铵、铜、碘和石墨 ［生4］我们小组将物质分成了易溶、微溶、难溶。 易溶为：乙醇、食盐水、硫酸铵；微溶为：碘；难溶为：空气、氢气、铜、石墨 ［师］以上同学提出的分类形式都非常好。有从组成、导电性、状态、溶解能力等依据来分析的，看来，我们只要调整一下思维方式，在不同的角度思维，就会“山穷水尽凝无路，柳暗花明又一村”，得到异乎寻常的答案，说明衡量事物的标准不止一个。 ［板书］物质分类标准的不同，分类形式的结果各不相同。 ［展示］老师在此也提出一种分类方式与同学们一起共享。 ［问题解决］根据物质的组成对下列物质进行分类。 钙(Ca) 氯气(Cl2) 氯化钙(CaCl2)溶液硫酸(H2SO4) 碳酸钙(CaCO3) 氧化钙(CaO) 氢氧化钙[Ca(OH)
第3讲 分类讨论思想
第3讲 分类讨论思想 思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( ) A ．－332 B.332 C ．－342 D.3 42 答案 C 解析 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1， 但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1. 又S 3＋S 6＝2S 9，① 根据数列性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，② 由①②可得S 3＝2S 6， ∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342. (2)已知函数f (x )＝????? sin (πx 2)，－1初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考
初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考摘要：分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。 关键词：初中数学；分类讨论 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情境，予以强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。笔者从以下三个方面谈谈本人对于分类讨论思想的一些思考。 一、为什么分 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的 思想。 二、要分谁 需要运用分类讨论思想解决的数学问题，可大致归纳为：①数学概念的分类定义②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种
情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。 三、怎样分 分类讨论必须遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性、互斥性、层次性、简言之即为不遗漏，不重复，要分清主次。 1.不遗漏 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集i,ai（i=1…n）是i的子集,并以此分类,且a1∪a2∪…an=i,则称这种分类 （a1,a2…an）符合同一性原则。比如,我们若把实数r分成正实数r+与负实数r-,那这种分类不符合同一性原则,因为r=r+∪r-∪{0},则这种分类方法遗漏了零。在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1.右图中有多少个正方形？ 分析：如果一个一个地数难免会重复或遗漏，所以应该设法分类计数。设图中每个小方格的边长为1个单位，则图中包含边长分别为1、2、3的三类正方形，算出这三类正方形的总个即为所求。9＋4＋1＝14，这样运用分类思想方法让初看无法着手的问题变化为简单的三个小问题，让我们的
中考数学专题复习专题三大数学思想方法第一节分类讨论思想训练
专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】
此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫
初中数学分类讨论思想在教学中的应用
初中数学分类讨论思想在教学中的应用 新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。所以在数学教学中有效地渗透，培养数学思想方法，已逐渐成为数学、课改的热点。所谓数学思想，是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。 本文从分类讨论思想的概念和特点，引起分类讨论的原因，以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开，比较系统全面地介绍了分类讨论思想。 一、分类讨论思想的概念 分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有
联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之。 二、引起分类讨论的原因 分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面： 1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。 2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。 3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。 4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。 三、解答分类讨论型问题的步骤 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。 通常解答分类讨论型问题的一般步骤是： 1.确定分类对象。
高中化学 1_1_1 物质的分类与转化课时作业 苏教版必修1
物质的分类与转化 一、选择题 1．下列物质属于混合物的是( ) ①水银②空气③氯酸钾④五氧化二磷⑤糖水⑥硫粉⑦氨气⑧盐酸 A．①②⑤⑦B．①②④⑥ C．②⑤⑧ D．②③⑤ 解析：盐酸是氯化氢气体的水溶液，属于混合物；空气、糖水也都是混合物。 答案：C 2．对下列物质分类全部正确的是( ) ①纯碱②食盐水③石灰水④NaOH⑤液态氧 ⑥KClO3 A．碱——①④B．纯净物——③④⑤ C．盐——①⑥ D．混合物——②⑤ 解析：①纯碱是Na2CO3，是盐类，属纯净物；②食盐水是NaCl的水溶液，属混合物；③石灰水是Ca(OH)2的水溶液，属混合物；④NaOH是碱类，属纯净物；⑤液态氧是单质，属纯净物；⑥KClO3是盐类，属纯净物。 答案：C 3．下列物质中均为化合物的一组是( ) A．金刚石、干冰、SO2B．KCl、盐酸、NaOH C．CuSO4·5H2O、冰、乙醇D．臭氧、CaCO3、铝合金 解析：根据化合物的定义判断。 答案：C 4．国家质检部门检出人们端午节包粽子的“返青粽叶”多以胆矾为添加剂，长期食用有害健康，请问胆矾是一种( ) A．氧化物B．盐 C．碱D．酸
解析： 该题属于物质分类的问题，做题时要明确物质有不同的分类方法。胆矾是CuSO 4·5H 2O ，是一种无机物，从酸、碱、盐的角度看是一种盐。 答案： B 5．下列说法中正确的是( ) A ．凡没有单质参加的化合反应一定是非氧化还原反应 B ．有单质参加的反应一定是氧化还原反应 C ．凡有盐参加的反应，都是复分解反应 D ．置换反应一定是氧化还原反应 解析： A 的说法太绝对，因为有些化合物间的化合反应也可能是氧化还原反应。B 选项的说法也不正确，如石墨在一定条件下变成金刚石的反应，它既不是四种类型的反应，也不是氧化还原反应。对C 而言，有盐参加的反应可能是化合反应：Na 2CO 3＋CO 2＋H 2O===2NaHCO 3；置换反应：Cl 2＋2KBr===Br 2＋2KCl ；分解反应：CaCO 3=====高温 CaO ＋CO 2↑。 答案： D 6．盐是一类常见的物质，下列物质通过一定反应可直接形成盐的是( ) ①金属单质 ②碱性氧化物 ③碱 ④非金属单质 ⑤酸性氧化物 ⑥酸 A ．①②③ B ．①④⑥ C ．②⑤⑥ D ．全部 解析： 金属单质与酸反应生成对应的盐和H 2；碱性氧化物与酸反应生成盐和水；碱与酸(或酸性氧化物)反应生成盐；非金属单质与金属化合可得到盐；酸性氧化物或酸与碱(或碱性氧化物)反应生成盐。 答案： D 7．某同学要在奥运五连环中填入物质，使相连物质间能发生反应，不相连物质间不能发生反应。你认为“五连环”中有空缺的一环应填入的物质是 ( )
【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想
【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________． 2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条． 3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________． 4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________. 5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________． 6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________． 7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________. 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92 ，则a 1的值为__________． 9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 10．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________． 12．若x ∈(1,2)时，不等式(x －1)20，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是? ?????0，π2，值域是 [－5,1]，求常数a ，b 的值． 15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m 0且b ≤0 12．(1,2] 13．解 设t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，因为x ∈[－1,1]， 所以t ∈???? ??1a ，a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2， 故在t ∈???? ??1a ，a 上，y 单调递增，
浅谈分类讨论思想及其应用
浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论：
物质的分类与转化学案
专题1 化学家眼中的物质世界 第一单元丰富多彩的化学物质 物质的分类及转化共2课时 【学习目标】 1．学会从不同角度对常见物质进行分类。 2．掌握常见不同类物质的主要通性，理解单质、氧化物、酸、碱、盐等不同类物质之间的相互转化关系。 3、从化合价升降的角度初步认识氧化还原反应 【学习重点】物质的分类、化学反应类型 【情景设计1】 1.什么是化学？。 2．将下列物质分类，说明你的分类依据： 空气、乙醇、硫酸铵、铜、碘酒、碘、氢气、石墨、食盐水 ①依据___________________分为________________________________________ ②依据___________________分为_________________________________________ ③依据___________________分为____________________________________________ ④依据___________________分为________________________________________________ 【学习过程】 一、物质的分类 1．物质的分类： 最有利于我们研究物质性质的分类方法是依据_________________对物质进行分类。 将初中学过到一些概念列举出来，然后将它们系统起来，画出物质分类的树形图： 【反馈练习1】 1.下列各组物质中，前者为混合物，后者为单质的是（） A．石油液氯B．石灰干冰C．氯化铁蔗糖D．CuSO4·5H2O 盐 2. 实验室中有下列物质，请根据物质的组成，对其进行分类。 CO、O2、CuO、H2SO4、Ba(OH)2、KNO3、CO2、空气、Na、氧化钙、食盐、氢氧化钠
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当02，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1 ). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1 ，2).
数学美五分类讨论思想在解题中的应用
数学欣赏五 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着 重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 （一）对变量或参数的分类讨论 １.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ． ２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． ３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈ 分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还 是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1 a 谁大谁小的问题，因而又需作一次 分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011 0a a x x a ≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a <-->011 0()() Θ10 11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a x 1 1
